新课标最新北师大版2018-2019学年高二数学(理)上学期期中考试模拟试题及答案解析
北京市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
北京市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )A．30° B．60° C．120°D．150°2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交3．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是( )A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=04．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E6．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣7．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．38．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( ) A．B．C．4πD．9．已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N的坐标是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（2，3）C．（2，1）D．（﹣2，1）10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6块B．7块C．8块D．9块12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是__________．14．△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），则BC边上的高所在的直线的一般式方程是__________．15．经过两直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________．16．直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是___________17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件__________时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可．）．18．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是__________．三、解答题（共3小题，满分40分）19．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．21．（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．北京市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线（a为实常数）的斜率为﹣令直线（a为实常数）的倾斜角为θ则tanθ=﹣解得θ=150°故选D【点评】本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选D．【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握．3．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是( )A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0【考点】直线的一般式方程；两条平行直线间的距离．【专题】计算题；待定系数法．【分析】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，解方程求出c值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，c=﹣11，或 c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y﹣11=0，或 3x﹣4y+9=0，故选 B．【点评】本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．4．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积．【解答】解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=，故选A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；综合法．【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．6．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，当m=﹣2时，两直线重合．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】常规题型．【分析】根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．【解答】解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A【点评】此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解．考查学生的空间想象能力．8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( ) A．B．C．4πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．9．已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N的坐标是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（2，3）C．（2，1）D．（﹣2，1）【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据点N在直线x﹣y+1=0上，设点N坐标为（x0，x0+1），利用经过两点的斜率公式，得到直线MN 的斜率关于x0的表达式，最后根据直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，得到两直线斜率乘积等于﹣1，建立等式并解之可得点N的坐标．【解答】解：∵点N在直线x﹣y+1=0上∴可设点N坐标为（x0，x0+1）根据经过两点的直线的斜率公式，可得=∵直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，而直线x+2y﹣3=0的斜率为∴⇒=2⇒x0=2因此，点N的坐标是（2，3）故选B【点评】本题借助于直线与垂直，求点的坐标为例，着重考查了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点，属于基础题．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6块B．7块C．8块D．9块【考点】简单组合体的结构特征．【专题】计算题．【分析】由俯视图易得最底层正方体的个数，由主视图和左视图找到其余层数里正方体的个数相加即可．【解答】解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，结合正视图和侧视图可得：第1摞共有3个小正方体；第2摞共有1个小正方体；第3摞共有1个小正方体；第4摞共有2个小正方体；故搭成该几何体的小正方体木块有7块，故选B．【点评】用到的知识点为：俯视图决定底层立方块的个数，三视图的顺序分别为：主视图，左视图，俯视图．12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】证明题．【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB 与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．【解答】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD BD⊥面AEC∴BD⊥AC设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．∴AC=a∴△ACD∠ABD为AB与面BCD所成的角为45以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．cos＜，＞==∴＜，＞=60°，故④正确．故选C【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是x+2y﹣5=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．【解答】解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程得，1+4+m=0，m=﹣5，故所求的直线方程为 x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0 是解题的关键．14．△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），则BC边上的高所在的直线的一般式方程是2x﹣y+21=0．【考点】直线的点斜式方程；待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；定义法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：∵△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），∴k BC==﹣，∴BC边上高AD所在直线斜率k=2，又过A（﹣8，5）点，∴BC边上的高AD所在的直线AD：y﹣5=2（x+8），即2x﹣y+21=0．故答案为：2x﹣y+21=0【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法，利用定义法是解决本题的关键．15．经过两直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0．【考点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；分类法；直线与圆．【分析】联解两条直线的方程，得到它们的交点坐标（﹣3，﹣1）．再根据直线是否经过原点，分两种情况加以讨论，即可算出符合题意的两条直线方程．【解答】解：由解得∴直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点坐标为（3，﹣2）①所求直线经过原点时，满足条件方程设为y=kx，可得3k=﹣2，解得k=﹣，此时直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0；②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x+y=a，可得3﹣2=a，解之得a=1，此时直线方程为x+y﹣1=0综上所述，所求的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0．【点评】本题给出经过两条直线，求经过两条直线的交点且在轴上截距相等的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．16．直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是_ 【考点】直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线方程求得直线所过定点P，然后求得PA，PB的斜率得答案．【解答】解：由y=k（x+1）+3，得直线y=k（x+1）+3过定点P（﹣1，3），∵A（2，﹣5），B（4，﹣2），∴k PA=﹣，k PB=﹣1．∴满足直线y=k（x+1）+3与线段AB有公共点的k的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了直线系方程，考查了数学结合的解题思想方法，是基础题．17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件ABCD是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可．）．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】开放型．【分析】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD∥B1D1，故只需AC⊥BD，则AC⊥B1D1，即只要底面四边形ABCD的对角线相互垂直就行了，比如：菱形、正方形、或者任意一个对角线相互垂直的四边形，只要填一个答案即可．【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BD∥B1D1，∴若AC⊥BD，则AC⊥B1D1∴当底面ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形时，AC⊥B1D1故答案为：ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．18．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．【解答】解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN= a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN= a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠MQN为二面角α﹣AB﹣β的平面角，通过解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解题过程为：作∠MQN→证∠MQN是二面角的平面角→计算∠MQN，简记为“作、证、算”．三、解答题（共3小题，满分40分）19．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x﹣2y﹣1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；（Ⅱ）分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】欲证SC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证SC与平面EBD内一直线平行，取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO．根据中位线可知OE∥SC，而SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，满足定理所需条件．【解答】答：点E的位置是棱SA的中点．证明：取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC．∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD．故E的位置为棱SA的中点．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，应熟练记忆直线与平面平行的判定定理，属于探索性问题．21．（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题．【分析】（1）由题设条四棱锥S﹣ABCD的体积： V==，由此能求出结果．（2）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能够证明面SAB⊥面SBC．（3）连接AC，知∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V====．（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵BC⊂面SBC∴面SAB⊥面SBC．（3）解：连接AC，∵SA⊥面ABCD，∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．在三角形SCA中，∵SA=1，AC=，∴．…10分【点评】本题考查棱锥的体积的求法，面面垂直的证明和直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高二数学(文)上学期期中考试模拟试题1及答案解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五高二文科上学期期中试题时 间：120分钟 满分： 150分一、选择题（每题5分，共计50分）1、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．②④B ．①③C ．③④D ．①②2、在空间，下列命题正确的是（ ） A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行3、如右图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A.BD ∥平面CB 1D 1 B.1AC ⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与1CB 所成的角为60°4、已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0D ．25、若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2D ．16、正三棱锥S －ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( ) A.90B.60C.45D.307、如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面于A ，点C 是圆上的任意一点，图中有（ ）对平面与平面垂直. A ．1 B ．2 C ．3 D ． 48、点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线PA 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则PCBA四边形PAOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．49、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )A.点P 到平面QEF 的距离B.直线PQ 与平面PEF 所成的角C.三棱锥QEF P -的体积D.Q ∆EF 的面积10、三棱锥P ABC -中，ABC ∆是底面，,PA PB ⊥,PA PC ⊥,PB PC ⊥且这四个顶点都在半径为2的球面上，2,PA PB =则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ ） A. 16 B. 4705C. 1705D.32二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11、与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是______________________．12、圆心在直线x-2y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为2 ,则圆C 的标准方程为 . 13、某几何体的三视图如右图所示,它的体积为_______.14、相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为__________. 15、对于曲线()()22222n m y m x C =-+-:, 下列结论正确的为_________. (1) 当1=m 时, 曲线C 表示圆心为(1,2), 半径为22n 的圆;(2) 当0=m , 2=n 时, 过点(3,3)向曲线C 作切线, 切点为A, B , 则直线AB 方程为0233=-+y x ; (3) 当1=m , 2=n 时, 过点(2,0)向曲线C 作切线, 则切线方程为()243--=x y ; (4) 当0≠=m n 时, 曲线C 表示圆心在直线x y 2=上的圆系, 且这些圆的公切线方程为x y =或x y 7=;(5)当4,0n m ==时,直线120kx y k -+-=()k R ∈与曲线C 表示的圆相离.二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上16、如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且AB=AD ，BC=DC ． （1）求证：//BD 平面EFGH ； （2）求证：四边形EFGH 是矩形．17、已知直线l : (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．18、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知2AB =，2VA VB VC ===．（1）求证：AC⊥平面VOD；的体积. （2）求三棱锥C ABVαβD CPBA19、如图，已知二面角α—AB —β的大小为120º，PC ⊥α于C ，PD ⊥β于D ，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （2）求点P 到直线AB 的距离．20、已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ． (1)若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．AEDCBCA 1D E B21、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E 分别是AC,AB 上的点,且DE ∥BC,DE=4,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C ⊥CD,如图2. (1)求证:A 1C ⊥平面BCDE;(2)过点E 作截面EFH //平面1ACD ,分别交CB 于F, 1A B 于H,求截面EFH 的面积; (3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 成060的角?说明理由.一、选择题（每题5分，共计50分）1、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）AA ．②④B ．①③C ．①④D ．①② 2、在空间，下列命题正确的是（ ）D A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行3、如右图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ）D A.BD ∥平面CB 1D 1 B.1AC ⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与1CB 所成的角为60°4、已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[解析] 因为l 的斜率为tan135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a ＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.5、若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 的值是( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．1解析：当方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆时，a ≠0. ∴方程可转化为x 2＋a ＋2a 2y 2＋2a x ＋1a＝0.∴若方程表示圆， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a 2＝1，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a ＞0，得⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝2，a ＜1且a ≠0，即a ＝－1时表示圆．答案：A 6、正三棱锥S －ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于( )CA.90B.60C. 45D.30①正方体②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 P CA7、如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面于A ，点C 是圆上的任意一点， 图中有（ ）对平面与平面垂直.C A ．1 B ．2 C ．3 D ． 48、点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线PA 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形PAOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形PAOB 的面积S ＝2×12|PA |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．此时OP= ，C9、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )BA.点P 到平面QEF 的距离B.直线PQ 与平面PEF 所成的角C.三棱锥QEF P -的体积D.Q ∆EF 的面积【解析】试题分析：根据线面平行的性质可以判断A 答案是定值；根据线面角的定义，可判断B 答案不是定值；根据等底同高的三角形面积相等及A 的结论结合棱锥的体积公式，可以判断C 答案是定值；根据三角形的面积公式可以判断D 答案是定值，进而得到答案B.10、三棱锥P ABC -中，ABC ∆是底面，,PA PB ⊥,PA PC ⊥,PB PC ⊥且这四个顶点都在半径为2的球面上，2,PA PB =则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ ）BA. 16B. 4705C. 1705D.32二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上11、与直线7x ＋24y ＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________．[解析] 设所求直线为7x ＋24y ＋m ＝0. 把直线7x ＋24y ＝5整理为一般式得7x ＋24y －5＝0. 由两平行直线间的距离公式得：|m ＋5|72＋242＝3，解得m ＝70或－80，故所求直线方程为7x ＋24y ＋70＝0或7x ＋24y －80＝0.12、圆心在直线x-2y=0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为2,则圆C 的标准方程为 . 答案 (x-2)2+(y-1)2=413、某几何体的三视图如图1所示,它的体积为_______.57π14、相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为__________.A BCD FGEH 15、对于曲线()()22222n m y m x C =-+-:, 有以下五个结论: (1) 当1=m 时, 曲线C 表示圆心为(1,2), 半径为22n 的圆; (2) 当0=m , 2=n 时, 过点(3,3)向曲线C 作切线, 切点为A, B , 则直线AB 方程为0233=-+y x ; (3) 当1=m ,2=n 时, 过点(2,0)向曲线C 作切线, 则切线方程为()243--=x y ; (4) 当0≠=m n 时, 曲线C 表示圆心在直线x y 2=上的圆系, 且这些圆的公切线方程为x y =或x y 7=; (5)当4,0n m ==时,直线120kx y k -+-=()k R ∈与曲线C 表示的圆相离. 以上正确结论的序号为__________.②，④二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上16、如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且AB=AD ，BC=DC ．（1）求证：//BD 平面EFGH ； （2）求证：四边形EFGH 是矩形． 证明：（1）∵E ，H 分别为AB ， DA 的中点．∴EH ∥BD ，又BD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH,∴//BD 平面EFGH ；……4分(2)取BD 中点O ，连续OA ，OC ．∵ AB=AD ，BC=DC ．∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， 又AO ∩CO=0．∴BD ⊥平面AOC ．∴BD ⊥AC ． ……7分∵E ，F ，G ，H 为AB ，BC ，CD ，DA 的中点． ∴EH ∥BD ，且EH=21BD ；FG ∥BD ，且FG=21BD ，EF ∥AC ． ∴EH ∥FG ，且EH=FG ．∴四边形EFGH 是平行四边形．……10分由（2）可知AC ⊥BD ，又EF ∥AC ，EH ∥BD ．∴EF ⊥EH ．∴四边形EFGH 为矩形． ……12分17、已知直线l :(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 【解析】：（1）因为直线l:kx-y+1+2k=0(K ∈R)⇔ y-1=k(x+2)，所以直线l 过定点(-2,1)； (2) 由于直线l 恒过定点（-2，1），画出图形，知要使直线l 不经过第四象限必须且只需0≥k ，故k ∈[0, ∞+)；αβD CPBAβαABPCD E（3）由直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B 知：k>0,由直线l:kx-y+1+2k=0中，令,120kx y --=⇒=则)0,12(kA --，再令120+=⇒=k y x ，则)12,0(+k B ，所以有： ()2212k 11441111(44)842222k k s k k k k +++=⋅=⋅=++≥⨯=（（当且仅当 21=k 时，此时l 方程为：x-2y+4=0.18、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知2AB =，2VA VB VC ===． （1）求证：AC ⊥平面VOD ；（2）VD 与平面ABC 所成角的正弦值； （3）求三棱锥C ABV -的体积.（2）由（1）知VO 是棱锥V ABC -的高，且223VO VA AO =-=．又∵点C 是弧的中点，∴CO AB ⊥，且1,2CO AB ==， ∴三角形ABC 的面积1121122ABC S AB CO ∆=⋅=⨯⨯=， ∴棱锥V ABC -的体积为11313333V ABC ABC V S VO -∆=⋅=⨯⨯=故棱锥C ABV -的体积为33． 12分 19、如图，已知二面角α—AB —β的大小为120º，PC ⊥α于C ，PD ⊥β于D ，且PC=2，PD=3．（1）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（2）求点P 到直线AB 的距离．19、解：（1）∵PC ⊥α于C ，PD⊥β于D ．∴PC ⊥AB ，PD ⊥AB ．又PC ∩PD=P ． ∴AB ⊥平面PCD ．∴AB ⊥CD ，即异面直线AB 与CD 所成角的大小为90º． ……6分（2）设平面ACD 与直线AB 交于点E ，连结CE ，DE ，PE由（1）可知，AB ⊥平面PCD ． ∴AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，AB ⊥PE ．∴∠CED 为二面角α—AB —β的平面角，……8分 从而∠CED=120º．∵PC ⊥α，PD ⊥β．∴PC ⊥CE ，PD ⊥DE ． ∴∠CPD=60º．又PC=2，PD=3．∴由余弦定理，得CD 2=4+9-12cos60º=7，从而CD=7．……10分 ∵PE 为四边形PCED 的外接圆直径． ∴由正弦定理，得PE=sin 60CD ︒=2213． ……12分20、已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ．(1)若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．(2) 直线BH 的方程为330x y +-=，设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤， 因为点M 是点P ，N 的中点，所以(,)22m x n yM ++，又,M N 都在半径为r 的C 上， 所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩ 8分 因为该关于,x y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心r 为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心2r 为半径的圆有公共点，所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r -≤-++-+≤+， 9分又330m n +=－，所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立． 而()2101210f m m m =+－在[0，1]上的值域为[325，10]，故2325r ≤且2r 10≤9． 11分又线段BH 与圆C 无公共点，所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立，即2325r <.故C 的半径r 的取值范围为10410[,)35． 13分 21、如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E 分别是AC,AB 上的点,且DE ∥BC,DE=4,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C ⊥CD,如图2.A 1D EBCxy z A E D C BCA 1D E B(1)求证:A 1C ⊥平面BCDE;(2)过点E 作截面EFH //平面1ACD ,分别交CB 于F, 1A B 于H,求截面EFH 的面积; (3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 成060的角?说明理由.21、解:(1)CD DE ⊥,1,A D DE ⊥ ∴DE ⊥平面1A CD .又1AC ⊂平面1A CD , ∴1AC ⊥DE .又1A C CD ⊥, ∴1AC ⊥平面BCDE ……4分(3) 假设线段BC 上存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 成060的角。
2019年北师大附属实验高二上数学期中考试
北师大附属实验中学2019-2020学年度第一学期高二年级数学期中试卷班级_____________姓名____________学号_______________成绩第I 卷一、选择题：每小题5分，共40分.1. 椭圆9x 2+4y 2=1的离心率为 A.32 B.35 C.553 D.23 2. 等差数列{n a }中，1a =2，4a =11,n a =20，则的值是A.7B. 8C.9D.103. 设a>0，b>0, 若a+2b=8，则ab 的最大值为A.2B.4C.8D.164. 若方程2x +22-m y =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A.(-∞,3) B.(2,3) C.(2,∞+) D.(3,+∞)5. 已知-1, x, 3x ，y 中，前三项依次成等差数列，后三项依次成等比数列，则y=A.-5B.5C.-9D.96. 设实数x, y 满足3<x<4，1<y<2. 则2x-y 的取值范围是A(4,6) B.(4,7) C(5,6) D(5,7)7. 已知数列{n a }中，1a =1，2a =2，对任意n ≥3且n ∈*N 有n a +1a -n +2a -n =8，则1000a =A.1B.2C.5D.88. 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若当且仅当n=10或11 时n S 取得最小值，则下列选项错误的是A 数列{n a }的首项1a <0 B.数列{n a }的公差d>0C.存在k ∈*N ,使得k S =4k +SD.存在k ∈*N ，使得k S =2k S二、填空题:每小题5分，共30分9. 不等式2x -2x<3的解集为______________10. 已知各项均不为0的等差数列{n a }中，5a =22a ，则37a a =______________11. 己如数列{n a }通项公式为n a =|n-310|,则n a 的最小值为_________，此时n 的值为__________ 12. 设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若24S S =3，数列{n a }的公比为______________ 13. 设椭圆22x +2y =1的左、右焦点分别为1F ，2F 过坐标做0k ≠斜率的直线交椭圆C 于两点P ,Q ，则四边形1F P 2F Q 的周长为_____________14. 设a>0,函数()x f =5a x -+x 的值域为集合S,若S ∈2，则a 的取值范围是___________三、解答题:每小题10分，共30分.15.已知以F 1(-2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆过点P(2,3).（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆的左项点为A,线段AF 1的垂直平分线L 交椭圆于M ，N 两点，求△MNP 面积.16.设函数f(x)=x 2+mx+n,已知不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<4}.（1）求m 和n 的值；（2）若f(x)≥ax 对任意x>0恒成立，求a 的取值范围.17．数列{a n }中，a 1=1,对任意n≥2且n ∈N*有(n-1)a n =2na n-1（1）设b n =nn a ，证明:数列{b n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）求{a n }的前n 项和S n第II 卷四、填空题:每小题5分，共25分.18.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=3，S 7=63，则a=____________19.一个皮球从距地面高度为H 的地方释放，经地面反弹后最高上升至2H 处，之后每次反弹后上升的最高高度均为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米，则H=____________米20.若关于x 的方程x 2-(m-1)x+2m-1=0的两根分别在区间(-1,0)和(0,1)内，则m 的取值范围是______________21.如图，椭圆C 的中心为坐标原点O,其左、右焦点分别为F 1，F 2,上、下顶点分别为A 1，A 2，已知点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|=|F 1F 2|=4,取线段PF 1的中点Q,若|OQ|=1,则|A 1A 2|=______________22.已知数列{a n },{b n }的通项公式分別为a n =8n ，b n =n+λ，设c n =n n n n n na ab b a b ≤⎧⎨⎩，，＞， 若λ=-2.则数列{c n }中的最大项是________________;若数列{c n }中的最大项c m ≤2，则λ的取値范国是_____________.五、解答題:共25分.23.(6分)解关于x 的不等式ax 2-4x+a<0.24.(7分)己知数列{a n }満足a 1=1，对任意n ∈N*,都有a n+1=n 2+2n a n+1成立. （1）直接写出a 1,a 2,a 3,的值；（2）推测出{a n }通项公式并证明.25.(12分)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1=1，且S 5-3a 4=4.（1）求{a n }的通项公式;（2）设b n =11n n n a S S ++，数列{bn}的前n 项和T n ，求使不等式|T 1·T 2···T m -12|<12019成立的最小的正整数m;（3）设c n =(a n -t).2an ,若数列{c n }单调递增.①求t 的取值范围②若t 是符合条件的最小正整数.那么{c n }中是否存在三项c i ，c j ，c k （i<j<k ）依次成等差数列?若存在，给出i ，j ，k 的值;若不存在，说明理由.。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高二数学(文)上学期期中考试模拟试题及解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1高二文科上学期期中模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.椭圆191622=+y x 的焦距为（ ）A.10B.5C.7D.722.已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A.1或－3 B.－1或3 C.1或3 D.－1或－3 3．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( )A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－14.在平面直角坐标系xOy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.33B.32C.3D.1 5. 两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图像可能是图中的哪一个( )6．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是 ( )A.x 29－y 27＝1 B ．x 2－y 29＝1 C. x 29－y 2＝1 D.x 27－y 23＝1 7. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点C 的轨迹方程是( )A ．1162522=+y x B ．)0(1162522≠=+y y x C ．1251622=+y x D ．)0(1251622≠=+y y x 8．已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．210B ．6C ．3 3D ．2 59.已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P ，P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为( ) A ．5222+ B ．5212+ C ．5222-D ．5212-10．已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆，当点P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值22D ．最小值22二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若方程22125x y k k+=-+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________． 12．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是 .13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．14．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.15．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．17. （本小题满分12分）圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5). （1）若圆的面积最小，求圆的方程；（2）若圆心在直线x －2y －3=0上，求圆的方程.18．（本小题满分12分）已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值；19．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分14分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点 （Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若MB AM 21，求直线l 的方程； （Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值。
新课标最新北师大版2018-2019学年高二数学(文)上学期期中考试模拟试题及答案解析
北师大版高中数学必修五高二文科期中模拟试题1.若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（） A. 30o B. 45o C. 60o D. 120o2.两圆221:10C x y +-=和222:450C x y x +--=的位置关系是（） A.内切 B.内含 C.外切 D.外离3.如果椭圆221164x y +=上一点P 到它的右焦点距离是6,那么点P 到它的左焦点的距离是（） A ．2 B ．3 C ．4D ．84.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(2,4)P ，则该抛物线的方程是( ) A ．28y x =B. 28y x =-C. 24y x =D. 24y x =-5.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( )A.3410x y +-= B .3410x y ++=或3490x y +-=C.3490x y ++=D.3410x y +-=或3490x y ++= 6.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,F F ,A 是椭圆上的一点，12AF AF ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为11||2OF ,则椭圆的离心率为( )A. 13 B. 31- C. 22D. 21-7.已知12,F F 是椭圆22+=1169x y 的两焦点，经点2F 的直线交椭圆于点A,B ，若|AB|=5，则11|AF |+|BF |等于（）A ．11B ．10C ．9D ．168.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为（）A ．6B ．3C ．2D ．339.已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线(2)y k x =-与此抛物线相交于,P Q两点，则11||||FP FQ +=( ) A. 12B. 1C. 2D. 410.如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．23140x y +-=D ．082=-+y x11.过椭圆22194x y +=上一点(0,2)M 作圆222x y +=的两条切线，点A ，B 为切点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12 B .23 C ．1 D.4312.设12,F F 分别是椭圆2222()10x y a ba b +=＞＞的左、右焦点，若在直线2a x c =上存在P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．20,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．30,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．3,13⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.空间直角坐标系O xyz -中，在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为__________. 14.直线3440x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长为__________.15.若椭圆22+143x y =内有一点(1,1)P -，F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上任意一点，则使得||2||MP MF +最小的M 的坐标为_________. 16.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17.（本小题满分10分）已知直线l 过点(21)，且与圆224x O y +=：相交于,A B 两点，0120=∠AOB .求直线AB 的方程.18.（本小题满分12分）已知动圆M 经过点(2,0)A -，且与圆22:(2)20C x y -+=内切. (Ⅰ)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)求轨迹E 上任意一点(,)M x y 到原点O 的距离d 的最小值，并求d 取得最小值时的点M 的坐标.19.（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．求抛物线C 的方程.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线l ：b x y +-=33交于不同的两点,P Q ，原点到该直线的距离为23，且椭圆的离心率为63.源 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)是否存在实数k ，使直线2+=kx y 交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知双曲线C 的焦点为12(2,0),(2,0)F F -,且离心率为2； (Ⅰ)求双曲线的标准方程；(Ⅱ)若经过点(1,3)M 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A ,离心率为63，若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.上学期期中考试高二数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题三、解答题18.解析：①依题意，动圆与定圆相内切，得||||25MA MC +=，可知M 到两个定点A 、C 的距离的和为常数25，并且常数大于||AC ，所以点M 的轨迹为以A 、C 焦点的椭圆，可以求得5a =，2c =，1b =，所以曲线E 的方程为2215x y +=．②22||d BM x y ==+=22(1)5x x +-=2415x +所以，当0x =时，1d =最小。
北京师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
北京师大附中2018－2019学年上学期高中二年级期中考试数学试卷一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。
1.在数列中，，且，则等于A. 8B. 6C. 9D. 7【答案】D【解析】【分析】根据递推关系得出数列为等差数列，且求得公差，由此计算得的值.【详解】由于，故数列是首项为，公差为的等差数列，故，故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列的识别，考查等差数列项的计算，属于基础题.2.在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法和减法的运算，将转化到三个方向上，由此求得正确选项.【详解】依题意得，故选A.【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题，要注意的是向量减法，箭头是指向被减数.3.在等比数列中，，且，则这个数列的公比为A. 3B.C. 9D.【答案】B【解析】根据等比数列项与项的关系，化简已知条件，解方程求得数列的公比.【详解】由于数列为等比数列，故，解得.故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的通项公式，，考查方程的思想，属于基础题.4.在正方体中，向量和的夹角是A. B. 60° C. 45° D. 135°【答案】B【解析】【分析】将两个向量平移到一起，然后解三角形求得两个向量的夹角.【详解】画出图像如下图所示，连接，，根据正方体的性质可知，故是题目所求两个向量的夹角.由于是等边三角形，故.【点睛】本小题主要考查空间两个向量的夹角，考查空间异面直线所成的角，主要的解法是利用平行，作出它们所成的角，解三角形求得这角的大小.5.某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最小，则m值为A. 5B. 4C. 3D. 2【解析】【分析】通过计算，其中使得结果最大的即为所求.【详解】依题意，，故当时，取得最小值.故选C.【点睛】本小题主要考查数列的实际应用.由于题目是选择题，故可将选项代入验算，得出正确选项，属于基础题.6.若数列是公比为q的递增等比数列，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意构造特殊的数列，然后对选项的正误逐一进行判断，由此得出正确选项.【详解】依题意，不妨设，数列是递增的等比数列，由此判断C,D选项错误.设，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.所以本题选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的单调性.由于题目是选择题，故可采用特殊值和排除法来得出选项，属于基础题.7.在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是BC, AD的中点，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】=﹣.故答案为：D。
20172018学年第一学期北师大附中高二数学理科期中试卷试题Word版本,含含含
北师大隶真切验中学2021 －2021 学年度第一学期高二年级数学〔理科〕期中练习试卷〔一卷〕 试卷说明：1、 本试卷考试时间为 120 分钟；总分为 150 分，试卷一 100 分，试卷 二 50 分.2、试卷一共有三道大题，19 道小题；试卷二共有两道大题，8 道小题 .3、选择题、填空题、解答题在答题纸上作答.命题人 :批阅人 :一、选择题〔本大题共10 小题，每题4 分，共 40 分. 每题只有一个正确答案, 〕1．直线3x y 1 0的倾斜角的大小是〔〕A. 30B. 150C. 120D. 602.圆 2 2 2 2xy 1和圆 x(y 3) 4 的地址关系是〔〕A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含3．假设正方体的各极点都在一个半径为 R 的球面上，那么该正方体的体积是〔 〕 A.32 2R B.43 3 R C. 89 33 R D. 3 9 3 R4. 水平放置的正ABC 中 , 点 A 的坐标为〔 -1,0 〕，点 B 的坐标为〔 1,0 〕，用斜二测画 法获取A' B 'C ' ，那么点 C ' 到 x '轴的距离为 ()A. B.C.D.25. 在空间直角坐标系中，点 A 在 x 轴上，B(4, 2,3) ，C (6, 1,4) ，假设AB AC那么点 A 的横坐标是〔〕A ．5 B．6 C．7 D ． 86. 如图，在正方体A BCD A B C D 中，M , N 分别是BC1, CD 1 的中点，那么以下判断错1 1 1 1．误．的是( ) D1C1A1B 1NMDCA ．MN 与CC 1 垂直B ．MN 与AC 垂直A B C．MN 与BD 平行 D ．MN 与 A1 B1 平行7．两条直线m, n ，两个平面, ，给出下面四个命题：①m // n,m n ②// ,m,n m // n③m // n,m// n // ④// , m // n, m n其中正确命题的序号是〔〕A ．①③B．②④C．①④D．②③8．假设P 2，1 为圆2 2x 1 y 25 的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程A1是〔〕A ．x y 3 0 B．x y 3 0 C．x y 3 0 D．x y 3 0 9．圆C： 2 2 2 6 0x y x y F 与直线x 2 y 5 0交于A, B 两点 ,假设CA CB , 那么 F 的值为( )A ．-10B ．-30 C．10 D ．2010. 在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = 2, BC = AA1 =1，A1D1点P 为对角线AC1 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点B1C1P〔点P ，Q 可以重合〕，那么B1 P + PQ 的最小值为( ) ADQA. 2B. 3 BCC.32 D. 2二、填空题〔本大题 6 小题，每题 4 分，共24 分，将正确答案填在答题纸上〕11. 假设a，b是异面直线，直线 c ∥a ，那么c 与b的地址关系是__________12. 圆 C 的圆心在直线2x y 10 0 上，且经过点 A (2, 7 ), B (8, 7 ) ，那么圆C 的标准方程是__________________________ ；13. 一个底边长均为4, 侧棱长4 3 的正三棱柱，假设在它的上下底面的中心地址上各打一个直径为2, 深为 1 的圆柱形孔，那么该几何体的表面积是_______________ ．14. 一个四棱锥的三视图以以下图，其中侧视图为正三角形，那么该四棱锥的体积是_____________ ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是___________ ．15 ．如图，四边形ABCD 中，AB AD CD 1，BD 2 ，BD CD ．将四边形ABCD 沿BD折成周围体 A BCD ，使面 A BD 面BCD ，那么以下结论中正确的选项是___________〔1〕A C BD 〔2〕BA C 90〔3〕 A DC 是正三角形〔4 〕周围体 A BCD 的体积为1 616.圆 2 2C : ( x 3) ( y 5) 5 ，过圆心 C 的直线l 交圆 C 于A, B两点，交y 轴于点P .假设A 恰为PB 的中点，那么直线l 的方程为____________________________________.三. 解答题〔本大题共 3 小题，共36 分，写出必要的解答过程, 将答案写在答题纸上〕17. 〔本小题总分值12 分〕。
内蒙古北京师范大学乌海附属学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(无答案)
北京师范大学乌海附属学校2018～2019学年 第一学期高二理科数学期中考试题（考试时间：120分钟 卷面分数：150分 命题人：汪彬）一、选择题(每题5分，共60分)1．算法的三种基本结构是（ ）A ．顺序结构、模块结构、条件分支结构B ．顺序结构、条件结构、循环结构C ．模块结构、条件分支结构、循环结构D ．顺序结构、模块结构、循环结构2. 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）（1） （2） （3） （4）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（4）D ．（2）（3）3.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（ ）A.与第几次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性相等C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样4.把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ） A.181 B.91 C.61 D.31 5.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A ．65B ．64C ．63D ．626、把二进制数)2(111化为十进制数为 ( )A 、2B 、4C 、7D 、87.命题：“a R ∃∈，则20a ≤”,则为( )A. a R ∃∈，20a >B. a R ∀∈，20a ≤C.a R ∀∈，20a >D. a R ∃∈，20a ≤8.一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表.则样本在区间（－∞，50）上的频率为( )A.0.5B.0.25C.0.6D.0.79. 甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法正确的个数为（ ） ①甲队的技术比乙队好 ②乙队发挥比甲队稳定③甲队的表现时好时坏A.1B.2C.3D.010. 有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）A ．101B ．103C ．21D ．107 11.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）A ．22B ．C ．D ．12.椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，若正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率为( )A.12 B.2 D.3二、填空题(每题5分，共20分)13.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于40的概率是________．14、中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P （ 4 ，3- ），Q （ 22 ，3）两点的椭圆的标准方程为 。
北师大版2018-2019学年(新课标)高二上学期期末模拟试题及答案解析
21.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥CD，AD⊥CD， 且 AB=AD=PD=1，CD=2，E 为 PC 的中点． (Ⅰ) 求证：BE∥平面 PAD； (Ⅱ) 求二面角 EBDC 的余弦值．
（1） 求椭圆的方程；
11 （2） 若 OA OB 0 （O 为原点），求证： 2 ；
a2 b2
（3） 在（2）的条件下，若椭圆的离心率 e 满足
3 e
2
，求椭圆长轴长的取值范围.
3
2
综上 a>1…………………………………………2 分
若 q 真： a 2 …………………………………………………4 分
____.
14.设幕 F , F 是焦距等于 6 的双曲线 C : x2 y2 1(a 0,b 0) 的两个焦点，P 是 C 上一点，
12
a2 b2
若 PF PF 6a ，且 PF F 的最小内角为 30 ，则 c 的方程为_________.
1
2
12
15.已知 F 是双曲线 x2 y2 1的左焦点，定点A(1,4), P 是双曲线右支上的动点, 4 12
因为 P 是 DF 中点，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，
F
所以 OP 为三角形 BDF 中位线，
E P
所以 BF // OP，
A
D
因为 BF 平面 ACP，OP 平面 ACP，
B
所以 BF // 平面 ACP．……………………4 分
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高二上学期期中考试数学模拟试题及答案解析
北师大版高中数学必修五高二上学期期中考试试题一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项2、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2＋ab ＋b 2＝c 2，则角C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.π2 3、已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则sinA ＝( )A ．23 B ．21C ．43D ．34、下列结论正确的是（）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+cD ．若a <b ，则a<b 5、在等差数列{a n }中，a 6＝2，a 8＝4，则a 10+a 4＝ ( )A ．9B ．10C ．6D ．86、已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2xy ≥－2x.x ≤3则z ＝x －2y 的最小值是（ ）A.-9B.15C.0D.以上答案都不正确7、已知等比数列{a n }的首项为151，前4项的和是1，则数列的公比为（ ） A ．3 B ．2 C ．21D ．2 8、（文）在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 （理）在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 9、(文)若2()1f x x ax =-+能取到负值，则a 的范围是（）A.2a ≠±B.－2<a<2C.a>2或a<－2D.1<a<3（理）不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞⋃(2,)+∞C ．(2,)+∞D ．(0,2)10、 (文)已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．51<<xB ．135<<xC ．50<<xD ．513<<x（理）设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,则下列命题中①若B A sin sin >,则b a >; ②若2c ab >,则3π>C ;③若c b a 2>+,则3π<C ; ④若ab c b a 2)(>+,则2π>C ;则其中真命题为( )A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题5分,共25分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)11、数列1，12，14，18，116，…的一个通项公式为________．12、已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应三边之比a ∶b ∶c 等于。
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北师大版高中数学必修五高二上学期期中模拟试题1. 曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为（ ）A.4)2(22=++y x B.4)2(22=-+y x C.4)2(22=+-y x D.4)2(22=++y x2.两圆221:10C x y +-=和222:450C x y x +--=的位置关系是（ ） A.内切 B.内含 C.外切 D.外离3.如果椭圆221164x y +=上一点P 到它的右焦点距离是6,那么点P 到它的左焦点的距离是（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．84.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(2,4)P ，则该抛物线的方程是( )A ．28y x = B.28y x =- C.24y x = D.24y x =-5.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( )A.3410x y +-=B. 3410x y ++=或3490x y +-=C.3490x y ++=D. 3410x y +-=或3490x y ++= 6.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，A 是椭圆上的一点,12AF AF ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为112OF ，则椭圆的离心率为( )A. 13 B. 31- C. 22 D. 21-7.椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为（ ）A.53B.103 C.203D.538.已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．324B.233C.305D.529.已知抛物线216y x =的焦点为F ，直线(4)y k x =-与此抛物线相交于,P Q两点，则11||||FP FQ +=( )A.1B.12C.14D.1810.如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4)2，平分,则这条弦所在的直线方程是( ) A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．23140x y +-= D ．082=-+y x11.过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( ) A.12 B.23 C ．1 D.4312.已知椭圆212221(0)x y a b a bC +=>>：与双曲线22214x C y -=：有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则( )A ．213a ＝ B ．2132a ＝ C ．22b ＝ D ．212b ＝ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.在极坐标系(,)(02)ρθθπ≤<中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为.14.过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为_______．15.若椭圆22+143x y =内有一点(1,1)P -，F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上任意一点，则||2||MP MF +的最小值为_________.16.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为___________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17.（本小题满分10分）已知直线l 过点(21)，且与圆O:224x y +=相交于,A B 两点，0120=∠AOB .求直线AB 的方程.18.（本小题满分12分）已知动圆M 经过点(2,0)A -，且与圆22:(2)20C x y -+=内切. (Ⅰ)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)求轨迹E 上任意一点(,)M x y 到定点10B -（，）的距离d 的最小值，并求d 取得最小值时的点M 的坐标.19.（本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)设直线l 为抛物线C 的切线且l ∥MN ，求直线l 的方程.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线l ：b x y +-=33交于不同的两点P,Q ，原点到该直线的距离为23，且椭圆的离心率为63. 源 (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)是否存在实数k ，使直线2+=kx y 交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且它的离心率为233，实半轴长为3.(Ⅰ)求双曲线C 的方程；(Ⅱ)过(0,2)的直线与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且31OA OB ⋅=-(其中O 为原点),试求出这条直线.22.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右两个焦点为12,F F ，离心率为22e =，过点(2,1). (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于1122(,)B(,)A x y x y ，两点，椭圆的左顶点为M ，连接MA MB ，并延长交直线4x =于P Q 、两点 ，,P Q y y 分别为P Q 、的纵坐标，且满足121111P Qy y y y +=+.求证：直线l 过定点.上学期期中考试 高二数学（理）参考答案一、选择题二、填空题三、解答题18. 解析:①依题意，动圆与定圆相内切，得||||25MA MC +=，可知M 到两个定点A 、C 的距离的和为常数25，并且常数大于||AC ，所以点M 的轨迹为以A 、C 焦点的椭圆，可以求得 5a =，2c =，1b =，所以曲线E 的方程为2215x y +=．②22||(1)d BM x y ==++=22(1)(1)5x x ++-=2453()544x ++ 因为：55x -≤≤，所以，当54x =-时，32d =最小。
所以，min 32d =；511(,)44M -± 19. 解析：（1）由题可知(,0)2p F ，则该直线方程为：2py x =-代入22(0)y px p =>得：22304p x px -+=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则有123x x p +=∵8MN =，∴128x x p ++=，即38p p +=，解得p =2∴抛物线的方程为：24y x =．（2）设l 方程为y x b =+，代入24y x =，得22(24)0x b x b +-+=，因为l 为抛物线C 的切线，∴0∆=，解得1b =，∴:l 1y x =+20.解析 ：①由点到直线的距离得d=311||23+=b 解得：1=b∴椭圆方程是1322=+y x21.解析：（1）设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ,2,3==c a ,1=∴b ,故双曲线方程为1322=-y x . (Ⅱ)设直线方程为2+=kx y代入1322=-y x 得0926)31(22=---kx x k 由⎩⎨⎧>∆≠-00312k 得,312≠k 且12<k设),(),,(2211y x B y x A ,则由=31OA OB ⋅-得)2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x=2)(2)1(21212++++x x k x x k222962(1)22311313k k k k k-=+++=---,得214k = 又21k <，12k ∴=±，所以直线方程为22x y =+或22x y =-+②联立2224,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩消去y ，得222(21)4240k x kmx m +++-=， 则222222164(21)(24)328160km k m k m ∆=-+-=-+>，又11(,)A x y 、22(,)B x y122421km x x k +=-+，21222421m x x k -⋅=+设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162Py y x =+，同理2262Q y y x =+ ∵121111P Q y y y y +=+，∴121212221166x x y y y y +++=+，即121244066x x y y --+=， ∴1221(4)(4)0x y x y -+-=，∴1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=， 即12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=.∴2222442(4)()802121m km k m k m k k -⋅+---=++ ∴288021k mk --=+，故k m =-. 故直线l 方程为k kx y -=，可知该直线过定点)0,1(．。