高一数学必修一,题型归纳系列辅导资料

目录

第一章集合与函数的概念 (5)

第一节集合 (5)

题型1、集合的基本概念 (5)

题型2、集合之间的基本关系 (6)

2.1.集合关系判断问题 (6)

2.2.已知集合间的关系，求参数的取值范围 (7)

2.3.集合子集个数问题 (7)

题型3、集合的运算 (8)

3.1.集合元素属性的理解： (8)

3.2.数轴在集合运算中的应用： (9)

3.3.韦恩图在集合运算中的应用： (9)

第二节函数的概念 (10)

题型4、判断函数是不是同一函数 (10)

题型5、求函数的解析式 (11)

5.1.换元法： (11)

5.2.配凑法： (11)

5.3.待定系数法： (11)

5.4.方程组法： (12)

5.5.特殊值法： (12)

5.6.根据函数的奇偶性求函数的解析式（对称性法）： (13)

第三节函数的定义域 (14)

题型6、已知函数解析式，求函数的定义域 (14)

题型7、求抽象函数的定义域 (15)

第四节函数的值域 (16)

题型8、求函数值，特别是分段函数求值 (16)

8.1、函数求值（基础） (16)

8.2、多层函数求值 (16)

8.3、分段函数求值 (16)

8.4、复合函数求值 (18)

8.5、抽象函数求值 (18)

题型9、函数值域的求解 (19)

9.1.图像法： (19)

9.2.代数换元法： (19)

9.3.反函数法： (20)

9.4.判别式法： (20)

9.5.单调性法： (21)

9.6.零点分段法： (21)

9.7.复合函数求值域： (21)

第五节函数的奇偶性 (22)

题型10、函数奇偶性的概念 (22)

题型11、判断函数的奇偶性 (23)

11.1.定义法： (23)

11.2.奇偶函数的四则运算法则： (23)

11.3.抽象函数奇偶性的判断： (24)

题型12、已知函数的奇偶性求参数的值 (25)

题型13、用函数的奇偶性求函数的解析式 (26)

题型14、局部含有奇偶函数的函数性质的利用 (27)

题型15、函数奇偶性性质的利用 (28)

15.1.确定函数的单调区间或最值: (28)

15.2.函数值大小的比较: (28)

15.3.解不等式: (29)

第六节函数的单调性 (30)

题型16、判断函数的单调性 (30)

16.1.图像法： (30)

16.2.定义法，一般用来判断抽象函数的单调性： (31)

16.3.复合函数的单调性： (31)

题型17、已知函数的单调性，求参数的取值范围 (32)

17.1.二次函数： (32)

17.2.分段函数： (32)

题型18、根据函数的单调性，解不等式，比较大小 (33)

18.1.比大小： (33)

18.2.解不等式： (33)

18.3.求值域，最值问题： (34)

第二章初等函数 (35)

第七节二次函数（补充） (35)

题型19、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系 (35)

题型20、一元二次方程实根分布及条件 (36)

题型21、二次函数“动轴定区间”问题 (36)

题型22、二次函数“定轴动区间”问题 (37)

题型23、与二次函数有关的恒成立问题 (37)

第八节指数与指数函数 (38)

题型24、指数式化简与求值 (38)

题型25：比较两个数的大小 (40)

题型26：指数方程与指数不等式 (42)

题型27：指数型函数的定义域和值域 (43)

题型28：指数型函数的单调性 (44)

题型29：指数函数图像变化，过定点的问题 (45)

第九节对数与对数函数 (46)

题型30：指数对数相互转换 (46)

题型31：对数化简与求值 (47)

题型32：对数式比较大小 (49)

题型33：对数方程和对数不等式 (50)

题型34：对数型函数的定义域和值域 (51)

题型35：对数型函数的单调性 (52)

题型36：对数型函数图像与过定点的问题 (53)

第十节幂函数 (54)

题型37：幂函数图像图像与性质 (54)

第三章函数与方程 (57)

第十一节函数与方程 (57)

题型38 函数的零点 (57)

第一章 集合与函数的概念

第一节 集合

题型1、集合的基本概念

知识点摘要：

? 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。

? 集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法。 ? 元素与集合的关系：属于和不属于。

? 常用数集的表示：R —实数集；Q —有理数集；Z —整数集；N —自然数集；N+或N*—正整数集。 ? 集合分类：①按元素个数分为有限集、无限集和空集；②按元素属性分为数集、点集和其他元素。

典型例题精讲精练：

1. 若},,0{},,1{2b a a a

b a +=，求20202020

b a +的值.

2. 已知集合，，且B A },,0{B },,,{A ==-=y x y x xy x 求实数x 与y 的值.

3. 设R b a ∈,,集合b}a

b {0a}b a {1，，，，=+,则=-a b （ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2

4. 集合},2,0{a A =，},1{2

a B =.若{}16,4,2,10，

=B A ，则a 的值为（ ） A ．0 B.1 C.2 D.4

5. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 集合中所含的元素的个数为（ ）

A.3

B.6

C.8

D.10

题型2、集合之间的基本关系

知识点摘要：

? 集合与集合之间的关系：①包含关系，②相等关系，③真子集关系。

? 规定：空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集；一个集合是它自己的子集。 ? 若集合有n 个元素，则该集合有n 2个子集，有12-n 个真子集，有22-n 个非空真子集。

典型例题精讲精练：

2.1.集合关系判断问题

1. 设集合},2

1

4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+=

=，则（ ） N M A =. N M B ?. N M C ?. ?=N M D .

2. 设集合?

??

???≤--=023|

x x x M ，集合N={}01)4(|≤-?-）（x x x ，则M 与N 的关系是（ ） A. M=N B.M ∈N C. N M ≠? D. N M ≠?

3. 已知{}x y R y M =∈=|， N={

}2

|m

x R x =∈，则下列关系中正确的是（ ）

A. N M ≠?

B. M=N

C. M ≠N

D. M N ≠?

4. 集合{}{}{}Z m m z z S Z l l y y P Z k k x x M ∈+==∈+==∈-==,16|,,13|,,23|之间的关系是

（ ）

A. M P S ≠?≠?

B. M P S ≠?=

C. M P S =≠?

D. M P S =≠?

2.2.已知集合间的关系，求参数的取值范围

5. 已知集合{}

1|2

==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ?,那么a 的值为 。

6. 设{}{}0|,21|<-=<<=a x x B x x A ，若B A ≠?，则a 的取值范围是 。

7. 已知{}{}31|,21|≤≤=<<+=x x B k x k x A ，且B A ?,求实数k 的取值范围。

8. 若集合{}

{}01|,06|2

=+==-+=mx x B x x x A ，且A B ?，求实数m 的值．

2.3.集合子集个数问题

9. 集合{

}

R a a x x x M ∈=+--=,023|2

2的子集的个数为 。

10. 满足{

}{}6,5,4,3,2,13,2,1??M 的集合M 的个数是 （ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

11. 定义集合的一种运算“*”满足：{

}B y A x y x xy B A ∈∈+==,),(|*ωω，若集合{}{}3,2,1,0==B A ，则B A *的子集的个数是（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

题型3、集合的运算

知识点摘要：

? 集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集。 ? 集合的运算常借助数轴和韦恩图等工具。 ? 集合的运算应注意集合元素属性的理解。

典型例题精讲精练：

3.1.集合元素属性的理解：

1. 已知集合(){}64|,=+=y x y x M ，(){}723|,=+=y x y x P ，则P M 等于（ ） A ．(1，2) B ．{1}∪{2} C ．{1，2}

D ．{(1，2)}

2. 设集合{}110,|-≤≤-∈=x Z x x A ，{}5||,|≤∈=x Z x x B ，则B A 中元素的个数为（ ） A ．11 B ．10 C ．16

D ．15

3. 设集合(){}13|,-==x y y x U ，()?

??

???=--=312|,x y y x A ，则A C U = 。

4. 设集合{

}04|2

=+=x x x A ，{

}

01)1(2|2

2=-+++=a x a x x B ，A∩B=B ， 求实数a 的范围．

5. 集合{

}019|2

2=-+-=a ax x x A ，{

}065|2

=+-=x x x B ，{

}

082|2

=-+=x x x C 。 （1）若A∩B ＝A ∪B ，求a 的值；

（2）若=??C A B A ，?，求a 的值．

3.2.数轴在集合运算中的应用：

6. 已知集合{}31|＜＜x x A -=，A∩B ＝?，A ∪B ＝R ，求集合B ．

7. 已知集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|x ＜a};若A B ，求实数a 的取值集合．

8. 设集合A={x|x ∈Z 且－10≤x≤－1}，B={x|x ∈Z 且|x|≤5 }，则A ∪B 中元素的个数为 （ ） A ．11 B ．10 C ．16 D ．15

9. 已知集合A=},0{>x x B=}21{<<-x x ，则A ∪B=（ ） A ．}1{->x x B. }2{

3.3.韦恩图在集合运算中的应用：

10. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径

比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人，只参加游泳一项比赛的有多少人？

11. 集合U 、S 、T 、F 的关系如图所示，下列关系错误的有_______. ①S U; ② F T; ③ S T; ④ S F; ⑤ S F; ⑥ F U. U S T F

第二节 函数的概念

题型4、判断函数是不是同一函数

知识点摘要：

? 两个函数的定义域和解析式都相同，那么这两个函数就相等。 典型例题精讲精练：

1. 下列函数中是同一函数的是（ ）

A ．2

lg )(x x f =与x x g lg 2)(= B ．x x f =)(与33)(x x g = C ．x x f =)(与||)(x x g = D ．x x f =)(与2)(x x g =

2. 下列各对函数中，相同的是（ ）

A ．2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= B. 1

1

lg

)(-+=x x x f 与)1lg()1lg()(--+=x x x g C ．u u u f -+=11)(与v

v

v g -+=11)( D ．x x f =)(与2)(x x g =

3. 下列函数中，与函数32x y -=相同的是（ ） A.x x y 2-= B.32x y -= C ．x

x y 2

2

-= D ．x x y 2--=

题型5、求函数的解析式

知识点摘要：

? 求函数的解析式，针对不同的题型，有换元法、配凑法、方程组法、待定系数法等几种方法。 典型例题精讲精练：

5.1.换元法：

1. 已知x

x x x x f 1

1)1(22++=+，求)(x f 的解析式。

2. 已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f 的解析式。

5.2.配凑法：

3. 已知2

2

1

)1(x x x

x f +=+ )0(>x ，求)(x f 的解析式。

5.3.待定系数法：

4. 已知二次函数)(x f 满足82)()1(0)0(++=+=x x f x f f ，，求)(x f 的解析式.

5. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

5.4.方程组法：

6. 设函数)(x f 满足)0()1(2)(≠=+x x x

f x f 求)(x f 函数解析式.

7. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)(2)(+=+-x x f x f ，求)(x f 的解析式。

8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1

)()(-=+x x g x f 试求)(x f 和)(x g 的解析式

5.5.特殊值法：

9. 设)(x f 是定义在R 上的函数，且满足1)0(=f 并且对任意的实数y x ,都有

)12()()(+--=-y x y x f y x f ，求)(x f 函数解析式.

10. 已知函数)(x f 的定义域为R ，并对一切实数y x ,都有)12()(3)()(2++++=-y x x y f x f y x f ，求

)(x f 的解析式。

5.6.根据函数的奇偶性求函数的解析式（对称性法）：

11. 已知是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，2

2)(x x x f -=，求)(x f 函数解析式.

12. 已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，求)(x f 的解析式。

第三节 函数的定义域

题型6、已知函数解析式，求函数的定义域

知识点摘要：

? 整式的定义域为R 。 ? 分式的分母不为0。

? 偶次根式的被开方数大于等于0。

? 对数的真数部分大于0，底数大于0且不等于1. ? 指数的底数大于0且不等于0. ? 0次幂或负指数次幂的底数不为0.

? 求复杂函数的定义域，就是求解构成复杂函数的几个简单函数的定义域的交集。 典型例题精讲精练：

1. 函数)13lg(13)(2

++-=x x

x x f 的定义域是 （ ）

A ．（∞-，31-）

B ．(31-，31）

C ．(31-，1）

D ．(3

1

-，∞+）

2. 函数)1lg(11

)(++-=

x x

x f 的定义域是（ ） A ．(-∞,-1) B ．(1,+∞) C ．(-1,1)∪(1,+∞) D ．R

3. 若函数)

12(log 1

)(2+=

x x f ，则)(x f 的定义域为（ ）

A.)0,21(-

B. )21(∞+-，

C.),0()0,21(+∞-

D.)2,2

1(-

4. 函数)

34(log 1

5.0-=

x y 的定义域为 （ ）

A.)14

3(，

B.)4

3(∞+，

C.)1

(∞+， D.)1()14

3(∞+，，

题型7、求抽象函数的定义域

知识点摘要：

? 求复合函数（抽象函数）定义域遵循两点： ①定义域是指自变量的取值范围；

②在同一对应法则f 下，括号内式子的范围是相同的。 典型例题精讲精练：

1. 若函数)(x f 的定义域为]2,2[-，则函数)(x f 的定义域是（ ） A ．[－4，4] B ．[－2，2] C ． [0，2] D ． [0，4]

2. 若函数)(x f 的定义域是]2,0[，则函数1

)

2()(-=

x x f x g 的定义域是（ ） A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1)

3. 已知函数)32(-x f 的定义域是)4,1(-，求函数)31(x f -的定义域。

4. 已知函数)(log 2x f 的定义域是]8,32

1

[，求函数)6(2-x f 的定义域。

5. 若函数)(x f 的定义域是]1,0[，则)2

10)(()(＜＜a a x f a x f -?+的定义域是 。

6. 已知1

1

)(+=x x f ，则函数))((x f f 的定义域是（ ） A ．{}1|-≠x x B ．{}2|-≠x x C ．{1|-≠x x 且}2

-≠x D ．{1|-≠x x 或}2-≠x

7. 若函数)(x f 的定义域为][b a ，，且0＞＞a b -，则函数)()()(x f x f x g --=的定义域是（ ）

A.][b a ，

B.][a b --，

C.][b b ，-

D.][a a -，

8. 已知函数)(x f 的定义域为]4,0[，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ）

A.]12[--，

B.]2,1[

C.]1,2[-

D.]2,1[-

第四节 函数的值域

题型8、求函数值，特别是分段函数求值

知识点摘要：

? 多层函数求值，由内到外。

? 分段函数求值，注意其区间不同，解析式不同。 典型例题精讲精练：

8.1、函数求值（基础）

1. 已知=-+=)3(,)1()(2

f x x f 则________________.

2. 已知.)1(),(),1(),1(,1)(的值分别求+-+=x f a f f f x x f

3. 已知函数,2)(2

x x x f -=分别.)2(),1(),1(),0(的值求++x f a f f f

4. 已知)2()2(,)(2

-++=f f x x x f 则为 （ ）

5. 已知值为时的求满足x x f x x f 2)(,1)(=-=________________.

8.2、多层函数求值

6. 已知为则)]1([,1)(f f x x f += （ ）

8.3、分段函数求值

7. 已知???=-<+>-=)3(0(,1)

0(,1)(f x x x x x f ，则）

____________.

8. 已知函数??

?

??>+=<-=,)0(,1)0(,0)0(,1)(22x x x x x x f

（1）当的值；时，求)(4x f x = （2）的值；时，求当x x f 4)(= （3）求.)]}2([{的值-f f f

9. 已知??

?

??=->-=<+=)]}1([{,)0(,1)0(,0)0(,1)(22f f f x x x x x x f 则____________.

10. 已知函数??

?

??<=>=)0(,0)0(,1)0(,)(2x x x x x f ，求)3(),2(-f f 的值.

11. 已知函数??

???≥<<-+-≤+=)3(,)33(,1)3(,2)(2

x x x x x x x f ，求))).1((()),4(()),2((f f f f f f f --

12. 函数??

???≥<<--≤+=)2(,2)21(,)1(,2)(2

x x x x x x x f 中，若x x f 求,3)(=的值.

13. 已知???=<-≥-=)]1([,)

1(,)1(,1)(f f x x x x x f 则（ ）

8.4、复合函数求值

14. 设）的值为则0(),()2(,32)(g x f x g x x f =++= （ ）

15. 已知2

)11(x x

f =+，求)5(f = 。

16. 已知???∈<+≥-=）

求3(),(,)

6(),2()

6(,5)(f N x x x f x x x f 的值.

17. 已知)(x f 与)(x g 分别由下表给出

那么=))3((g f _________________.

8.5、抽象函数求值

18. 已知的值求且函数满足)12(,2)4(,4)3(),()()(f f f b f a f ab f ==?=.

19. 已知函数.)()()(,)(成立都有对任意实数y f x f xy f y x x f += （1）求的值；与)1()0(f f

（2）若.)36(,()3(,)2(的值均为常数），求f b a b f a f ==

题型9、函数值域的求解

知识点摘要：

? 求函数的值域根据不同题型，方法有图像法、换元法、反x 法、判别式法、分离常数法、均值不等式

法、单调性法等。 典型例题精讲精练：

9.1.图像法：

1. 求下列函数的值域 ①)11(23≤≤-+=x x y

②）

（3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x

x y 1

+

=（记住图像） ④142+-=x x y ； ⑤]4,3[,142∈+-=x x x y ⑥]1,0[,142∈+-=x x x y ； ⑦]5,0[,142∈+-=x x x y ；

9.2.代数换元法：

2. 求函数x x y -+=12 的值域 。

3. 求函数x x y --=1的值域。

4. 求函数2

1

+-=x x y 的值域；

5. 求函数6

41

2+-=x x y 的值域 ；

6. 求函数1

33+=x x

y 的值域；

7. 求函数1

21

2+-=x x y 的值域；

9.4.判别式法：

8. 函数1

1

22+-=x x y 的值域；

9. 求函数3

425

2+-=x x y 的值域 ；