数学-希望杯竞赛试题详解(560题)

题51 Let point M move along the ellipse 18

92

2=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is .

(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)

（第十四届高二第二试第18题）

译文：点M 是椭圆18

92

2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .

解 在椭圆1892

2=+y x 中，所以

8,922==b a ，则1,12==c c ，

椭圆的右焦点F 的坐标 右准

为（1，0），离心率3

1==

a c e ，线9:2

==c

a x l ，显然点P （6，2）在

椭圆18

92

2=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设

M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有18

492

0=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，

此时点M 的坐标是（2

2

3±

，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转

化为有理运算，从而大大简化了解题过程.

拓展 将此题引伸拓广，可得

定理 M 是椭圆E ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，

P （m,n ）为定点.

1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1

|MF|+|MP|的最小值是m c a -2；当F 是左焦 点时，e

1

|MF|+|MP|的最小值是m c a +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则

F 是右焦点，且0≤m ≤c a 2，|n|≤b 时，e 1

|MF|-|MP|的最大值是

m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e

1

|MF|的最小值是c a m 2-.

F 是左焦点，且c a 2-≤m ≤0，|n|≤b 时，e 1

|MF|-|MP|的最大值是

m c a +2. F 是左焦点，且m ≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e

1

|MF|的最小值是c a m 2--.

简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=

e

1

|MF|. ∴e

1

|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e

1

|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在m

图1

图2

P 、Q 之间时取等号.

2、 如图3，e

1

|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c a -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.

如图4，|MP|-e

1

|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=c a m 2-，当且仅当P 位于直线MN 上，即点

P 与Q 重合时取等号.

如图

5，

e

1

|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤

|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c

a +2

，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号. 如图6，

|MP|-

e

1|MF|=|MP|-|MN|≥

|MQ|-|MN|=|NQ|=c

a m 2

--，当且仅当

P 位于直线

MN 上，即点P 与Q 重合时取等号. 题

52

已知双曲线k y x =-2

2

关于直线x-y=1

对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于

（ ）

图3

图4

图5

A 、32

B 、34

C 、4

5

D

5

4 （第十五届高二培训题第19题）

解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-2

2

上任意一点，

点P 关于直线x-y=1的对称点为 P ’（x,y ）,则

12

20

0=+-+y y x x ①，又

100-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得

0011

x y y x =+⎧⎨

=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-2

2上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,

代入⑤并整理，得01232

=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=

3

4

，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值. 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的

结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）. 5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）. 6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.

7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组

⎪⎩⎪⎨

⎧-=-=++⋅++⋅

)

()(022*******

0x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m

图6