运筹学线性规划习题有参考解答
运筹学：线性规划模型、线性规划的解法习题与答案
1、图解法适用于含有（）个变量的线性规划问题。
正确答案：两或22、线性规划问题的可行解是指满足（）的解。
正确答案：所有约束条件3、在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于（）。
正确答案：零或04、若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的（）达到。
正确答案：顶点或极点5、线性规划问题有可行解，则必有（）。
正确答案：基可行解6、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其（）的集合中进行搜索即可得到最优解。
正确答案：基可行解7、满足（）条件的基本解称为基本可行解。
正确答案：非负8、求解线性规划问题可能的结果有四种，分别是（）。
正确答案：无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解和退化解9、求一个线性函数在一组（）约束条件下的最大化或最小化问题，称为线性规划问题。
正确答案：线性1、若x、y满足约束条件{x≤2 y≤2x+y≥2则z=x+2y的取值范围是（）。
A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5]正确答案：A2、为化为标准形式而引入的松弛变量在目标函数中的系数应为（）。
A.0B.1C.2D.3正确答案：A3、若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题（）。
A.没有无穷多最优解B.没有最优解C.有无界解D.没有无界解正确答案：B4、在单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中（）。
A.不影响解的可行性B.至少有一个基变量的值为负C.找不到出基变量D.找不到进基变量正确答案：B5、用单纯形法求解极大化线性规划问题中，若某非基变量检验数为零，而其他非基变量检验数全部<0，则说明本问题（）。
A.有惟一最优解B.有多重最优解C.无界D.无解正确答案：B6、单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数（）。
A.绝对值最大B.绝对值最小C.正值最大D.负值最小正确答案：C7、在单纯形表的终表中，若非基变量的检验数有0，那么最优解（）。
A.不存在B.唯一C.无穷多D.无穷大正确答案：A8、线性规划模型不包括下列（）要素。
《运筹学》线性规划部分练习题一、...
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。
1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2．线性规划的可行解集是凸集。
3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。
10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
运筹学参考答案
-3 x2 [4] 2 -3+6M 1 0
0
-1 x3 2 0 -1+2M 1/2 -1
1/2-M
0 x4 -1 0 -M -1/4 -1/2
-3/4-M/2
0 x5 0 -1 -M 0 -1
-M
-M x6 1 0 0 1/4 -1/2
3/4-3M/2
-M x7 0 1 0 0 1
b.用单纯形法求解 列单纯形表： 解： Cj→ CB 0 0 xB x3 x4 x3 x1 x2 x1 b 15 24 3 4 3/4 15/4 2 x1 3 [6] 2 0 1 0 0 1 0
*
1 x2 5 2 1 [4] 1/3 1/3 1 0 0
T
0 x3 1 0 0 1 0 0 1/4 -1/12 -1/12
5 x1 + 3 x2 + x3 + x4 = 9 −5 x1 + 6 x2 + 15 x3 + x5 = 15 s.t. 2 x1 + x2 + x3 − x6 + x7 = 5 x , x , x , x , x , x , x , ≥ 0 1 2 3 4 5 6 7
M 为一个任意正数 Cj→ CB 0 0 -M Cj-Zj 10 0 -M Cj-Zj 10 12 -M Cj-Zj x1 x3 x7 3/2 3/2 1/2 x1 x5 x7 9/5 24 7/5 xB x4 x5 x7 b 9 15 5 10 x1 [5] -5 2 10+2M 1 0 0 0 1 0 0 0 15 x2 3 6 1 15+M 3/5 9 -1/5 9-M/5 39/80 9/16 -43/80 27/8-43M/80 12 x3 1 15 1 12+M 1/5 [16] 3/5 10+3M/5 0 1 0 0 0 x4 1 0 0 0 1/5 1 -2/5 -2-2M/5 3/16 1/16 -7/16 -21/8-7M/16 0 x5 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/80 1/16 -3/80 -5/8-3M/80 0 x6 0 0 -1 -M 0 0 -1 -M 0 0 -1 -M -M x7 0 0 1 0 0 0 1 O 0 0 1 0 9 3/2 7/3 9/5 5/2
运筹学：线性规划的数学模型与单纯形法习题与答案
一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。
A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。
A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。
A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。
A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。
A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。
A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。
A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。
A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。
A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。
A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。
运筹学习题
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝53x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3(2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2≤4 2x1＋4x2≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16x j≥0 （j＝1,2,3）x j≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4 st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3 st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16 x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束 x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。
运筹学习题解答(chap2 线性规划的对偶理论)
第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,2.1(a)321422m in x x x Z ++=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++.,0,;534;332;243321321321321无约束x x x x x x x x x x x x解：原模型可化为321422m in x x x Z ++=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≥≥++.,0,;534;3-3--2-;243321321321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为321532m ax y y y W +-=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;22321321321321无约束y y y y y y y y y y y y2、P89,2.1(b)321365m ax x x x Z ++=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;522321321321321x x x x x x x x x x x x 无约束解：令033≥-='x x 原模型可化为321365m ax x x x Z '-+=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321321321321321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束于是对偶模型为321835m in y y y W +-=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥---≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束二、灵敏度分析1、P92, 2.11线性规划问题213m ax x x Z += s.t ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1025;74212121x x x x x x最优单纯形表如下试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变？ （2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变？ 解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⨯-⨯+=≤⨯+⨯-=034131003513201413c c σσ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥42511c c 所以：4251≤≤c 时可保持最优解不变。
《运筹学》线性规划部分练习题一、...
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。
1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2．线性规划的可行解集是凸集。
3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。
10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
运筹学习题解答
《管理运筹学教程》习题参考答案第一章 线性规划1、解：设每天应生产A 、B 、C 三种型号的产品分别为321,,x x x 件。
则线性规划模型为： ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,20005040401200637.3020405max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x Z 2、解：设5种债劵的投资额分别为54321,,,,x x x x x 件。
则线性规划模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+≥+≤≤+≤+=++++++++=0,,,,)(2.0)(65.0121830.05.0055.0045.009.0065.0max 5432121543243215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z3、（1）解：对原问题标准化，令1x '＝－1x ，333x x x ''-'= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''''=''-'+-'=-''-'++'=+''+'-+'-''-'++'-='0,,,,, 30444 25443 92. 442max 543321332153321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x Z （2）解：对原问题标准化，令1x '＝－1x ，333x x x ''-'= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''''=''-'++'-=-''-'++'=+''-'++'''+'--'='0,,,,, 264425 144434 192223. 442max 543321332153321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x Z （3）解：对原问题标准化，令222x x x ''-'= 221m ax x x x Z ''-'+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥''≥'≥=''-'-≥''-'+≤''-'+0,0,0 3)(2 4)(7 6)(32. 221221221221x x x x x x x x x x x x t s4、（1）解：首先将线性规划模型标准化得：3212m ax x x x z +-=⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+-+=++-=+++0,,,202102603.621632153214321x x x x x x x x x x x x x x x t s Λ最优解为1 =0，2 = 110/3 , 3 = 70/3。
《运筹学》线性规划部分练习题一、...
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2．线性规划问题的一般形式有何特征？3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。
1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2．线性规划的可行解集是凸集。
3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。
10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
管理运筹学后习题参考答案汇总
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。
当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。
答：可行解：满足约束条件的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所示：5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
s.t.解：标准化s.t .列出单纯形表4 12b0 2 [8]2/80 8 68/64 1 241/41/8 1/8] /8(1/4/(1/813/265/4 /4 3/4(13/2/(1/4－1/23/21/22 2 80 6 －22 1－12－52故最优解为，即，此时最优值为．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。
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《运筹学》前8周课程参考习题
一、考虑下列线性规划模型
某企业生产甲、乙、丙三类特种钢材，每吨甲，乙，丙钢材需要加入金属材料A，B，C，D的数量，原料限制及每吨甲，乙，丙钢材的利润如下表：
求使得总利润最高的生产方案。
使用《运筹学》教学软件，得到结果如下：
a ．请根据上面求解线性规划问题输出表格说明：最优解，最优值，对偶价格是什么？他们的关系及含义是什么？
b ．解释松弛 / 剩余变量的含义。
如果原料A 、B 、C 、D 可以用相同的价格购买补充，你将优先考虑哪一种，为什么？购买价格在什么范围内，你可以接受？
c ．当钢材甲的利润由12千元／吨变为10千元／吨的同时，产品乙的利润由9千元／吨变为9.5千元／吨，这时原来的最优方案变不变？为什么？
d ．当其它金属原料的供应量不变时，金属原料C 的供应量在什么范围内可以保证对偶价格不变？试解释其含义。
参考解答：
a ．最优解：( 87.273，19.091,0 )T ； 最优值：1219.091；
对偶价格：( 1.273，0,0,1.545 )T ；
对偶价格分量表示相应资源增加（或减少）1个单位，最优值增加（或减少）的数量。
b ．解释松弛 / 剩余变量的含义：实际使用的资源与资源限额的差； 如果原料A 、B 、C 、D 可以用相同的价格购买补充，将优先考虑D ，因为D 的影子价格最高。
D 的购买价格在1.54千元以下时可以接受。
c ．根据百分之一百法则：
%100292014.002381.0268204.09
309
5.9543.4121012≤=+=--+--
原来的最优方案不变。
d ．当其它金属原料的供应量不变时，金属原料C 的供应量大于等于201.818kg 时，可以保证对偶价格不变。
其含义是：在这个范围内，原料C 的增加或减少都不会应影响最优利润，因为C 在这个范围内对偶价格为0。
二、某企业生产三种仪器A 、B 、C ，所需要的加工时间分别为10小时、8小时和13小时，每月的正常加工时间为 600 小时；生产成本分别为12万元、15
万元和10万元，每月可支付生产成本的资金为700万元；各产品可获得的利润均为成本的10％。
根据调查分析，市场对仪器A 、B 、C 的需求分别为30台、20台和18台。
决策者考虑：
首先，要尽可能达到产品数量的需求；其次，要充分发挥企业的加工能力；第三，要求尽可能获得较多的利润；最后，要求加班时间最少。
问应如何安排生产？(建模，不求解)
参考解答
设x 1, x 2, x 3 分别为仪器A 、B 、C 的产量
1123243544
1112223331234412355123min ()..302018
108136001.2 1.5 1.084(1.230 1.520 1.01884)121510700
0,,0,
1,2,3;i j j P d d d P d P d P d s t x d d x d d x d d x x x d d x x x d d x x x x d d i j -----+
-+-+-+-+-++-
++++++-=+-=+-=+++-=+++-=⨯+⨯+⨯=++≤≥≥==1,2,3,45⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
，
三、某企业生产甲、乙、丙三种产品，其每单位所消耗工时分别为1.6、2.0、2.5小时，每单位所需原料A 分别为24、20、12 kg ，所需原料B 分别为14、10、18 kg 。
生产线每月正常工作时间为 240 小时，原料A 、B 的总供应量限制为 2400kg 和1500kg 。
生产一个甲、乙、丙产品各可获利润525、678、812元，试分别建立以下两种情况下的数学模型，不需要计算。
a ．由于每单位丙产品的生产会产生 5kg 副产品丁，这些副产品丁一部分
可以销售，利润为300元/kg ，剩下的会造成污染，每kg 需要排污费200元。
副产品丁的需求量为每月不超过150kg 。
应如何确定生产计划，可使总利润最大？ b ．工厂考虑到产品丙有污染，决定不生产丙而准备在另外的三种产品W 、Q 、G 中选择1种或2种来进行生产，它们所消耗工时、所需原料A 、B 及利润如下表：
应如何确定生产计划，可使总利润最大？ 参考解答：
a ．设x 1, x 2, x 3 分别为产品甲、乙、丙的产量，x 4, x 5 分别为副产品丁销售和未销售的数量 模型：
12345123123123453412345max 525678812300200.. 1.6 2.0 2.5240242012240014101815005150
,,,,0
z x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎪
++≤⎨
⎪+=⎪⎪≤⎪≥⎩
b ．设x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 分别为产品甲、乙、W 、Q 、G 的产量，y 1, y 2, y 3 为0-1变量，分别表示产品W 、Q 、G 生产（取值1）和不生产（取值0） 模型：
1234512345123451234531425312312345123max 525678*********.. 1.6 2.0 1.4 1.5 1.72402420191511240014101417201500,,,12,,,,0,
,,01
z x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x My x My x My y y y x x x x x y y y or =++++⎧⎪++++≤⎪⎪++++≤⎪
++++≤⎨
⎪≤≤≤≤++≤≥=⎩
⎪⎪⎪。