2018-2019学年江苏省姜堰二中高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版
姜堰二中2018-2019学年度第一学期期中考试 高 二 数 学 (理) 试 题 2018.11.12
命题人：鲁彬
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．抛物线2
4y x =的准线方程为 ．
2．在复平面内，复数i
i z 21-=(i 为虚数单位)对应的点位于第 象限
3．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ． 4．运行如图所示的伪代码，其结果为
5．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为__________ 6．已知两点5(5,
),(1,
)
44
P Q ππ
，则线段P Q 的长度为 ．
7．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 ． 8．已知i 是虚数单位,若复数
z a =
+
满足
23
z -<的a 的范围为D ，在区间[-4,4]上随机
取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．
9．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是________． 10．如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米．
S ←0
For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S
（第4题）
11．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2
2
2
1x y
a
-=（0a >）经过抛物线2
8y x
=的焦点，则
该双曲线的离心率是 ．
12．若椭圆
1
9
8
2
2
=+
+y
k x
的离心率3
1=
e ，则k 的值为 ．
13．已知直线2:21
x t
l y t =?
?
=-?（t 为参数）与曲线C: 2co s ([0,2))sin x y θθπθ
=?∈?
=?交于,A B 两点，
点M 是线段A B 的中点，则直线O M （O 为原点）的斜率为 ．
14．如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线,A C B D ，设内层
椭
圆方
程为
()222
2
10x y a b a
b
+
=>>，外层椭
圆方程为
()
()
()2
2
2
2
10,1x
y
a b m m a m b +
=>>>若,A C B D 的斜率之积为916
-
，则椭圆的离心率
为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分14分）
在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2sin (+)104ρθπ
--=，已知3(1,
)
2P π，Q 为圆
C 上一点，求线段P Q 长度的最小值．
16．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分14分）
已知M 是椭圆14
9
:
2
2
=+
y
x
C 上在第一象限的点，A 和B 分别是椭圆的右顶点和上顶
点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．
17．(本小题满分14分)
已知椭圆142
2
=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5
102，求直线的方程．
18．(本小题满分16分)
椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为
坐标原点.
（1）求
2
2
11b
a
+
的值；
（2）若椭圆的离心率e 3
2
e ≤≤
，求椭圆长轴的取值范围.
19，(本小题满分16分)
某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4(单位10米，以下同)，O 为AB 的中点，椭圆的焦点P 在对称轴OD 上，M 、N 在椭圆上，MN 平行AB 交OD 与G ，且G 在P 的右侧，△MNP 为灯光区，用于美化环境.
(1)若学校的另一条道路EF 满足OE=3，tan ∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF 的距离都不小于
5
5，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆
12
22
2=+
b
y a
x (0>>b a )的面积为ab π)
(2)若椭圆的离心率为
5
5，要求灯光区的
周长不小于53，求PG 的取值范围
20．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的上顶点为B 1(0,2)，
下顶点为B 2，离心率3
e =.
(1)求椭圆的标准方程
(2)设P ，Q 为直线3y =-上的两点，且2224B P B Q ?=-，11,P B Q B 分别交椭圆于点M ，N ，记直线
11,P B Q B 的斜率分别为12,k k .
①求12k k 的值；
②求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.
姜堰二中2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学
（理）试题标准答案
1． 1x =-；2．三；3．
5
26 (或5.2)；4．45；5．
716
；6． 6；7． 7500；
8．12
；9．480；10． 62；11．2
；12．1708
或
；13．14
-；144
15以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系， 圆C 的直角坐标方程为2
2
4410
x y
x y +---=，即22
(2)(2)9
x
y -+-=，…………6分
所以圆心C 的坐标为(2,2)C ，………………………………………………………8分 点P 的直角坐标为(0,1)P -， ………………………………………………………10分
所以线段P Q 长度的最小值为33
P C -=
． ………………………………14分
16设点 (3co s ,2sin )([0,2))
M
θθθπ∈，…………4分
(3,0),(0,2)
A B ，………………………………………………………8分
连结
11,32co s 23sin ()
2
2
4
O M S π
θθθ∴=
??+
??=+
………12分
所以四边形MAOB 的面积的最大值为． ………………………………14分
17．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程142
2
=+y x 得 ()142
2
=++m x x ，
即0
1252
2=-++m mx x ．()()0
201615422
22
≥+-=-??-=?m m m ，解得
2
52
5≤
≤-m ．…………………………7分
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，
由（1）得5
221m x x -=+，5
1
2
21-=
m
x x ．
根据弦长公式得 ：510251452112
2
2
=-?
-???
?
?-?
+m m ． 解得0=m ．方程为x y =．…………………………14分 18.设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ①
01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：
又将代入
x y
-=1
12
22
2=+
b
y a
x 0
)1(2)(2
222
22
=-+-+?b a x a x
b a
，,
2,02
2
2
21b
a
a x x +=
+∴>?
2
2
2
221)1(b a
b a x x +-=
代入①化简得
2
112
2
=+
b
a
.………………………8分
(2) ,
3
22
12
113
112
22
22
22
22
≤
≤?
≤
-
≤∴
-==a
b a
b a
b a
c e
又由（1）知1
22
2
2
-=
a
a b
2
62
52
3453
21
21
2
12
2
≤
≤?
≤
≤?
≤-≤∴a a a
，
∴长轴 2a ∈ [6
,
5].………………………16分
19.