全等三角形的判定(AAS和ASA)

全等三角形的判定

【知识梳理】

1、三角形全等的条件(三)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

2、三角形全等的条件(四)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

3、三个角对应相等的情形：三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

4、三角形全等的条件的选用：要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SAS、AAS、ASA

两角对应相等ASA、AAS

两边对应相等SAS、SSS

【例题精讲】

【例1】如图⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。

若将过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况时，其他条件不变，那么图⑴中∠1与∠2的关系还成立吗？

【变式1-1】如图，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC，D为AC上一点，AE⊥BE交BD的延长线于E，BE⊥CF 于F，求证：EF=CF-AE。

【变式1-2】如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE。

【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E。求证：BD=2CE。

【变式1-4】如图①所示，OP是∠MON的平分线，请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

⑴如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE

相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

⑵如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请在⑴中所得结论是否仍然成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

【变式1-5】线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF(如图所示)。

⑴添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE。求证：AB=DC；

⑵分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③；添加条件①、③，以②为结论构成

命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2。命题1是____命题，命题2是_____命题(选择“真”或“假”

填入空格)。

A、45 cm

B、55 cm

C、30 cm

D、25 cm

5、以下四个命题中，正确的是（）

A、有三个角对应相等的两个三角形全等

B、有两边对应相等的两个三角形全等

C、有一个角相等，并且有两条对应边相等的两个三角形全等

D、有一边相等的两个等边三角形全等

6、在△ABC和△A′B′C′中，如果AB= A′B′，∠B=∠B′，AC= A′C′，那么这两个三角形（）

A、全等

B、不一定全等

C、不全等

D、面积相等，但不全等

7、如图1，AM平分∠BAC，AD=AE，则此图中共有多少对全等三角形（）

A、1

B、2

C、3

D、4

8、如图2，△ABC，△DCE都是等边三角形，且共点于C，则△DBC≌△EAC的依据是

A、边边边

B、边边角

C、边角边

D、角边角

9、下列条件不可推得△ABC和△A`B`C`全等的条件是

A、AB=A`B`，∠A=∠A`，∠C=∠C`

B、AB= A`B`，AC=A`C`，BC=B`C`

C、AB= A`B`，AC=A`C`，∠B=∠B`

D、AB= A`B`，∠A=∠A`，∠B=∠B`

二、解答题

1、如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD，AE=BC，DE=DC，求证：DE⊥

AB。

3、如图，A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：⑴DF//CE；⑵DE=CF。

4、如图，AB=AC，BE=CE，求证：⑴AE平分∠BAC；⑵AD垂直平分BC。

1、如图，AC=AD，BC=BD，则全等的三角形共有

A、1对

B、2对

C、3对

D、4对

2、如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于E，给出3个论断：①DE=EF；②AE=CE；③FC∥AB.以其

中两个论断为条件，其余一个论断为结论，可以作出3个命题，其中正确命题的个数为

A、1个

B、2个

C、0个

D、3个

3、如图，△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是

A、甲和乙

B、乙和丙

C、只有乙

D、只有丙

4、下列判断正确的是( )

A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B、有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

C、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D、有两角和一边对应相等的两个三角形全等

5、如图，MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN

A、∠M=∠N

B、AC=BD

C、AM=CN

D、AM∥CN

6、如图，AB=CD，AD=CB，AC、BD交于O，图中有()对全等的三角形。

A、2

B、3

C、4

D、5

7、下列各组条件中，不能判定△ABC和△A′B′C′全等的是()

A、AC=A′C′，BC= B′C′，∠C=∠C′

B、∠A=∠A′，BC= B′C′，AC= A′C′

C、∠A=∠A′，∠C=∠C′，BC= B′C′

D、AB= A′C′，BC= C′B′，AC= A′B′

8、下列命题：①有一边相等的两个等边三角形全等；②腰长相等且都有一个角是50°的两个等腰三角形全等；③

各有两边长分别是5cm，4cm的两个等腰三角形全等；④判定三角形全等的条件中，至少要有一对对边对应相等，正确的个数是()

A、1

B、2

C、3

D、4

9、如图，AB//DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是

A、AC=EF

B、DF=BC

C、∠A=∠E

D、不用补充

10、如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于点E，则下列结论错误的是

A、∠DAE=∠CBE

B、△DAE与△CBE不能全等

C、CE=DE

D、△AEB为等腰三角形

二、解答题

1、⑴如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，

求证：DE=BD-CE。

⑵如将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它不经过△ABC的内部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，

那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？如存在，请证明你的结论？

2、如图，AD//BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=AB。

3、如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，若MA⊥CE，

AN⊥BD，AM=AN。求证：EM=DN。

4、如图，BE=CD，∠B=∠C，求证：∠1=∠2。