NO2利用导数研究函数的极值与最值习题课
2020版数学(理)人教A版新设计大一轮课件：第三章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当 a>0 时，当 x∈0，1a时，f′(x)>0， 当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0，故函数在 x＝1a处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当 a>0 时，函数 y＝f(x)有一个极大值点，且为 x＝1a.
解 (1)当 a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝1x－12＝2
令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
ln 2－1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
当 0<v<103 2时，y′<0，函数单调递减；
当 v>103 2时，y′>0，函数单调递增.
若 c<103 2 ，函数在(c，103 2)上单调递减，在(103 2，15)上单调递增， ∴当 v＝103 2时，总用氧量最少. 若 c≥103 2，则 y 在[c，15]上单调递增， ∴当v＝c时，这时总用氧量最少.
综上可知，a 的取值范围是12，＋∞.
考点二 利用导数求函数的最值 【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
导数与极值、最值练习题
三、知识新授(一)函数极值的概念(二)函数极值的求法：(1)考虑函数的定义域并求f'(x)；(2)解方程f'(x)=0,得方程的根方(可能不止一个)(3)如果在x 0附近的左侧/«)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x 0)是 极大值；反之，那么f(x 0)是极大值题型一 图像问题(第二题图)B.有三个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 导函数f (x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在 开区间(a ,b )内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、若函数f (x ) = x 2+bx + c 的图象的顶点在第四象限，则函数f (x )的图象可能为()1、函数f (x )的导函数图象如下图所示， 则函数f (x )在图示区间上(4、设f (x )是函数f (x )的导函数 y = )的图象如下图所示，则y = f (x )的图象可能是(， A. B. C. D.A.无极大值点，有四个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点 2、函数f (x )的定义域为开区间(a , b ),) 7、6、8、如图所示是函数y = f (x)的导函数y = f(x)图象，则下列哪一个判断可能是正确的()A.在区间(一2,0)内y = f (x)为增函数B.在区间(0，3)内y = f (x)为减函数C.在区间(4 ,+8)内y = f (x)为增函数D.当x=2时y = f (x)有极小值9、如果函数y = f (x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断:①函数y = f (x)在区间卜3 , - 1］内单调递增;I 2)②函数y = f (x)在区间［-1,3］内单调递减；I 2)③函数y = f (x)在区间(4,5)内单调递增；④当x-2时，函数y = f (x)有极小值；⑤当x = -1时，函数y = f (x)有极大值；2则上述判断中正确的是__________ ．ABC11、己知函数f^x^=ax3+bx 2 + c，其导数f(x)的图象如图所示，则函数f G)的极小值是(A．a + b + c B．8a + 4b + c C．3a + 2b D．c题型二 极值求法1求下列函数的极值(1)f(x)=x 3-3x 2-9x+5;2、设a 为实数，函数y=e x -2x+2a,求y 的单调区间与极值3、设函数 f(x)=--x 3+x 2+(m 2-1)x,其中 m>0。
新高考数学二轮复习利用导数研究函数的极值、最值
令h(x)＝sin x－x，0＜x＜1，则h′(x)＝cos x－1＜0在区间(0，1)上恒成 立，所以h(x)在区间(0，1)上单调递减，所以h(x)＜h(0)＝0，即当0＜x ＜1时，sin x＜x. 综上，当0＜x＜1时，x－x2＜sin x＜x.
(2)已知函数f(x)＝cos ax－ln (1－x2)，若x＝0是f(x)的极大值点，求a的取 值范围．
(2)[解] 易知 f(x)的定义域为(－1，1)，f(x)为偶函数， f′(x)＝－a sin ax＋1－2xx2，易知 f′(x)是(－1，1)上的奇函数．
2＋2x2 令 F(x)＝f′(x)，则 F′(x)＝(1－x2)2－a2cos ax， 显然 F′(x)在(－1，1)上是偶函数，F′(0)＝2－a2.
x1＋x2＝ba＞0，
∴x1x2＝－2ac＞0， Δ＝b2＋8ac＞0，
∴ab＞0，ac＜0，b2＋8ac＞0，bc＜0.
例2 (2023·新高考Ⅱ卷)(1)证明：当0<x<1时，x－x2＜sin x＜x；
(1)[证明] 令g(x)＝x－x2－sin x，0＜x＜1，则g′(x)＝1－2x－cos x．令 G(x)＝g′(x)，得G′(x)＝－2＋sin x＜0在区间(0，1)上恒成立，所以g′(x)在 区间(0，1)上单调递减．因为g′(0)＝0，所以g′(x)＜0在区间(0，1)上恒成 立，所以g(x)在区间(0，1)上单调递减，所以g(x)＜g(0)＝0，即当0＜x＜ 1时，x－x2＜sin x.
所以当 2a>e，即 a>2e时，
g(x)＝exx，y＝2a 的图象在 y 轴右侧有两个不同的交点，
所以函数 f(x)＝ex－ax2 在区间(0，＋∞)上有两个极值点 x1，x2(0<x1<x2)
高三数学人教版一轮课件：第二篇第11节 第二课时 利用导数研究函数的极值与最值
跟踪训练1:导学号 38486064 (2017·河南开封质检)已知函数f(x)=x2eax,其 中a≤0,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性;
解:(1)f′(x)=x(ax+2)eax. ①当a=0时,f(x)=x2,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
考点三 利用导数研究生活中的优化问题
【例6】 (2017·大同质检)如图,在半径为10 3 的半圆形(O为圆心)铁皮上截 取一块矩形材料ABCD,其中A,B在直径上,C,D在圆周上,将所截得的矩形铁皮
ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁与拼接损耗),记圆柱
形罐子的体积为V,设AD=x,则Vmax=
(C)(0,1) (D)(0,3)
解析:(2)因为 f(x)=ln x+ 1 ax2-2x,所以 f′(x)= 1 +ax-2= ax2 2x 1 .
2
x
x
因为 f(x)有两个极值点,所以 f′(x)=0 有两个不相等的正实数根,所以 ax2-2x+1=0 有
a 0,
两个不相等的正实数根,设为
.
解析:设圆柱形罐子的底面半径为 r,则由题意得 AB=2 10 3 2 x2 =2πr,
所以 r= 300 x2 ,所以 V=πr2x=π( 300 x2 )2x
π
π
= 1 (-x3+300x)(0<x<10 3 ),故 V′=- 3 (x2-100)
π
π
=- 3 (x+10)(x-10)(0<x<10 3 ). π
反思归纳 函数解析式中含参数的函数极值,需分类讨论,分类讨论标准主要 有以下方面: (1)f′(x)=0的根是否存在; (2)f′(x)=0根的大小; (3)f′(x)=0的根与定义域的关系等.
【数学】1.3.2《利用导数研究函数的极值》课件1(新人教B版选修2-2)
) 图 ,它 在 , ] 有 大 、 y =f(x 的 象 们 [ab上 最 值 最
一般地, 如果在区间[a, b]上函数 y = f ( x )的 图象是一条连 续 不断的曲线 , 那么它必有 最大值和最小值 .
中的例子, 不难看出, 只要把函数 y = f ( x )的 所有极值 连同端点的函数值进行比较, 就 可以求出函数的最大值与最小值 .
2
一般地, 求函数y = f ( x )在[a, b]上的最 大值与最小值的步骤如下 :
(1)求函数 y = f (x )在 (a, b )内的极值 ;
(2) 将函数y = f (x )的各极值与端点处 的函数值 f (a )、f (b )比较, 其中最大的
一个是最大值, 最小的一个是最小值.
利用信息技术探究函数f ( x ) = ax 3 + bx + cx + d的性质.
结合图1.3 − 14、图1.3 − 15,以及函数极值
1 3 [0 ] 的 大 5 x 例 求 数 x) = x −4 +4在 ,3上 最 值 函 f( 3 y 与 小. 最 值
解 由 4 知 [03 上 x 例可 ,在 , ] ,当 1 3 =2 ,f(x) = x −4 +4有 时 x 极 3 4 小 ,并 极 值 f(2 =− . 值 且 小 为 ) 3 又 于(0 =4f(3 =1 则 f ) , ) ,
1.3.2利用导数研究函数的极值
我们知道, 极值反映的是函数在某一点附近 的局部性质 , 而不是函数在整个定域内的性 质 .也就是说 , 如果 x0是函数 y = f ( x )的极大
(小) 值点, 那么在 x0 附近找不到比 f (x0 )更大 (更小)的值.但是, 在解决实际问题或研究函
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数，当时，函数有极值－．求函数的解析式．【答案】【解析】(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值．求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(3)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．试题解析：解：由题意可知于是，，解得经检验符合题意，因此函数的解析式为．【考点】函数的导数与极值．2.已知函数，其中。
（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。
【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2）【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得极值点，把极值点代入原函数得极值。
（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。
试题解析：解：（1）当时，。
2分令，得或。
所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。
4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。
8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。
10分当时，。
在区间上是减函数，在区间上，是增函数。
12分所以，在区间上的最小值为， 13分。
14分综上，函数在区间上的最小值为。
【考点】导数在求极值及最值中的应用；3.已知函数在处有极大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．试题解析：（Ⅰ），或，当时，函数在处取得极小值，舍去；当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，即，∴．令，则，由得，．函数的单调性如下：↗极大值↘极小值↗∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，即在时恒成立，令，则，由得，．∵，，，，∴在上的最小值是，．（12分）【考点】等比关系的确定；利用导数研究函数的极值．4.已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．【答案】（1）（2）在上的最小值为【解析】（1）由，又知在处取得极值，，即可解得的值.（2）由（1）可得，即可求得函数在处有极大值，再由，可得，，再利用单调性易判断在上的最小值为.试题解析：（1）∵，∴又∵在处取得极值，∴且，即且，解得：.（2）由（1）得：，，令，解得：，极大值极小值∴函数在处有极大值，且，∴，此时，，在上的最小值为.【考点】利用函数极值求参数；利用导数求函数最值.5.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】由导函数的图像知，的图像先增后减再增再减，故只有一个极小值点，故选A.【考点】函数导数与极值的关系7.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值8.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．个C．个D．个【答案】A【解析】设导函数在内的图像与轴的交点(自左向右)分别为，其中，则由导函数的图像可得:当时，，时，且，所以是函数的极大值点；当时，，时，且，所以是函数的极小值点；当或时，，故不是函数的极值点；当时，，而当时，，且，所以是函数的极大值点；综上可知，函数在开区间内有极小值点只有1个，故选A．【考点】1．函数的图像；2．函数的导数与极值．10.已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值．【答案】在处取得极大值，在处取得极小值．【解析】先求出导函数，进而根据条件得出，列出方程组，从中解出的值，进而根据函数的极值与导数的关系求解出函数的极大值与极小值即可．试题解析：因为，所以因为函数在处取得极值所以即∴，令，得或当变化时，与的变化情况如下表：1+0—+∴在处取得极大值，在处取得极小值．【考点】函数的极值与导数．11.求函数的极值【答案】，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【解析】求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.试题解析：根据题意可知函数定义域为，因为，所以，令，可得，当变化时，有下表-↗↗由上表可知，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【考点】导数法求极值.12.已知在与处都取得极值.（1）求，的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得、，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据条件，可得，由在与处都取得极值，可知，故可建立关于的二元一次方程组，从而解得，此时，需要代回检验是否确实是的极值点，经检验符合题意，从而；（2）由（1）可得由（1）知：函数在上递减，∴，因此问题就等价于求使当时，恒成立的的取值范围，而二次函数图像的对称轴是，因此需对的取值作出以下三种情况的分类讨论：①：；②：；③，分别用含的代数式表示上述三种情况下的最小值表示出来，从而可以建立关于的不等式，进而求得的取值范围为.试题解析：（1）∵，∴. 1分∵在与处都取得极值，∴，∴ 4分经检验，当时，，∴函数在与处都取得极值，∴ 6分；（2）由（1）知：函数在上递减，∴ 8分，又∵函数图象的对称轴是，①：当时：，显然有成立，∴.②：当时：，∴，解得：，又∵，∴.③：当时：，∴，∴，又，∴综上所述： 12分，∴实数的取值范围为 13分.【考点】1.导数的运用；2.二次函数与恒成立问题.13.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.14.若函数有极值点，且，若关于的方程的不同实数根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，因为函数有极值点，则是方程的两根。
完整版)导数与极值、最值练习题
完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。
二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。
题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。
利用导数求解函数的极值与最值
利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。
在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。
本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。
一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。
具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。
1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。
二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。
例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。
步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。
解得x = 1或x = 3。
步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。
当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。
根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。
三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。
通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。
例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。
步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。
步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。
【数学】1.3.2《利用导数研究函数的极值》课件2(新人教B版选修2-2)
下 分 种 况 论 面 两 情 讨 :
'
(1当 (x) >0即 >2或 <− 时 ) f , x , x 2 ; (2)当' (x) <0即 2<x<2时 f , − . 当变 时 ' (x),f(x)的 化 况 下 : x 化 ,f 变 情 如 表 x (− ∞,−2) − 2 (− 2,2) 2 (2,+∞ ) f ' (x ) + 0 0 − + 28 4 f (x ) 单调递增 单调递减 − 单调递增
我们把点 a叫做函数 y = f (x )的极小值点 , f (a )叫做函数 y = f (x ) 的极 值 小 ; 点b叫做函数 y = f (x ) 的极大值点 , f (b )叫做 函数y = f (x )的极 值 大 ;
y
y = f (x )
a
o b
x
图1.3 − 10
极小值点、 极小值点、极大值点统 称为极 点.极大值和 值 极小值统称极 (extreme value ). 值
3 3
因此,当x = −2时, f (x )有极大 28 值, 并且极大值为f (− 2) = ; 3 当x = 2时, f (x )有极小值, 并且 [
y
1 3 f (x ) = x − 4 x + 4 3
o
−2
2
x
极小值为f (2) = − . 图1.3 − 12 3 1 3 函数f (x ) = x − 4 x + 4的图象如图1.3 − 12所示. 3
极 值 定 于 小吗 大 一 大 极 极?
果 用 数 方 出 述 数 极 值 ?试 试 较 下 有 么 会 吗 一! 比 一 ,你 什 体 ?
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1
2015级数学选修1-1教学案
命题：张宏 审题：宋申清 时间：2017-2-8
利用导数研究函数的极值与最值
班级 姓名 学号
【精讲点拨】
例1.（1）若函数)11(1)(xxaxxf在1x处取得极值,则实数a的值为 .
（2）函数2()3lnfxxxx在x 处取得极大值．
（3）已知a函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a=（ ）
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
变式1：已知函数xxaxfln)(，曲线)(xf在点（e，)(ef）处的切线与直线02eyxe垂
直（其中e为自然对数的底数）.
（Ⅰ）若)(xf在（m，1m）上存在极值，求实数m的取值范围；
NO.2
2
例2、已知函数()1xafxxe(aR,e为自然对数的底数).
(1)若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求函数()fx的极值;
变式2：已知函数2()()4xfxeaxbxx,曲线()yfx在点(0,(0))f处切线方程为
44yx
.
(Ⅰ)求,ab的值;
(Ⅱ)讨论()fx的单调性,并求()fx的极大值.
3
例3：已知函数()lnfxaxbx（其中abR，）表示的曲线在点(2(2))f，处的切线方程为
22ln20xy
．
（Ⅰ）求ab，的值；
（Ⅱ）若()2fxkx≥对于(0)x，恒成立，求实数k的取值范围；
【巩固练习】
1．已知函数()(ln)fxxxax有两个极值点,则实数a的取值范围是（ ）
A．(,0) B．1(0,)2 C．(0,1) D．(0,)
2.设函数)(xf的定义域为R,)0(00xx是)(xf的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）
A．)()(,0xfxfRx B．0x是)(xf的极小值点
C．0x是)(xf的极小值点 D．0x是)(xf的极小值点
3、函数xyxe在其极值点处的切线方程为____________
4
4、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函
数的图像是
5、已知函数0ln1axaxxxf.（1）若函数 xf在,1上为增函数，求正实数a的
取值范围。 （2）当1a时，求xf在2,21上的最大值和最小值。
A
D
C
B