复杂网络模型研究
复杂网络的模型与分析
复杂网络的模型与分析随着互联网和信息技术的不断发展，复杂网络的研究逐渐成为了一个热门领域。
复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络，节点之间的联系形式多种多样，如社交网络、物流网络、电力网络、交通网络等，这些复杂网络的研究对于我们理解社会、经济、技术发展及灾难管理等方面具有重要的意义。
本文将着重介绍复杂网络的模型和分析。
一、常见的复杂网络模型在复杂网络的研究中，人们常常会使用一些常见的模型来描述节点之间的联系。
1. 随机网络随机网络是一种节点和连接完全随机的网络，节点间的连接具有随机性，因为节点和连接的排列方式没有规律。
随机网络在复杂网络的研究中是最为简单和基础的模型，它用于研究网络拓扑结构的性质和动力学行为。
2. 小世界网络小世界网络是一种介于完全随机网络和规则网络之间的网络，它是由一些高度连接的节点组成，并且加上少量的随机连接形成的。
在小世界网络上进行的信息传递速度非常快，而且路径非常短。
3. 规则网络规则网络是一种节点排列间距相等、相互连接、形成规则的复杂网络，节点之间的连接相同、简单，结构规整。
规则网络常用于研究网络的物理性质和动力学特性。
4. 无标度网络无标度网络是一种节点度数分布呈幂律分布的网络，它的节点度数较高的节点数量比较少，而节点度数较低的节点数量比较多。
无标度网络对生物、社会和科学领域中的很多现象有很好的解释，在实际应用中具有较广泛的应用。
二、复杂网络的分析方法复杂网络的分析是研究节点间联系、网络中信息传输的方式和特点，以及网络自身的属性。
以下是常见的复杂网络分析方法：1. 节点中心度节点的中心度是在复杂网络中一个节点与其他节点之间联系的度量指标。
中心度可以被分为四种类型：度中心性、接近中心性、介数中心性和特征向量中心性。
其中，度中心性是指节点连接的数量，接近中心性是指节点与其他节点的连接性质，介数中心性是指节点作为中介者在所有节点之间传递信息的能力，特征向量中心性则比较复杂。
复杂网络中的群体行为分析研究
复杂网络中的群体行为分析研究 随着互联网和社交媒体的普及，人们之间的社交网络日益庞大，网络结构也变得越来越复杂。在这样的网络中，群体行为具有重要的意义，因为它可以影响人们的意见、决策、信任和合作等方面。因此，复杂网络中的群体行为分析已经成为了人们广泛关注的热点问题。
一、复杂网络的群体行为模型 在复杂网络的群体行为分析中，群体的动态行为可以被建模为微观和宏观两个层次。微观层次主要研究个体之间的交互行为，如个体的选择、沟通和合作等。宏观层次则关注整个网络的结构和拓扑性质，如网络的密度、直径和聚类系数等。
目前，针对不同类型的群体行为，研究人员提出了不同的群体行为模型。例如，在网络博弈模型中，个体之间的互动可以被建模为“合作”或“冲突”等角色，以此来研究个体的决策和影响因素。在传染病传播模型中，个体则可以被分为“易感者”和“感染者”等，以研究传染病在网络中的传播规律。
此外，研究人员还提出了一些新的群体行为模型，如“噪声扰动模型”、“信息传播模型”、“社群演化模型”等，以解释复杂网络中群体行为的多样性和复杂性。
二、复杂网络的群体行为分析方法 针对不同类型的群体行为模型，研究人员也提出了不同的分析方法。例如，在网络博弈模型中，通过建立“重复博弈”等模型，可以通过计算每种策略的平均收益来预测个体的决策行为。在传染病传播模型中，可以通过建立“S-I-R”等传播模型，来模拟传染病在网络中的传播过程。
除了基于模型的分析方法外，研究人员还提出了一些基于复杂网络结构的分析方法。例如，通过分析网络的直径、平均路径长度和聚类系数等指标，可以评估网络的结构对信息传播和传染病传播等群体行为的影响。
此外，近年来机器学习和人工智能等技术也被广泛应用于复杂网络的群体行为分析中。例如，通过利用深度学习算法分析用户的行为数据，可以精确预测用户的兴趣和行为倾向，从而为社交媒体运营提供更有效的策略和方案。
三、复杂网络的群体行为应用 复杂网络的群体行为分析不仅具有学术研究的意义，还可以应用于各种实际场景中。例如，在紧急情况下，如地震、火灾等自然灾害，及时预测和分析群体行为可以帮助政府和救援组织更好地组织应对工作。在电商和社交媒体领域，准确预测用户的行为和兴趣也可以帮助企业更好地制定营销策略和服务。 此外，复杂网络的群体行为分析还可以应用于推动社会进步和创新。例如，在众筹和众创领域，通过对群体行为的分析，可以引导创新和投资方向，以此帮助更多的创业者实现创业梦想。
复杂网络理论及其应用研究
复杂网络理论及其应用研究随着信息时代的到来和信息技术的飞速发展，如何更好地理解和研究网络结构、网络行为和网络控制等问题已经成为重要的研究方向。
复杂网络理论应运而生。
本文将从介绍复杂网络的定义，性质和基本模型入手，讨论其应用研究前沿和展望。
1. 复杂网络的定义及性质复杂网络是指由大量节点和连接组成的复杂结构，如社交网络、物流网络、通讯网络、生物网络等。
与简单网络相比，复杂网络具有以下特征：1.1 复杂性和多样性复杂网络具有复杂的拓扑结构，即节点和连接的相互关系非常复杂和多样化。
因此，在复杂网络中，节点和连接可能表现出非线性和非确定性的行为，从而影响整个系统的演化动力学。
1.2 尺度特征复杂网络的规模通常很大，但又存在着一定的尺度特征。
即在大尺度上具有一些普遍的特征，如小世界现象（即节点之间的平均距离较短，但是局部聚集性较高）和无标度网络特征（即节点度数分布呈幂律分布，即存在少数高度连通的节点和大量低度的节点）。
1.3 动态性和复杂性复杂网络的演化过程具有动态性和复杂性。
相邻节点之间的信息、人口、货物、能量等物质和能量的转移和流动将引起网络拓扑的变化和整个系统的行为演化。
2. 复杂网络的基本模型为了更好地研究复杂网络的特性，学者们提出了许多复杂网络的基本模型。
其中，最常用的有随机网络、小世界网络和无标度网络。
2.1 随机网络随机网络是由节点和连接随机生成的。
具有相等的概率成为相邻节点的连接是随机分布的。
由于连接的随机性，随机网络中各个节点的度数分布服从泊松分布。
但是，随着网络规模增长，随机网络的直径（即任意两个节点之间的最短路径）会增大，这不符合实际复杂网络的性质。
2.2 小世界网络小世界网络是基于随机网络和规则网络的综合模型。
具有规则网络的高局部聚集性和随机网络的短路径长度。
在小世界网络中，对于大部分节点，它们的邻居多为相临节点之间的结点；但是，部分节点向外部有大量长距离的连接，从而缩短了网络的路径长度。
复杂网络确定性模型研究的最新进展
复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学
Ｃ０Ｍ Ｐ ￡ Ｓ ＴＥＭＳ ＡＮＤ Ｕ Ｘ ＹＳ ＣＯＭ Ｐ ＬＥＸ玎 Ｓ ＥＮＣＥ ＣＩ
Ｖｏ ． ＮＯ ４ １５ ． Ｄｅ ． ｃ ２ ８ ００
文章 编 号 ：６ ２—３ １ ２ ０ ） ４—０ ２ １７ ８ ３（ ０ ８ ０ ０ ９—１ ８
复 杂 网络 确 定 性模 型 研 究 的最新 进 展
章 忠 志 ， 周水 庚 ， 方锦 清
（． １ 复旦 大 学 计 算 机科 学 技 术 学 院 ， 海 ２ ０３ ； ． 海 市 智 能信 息 处 理 重 点实 验 室 ，上海 ２０ ３ 上 ０４３ ２上 ０４ ３
３ 中 国原 子 能 科 学研 究 院核 心 技 术应 用 研 究 所 ， 京 １ ２ １ ） ． 北 ０ ４ ３
（ ． ｃ ｏ ｌｏ ｏ ｕｅ ｃｅ ｃ １ Ｓ ｈ ｏ ｆＣ ｍｐ ｔｒＳ ｉｎ ｅ，Ｆ ｄ ｎＵｎｖｒｉ Ｓ ａ ｇ ａ ０ ４ ３ ｈｎ ； ｕ ａ ｉｅｓｔ ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ３ ，Ｃ ｉａ ｙ， ２
２． ｈ ｎ ｈ ｉＫｅ ｂ ｏ ｎ ｅｌｇ ｎ ｎ ｏｍ ａｉｎ Ｐ ｏ ｅ ｓｎ Ｓ ａ ｇ ａ ｙ Ｌａ ｆＩ ｔ ｌｉｅ ｔＩ ｆ ｒ ｔｏ ｒ ｃ ｓｉ ｇ，Ｆｕ ａ ｉｅ ｓｔ ｄ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ，Ｓ ｎｇ ｉ２ ０ ３，Ｃｈｉａ； ｈａ ｈａ ０ ４３ ｎ
Ｒｅ ｅ ｔＰｒ ｇ ｅ ｓ ｏ ｔ ｒ ｎ ｓｉ ｏ ｅｓｆ ｒ Ｃｏ ｐ ｅ ｔ ｒ ｓ ｃ ｎ ｏ ｒ ｓ ｆＤｅ ｅ ｍｉ ｉｔ Ｍ ｄ ｌ ｏ ｍ ｌｘ Ｎｅ ｗｏ ｋ ｃ
Ｚ ＨＡＮＧ ｏ ｇ ｚ ｉ・ Ｚｈ ｎ ．ｈ ．ＺＨＯＵ ｈ ｉｇ ｎ Ｓ ｕ —ｅ ｇ ， ．Ｆ ＡＮＧ ｉ － ｉｇ Ｊｎ ｑｎ
复杂网络研究简介
∑d
i> j
ij
d12 = 1
d13 = 1 d 23 = 1
d14 = 2 d 24 = 1 d 34 = 2
d15 = 1 d 25 = 2 d 35 = 2 d 45 = 3
Total = 16 Average:
L = 16 / 10 = 1.6
聚类系数
• 一个网络的聚类系数 C满足:
0<C<1
规则网络
(a) 完全连接;
(b) 最近邻居连接;
(c) 星形连接
规则网络
... ...
(d) Lattice
(z) Layers
随机图理论
• 随机图论 - Erdös and Rényi (1960) • ER 随机图模型统治四十余年…… 直到今天 …… • 当今大量可获取的数据＋高级计算工具，促使人们 重新考虑随机图模型及其方法
“图论之父”
看作4个节点，7条边的 图
路必须有起点和终点。 一次走完所有的桥，不重复，除起点与终点外，其余点必须有偶数 条边，所以七桥问题无解。 1875年, B 与 C 之间新建了一条桥解决了该问题！☺
Euler 对复杂网络的贡献
Euler 开启了数学图论，抽象为顶点与边的集 合 图论是网络研究的基础 网络结构是理解复杂世界的关键
电信网络
(Stephen G. Eick)
美国航空网
世界性的新闻组网络
(Naveen Jamal)
生物网络
人际关系网络
复杂网络概念
• • • • • • 结构复杂：节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。 节点多样性：同一网络中可能有多种不同的节点。 连接多样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。 网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。例如WWW，网页或链 接随时可能出现或断开，导致网络结构不断发生变化。 动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随 时间发生复杂变化。 多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的 结果。例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网络的进化过程，其 进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时， 他们之间的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网 络性能。 复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。
复杂网络中的动力学模型与机理分析
复杂网络中的动力学模型与机理分析一、引言复杂网络是近年来引起广泛关注的研究领域，它可以用来模拟和分析各种复杂系统，如社交网络、生物网络和交通网络等。
动力学模型是研究复杂网络行为的重要工具，通过对网络节点之间的相互作用进行建模，我们可以深入了解复杂网络中的动态演化过程与机理。
本文将介绍一些常用的动力学模型，并对其机理进行分析。
二、随机图模型随机图模型是最早被引入到复杂网络研究中的模型之一，它假设网络中节点之间的连接是随机生成的。
其中最经典的是随机图模型中的ER模型，它假设每一对节点间的连接概率都是相等的。
通过该模型，我们可以研究网络中的群聚现象和相变行为等，揭示了复杂网络中的一些基本特性。
三、小世界网络模型小世界网络模型克服了随机图模型中的不足，它通过引入局部连接和随机重连机制，能够同时兼顾网络的聚类特性和短路径特性。
其中比较有代表性的是Watts-Strogatz模型，它将网络的随机重连程度作为参数，可以控制网络的小世界性质。
这种模型揭示了许多实际网络中普遍存在的“六度分隔”现象。
四、无标度网络模型无标度网络模型是另一类常用的动力学模型，它假设网络中部分节点的度数比其他节点更高。
这种模型能够较好地描述现实中一些特殊的网络，如互联网和社交网络等。
其中著名的模型是BA 模型，它通过优先连接机制，使得度数较高的节点更容易获得新节点的连接。
这一模型的提出揭示了复杂网络中的“rich get richer”原则。
五、动力学机理分析除了建立动力学模型，我们还需要分析模型中的动力学机理。
常用的方法包括稳定性分析和数值模拟等。
稳定性分析可以通过线性化系统方程来推导系统的稳定性条件，从而预测网络的稳定状态。
数值模拟则利用计算机模拟的方法，通过迭代网络的动力学方程，模拟网络的演化过程并得到网络的行为特性。
六、复杂网络中的动力学现象在复杂网络中，各种有趣的动力学现象被发现并研究。
例如，网络同步现象是指网络中的节点在相互作用下，逐渐趋于统一的状态。
复杂网络与社交网络分析
复杂网络与社交网络分析一、复杂网络的概念和基本模型复杂网络是一种由许多节点和连接它们的边组成的网络，具有复杂的拓扑结构和动态行为。
在真实世界中，很多现象都可以用复杂网络来描述，例如社交网络、交通网、电力网等。
复杂网络分析是研究这些网络的结构、性质和演化规律的学科。
常见的复杂网络模型包括随机网络、小世界网络和无标度网络等。
随机网络是指节点之间的连接具有随机性，节点度数呈现正态分布。
小世界网络是在随机网络的基础上增加一些具有长程联系的节点，从而使得网络具有短路径和聚类性质。
无标度网络则是由一些具有非常大度数的节点（称为“中心节点”）和大量度数较小的节点（称为“外围节点”）组成，呈现“无标度性”。
二、复杂网络的度分布和聚类性质度分布是指网络中节点度数的概率分布函数，是描述网络拓扑结构的重要指标之一。
在随机网络中，节点度数呈现正态分布，但在其他类型的网络中，度分布往往呈现幂律分布。
幂律分布的特点是存在少数节点（通常为中心节点）的度数非常大，而大部分节点的度数非常小。
聚类性质是指网络中节点之间的联系程度，可以通过聚类系数来描述。
聚类系数指节点的邻居之间的连接占最大可能连接数的比例。
在随机网络中，聚类系数比较低，但在小世界网络中，聚类系数较高。
三、社交网络的结构和特点社交网络是指由一组人以及它们之间的社会关系构成的网络。
社交网络可以分为在线社交网络和离线社交网络，其中在线社交网络包括Facebook、微信等，离线社交网络则包括学校、家庭、组织等。
社交网络的结构和特点与复杂网络有很大的联系。
在社交网络中，节点代表人员，边则代表人员之间的关系，例如朋友、家庭成员、同事等。
社交网络可分为稠密网络和稀疏网络两类。
稠密网络的特点是节点之间联系紧密，而稀疏网络则相对分散。
此外，社交网络还具有小世界和无标度等特点。
四、社交网络的行为和演化规律社交网络中的行为和演化规律是指人们在社交网络中的行为方式以及社交网络本身的演化规律。
复杂网络结构的建模及分析方法
复杂网络结构的建模及分析方法随着信息时代的到来，人们越来越多地关注网络结构的建模及分析方法，这也涵盖了复杂网络。
复杂网络是指由大量节点和边构成的具有非线性关系、多层次结构、动态扰动等特征的网络系统。
对于复杂网络的建模及分析方法，我们需要掌握以下几个方面的知识。
一、复杂网络的建模方法复杂网络的建模方法有很多种，但主要可以分为三类：统计物理模型、人工神经网络模型和图论模型。
1. 统计物理模型：将复杂网络看作是一种非常类似于物理系统的结构来进行分析。
这种建模方法的主要思想是，将复杂网络中的节点和边看作是具有特定物理意义的粒子和相互作用，然后将这些粒子和相互作用的能量转化为网络的“势能”和“熵”，通过计算这些能量的变化来描述复杂网络的演化过程。
2. 人工神经网络模型：将复杂网络看作是神经元和突触的连接，并将各个神经元之间的关系分析成权值和连接函数。
这种建模方法的主要思想是，通过不断地调节权值和连接函数来实现神经元之间的信息传输和处理，从而构建一个巨大的人工智能网络。
3. 图论模型：将复杂网络看作是一个图，通过对其连通性、度分布、聚类系数等统计特性进行分析，然后研究这些统计特性之间的关系，来揭示复杂网络的重要结构信息。
二、复杂网络的分析方法复杂网络的分析方法也有很多种，但主要可以分为三类：图论分析方法、动力学分析方法和信息度量分析方法。
1. 图论分析方法：利用图论模型对复杂网络的连接情况和基本统计特性进行分析，从而揭示网络的重要结构信息，如大规模社区结构、网络的缩进层次等。
2. 动力学分析方法：运用动力学模型对复杂网络的演化和变化进行模拟和分析，解释这些演化现象的内在机理，如可变拓扑结构、非线性耗散与耗尽等。
3. 信息度量分析方法：通过各种信息度量方法，如熵、极值、相互信息等，对复杂网络的信息传输和信息流动进行分析，特别是对于复杂网络中不同尺度的信息传输和信息流动进行分析，例如小世界网络、无标度网络等。
总之，复杂网络的建模和分析是研究网络科学的重要方向，不断深入研究和发展复杂网络的建模和分析方法，对于掌握网络科学的核心理论和方法、提高学术水平和实际应用都有着重要的意义。
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就能联系到地球上的其他任何人。随后,一些数学家也
对此进行了严格的证明。1998年Watts 和Strogtz提出
了“小世界”网络模型(WS ) [4]
，刻画了真实网络所
有的大聚簇和短平均路径距离的特性。小世界网络的 基本模型是WS模型，算法描述如下[5]：
? (1) 给定规则网：假如我们有一个节点总数为 N,每个节点与它最近邻的节点K=2k相连线的 一维有限规则网，通常求 N?K?1；
3 复杂网络模型研究现状
? 3.1基于信息传递的自组织模型 ? 目前为止, 针对计算网络拓扑主要是基于
Barabási 和Albert 提出来的复杂网络演化模型 (BA 模型) 和其改进型的局部演化模型, 在路由 器和自治域这两种不同的层次来描述计算机网 络的拓扑结构。
? 优先连接对于描述新节点的加入过程比较粗 糙，因为首先：新节点在加入网络之前，很难 得到已有网络的全局信息；其次，单一的优先 连接不能够描述复杂的加入决策过程，而且在 全网中容易形成少量的集散节点。因此，要建 立更加符合现实Internet拓扑特征的网络模型 则需要考虑更完善的加入规则， 基于此问题 提出了信息传递的自组织模型。自组织层次网 络的构建步骤如下：
复杂网络模型研究
主讲人：孟永伟
目录
? 引言 ? 几种复杂网络模型 ? 复杂网络模型研究现状 ? 进一步研究的方向 ? 参考文献
1.引言
? 近年来，复杂网络引起了许多相关领域研究人员的 关注。所谓复杂网络就是具有复杂拓扑结构和动力行 为的大规模网络，它是由大量的节点通过边的相互连 接而构成的图。复杂网络的节点可以是任意具有特定 动力和信息内涵的系统的基本单位，而边则表示这些 基本单位之间的关系或联系。例如，Internet网， WWW网络，社会关系网络，无线通讯网络，食物链 网络，科学家合作网络，流行病传播网络等都是复杂 网络。我们生活中存在着大量的复杂网络，这促使我 们去研究这些复杂网络的行为。
改写的连线可能会出现远距离的连线，它们被
称为捷径。显然，当p=0时，仍为给定的规则
网，当p=1时，我们将得到一个特殊的随机网。
随着p的增加，人们可以看到从规则网到随机
网的变化。如图2.3。
图2.3 规则网、小世界网、随机网
2.3 无尺度网络模型
? WS模型能够反映现实网络的小世界特征， 然而现实世界中的网络还被统计到极少节点拥 有大量的连接，而众多的节点仅具有少量连接 的特征，这些也无法用随机模型加以合理解释。 1999年Barabasi和Albert提出了无尺度模型 （BA）[6] 。在该模型中提出了两个重要的网 络演化机理：增长和择优。
2
2
，它们服从二项分布。
? 随机网络ER模型的第二种描述方式[3] ：给定
网络节点数N连线总数n，而这些连线是从总
共
N ?N ? 1?
2
条可能的连线中随机选取的，生成的
网络全体记为G(N,P)，构成一个概率空间。这
样，可生成的不同网络的总数为
C
N n
(
N 2
?
1
)
，它们
出现的概率相同，服从均匀分布。
? 4) 每个节点将一定时期内收到的消息用相应的规则计 算后选择其中一个消息源与之建立连接。经过一段时 间的进化后，一个具有层次结构的复杂网络就涌现出 来。
2.2 小世界网络模型
? 自从提出随机图理论以后，ER模型一直是研究复杂
网络的基本模型。但是近7
年美国社会心理学家Milgram 通过“小世界试验”,
提出了“六度分离推断”, 即地球上任意两人之间的
平均距离为6, 也就是说只要中间平均通过5 个人, 你
? (2) 改写旧连线：以概率p为规则网的每条旧 连线重新布线，方法是将该连线的一个端点随 机地放到一个新位置上，但需要排除自身到自 身的连线和重复连线。
? 因为不允许重复连线，给定的规则网只有条
连线
NK 2
。重新布线时，依次对每条旧连线选
定的某一边的端点随机放置新位置，因此改写
的连线数目为 pNK 。由于随机性的缘故，这些 2
? 随机网络ER模型的第一种描述方式[2] ：给定
网络节点总数N，网络中任意两个节点以概率
P连接，生成的网络全体记为G(N,P)，构成一
个概率空间。由于网络中连线数目是一个随机
变量X，取值可以从0到
N ?N
? 1?
2
，有n条连线的
网络数目为
N (N ?1)
Cn 2
。因此，可生成的不同网络的
总数为 N?N?1?
? 1) 在一个矩形中随机均匀分布一些点代表网络节点;
? 2) 初始化，给每个节点分配一个定时器(到达某个时 间后，节点才开始活动);
? 3) 节点开始活动，节点的活动分为发送消息和接收消 息。每条消息含有节点ID及节点的度等信息。节点的 度等参数决定了该节点发出的消息的辐射范围，还决 定了该节点能够收到来自多大范围内的消息;
2 几种复杂网络模型
2.1 随机网络模型 ? 描述一个网络最早要追溯到1736年，欧拉致力
于著名的“哥尼斯堡七桥问题”的研究，图形 理论由此萌芽，欧拉也因此被称为“图论”之 父。1960年匈牙利数学家Erdo..s and Rényi 建立了随机图理论, 研究复杂网络中随机拓扑 模型（ER），自此ER模型一直是研究复杂网 络的基本模型[1] 。随机网络的两种描述方式如 下：
? 然而, 迄今为止, 复杂网络还没有一个精 确的定义。从目前的研究来看, 它主要包含 两层含义: 一、它是大量真实系统的拓扑抽 象; 二、它介于规则网络和随机网络之间, 比较难于实现, 目前还没有生成能够完全符 合统计特征的复杂网络。网络化是今后若干 年许多研究领域发展的一个主流方向，因此 对复杂网络的研究具有重大的科学意义和应 用价值
? BA模型的算法描述如下：
? 初始：开始给定n0个节点；
? 增长：在每个时间步重复增加一个新节点和
m(m<=n0)条新连线；
? 择优：新节点按照择优概率
? ?ki ??
? ki kj
j
选择旧节点i与之连线，其中ki是旧节点i的度数
? 在1999年.Barabási,与Albert用数量模拟表明 具有k条边的节点的概率服从指数为r=3的幂律 分布，如下图所示：