《计算流体力学》结课作业

2012～2013学年第1学期

12级研究生《计算流体力学》结课作业

适用专业：供热供燃气通风及空调工程

一、结合某一具体学科，阐述纯理论方法、实验方法及数值方法在科学研究中的各自优缺点，在此基础上论述数值模拟方法的发展前景。（不少于4千字）。

流体力学是力学的一个重要分支, 是研究流体(液体和气体)的力学运动规律及其应用的学科, 主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态特征，以及流体和相邻固体界面有相对运动时的相互作用和流动规律。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，流体力学与人类的日常生活和生产事业密切相关。按其研究内容的侧重点不同，分为理论流体力学和工程流体力学。其中理论流体力学主要采用严密的数学推理方法，力求准确性和严密性，工程流体力学侧重于解决工程实际中出现的问题，而不追求数学上的严密性。当然由于流体力学研究的复杂性，在一定程度上，两种方法都必须借助于实验研究，得出经验或半经验的公式。

在实际工程的诸多领域流体力学都起着十分重要的作用。如气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸，都广泛地用到流体力学知识。许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导，同时也促进了流体力学自身的不断发展。1950年后，计算机的发展给予流体力学以极大的推动作用。

目前，解决流体力学问题的方法主要有实验方法、理论分析方法和数值方法三种。

实验方法

同物理学、化学等学科一样，流体力学的研究离不开实验，尤其是对新的流体运动现象的研究。实验能显示运动特点及其主要趋势，有助

于形成概念，检验理论的正确性。二百年来流体力学发展史中每一项重大进展都离不开实验。流体力学实验研究方法有实物实验、比拟研究和模型研究三类：实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，适用于较小的原型；比拟实验是利用电场和磁场来模拟流场，实施起来限制条件较多；模型研究是实验流体力学最常用的研究方法。

实验研究的一般过程是：在相似理论的指导下建立实验模型，用流体测量技术测量流动参数，处理和分析实验数据。建立实验模型要求模型与原型满足相似理论，即满足两个流场相似。流体力学中两个流场相似要求: 几何相似、运动相似、动力相似、边界条件、初始条件相似。两个流场动力相似，则两个流场所有的动力相似准则应分别相等。但要做到两个独立的动力相似准则同时分别与原型的同名准则相等是不可能的，所以只能部分相似，即近似模型实验。模拟实验在流体力学中占有重要地位。根据模型实验所得的数据可以用像换算单位制那样的简单算法求出原型的数据。

实验方法有诸多优点：实验方法可靠性高，能反映工程中的实际流动规律，发现新现象，检验理论结果等；工程实际中，由于控制方程多为非线性方程，大多问题无法得到理论解析结果，而必须借助于实验的方法，尤其是对于目前尚未有合适数学模型的复杂湍流流动、某些非牛顿流体的流动、多相流等问题，实验测试则是唯一的研究方法。但实验方法受到模型尺寸、流动扰动、人身安全和测量精度的限制，有时可能通过实验无法得到结果；另外实验中还会遇到经费投入不足，人力、物力的巨大耗费及周期长等诸多困难。

理论分析方法

理论分析（理论研究方法）是根据流体运动的普遍规律如质量守恒、动量守恒、能量守恒等，利用数学分析的手段，研究流体的运动，解释已知的现象，预测可能发生的结果。

理论分析的一般过程是：建立力学模型，用物理学基本定律推导流体力学数学方程，用数学方法求解方程，检验和解释求解结果。理论研

究方法的关键在于提出理论模型，并能运用数学方法求出理论结果，达到揭示液体运动规律的目的。流体力学中最常用的基本模型有：连续介质、牛顿流体、不可压缩流体、理想流体、平面流动等。对这样的理论模型，根据机械运动的普遍规律，用数学语言将质量守恒、动量守恒、能量守恒等定律表达出来，从而得到连续性方程、动量方程和能量方程。此外，还要加上某些联系流动参量的关系式(例如状态方程)，或者其他方程，构成流体力学基本方程组。将原来的具体流动问题转化为数学问题，在相应的边界条件和初始条件下求解。求出方程组的解后，可结合具体流动，解释这些解的物理含义和流动机理。

理论分析优点：能揭示流动的内在规律，具有普遍适用性，成本最低，结果最理想，影响因素表达清楚。但理论分析方法局限于非常简单的问题。

数值方法

数值研究的一般过程是：对流体力学数学方程作简化和数值离散化，编制程序作数值计算，将计算结果与实验结果比较。

在流体力学理论研究和工程应用中，描述流体运动的数学方程是非线性偏微分方程组，只对极少数的简化模型可以通过数学方法，获得理论分析解，多数情况下，只能通过数值计算的途径进行求解。这里说的“数值计算”，是指利用高速电子计算机，对描述流体力学具体问题的偏微分方程初边值问题进行离散化计算，从而获得流动区域中离散点上的流体物理量的求解方法。这种通过数值计算获得流动区域中离散点的数值解的方法，通常称为流体力学数值解法，也可称之为计算流体力学。随着高速电子计算机的发展与普及，数值方法越来越受到重视，已成为流体力学理论研究和工程应用的重要手段。计算流体力学是以计算机为工具、以流体力学的基本方程（纳维－斯托克斯方程）为理论依据，采用离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的流体力学分支学科。

常用的方法有：有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、

谱分析法等。计算的内容包括：飞机、汽车、河道、桥梁、涡轮机等流场计算；湍流、流动稳定性、非线性流动等数值模拟。大型工程计算软件已成为研究工程流动问题的有力武器。数值方法的优点是能计算理论分析方法无法求解的数学方程，比实验方法省时省钱，但毕竟是一种近似解方法，适用范围受数学模型的正确性和计算机的性能所限制。

三种方法各有优缺点，我们应取长补短，互为补充。流体力学的研究不仅需要深厚的理论基础，而且需要很强的动手能力。学习流体力学应注重理论与实践结合，理论分析、实验研究和数值计算并重。

数值模拟方法的发展前景

任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的，这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。而这些控制方程大多是一些极其复杂的偏微分方程，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，此时，数值方法显现出了极大地优越性。

这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了“计算流体力学”。计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）是21世纪流体力学领域的重要技术之一，使用数值方法在计算机中对流体力学的控制方程进行求解，从而可预测流场的流动。流体力学的运动方程是极其复杂的非线性偏微分方程，具有各种不同的类型，而且往往还是混合型的。计算流体力学在很大程度上就是针对不同性质的偏微分方程采用和发展相应的数值解方法。

经过40年来的发展，计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段，在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量

的工程设计实际问题，其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形，确定其气动载荷，从而有效地提高了设计效率，减少了风洞试验次数，大大地降低了设计成本。此外，计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域，显示了计算流体力学强大的生命力。

随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展，利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高，现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线。目前计算流体力学主要向二个方向发展：一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理，开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究；另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动，解决工业生产中的各种问题。

随着科技的进步，许多关于数值模拟方法的商业软件产生了。计算流体力学商业软件最早出现于上世纪八十年代初，目前已经在工业领域和学术研究领域发挥着积极的作用。这些软件的使用减少了计算流体力学研究和开发人员的工作量，降低了对研究人员计算机知识的要求，从而使研究者可以把精力集中在对计算流体力学本质问题的研究和技术开发上。

流体力学和其他学科一样，是通过理论分析和实验研究两种手段发展起来的。很早就已有理论流体力学和实验流体力学两大分支。解决流体力学问题时、实验方法、理论分析方法和数值方法是相辅相成的。实验需要理论指导，才能从分散的、表面上无联系的现象和实验数据中得出规律性的结论；而理论分析和数值模拟也要依靠实验方法给出物理图形或数据，以建立流动的力学模型和数学模式；最后，还须依靠实验来检验这些模型的完善程度。此外，实际流动往往异常复杂，理论分析和数值计算会遇到巨大的数学和计算方面的困难，得不到具体结果，只能

通过实验方法进行研究。

任何一种方法都有它自身的局限性，而数值方法在弥补理论分析的不足之处有着极大的优越性。理论分析是用数学方法求出问题的定量结果，鉴于流体力学控制方程组的特点，能用这种方法求出结果的问题毕竟是少数，计算流体力学正是为弥补分析方法的不足而发展起来的。数值模拟方法的优点显而易见，在解决工程问题中已得到了很好的证明，特别是近些年关于数值模拟方法的软件日趋成熟，使得数值模拟方法的应用更为方便准确。数值模拟已经成为人类改造世界的第三种手段，今后将会得到广泛应用与长足发展。

二、概述有限差分方法的基本思想、技术要点及应用步骤等（不少于5千字）。

物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。

有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。但是从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值插值计算来近似得到。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

有限差分方法的基本思想是按时间步长和空间步长将时间和空间区域将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上

的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

有限差分法的优点是在规则区域结构上，FDM十分简便而且有效，并且很容易引入对流项的高阶格式；解的唯一性、收敛性、稳定性、误差估计等数学基础比较完善，可以根据不同的离散方法得到不同的精度；在处理高雷诺数问题时比FEM、BEM优越，计算程序简单。主要缺点是离散方程的守恒性难以保证；对于复杂流体区域的适应性差，可采用贴体坐标系进行变换，但计算比较复杂。

有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下:

1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；

我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。网络线划分的交点称为节点。若与某个节点P相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P点称为正则节点；反之，若节点P有处在定义域外的相邻节点，则P点称为非正则节点。数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。

（1）区域D的离散化：即通过任意的网络划分方法把区域离散为许许多多的小单元。原则上讲这种网格分割是可以任意的，但是在实际应用中，常常是根据边界的形状，采用最简单，最有规律，和边界的拟合程度最佳的方法来分割。常用的有正方形分割法和矩形分割法，有时也用三角形分割法。对圆形区域，应用极网络格式也许更方便些。这些网络单元通常称为元素，网络点称为节点。

（2）边界条件的离散化的处理：若场域的网络节点都落在边界G上，则显然无需再做处理。但是在一般情况下，边界是不规则的。网络节点不可能全部都落在边界G上。对于第一类边界条件（狄利克莱问题)，通常有两种处理办法。

一种是所谓的直接转移法，如果0节点靠近边界，则取最靠近0点的边界节点上的函数作为0点的函数值。这是一种比较粗糙的近似。另一种方法是较为精确的线性插值法。第二、三类边界条件可统一写为，其中，当时为第二类边界条件；当时为第三类边界条件。对第二、三类边界条件也可以用插值法求出临近边界节点上的函数值。

2、近似替代，即采用差商代替每一点的导数；

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式；从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式、向前差分格

式和向后差分格式；考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等；目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。在构造差分格式时，究竟应该选择向前，向后还是中心差分格式，应当根据由此得到的差分方程解的稳定性和收敛性来考虑。同时要兼顾到差分格式是否简单和求解的是否方便。

例如，FTCS格式（时间向前差分、空间中心差分）

FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）

FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）

根据冯诺依曼稳定性分析，FTBS格式，在和的条件下稳定，而FTFS格式，在和的条件下稳定。这里，当的符号改变时，为了使差分格式稳定，空间差分的方向也做了相应的变化。

3、逼近求解，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。

求解差分方程组一般采用Gauss消去法、追赶法、迭代法、交替方向隐式差分法（ADI法）、隐式近似因式分解法（AF法）等，上述消去法和追赶法对求解离散后的代数方程组没有特别的优势，采用迭代法来求解方程组在收敛速度上有一定的优势。迭代法基本思路为：首先对求解的未知量给一个预测值，代入代数方程组，它一定不满足方程组。利用一些特性对预测值进行修正，并把修正后的预测值再代入方程组，它仍不满足方程组。再修正预测值，再代入方程组，通过不断迭代过程，直到收敛于数值解。

迭代法中的高斯—赛德尔迭代法，简称为G-S迭代法，具有形式简单，收敛速度较快的特点。假设求解过程是按x和y增长方向进行，于是在求点的值时，在和点上的值实际上已经求出。G-S迭代法基本思路是把已经求的的值，立即代入迭代式中去。它的迭代差分格式为：

松弛迭代法是对G-S迭代法的一种改进。其差分格式为：

式中被称为松弛因子。当=1时，松弛迭代法就是高斯—赛德尔迭代法；当w>1时被称为超松弛迭代法，简称SOR法。它可以加速迭代收敛速度。SOR法的松弛因子一般需要通过调试得到。最优松弛因子可通过理论分析得到，它会随着计算区域内网格点增多而增大。计算实践发现，当所选择的松弛因子小于最优松弛因子时，在迭代过程中变量迭代值的变化是单调的；当所选的松弛因子大于最优松弛因子时，迭代过程中变量迭代值的变化会随迭代次数发生摆动，由此也可以确定最优松弛因子。松弛因子的值的选择标准应当是它能减小矩阵的最大本征值的数值。的取值范围在时，收敛速度较好。当=1时，这就是高斯—赛德尔迭代法。一般情况下确定的最佳值，只能靠经验来选取。对于正方形区域的第一类边值问题，最佳的可从理论上选为

为每边的节点数。

若是矩形区域，用正方形网格分割，每边的节点数分别为和，则可选取

一般地讲，只要超松弛因子选得合适，就可以大大地加快收敛速度，可以做到有效的改善。

交替方向隐式差分法也称为ADI法。它是为求解隐式差分格式所设计的一种简化算法。众所周知，在求解全隐的差分格式时，迭代法既复杂又费时，而且不易收敛。ADI法是对迭代法的一种改进，它既方便又能较快收敛。它的基本思路为：把一个全隐式差分格式分解成几个简单的部分隐式或部分显式的差分格式，每部分的差分计算比较简单，收敛速度也较快。

隐式近似因式分解法（AF法）是对全隐式差分格式采用近似因式分解后，再在不同方向上采用ADI法，再在不同方向上采用ADI法交替进行

求解，因此（AF法）也是ADI法中的一种。

原则上，只要我们取网格间距足够小，方程就可以得到精确解。但是我们注意到差分方程的解不大可能与原来的偏微分方程的解完全相同。两者间的偏差正是由于用差分公式代替偏微分所带来的。在实践中，有必要在求解方程时采用不同的网格间距值来计算以检验结果的收敛性。

对微分方程数值求解的误差的来源：

（1）方法误差（截断误差）。这是由于采用的计算方法所引起的误差。当我们采用泰勒展开式展开到第项时，截断误差阶数为。具体方法的误差阶数取决于离散化时的近似阶数，因此若改进算法就可以减小截断误差。

（2）舍入误差（计算误差）。这是由于计算机的有限字长而造成数据在计算机中表示所出现的误差。在计算机运算的过程中，随着运算次数的增加舍入误差会积累得很大。如果在多次运算后，舍入误差的精度影响是有限的，那么这个算法是稳定的，否则是不稳定的。不稳定的算法是不能用的。

差分方程的相容性、收敛性、稳定性：

1、相容性（Consistency)

导数与其差分近似式之间存在截断误差。因此，差分方程的解并不是严格的，而是近似地满足原来的偏微分方程。但是，当时间步长和空间步长都趋近于零时，差分方程的截差(截断误差)也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程。这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方程“收敛”于原偏微分方程。

差分方程相容性是讨论当，时，差分方程逼近于偏微分方程的程度。

2、收敛性(Convergence）

指差分方程的解，即当步长，时收敛于原偏微分方程的解。

差分方程收敛性是讨论当，时，差分方程数值解逼近于偏微分方

程精确解的程度。

3、稳定性（Stability)

由于差分方程的求解是以步进方式进行的，在逐步推进的过程中，误差也逐步积累。若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的，若这种误差积累无界，则差分方程是不稳定的。

稳定性是讨论在计算过程中，某一时刻某一点产生计算误差，随着计算时间增加，误差是否能被抑制的问题。

当数值求解差分方程时，计算误差总是不可避免的。计算误差包括舍入误差、离散误差和初值误差。设偏微分方程精确解为，数值解为，则计算误差定义为：

式中是离散误差，是舍入误差。

定义：在某一时刻，差分方程的计算误差为，若在时刻满足：

或条件，则该差分方程是稳定的。

有限差分方法是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。其计算格式和程序的设计都比较直观和简单，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分，将会得到长足发展。

三、Determine the stability requirement necessary to solve the one-dimensional heat equation with a source term.

Use the central-space, forward-time difference method.

解：将微分方程转化为有限差分方程

即

设

设误差可写为代入上式，得

即

稳定性条件是：

四、Apply the windward differencing scheme to the two-dimensional wave equation

and determine the stability of the resulting scheme.

解：当时

则微分方程可化为：

设

设

则

当，时稳定

当时

则微分方程可化为：

设

设

则

当，时稳定

五、Determine the solution of the heat equation

With the boundary conditions

With an initial distribution

解：令

令

则

解得，

其中，

由三角函数正交性，得可得，