角的概念的推广知识点
角的概念的推广知识点
角是几何学中的基本概念之一，广泛应用于我们的日常生活和许多
领域。角可以通过两条线段或射线的相交而形成，它具有独特的特征
和属性。在本文中，我们将探讨角的概念并介绍一些与角相关的推广
知识点。
首先，我们来回顾一下角的定义。在几何学中，角是由两条线段或
射线的相交所形成的图形。相交的两条线段或射线称为角的边，而相
交点称为角的顶点。角的大小用角度度量，常用度（°）来表示。我们
可以使用度数来衡量角的大小，例如，直角的度数为90°，而平角的度
数为180°。
除了上述基本概念，我们还可以推广角的定义来研究更多复杂的问题。例如，角心理解为平面中三个不共线的点形成的图形。在这种情
况下，我们可以通过连接角的顶点和任意两个角的边来形成一个角心。
另一个与角相关的推广知识点是角的类型。角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝
角是大于90°但小于180°的角，而平角是等于180°的角。这些不同类
型的角在现实生活中广泛应用，帮助我们理解和描述不同的几何形状
和结构。
接下来，让我们来研究角的性质。角具有许多有趣的性质和特征，
这些性质有助于我们解决与角相关的问题。例如，如果两个角的和等
于一个直角，那么我们称这两个角为互补角。同样，如果两个角的和
等于180°，那么我们称这两个角为补角。这些性质可以应用于角的度数计算和几何问题的解决。
除了以上内容，角还有一些与角度计量相关的重要概念。例如，我们可以将角度单位进一步分为度、分和秒。1度等于60分，1分等于60秒。这些单位可用于精确测量角的大小。另一个重要的概念是角度的转换。我们可以将角度转换为弧度，以更方便地计算和应用。这些概念使我们能够更准确地描述和测量角的属性。
最后，让我们思考一下角的应用领域。角的概念和性质广泛应用于许多领域，如工程、建筑、天文学等。在实际应用中，我们可以利用角度的概念来解决测量、导航和建模等问题。例如，工程师可以使用角度测量来设计曲线道路的转弯角度；天文学家可以使用天文观测中的角度测量来计算星体的位置和运动。
综上所述，角是几何学中的基本概念之一。通过了解角的定义、类型、性质和应用，我们可以更好地理解和应用角度概念。角的推广知识点帮助我们解决更复杂的几何问题，并在实际生活和许多领域中发挥重要作用。因此，深入研究角的概念和相关知识点对我们的学习和发展都至关重要。
高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.
2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】
三角函数 一、知识点 (一)角的概念的推广 1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。 (1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 ①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； ③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。 (2)在直角坐标系中讨论角： ①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。 ②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。 (3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为 },360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。 2、弧度制和弧度制与角度制的换算 (1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。 (2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任一已知角α的弧度数的绝对值r l =α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 (3)角度制与弧度制的互化：π=2360 ，π= 180；815730.571801'≈≈π= rad ； rad 01745.0180 1≈π = 。 3、特殊角的三角函数值 0 30 45 60 90 120 135 150 180 0 6π 4π 3π 2π 32π 43π 6 5π π sin 0 21 2 2 2 3 1 23 22 21 0 cos 1 23 2 2 21 0 21- 22- 2 3- 1- tan 0 3 3 1 3 ⨯ 3- 1- 3 3 - 0 210 225 240 270 300 315 330 360 67π 45π 34π 23π 35π 47π 611π π2 sin 21- 22- 23- 1- 23- 2 2- 2 1- 0
高中数学知识点精讲精析 角的概念的推广
1·2角的概念的推广 1·2·1任意角的概念 1．角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线的起始位置是角的起始边，射线的终止位置是角的终边，射线的端点是角的顶点。按旋转方向，角可以分为三类： （1）正角：把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角。 （2）负角：把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角. （3）零角：如果一条射线没有作任何旋转称它形成一个零角. 学习角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边。在初中几何中“角是从一点出发的两条射线所组成的图形”的概念上推广，又强调了角是“由一条射线绕着它的端点旋转而成的”旋转定义的观点，可见角是一种几何图形。 角是既有大小又有旋转方向的向量，其范围由初中的锐角、直角、钝角推广到任意大小的角，为与实数之间建立对应关系奠定了基础；其旋转方向有逆时针方向与顺时针方向的区别。 零角是始边与终边重合的角，但始边与终边重合的角不一定是零角。 1·2·2 象限角 在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 象限角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，否则不能判断该角是哪个象限角。 角的终边若落在坐标轴上，认为这个角不属于任一象限，即为轴线角。 锐角与第一象限角既有区别又有联系。锐角是第一象限角，而第一象限角不一定是锐角；同样钝角是第二象限角，而第二象限角不一定钝角。 例1.在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）-1200；（2）6400；（3）-950012，.
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列 一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角 记忆法则： 第一象限全为正,二正三切四余弦. α αcsc sin 为正 全 正 α αcot tan 为正 α αsec cos 为正 例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340 sin ? ②,423tan 4sin ?? ? ??- ?π ③ ) cos(sin ) sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且 答案：+ — — 2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在 第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<0sin α<0cot α>0 tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0 tan α<0 cos α<0 sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0
可以表示为.,360Z k k ∈+?α 4、特殊角的集合： （1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα （2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα （4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22? ?? ? ??∈+ =Z k k π πα α （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22? ?? ???∈-=Z k k ππαα （6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2? ??? ??∈+ =Z k k π πα α （7）终边在坐标轴上角的集合为; ,2??? ???∈=Z k k παα （8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4? ?? ? ??∈+=Z k k ππα α （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4? ?????∈- =Z k k π πα α 二、弧度 1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1 180π = ，180157.3π??=≈ ??? ． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= 4、两个公式： 若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 则l r α=，2C r l =+，211 22 S lr r α==． 三、三角函数 1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）
角的概念的推广知识点
角的概念的推广知识点 角是几何学中的基本概念之一，广泛应用于我们的日常生活和许多 领域。角可以通过两条线段或射线的相交而形成，它具有独特的特征 和属性。在本文中，我们将探讨角的概念并介绍一些与角相关的推广 知识点。 首先，我们来回顾一下角的定义。在几何学中，角是由两条线段或 射线的相交所形成的图形。相交的两条线段或射线称为角的边，而相 交点称为角的顶点。角的大小用角度度量，常用度（°）来表示。我们 可以使用度数来衡量角的大小，例如，直角的度数为90°，而平角的度 数为180°。 除了上述基本概念，我们还可以推广角的定义来研究更多复杂的问题。例如，角心理解为平面中三个不共线的点形成的图形。在这种情 况下，我们可以通过连接角的顶点和任意两个角的边来形成一个角心。 另一个与角相关的推广知识点是角的类型。角可以分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝 角是大于90°但小于180°的角，而平角是等于180°的角。这些不同类 型的角在现实生活中广泛应用，帮助我们理解和描述不同的几何形状 和结构。 接下来，让我们来研究角的性质。角具有许多有趣的性质和特征， 这些性质有助于我们解决与角相关的问题。例如，如果两个角的和等 于一个直角，那么我们称这两个角为互补角。同样，如果两个角的和
等于180°，那么我们称这两个角为补角。这些性质可以应用于角的度数计算和几何问题的解决。 除了以上内容，角还有一些与角度计量相关的重要概念。例如，我们可以将角度单位进一步分为度、分和秒。1度等于60分，1分等于60秒。这些单位可用于精确测量角的大小。另一个重要的概念是角度的转换。我们可以将角度转换为弧度，以更方便地计算和应用。这些概念使我们能够更准确地描述和测量角的属性。 最后，让我们思考一下角的应用领域。角的概念和性质广泛应用于许多领域，如工程、建筑、天文学等。在实际应用中，我们可以利用角度的概念来解决测量、导航和建模等问题。例如，工程师可以使用角度测量来设计曲线道路的转弯角度；天文学家可以使用天文观测中的角度测量来计算星体的位置和运动。 综上所述，角是几何学中的基本概念之一。通过了解角的定义、类型、性质和应用，我们可以更好地理解和应用角度概念。角的推广知识点帮助我们解决更复杂的几何问题，并在实际生活和许多领域中发挥重要作用。因此，深入研究角的概念和相关知识点对我们的学习和发展都至关重要。
三角函数知识点回顾
三角函数 一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系 (一)知识内容 1. 角的概念的推广 ⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的. ⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角. ①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角； ③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角： ①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角. 2.终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+??∈.集合S 的每一个元素都与α的终边 相同，当0k =时，对应元素为α. 3.弧度制和弧度制与角度制的换算 ⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制. < > ⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角α 的弧度数的绝对值l r α=，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制. ⑶弧度与角度的换算：180πrad = ，1801rad 57.305718π??? '=≈?=? ??? 板块二：任意角的三角函数 (一）知识内容 1.三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ，那么 ⑴比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； 板块一：任意角的概念与弧度制
高中数学第一章三角函数2角的概念的推广274
§2角的概念的推广 内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)． 知识点1 角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． (2)按照角的旋转方向，分为如下三类： (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√) (2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√) (3)没有作任何旋转就没有角对应(×) (4)终边和始边重合的角是零角(×) (5)经过1小时时针转过30°(×) 知识点2 象限角 如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 【预习评价】 1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？ 提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角． 2．第二象限的角比第一象限的角大吗？ 提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°. 知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)终边相同的角一定相等(×) (2)相等的角终边一定相同(√) (3)终边相同的角有无数多个(√) (4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×) 题型一角的概念的推广 【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数． 解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°. 规律方法 1.理解角的概念的三个“明确” 2．表示角时的两个注意点 (1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”． (2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负． 【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________； (2)经过10 min，分针转了________．
任意角及弧度制知识点总结
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若 0| cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如
角的概念的推广高一知识点
角的概念的推广高一知识点 角是我们在几何学中经常遇到的概念之一，它在高一阶段具有 重要的地位。本文将对角的概念进行推广，探讨其在不同领域的 应用，并结合例子进行解释。 首先，我们来回顾一下角的基本定义。在几何学中，角是由两 条射线公共端点而形成的图形部分。通常，我们以大写字母来表 示一个角，如∠ABC，其中A和C是两条射线共有的端点，B是 这两条射线之间的点。 角的度量通常使用度（°）作为单位。一个完整的角度是360°，这意味着角度的度量在360°之内。此外，一个直角角度是90°，一个钝角是大于90°但小于180°的角，一个锐角是小于90°的角。因此，角的度量不仅可以用来描述角的大小，还可以用来分类角。 在实际生活中，角的概念广泛应用于不同的领域。其中一个示 例是建筑设计。建筑师在设计房屋时需要考虑建筑物之间的角度 关系，以达到美观和结构稳定的目的。例如，在两个相邻房屋之 间形成的夹角可能会影响采光和通风。因此，建筑师会根据角的 度量和分类来进行合理的布局和设计。
另一个领域是自然科学，尤其是物理学。角的概念与物体的运 动和力学有关。例如，在机械学中，轴承的角度对于机器的运转 非常重要。若角度超出了工作范围，机器可能会发生故障。此外，在热学中，角的度量被用来描述物体受热时的变化。了解角的度 量有助于预测物体的热膨胀和冷缩，从而在工程设计中起到重要 的作用。 除了在实际领域中的应用，角的概念还在数学中起着重要的作用。角度的概念是几何学的基础，也是其他几何概念的重要组成 部分。例如，三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的 度量和三角形的关系。正弦、余弦和正切等三角函数都是通过角 的度量来定义的，它们在数学和物理中有广泛的应用。 此外，角的概念也在计算机科学中扮演着重要的角色。计算机 图形学、计算机视觉等领域都需要通过角来计算和描述物体的位置、姿态和运动。例如，计算机游戏中的三维模型运动，物体的 旋转等都涉及到角的概念。 综上所述，角是几何学中的一个重要概念，具有广泛的应用。 从建筑设计到物理学、数学以及计算机科学，角的概念在不同的
三角函数知识点整理
三角函数知识点总结 一任意角的概念与弧度制 (一)角的概念的推广 1、角概念的推广： 在平而内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平而直角坐标系X轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义： (1)正角，负角，零角：见上文。 (2)象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等 (3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角 终边在X轴上的角的集合：{β∖β= k×∖SO∖kEz} 终边在y轴上的角的集合：= Z^×180o+90βΛ∈z} 终边在坐标轴上的角的集合：∖p∖β= k×^∖k≡z} (4)终边相同的角：与Q终边相同的角x = a + 2kπ (5)与α终边反向的角：x = a + (2k + ∖)π 终边在直线产AT上的角的集合：pl0 = "18O°+45°,R∈z} 终边在直线y = -尤上的角的集合：{0I0 = Z8O°-45°,"Z} (6)若角α与角0的终边在一条直线上，则角α与角0的关系：α = 18O°R + 0 (7)成特殊关系的两角 若角α与角0的终边关于X轴对称，则角α与角0的关系：α = 36O°-0 若角α与角0的终边关于F轴对称，则角α与角0的关系：α = 36O°R + 18O°-0 若角α与角0的终边互相垂直，则角α与角0的关系：α = 36O^ + 0±9(Γ 注：(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一泄相等,相等的角终边一楚相同. 3、本节主要题型： 1•表示终边位于指定区间的角. 例1:写出在-720°到720°之间与一1050°的终边相同的角. 例2:若&是第二彖限的角，则2α,-是第几象限的角？写出它们的一般表达形式. 2 例3:①写出终边在〉，轴上的集合.
新教材2022学年湘教版数学必修第一册学案-5.1.1角的概念的推广
5．1任意角与弧度制 5．1.1角的概念的推广 新课程标准解读核心素养 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角数学抽象 2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合数学抽象 3.了解象限角的概念数学抽象 周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习． [问题]小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？ 知识点一任意角的概念 1．角的概念 角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形．2．角的分类 名称定义图形 正角一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所形成的角
负角以顺时针方向旋转所形成的角 零角没有作任何旋转所形成的角 3．角的加法 (1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β； (2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β； (3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． 当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始边、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角．() (2)大于90°的角都是钝角．() (3)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.() 答案：(1)×(2)×(3)× 2．下列说法正确的是() A．最大的角是180°B．最大的角是360° C．角不可以是负的D．角可以是任意大小 答案：D 3．下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________． 解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.
三角函数基本概念-角的推广
三角函数基本概念 一、知识要点梳理 知识点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 知识点二：弧度制 弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). (2)弧度与角度互换公式： 1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad) (3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：. 知识点三：任意角的三角函数 1.三角函数定义 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦,记做,即； (2)叫做的余弦,记做,即； (3)叫做的正切,记做,即. 2.三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
二、规律方法指导 1.象限角问题 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 2.角度制与弧度制 (1)可利用比例关系进行角度制与弧度制的互化； (2)弧长公式： (是圆心角的弧度数)，扇形面积公式： 3.三角函数定义及其应用 (1)三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.、 我们只需计算点到原点的距离, 那么,, (2)三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)
高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.1.1角的概念的推广学案新人教B版必修4(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第一单元基本初等函数（Ⅱ）1.1.1 角的概念的推广学案新人教B版必修4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一单元基本初等函数（Ⅱ）1.1.1 角的概念的推广学案新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第一单元基本初等函数（Ⅱ）1.1.1 角的概念的推广学案新人教B版必修4的全部内容。
1.1.1 角的概念的推广 学习目标 1.了解角的概念.2。掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义。3。熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角。 知识点一角的相关概念 思考我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义?正角、负角、零角是怎样规定的？ 梳理 (1)角的概念：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形。 （2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类： 类型定义图示 正角按照______________而成的角 负角按照______________而成的角 零角当射线________，称它形成了一个 零角 （3）角的运算：各角和的旋转量等于________________。 知识点二终边相同的角 思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们
大学数学知识点总结
大学数学知识点总结 大学数学知识点总结篇一 角的概念的推广。弧度制。 任意角的三角函数。单位圆中的三角函线。同角三角函数的基本关系式。正弦、余弦的诱导公式。 两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。 正弦函数、余弦函数的图像和性质。周期函数。函数y=Asin(ωx+φ)的图像。正切函数的图像和性质。已知三角函数值求角。 正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。 考试要求 (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算。 (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义。 (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 (4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义。 (6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示。 (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。 (8)“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cotα=1”。 大学数学知识点总结篇二 锐角三角函数公式 sin =的对边/ 斜边 cos =的邻边/ 斜边 tan =的对边/ 的邻边 cot =的邻边/ 的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注：SinA^2 是sinA的平方sin2(A) ) 三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即 57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180° 角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+,3 2π π） 4、α与2 α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则 2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
三角函数知识点归纳
三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为匡鱼、负鱼、零角. '正角:按逆时针方向旋转形成的角 任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角©的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为第几象限角. 第一象限角的集合为｛&片• 360
三角函数知识点归纳总结
三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z (2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{} 360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制 ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ④若扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α =， 2C r l =+，211 22 S lr r α==． 2．任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y ) ，它与原点的距离为(r r = ，那么角α的正弦、余弦、正切 分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正 切、四余弦）
第1讲 正弦、余弦、正切、余切(知识点串讲)解析版
第1讲 正弦、余弦、正切、余切（沪教版2020必修二） 知识网络 知识点一：角的概念的推广 1.定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 (1)规定：射线按逆时针方向旋转所形成的角为正角；射线按顺时针方向旋转所形成的角为负角； (2)射线没有旋转（终边与始边重合）也认为形成了一个角，该角叫做零角 （3）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. （4）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{} Z k k ∈⋅+=,360 αββ. （5）角α在“ 0到 360”范围内，指 3600<≤α. 例1（角的概念） （2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________. 【答案】285-︒ 【分析】根据终边相同的角的概念进行判断. 【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒.故答案为：285-︒ 【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题. 【变式训练1-1】若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
【难度】★ 【答案】 960- 【变式训练1-2】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟. 【难度】★ 【答案】 90-， 480- 【解析】（1）分针所转过的角度 903606015-=⨯- =； （2）分针所转过的角度 48036060201-=⨯⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=. 例2.（象限角）回答下列问题 (1)锐角是第几象限角? (2)第一象限的角一定是锐角吗? (3)小于90的角一定是锐角吗? (4)0~90的角一定是锐角吗? 【难度】★ 【答案】(1)第一象限；(2)不一定，反例361； (3)不一定，反例零角或负角；(4)不一定，反例0,90. 【变式训练2-1】（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则 2α是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角 C ．第一、三象限角 D ．第二、四象限角 【答案】C 【分析】根据α是第二象限角，得到 22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ,再得到2 α的范围判断。 【详解】因为α是第二象限角，所以22,2 k k k απ+π<<π+π∈Z , ,422k k k αππ+π<<+π∈Z ,当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角，所以2 α是第一、三象限角.故选：C 【点睛】本题主要考查象限角，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。 例3.（轴线角）（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则 2α是第________象限的角． 【答案】第一或第三