2014年嘉兴高中数学说题比赛课件嘉一中姚丽芳

一个切入点：数量积运算的方法
三种解题思路：向量法、几何法、坐标法
五种解法：排除法（特殊值）、定义法、基底法、 坐标法、几何法
二、说解法
思路 1：作为选择题，可用特殊值排除法
解：取 ABC 为等腰直角三角形，满足
y C
A(2,0), B(2,0), C(0, 2), P0 (1,0) ．
对于 AB 上任一点 P(t , 0) ，有
A P H P0 B
，
C
Q
三、说背景
2．说知识与方法的背景
此题考查平面向量的数量积运算，考查了学生的基础知识和基本技能，同时 注重数学思想方法的考查．通过转化与化归思想、数形结合等将向量的数量积问 题转化到向量法、几何法、坐标法三大解题思路上去． 本题的背景与 2013 年浙江省高中数学竞赛第 5 题的背景非常相似 2013 年浙江省高中数学竞赛试题第 5 题： 已知直线 AB 与抛物线 y 2 4 x 交于点 A, B , 点 M 为 AB 的中点， C 为抛物线 上一个动点， 若 C0 满足 C0 A C0 B min{CA CB} ， 则下列一定成立的是 （ B ）
二、说解法
思路 2：定义法
解： 设 AB 4 ， 则 P0 B 1 ， 如图过点 C 作线段 AB 的垂线， 垂足为 H ， 设 HP 0 t,
PB PC PB PC cos CPB PB ( PB t 1) ，
P0 B P0C P0 H P0 B t ，
P
H
P0
B
二、说解法
思路 4：坐标法
解：如图建系， 设 AB 4 ， c(a, b) ， P( x, 0) x ，则 BP 0 1 , A(2,0), B(2,0), P 0 (1,0) ， 所以 P (a 1, b) ， 0 B (1,0), PB (2 x,0), PC (a x, b), PC 0 因为恒有 PB PC P 0 B PC 0 ， 所以 (2 x)(a x) a 1 恒成立， 整理可得 x (a 2) x a 1 0 恒成立，
x
二、说解法
思路 5：几何法（极化恒等式）
解：取 BC 的中点 Q ，由极化恒等式得：
2 2 PB PC 2 PB PC 2 1 PB PC ( ) ( ) PQ CB ， 2 2 4
C
Q
同理可得 P0 B P0C P0Q
2
2 1 CB ， 4
因为 PB PC P 0 B PC 0 恒成立， 即 PQ P0Q 恒成立，即 PQ P0Q ， 所以 P 0Q AB ． 取 AB 的中点 H ，则 CH AB ， 所以 AC BC ，选 D ．
C
于是由 PB PC P 恒成立知， 0 B PC 0
PB ( PB t 1) t 恒成立，
整理后得 PB (t 1) PB t 0 恒成立， 只需 (t 1)2 4t 0 即可，也即 t 1 ， 因此， HB 2 ，即得 AC BC ，选 D ．
2
y C
A
2 2 所以 (a 2) 4(a 1) 0 ，即 a 0 ，
P O
P0
B
x
所 以 a 0 ， 即 C 在 AB 的 垂 直 平 分 线 上 ， 所 以 A C B C， 故 ABC 为等腰三角形，故选 D ．
二、说解法
思路 4：坐标法
或者表示成：
解：设 PB AB (0 1) ．因为 P0 B 因为 PB PC P 0 B PC 0 恒成立， 则①对任意的 [0,1] 恒成立即可，即
C
1 1 ( AB BC ) 2 4( AB) 2 [ ( AB) 2 AB BC ] 0 ． 16 4 1 A 化简得 BC cos B AB ， 2 即知 C 在线段 AB 上的投影为 AB 的中点，故 AC BC ，选 D ．
PB PC (2 x,0) (a x, b) x2 (a 2) x 2a
，当 x
2a 时， 0C 最小，
2a ，此时 a 0 ， 2 所以 AC BC ，故选 D ．
所以 1
A
P O
P0
B
2 2
A
P
H
P0
B
三、说背景
1. 说题目与问题的背景
本题以三角形中向量数量积的最小值问题为背景，要求判断三角形的形状． 此题与 2005 年浙江省数学高考理科试题： 已知向量 a e, e 1 ，对任意 t R ，恒有 a te a e ，则（ C ）
A.a e
C.a (a e)
嘉兴一中
姚丽芳
一、说题目
题目：设 ABC ， P 0B 0 是边 AB 上一定点,满足 P 一点 P ,恒有 PB PC P 0 B PC 0 ．则
1 AB ,且对于边 AB 上任 4
（ ）
A.ABC 90 C. AB AC
B.BAC 90 D. AC BC
A P H P0 B
2
二、说解法
思路 3：基底法
1 AB ． 4 1 1 由 PB PC P 知， AB ( AB BC ) AB ( AB BC ) ， B PC 0 0 4 4 1 1 2 2 ( AB) 2 AB BC 0 ①． 整理得 ( AB) ( AB BC ) 16 4
B.a (a te) D.(a e) (a e)
O a
A a-te a-e e B te P
具有相同的几何实质．
三、说背景
1. 说题目与问题的背景
若记 BP ， 则 e 1． 又记 BQ a ， 则B P e t 0 e 得 PQ a te, PQ a e ， 0 因此解法五中式子 PQ P0Q 恒成立， 正是 2005 年这道高考题的条件 a te a e 对任 意 t R 恒成立．
A O
P0
B
x
P (1,0) (1,2) 1， 0 B PC 0
PB PC (2 t ,0) (t, 2) t (t 2) (t 1)2 1 1 ．
可见，等腰直角 ABC 中恒有 PB PC P 0 B PC 0 ， 这就否定了选项 A, B, C, 故选 D ．