高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
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圆的标准方程
一、学习目标
学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标
准方
程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。 情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程
学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 三、运用说明及学法指导:
1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？
2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？
平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)
A 问题1阅读教材118页内容，回答问题
已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？
问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
例1：1写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2
= 9
(3) 2
2
2
()()x a y a ++=
例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2
上、内、外的条件是什么？
例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程
例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.
注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：
1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.
2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测
1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
3、从圆x 2+y 2
=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。
4、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x -4y -7=0 相切的圆的方程.
C5. 求过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切的圆的方程：
七、小结与反思
①圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②圆的方程的特点：点(a ，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径； ③求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定a ，b ，r ； 【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。
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圆的一般方程
一、学习目标:
学问与技能：(1)在驾驭圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般
方程确定圆的圆心半径．驾驭方程x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。(3)培育学生探究发觉及分析解决问题的实际实力。
过程与方法：通过对方程x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培育学生探究发觉及分析解决问题的实际实力。
情感看法与价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素养，激励学生勇于创新，勇于探究。 二、学习重点、难点：
学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，依据已知条件确定 方程中的系数D 、E 、F ．
学习难点：对圆的一般方程的相识、驾驭和运用. 三、学法指导及要求:
1、细致研读教材121---123页，细致思索、独立规范作答，细致完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.
2、把学案中自己易忘、易出错的学问点和疑难问题以及解题方法规律，刚好整理在解题本，多复习记忆.
3、A:自主学习；B:合作探究；C ：实力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B 类题.平行班的A 级学生完成80％以上B 完成70％～80％C 力争完成60％以上.
四、学问链接：圆的标准方程：222
()()x a y b r -+-= 圆心(,)a b ;半径：r. 五、学习过程：问题的导入：
问题1: 方程x 2+y 2-2x+4y+1=0表示什么图形？方程x 2+y 2
-2x-4y+6=0表示什么图形？
问题2：方程x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？
问题3：什么是圆的一般方程？
问题4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
典型例题:
例1：求过三点O(0,0)M 1(1,1)M 2(4,2)的圆的方程
例2：已知：线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在（x+1)2+y 2
=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
变式：已知一曲线是与两个定点O （0,0），A(3,0)距离比为1
2
的点的轨迹，求此曲线的方程并画出曲线。
六、达标检测
1,已知方程x 2
+y 2
+kx+(1-k)y+
13
4
=0表示圆，则k 的取值范围 ( ) A k>3 B 2-≤k C -2
2,方程1x -= ）
A ．一个圆
B ．两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆
3,动圆222
(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 . 4,假如实数,x y 满意等式22
(2)3x y -+=，那么x
y
的最大值是________。 5,求下列各题的圆心坐标、半径长
（1）x 2+y 2
-6x=0
(2) x 2+y 2
+2by=0
(3) x 2
+y 2
-2a x-23y+3a 2
=0
6,下列各方程各表示什么图形？
（1）x 2+y 2
=0
(2)x 2+y 2
-2x+4y-6=0
(3) x 2+y 2+2a x-b 2
=0
7,已知圆C ：x²+y²-4x-5=0的弦AB 的中点为P(3,1)求直线AB 的方程
七、小结与反思 驾驭圆的一般方程的形式，理解其特点，能确定出圆心坐标和半径。 【励志良言】学问变更命运，勤奋造就人生！
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直线与圆的位置关系
一、学习目标:
1、学问与技能:（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来推断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，驾驭解决问题的方法――代数法、几何法。
3、情感看法与价值观:让学生通过视察图形，理解并驾驭直线与圆的位置关系，培育学生数形结合
的思想．
二、学习重、难点:
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其推断方法． 难点：用坐标法推断直线与圆的位置关系． 三、学法指导及要求
1、细致研读教材126---128页，细致思索、独立规范作答，细致完成每一个问题，每一道习题，探讨最佳答案打算展示,不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的学问点和疑难问题以及解题方法规律，刚好整理在解题本，多复习记忆。（尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其推断方法必需牢记）
3、A:自主学习；B:合作探究；C ：实力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B 类题。平行班的A 级学生完成80％以上B 级完成70％～80％C 级力争完成60％以上。 四、学问链接
1、点和圆的位置关系有几种？
设点P(x 0，y 0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心(a,b)到P(x 0，y 0)的距离为d,则
点在圆内 (x 0 -a)2+(y 0 -b)2＜r 2 d
问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70KM 处,受影响的范围是半径为30KM 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40KM 处,假如轮船不变更航线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响? 五、学习过程
A 问题1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ A 问题2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？
A 问题3．在初中，我们怎样推断直线与圆的位置关系呢？
221:360240,;,.
l x y C x y y l +-=+--=例已知直线和圆心为的圆试判断直线与圆的位置关系如果相交求它们交点的坐标
B 问题4．你能说出推断直线与圆的位置关系的两种方法吗？
222(3,3)4210.
M l x y y l --++-=例已知过点的直线被圆所截得的弦长为求直线的方程
()()()224:,3C :x y l y x b l +==+C 例3 .已知圆和直线 ,b 为何值时,直线与圆C 1相交,2相切相离.
六、达标检测
A1.1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）
A. 4
B.
C.5
D. 5.5
A2、M(3.0)是圆x 2+y 2-8x-2y+10=0内一点，则过点M 最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0
B. 2x-y-6=0
C.x-y-3=0
D.2x+y-6=0 B3、直线l: sin cos 1x y αα+=与圆x 2+y 2=1的关系是（ ）
A.相交
B.相切
C. 相离
D.不能确定
B4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P 为中点的弦所在的直线方程是_______ B 5.已知直线y=x +1与圆2
2
4x y +=相交于A ,B 两点，求弦长|AB |的值
七、小结与反思
【老师寄语】长风破浪会有时，直挂云帆济沧海 ！
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圆与圆的位置关系
一、学习目标:
学问与技能:（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长推断两圆的位置关系．
过程与方法:用类比的思想探讨圆与圆的位置关系，进一步将这些直观的事实转化为数学语言。 情感看法与价值观:通过视察图形，理解并驾驭圆与圆的位置关系，培育数形结合的思想． 二、学习重点、难点：用坐标法推断圆与圆的位置关系． 三、学法指导及要求：
1、细致研读教材129---130页，细致思索、独立规范作答，细致完成每一个问题，每一道习题，探讨最佳答案打算展示,不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的学问点和疑难问题以及解题方法规律，刚好整理在解题本，多复习记忆。（尤其是：圆与圆的位置关系的几何图形及其推断方法必需牢记）
3、A:自主学习；B:合作探究；C ：实力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班完成A.B 类题。平行班的A 级学生完成80％以上B 级完成70％～80％C 级力争完成60％以上。
四、学问链接
62
1.直线与圆的位置关系:
相离、相交、相切
2.推断直线与圆的位置关系有哪些方法？
(1)依据圆心到直线的距离；
(2)依据直线的方程和圆的方程组成方程组的实数解的个数；
3.圆与圆的位置关系有哪几种？(作图说明)
如何依据圆的方程推断圆与圆的位置关系，我们将进一步探究.
五、学习过程
A问题1：圆与圆的位置关系
两个大小不等的圆，其位置关系有内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？
B问题2:推断圆和圆的位置关系的方法
(1)几何法
(2)代数法
B问题3:已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，用上述方法推断两个圆位置关系的操作步骤如何？
B例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试推断圆C1与圆C2的位置关系.
六、达标测试
A1、推断下列两圆的位置关系：
(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16
(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0
B2、x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0相交，求实数m的范围
A3、已知以（-4,3）为圆心的圆与x2+y2=1相切，求圆C的方程.
C4、求过点A(0,6)且与圆x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程。
C5、求与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有条。
七、小结与反思
【励志金语】不经一番风霜苦，哪得梅花放芳香！
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直线与圆的方程的应用
一、学习目标:
学问与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
过程与方法:用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；其次步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
情感看法与价值观:让学生通过视察图形，理解并驾驭直线与圆的方程的应用，培育学生分析问题与解决问题的实力．
二、学习重点、难点：
学习重点:直线与圆的方程的应用．
学习难点:直线与圆的方程的应用时，坐标系的建立、方程的确定。
三、学法指导及要求:
1、细致研读教材130---132页，细致思索、独立规范作答，细致完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号.
2、把学案中自己易忘、易出错的学问点和疑难问题以及解题方法规律，刚好整理在解题本，便于复习记忆.
3、A:自主学习；B:合作探究；C：实力提升
4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B类题.平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C 力争完成60％以上.
四、学问链接:
1,回忆各种直线方程的形式，说清其特点及不足。
2，圆的标准方程是：(x-a)2+(y-b)2=r2圆心（a,b);半径：r.
3，你能说出直线与圆的位置关系吗？
五、学习过程
问题的导入：
问题1: 你能举几个关于直线与圆的方程的应用的例子吗？
直线与圆的方程的应用是特别广泛的，下面我们看几个例子
典型例题
1．标准方程问题：
例1:圆(x-2)2+(y+3)2
=4上的点到x-y+2=0的最远距离 最近的距离 。
2.轨迹问题：例2:过点A(4,0)作直线L 交圆O:x 2+y 2
=4于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程
3.弦长问题：例3: 直线L 经过点(5,5)，且和圆x 2
+y 2
=25相交，截得的弦长为54, 求直线L 的
方程。
4.对称问题：例4:求圆()()2
2
114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.
5.实际应用问题
例5:下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB ＝20cm ，拱高OP ＝4m ，建立时每间隔4m 须要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度(精确到
6.用代数法证明几何问题
例6
. 已知内接于圆的四边形的对角线相互垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
六、达标检测
A1，求直线l :2x-y-2=0 被圆C:(x-3)2+y 2
=9 所截得的弦长
B2，圆(x-1)2+(y-1)2
=4关于直线L:x-2y-2=0对称的圆的方程
B3，赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约7.2m,求拱圆的方程
B4，某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m 。现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？
C4，等边△ABC 中，D,E 分别在边BC,AC 上，且∣BD ∣=31∣BC ∣,∣CE ∣=3
1
∣CA ∣,AD,BE 相交于点P,求证：AP ⊥CP
七、小结与反思
利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题；用坐标法解决平面几何问题. 【励志金语】我的将来我把握，我的人生我设计！
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圆的习题课
一、学习目标:
1、学问与技能:使学生驾驭圆的各种方程的特点，能依据圆心、半径精确地写出圆的标准方程， 能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，熟识直线与圆，圆与圆的关系并能应用。
2、过程与方法:能依据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程，用转化法求轨迹 。
3、情感看法与价值观:能运用圆的标准方程解决一些简洁的实际问题,培育学生的应用意识。 二、学习重点、难点：
学习重点:圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系及应用。 学习难点:圆的方程的应用。 三、运用说明及学法指导:
细致复习总结、积累圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系等重要学问点，数形结合、分类探讨，待定系数法等思想方法。要通过解题积累阅历，总结方法，融会贯穿。 四、学问链接:
1、圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+-
2、圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0
3、点和圆的位置关系：
设圆C ∶2
22)()(r b x a x =-+-，点M 到圆心的距离为d ，则有：
(1)d ＞r 点M 在圆外；(2)d=r 点M 在圆上；(3)d ＜r 点M 在圆内．
4、直线和圆的位置关系：假如⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有
（1）直线l 与⊙O 相交 <=>d
典型题精炼：1. 如何推断点与圆的位置关系？
例题1：已知点P(-2, 4)和圆C 2
2
6490x y x y ++-+=, 试推断点P 和圆C 的位置关系.
练习：点P(-4, 3)和圆2
2
24x y +=的位置关系是（ ）
A. P 在圆内
B. P 在圆外
C. P 在圆上
D. 以上都不对
2. 如何推断直线与圆的位置关系？
例题2:当a(a >0)取何值时,直线x+y-2a+1=0与圆x 2+y 2- 2ax+2y+a 2-a+1=0 相切，相离，相交？
练习：圆 和3x-4y=9的位置关系是（ ）
A . 相切 B. 相离 C. 直线过圆心 D. 相交但直线不过圆心
3、直线与圆的交点弦长：
例题3:已知圆的方程是x 2+y 2 =2，它截直线y= x+1所得的弦长是
4、如何推断圆与圆的位置关系？
例题4：圆C 1: x 2+y 2- 6y=0和圆C 2: x 2+y 2- 8x+12=0的位置关系如何？
5、求圆的方程的常用方法：
例5：(1). 一个圆经过点P ( 2,-1 ), 和直线x- y =1相切，并且圆心在直线 y=- 2x 上，求这个圆的方程.
(2). 已知两点 A ( 4 , 9 ) 和B ( 6 , 3 )两点, 求以AB 为直径的圆的方程.
练习： (1). 圆C 的圆心为 ( 2 , -1 ) ，且截直线 y = x- 1 所得弦长为 22 , 求圆C 的方程.
6、求圆的切线的常见形式：
例6： (1). 求过点P( -3 , 2 )，与圆x 2+y 2=13相切的直线方程.
(2). 求过点P( -5 , 9 )，与圆(x+1)2+ (y-2) 2=13相切的直线方程.
(3). 设圆的方程x 2+y 2=13，它与斜率为3
2-的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程.
7、求最值问题：已知实数 x , y 满意方程x 2+y 2-4x +1=0.
（1） 求
x
y 的最大值和最小值； （2）求y-x 的最小值；（3）求x 2+y 2的最大值和最小值.
2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
【课后反思】
【老师寄语】宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1
4.2.1 直线与圆的位置关系 [学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系. 知识点一 直线与圆的位置关系及判断 思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法 (1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1 k ，由点斜式方程可求得切 线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半
径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式 (1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2. (2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F . 题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)， ∴当Δ>0，即m >0或m <－4 3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－4 3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即－4 3
人教A版数学必修二第四章第五课时导学案§4.2.3直线与圆的方程的应用
§4.2.3直线与圆的方程的应用 学习目标 1．理解直线与圆的位置关系的几何性质； 2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 3．会用“数形结合”的数学思想解决问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 130~ P 132，找出疑惑之处） 1．圆与圆的位置关系有 . 2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 . 3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 . 二、新课导学 ※ 学习探究 1．直线方程有几种形式? 分别是? 2．圆的方程有几种形式?分别是哪些? 3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? ※ 典型例题 例1 如图所示，已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22P A 的高度(精确0.01m)
变式：如图所示，是距今已有约1400年历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的赵州桥。其跨度是37.4m.，拱高约为7.2m.，求这座圆拱桥的拱圆的方程 例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半. ※ 动手试试 练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.
练2. 讨论直线2 =+与曲线y=. y x 三、总结提升 ※学习小结 1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”. 2．用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第四章《圆与方程》word教学设计
2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第四章《圆与方程》word教 学设计 学习目标 1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程； 2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P124~ P127，找出疑惑之处） 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？ 2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 二、新课导学 ※学习探究 新知：圆心为，半径为的圆的方程叫做圆的标准方程. 特殊：若圆心为坐标原点，这时，则圆的方程就是 探究：确定圆的标准方程的基本要素？ ※典型例题 例写出圆心为，半径长为5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上.
小结：点与圆的关系的判断方法： ⑴>，点在圆外； ⑵=，点在圆上； ⑶<，点在圆内. 变式:的三个顶点的坐标是 ，求它的外接圆的方程 反思： 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于的方程组，求或直接求出圆心和半径. 2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于的方程组；（3）解方程组，求出的值，并代入所设的方程，得到圆的方程. 例2已知圆经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程. ※动手试试 练1. 已知圆经过点，圆心在点的圆的标准方程.
练2.求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程 三、总结提升 ※学习小结 一．方法规纳 ⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系. ⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度. 二．圆的标准方程的两种求法： ⑴根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 学习评价 ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 已知，则以为直径的圆的方程（）. A．B． C．D． 2. 点与圆的的位置关系是（）. A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定 3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为（）. A．B． C．D． 4. 圆关于关于原点对称的圆的方程 5. 过点向圆所引的切线方程 .
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长: 圆的标准方程 一、学习目标 学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标 准方 程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。 情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。 二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程 学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 三、运用说明及学法指导: 1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。 2、不会的，模棱两可的问题标记好。 3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？ 2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究) A 问题1阅读教材118页内容，回答问题 已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？ 问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 例1：1写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2 = 9 (3) 2 2 2 ()()x a y a ++= 例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2 上、内、外的条件是什么？
高中数学必修二导学案-圆的一般方程
4. 1.2 圆的一般方程 【教学目标】 １．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． ２．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． ３．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 【教学重难点】 教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 教学难点：圆的一般方程的特点． 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． （二）检查预习、交流展示 1.写出圆的标准方程. 2.写出圆的标准方程中的圆心与半径. （三）合作探究、精讲精练 探究一：圆的一般方程的定义 1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．引出圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 探究二：圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题： 问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0． (2) 与圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)． (3) 的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论． 当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件： (1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0； (2)没有xy项，即B=0； (3)D2+E2-4AF＞0． 它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 强调指出： (1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； (2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． 例1 求下列圆的半径和圆心坐标：
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)， 而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程. 2.点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上. ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上. (2)点不在圆上 ①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足 F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内. 注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离： d min＝|PC|－r. 3.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方 程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离. (2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形. (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意. (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数. 4.圆与圆的位置关系 两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断). (1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长. (2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 5.空间直角坐标系 (1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应. (2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离 |P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2. (3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.
人教版高中数学必修二 导学案：第四章第一节圆的一般方程
第四章第一节圆的一般方程 三维目标 1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化； 2. 会用待定系数法求圆的一般方程； 3. 会用坐标法求点的轨迹方程； 4．体会代入消元的思想。 ___________________________________________________________________________ 目标三导 学做思1 问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么? (1)222210x y x y +-++=； (2) 05422 2=++-+y x y x ； (3) 064222=+-++y x y x 问题2. 方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是 多少？ 【试试】1. 圆的一般方程： （ ） 圆心坐标（ ， ），半径为 . 【试试】2. 若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ） A.k>1 B.k<1 C.1≥k D.k 1≤
【学做思2】 *1.已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=． （1）求点B 、C 的坐标； （2）求ABC ∆的外接圆的方程． 【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤 2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(2 2=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 （学生小组讨论展示解题思路） 【小结】求轨迹方程的一般步骤 【变式】自圆422=+y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。 3. 已知方程01464)1(2222=+-+---+m m my x m y x 表示圆． (1)求m 的取值范围；
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 综合检测
综合检测 一、选择题 1.点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2内，则直线x 0x ＋y 0y ＝r 2和已知圆的公共点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案 A 解析 ∵点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜r 2 .又∵圆心 O (0,0)到直线x 0x ＋y 0y ＝r 2 的距离d ＝|r 2| x 20＋y 2 ＞r ，∴直线与圆无交点. 2.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2) 答案 B 解析 因为直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，且直线l 1恒过定点(4,0)，所以直线l 2必过点(4,0)关于点(2,1)对称的点(0,2). 3.已知在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使其绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A.32π B.52π C.72π D.92π 答案 A 解析 所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥，所以所形成几何体的体积V ＝V 大圆锥 － V 小圆锥＝13πr 2(1＋1.5－1)＝13π(3)2×1.5＝32 π. 4.若点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2x －2y －2≤0，则点P 到直线3x ＋4y －22＝0的最大距离是( ) A.5 B.1 C.2－11 D.2＋1 答案 A 解析 由题意知，点P 在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上或其内部，因为圆心到直线的距离d ＝|3＋4－22| 32＋42 ＝3，所以点P 到直线的最大距离为d ＋r ＝5. 5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C 解析 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2＋3|22＋(3)2＝4(a ＞0)，解得a ＝2－1. 6.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，若SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝
人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆》优质课教案_0
用《几何画板》探究点的轨迹：圆 在解析几何中，我们学过到两定点距离之和为常数的点的轨迹，也学过到两定点距离之差为常数的点的轨迹，那么还能想到哪些类似的轨迹问题呢？自然会想到，平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹又是什么？这就是文本要探究的问题：阿波罗尼斯圆 一．历史背景 1.阿波罗尼斯圆简介 阿波罗尼斯，古希腊人，公元前262年到公元前190年，与阿基米德、欧几里得齐名，被誉为古希腊三大数学家。他写的《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了当时希腊几何的最高水平，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题。 在平面上给定相异两点A 、B ，设P 点在同一平面上，且满足PA/PB= m ， 当m>0且m ≠1时，P 点的轨迹是一个圆（当m=1时，点P 的轨迹是线段AB 的中垂线），由于这一轨迹是由古希腊数学家阿波罗尼斯首先发现的，因此这个圆我们称作阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。 2.几何画板简介 几何画板是美国软件The Geometer ’s Sketchpad 的汉化版，发展至今版本已升级到 5.04，是一个很适合用于几何教学和学习的工具软件平台，尤其在解析几何中大有用武之地，它可以揭示轨迹的形成过程，其精髓是在运动中保持原有的几何关系不变，所以被誉为“21世纪的动态几何”。随着信息技术在教育教学领域的广泛应用，几何画板将会成为我们数学教师最喜欢的一款教学软件，也是作为当今一名合格的数学教师的必备条件。 本文，我们将用几何画板这一“动态黑板”来揭示传统教学手段所不能展现的一个问题------阿波罗尼斯圆的轨迹形成过程。 二．与教材的衔接 阿氏圆在高中数学必修课程的数学2 第四章《圆与方程》里，多次出现。 第1次是在必修2课本第124页B 组第3题以一道习题的形成呈现的，具体如下： 3．已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为1/2，求点M 的轨迹方程。 分析：这道题原来是旧教材中圆的方程部分的一道例题，题目很简单。在给定坐标系里，设点M （x ，y ）是曲线上的任意一点，也就是点M 属于集合 ,21⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧==AM OM M P 由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为 ,2 1)3(222 2=+-+y x y x ① 将①式两边平方，得
2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2_第4章 圆与方4.1.2
4.1.2 圆的一般方程 知识导图 学法指导 1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤． 2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别． 高考导航 1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分． 2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分. 知识点一 圆的一般方程 1．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，该方程叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程下的圆心和半径： 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)表示的圆 的圆心为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为D 2＋E 2－4F 2. 知识点二 求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x ，y )所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．
求轨迹方程的一般步骤为： 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点： (1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0.
求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，
【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2021-2022高中数学必修二 第四章 圆与方程 4.3学案设计
第四章圆与方程 4.3空间直角坐标系 学习目标 1.把握空间直角坐标系的有关概念;会依据坐标找相应的点,会写一些简洁几何体的有关坐标. 2.把握空间中两点的距离公式. 学习过程 一、设计问题,创设情境 在房间(立体空间)内如何确定一个空间的物体所在位置?在同学思考争辩的基础上,老师明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应当需要几个数呢? 借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢? 二、同学探究,尝试解决 图1 借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢? 1.在学校,我们学过数轴,那么什么是数轴?打算数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示? 2.在学校,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?打算平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? 3.我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢? 4.观看图1,体会空间直角坐标系该如何建立. 5.观看图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢? 三、信息沟通,揭示规律 1.在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根,就成了空间直角坐标系. 2.如无特殊说明,本书建立的坐标系都是直角坐标系. 3.空间直角坐标系像平面直角坐标系一样,有“三要素”:. 图2 4.在平面上画空间直角坐标系O xyz时,一般使∠xOy=∠xOz=135°,∠yOz=90°,且使y轴和z轴的单位长度相同,x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半,即用斜二测法画. 已知M为空间一点,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P,Q,R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的.坐标为x,y,z的点M通常记为 M(x,y,z). 5.反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P,Q与R分别作的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的关系. 留意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有肯定的特征. 6.假如点M在yOz平面上,则;同样,zOx面上的点;面上的点,z=0;假如点M在x 轴上,则;假如点M在y轴上,则;假如点M在轴上,则x=y=0;假如M是原点,则 x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应当是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z). 7.你能用空间两点的坐标表示这两点间的距离吗?类比平面两点间距离公式的推导,猜想空间两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式. 四、运用规律,解决问题 8.如图,长方体OABC—D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,写出D',C,A',B'四点的坐标. 总结规律:(试总结如何依据题设条件写出点的坐标?) 9.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 总结规律:(试总结坐标轴上点的特征及空间中两点间的距离公式是什么?) 10.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1的中点,棱长为1,求E,F点的坐标. 总结规律:(试总结空间直角坐标系中中点坐标公式?) 五、变练演编,深化提高
2019人教版高中数学必修二导学案：第四章直线与圆的方程复习
第四章直线与圆的方程复习 三维目标 1．能建构本章的知识框架； 2. 掌握直线与圆知识的综合应用； 3. 通过圆的几何性质的运用，体会代数问题与几何问题的联系，及数形结合思想. ___________________________________________________________________________ 目标三导学做思1 问题1. 完成本章知识结构. (1)圆的方程是什么？ （2）点与圆的位置关系判断方法为？ 【思考】①圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值为？. ②圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值？ （3）直线与圆的位置关系的判断方法？ 【思考】①直线l与圆C相切意味着什么？②关于切线的常见题型有哪些？③直线与圆相交时的弦长公式为？ （4）圆与圆的位置关系判断方法为？
【思考】 两圆公共弦所在直线方程为？ （5）对称问题、最值问题、求轨迹方程等问题的解决方法为？。 【学做思2】 1.根据下列条件求圆的方程： （1）圆心在直线035:1=-y x l 上，并且圆与直线0106:2=--y x l 相切于点 P （4，-1）； （2）圆过点P （-2,4），Q （3，-1）并且在x 轴上截得的弦长等于6； （3）求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程. 【思考】求圆的方程要注意什么? *2.已知圆A ：x 2＋y 2 －2x －2y －2＝0. (1)若直线l ：ax ＋by －4＝0平分圆A 的周长，求原点O 到直线l 的距离的最大值； (2)若圆B 平分圆A 的周长，圆心B 在直线y ＝2x 上，求符合条件且半径最小的圆B 的方程．
21【数学】第四章《圆与方程》学案(新人教A版必修2)
数学必修②4.1～4. 2.1教材学习解读 一、学习目标 1、初步理解圆的标准方程的形式及圆的标准方程的定义,学会判定二元二次方程表示圆的条件,能用这些知识求圆的方程. 2、掌握判断直线与圆的位置关系的方法. 二、重点、难点 重点: 圆的方程, 直线与圆的位置关系. 难点：二元二次方程表示圆的条件. 三、知识点全解 1、确定圆方程的条件 圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-中，有三个参数r b a ,,，只要求出r b a ,,这时圆的方程就被确定．因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件． 确定圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法。定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，一般步骤为： (1)根据题意，没所求的圆的标准方程为022=++++F Ey Dx y x (2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组； (3)解方程组。求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程． 2、点),(00y x P 与圆的位置关系: 若22020)()(r b y a x =-+-，则点P 在圆上；若22020)()(r b y a x >-+-,则点P 在圆外；若2 2020)()(r b y a x <-+-,则点P 在圆内； 3、二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否表示圆的条件： 先将二元二次方程配方得4 4)2()2(2222F E D E y D x -+=+++①,(1)当
吉林省舒兰市第一中学高中数学人教A版导学案 必修二 4.1 圆的方程
第四章 4.1 圆的方程 编号041 【学习目标】１．把握圆的标准方程的特点，能依据所给有关圆心、半径的具体条件精确 地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简洁的实际问题． ２．通过圆的标准方程的推导，培育同学利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的力量． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想训练． 【学习重点】(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)依据具体条件正确写出圆的标准方程． 【学问链接】（1）圆的定义；（2）直线方程的定义，直线上点的坐标与直线方程解得关系。 【基础学问】探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点： 2．写点集： 3．列方程： 4．化简方程： 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 【例题讲解】例1： 写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； （2）圆心在C(3,4),半径为5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径： (1)5)2()3(22=-+-y x ；(2)7)3()4(2 2 =+++y x ；(3)4)2(2 2 =+-y x 例２： (1)已知两点P (4，9)和P (6， 3)，求以PP 为直径的圆的方程；(2)试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 【基础学问】问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程22 2460x y x y +-++=表示什么图形？ 问题2．方程 220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？ 新知：方程 220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹. ⑴当22 40D E F +->时，表示以(,)22D E --为圆心,22142D E F +-为半径的圆； ⑵当22 40D E F +-=时，方程只有实数解 2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不肯定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如 220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程 思考： 1．圆的一般方程的特点？ 2．圆的标准方程与一般方程的区分？ 例3：推断下列二元二次方程是否表示圆的方程？假如是，恳求出圆的圆心及半径. ⑴ 224441290x y x y +-++=； ⑵ 2244412110x y x y +-++= 例4 ：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2 214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨 迹方程. 【达标检测】 １．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是 （ D ） A ．(1,－2),4 B ．(1,－2),2 C ．(－1,2),4 D ．(－1,2),2 ２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为 2)3(2 2=+-y x 3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．
新课标高中数学人教A版必修二教案-4.1.1圆的标准方程(学案)
新课标高中数学人教A版必修二教案 4. 1.1圆的标准方程 【教学目标】 １．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力． ３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育． 【教学重难点】 教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题． 【教学过程】 （一）情景导入、展示目标 前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？ 1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)． 2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． （二）检查预习、交流展示 求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9 (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； (5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少． （三）合作探究、精讲精练 探究一：如何建立圆的标准方程呢？ 1．建系设点 由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)． 2．写点集 根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程 由两点间的距离公式得： 4．化简方程 将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程． 探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2． 教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板) (1)圆心在原点，半径是3； (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程． 解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；
山东省临沂高一数学新人教A版必修二4.1《圆的方程》学案(1)
圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2E ）2=4 422F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2E ），半径r =2 1 F E D 422-+的 圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－ 2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0， B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1 第四章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．把握求圆的标准方程的不同求法． 1．设圆的圆心是A (a ，b )，半径长为r ，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r ，则圆的标准方程是________________． 2．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外⇔________；点P 在圆上⇔________；点P 在圆内⇔________． 一、选择题 1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝1 2 的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆内 C ．在圆外 D ．不能确定 2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法推断 3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2 ＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1 B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1 C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1 5．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 二、填空题 7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________． 8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 9．假如直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________． 三、解答题 10．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程． 11．已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且该圆经过点A (6,1)，求这个圆的方程． 力量提升 12．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝4和直线l ：x －y ＝5，求C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值． 13．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最值． 1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d 与圆半径r 比较．(2)利用圆的标准方程直接推断，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2与r 2比较． 2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a ，b ，r ，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径． 3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，依据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解． 第四章 圆与方程 §4．1 圆的方程 4．1．1 圆的标准方程【学案导学与随堂笔记】2022-2021学年高一数学人教版A版必修二练习：4.1.1 圆的标准方程