全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
2005年首届“希望杯”全国中小学数学大赛决赛试题(初二)
2005年首届“希望杯”全国中小学数学大赛决赛试题（初二）一 选择题1．下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ）。
（A ） (a+b)(a-b) = a 2-b 2 （B ） (x-1)(y-1)=(1-x)(1-y)（C ） ab+a+b+1 =(a+1)(b+1) （D ） m+2m+3=m(m+3+m3) 2．下列各式与分式ba a +--的值相等的是（ ）。
（A ）b a a -- （B ）b a a + （C ）a b a - （D ）ba a - 3．小明要从长度分为5cm,6cm,11cm,16cm 的四根木棒中选出三根摆成一个三角形，那么这个三角形的周长是（ ）。
（A ） 33cm （B ） 22cm （C ） 27cm （D ）32cm4．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A ，B 两种型号的有（ ）种。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 45．已知正整数a,m,n 满足542-a ，则这样的a,m,n 的取值（ ）。
（A ） 有一组 （B ） 有二组 （C ） 多于二组 （D ） 不存在6． 如图，E,F 分别为矩形ABCD 的BC 边和CD 边上的点，且S △ABE =2，S △ECF =3, S △ADF =4, 则矩形ABCD 的面积是（ ）。
F（A ） 18 （B ） 16 （C ） 20 （D ） 24二 填空题7．如图，边长为3的正方形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么重叠部分四边形CFHD 的面积是 。
CG8=== …… , =则a+b 值为 。
9．司机小王驾车在公路上行驶，他看到里程碑上的数是两位数；一小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数；再过一小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个0的三位数，这三块里程碑上的数分别是 。
历届希望杯初二试题及答案
历届希望杯初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？- A. 5- B. 6- C. 7- D. 8答案：A3. 一个数的平方根是4，这个数是多少？- A. 16- B. 8- C. 4- D. 2答案：A4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？- A. 25π- B. 50π- C. 100π- D. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方根是2，这个数是______。
答案：82. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。
答案：5，-53. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。
答案：44. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是______厘米。
答案：55. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______度。
答案：90三、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，求这个长方形的面积。
答案：首先，我们知道长方形的宽是长的一半，即5厘米。
长方形的面积是长乘以宽，所以面积是10厘米乘以5厘米，等于50平方厘米。
2. 一个数列的前三项是2，4，8。
如果这个数列是一个等比数列，求第四项。
答案：等比数列的每一项都是前一项的固定倍数。
这里，每一项都是前一项的2倍。
所以，第四项是8乘以2，等于16。
3. 一个水池的容积是100立方米，如果每小时流入水池的水是5立方米，求需要多少小时才能填满水池。
答案：要填满100立方米的水池，每小时流入5立方米，需要的时间是100除以5，等于20小时。
结束语希望杯数学竞赛不仅考查学生的数学知识，更注重考查学生的逻辑思维和解决问题的能力。
通过这样的竞赛，学生能够更好地理解数学知识，提高自己的数学素养。
(2020年编辑)第二十二届()“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题(含答案)
第二十二届（2011年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题初中二年级一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）1.如图1，数轴上的四个点A B C D 、、、分别代表整数a b c d 、、、.若1,1a b c b --=--=-，则d 的值是（ ）（A ）3- (B) 0 (C)1 （D ）4 1. 已知201020111,,20092011201020122011a b c ===⨯⨯，则（ ）（A ）a b c <<(B)c b a << （C ）b a c << （D ）c a b <<2. 下列各数中，最大的是（ ）（A ）37+ (B) 26+ （C ）20 （D ）114522+3. 已知a 是实数，并且2201040a a -+=则代数式228040200954a a a -+++的值是（ ）（A ）2009 (B) 2010 （C ）2011 （D ）2012 4. Giventwonon－zerorealnumbersaandb,satisfy()2242342a b a b a -+++-+=,then the value of a b + is ( )（A ）－1 (B) 0 （C ）1 （D ）25. If the linear function y ax b =+ passes through the point (－2, 0),but not the first Quadrant,then the solution set for ax b > is ( )（A ）2x >- (B) 2x <- （C ） 2x > （D ）2x < 6. 已知反比例函数k y x =的图像经过点1,b a -⎛⎫⎪⎝⎭，那么它可能不经过点（ ） （A ）1,b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (B) 1,a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）,1b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）,1b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 已知a 是实数，关于x y 、的二元一次方程组235212x y ax y a-=⎧⎨+=-⎩的解不可能出现的情况是（ ）（A ）x y 、都是正数 (B) x y 、都是负数 （C ）x y 是正数、是负数 （D ）x y 是负数、是正数8. If a and b are non －zero real numbers and ()()1991991a b -+=,then the value for111ab-+ is ( )（A ）1 (B)100 （C ）－1 （D ）－1 9. 如图2是反比例函数ky x=在第二象限的图像，则k 的可能取值是（ ）（A ）2 (B)－2 （C ）12 （D ）12-11． 在直角坐标系上，点(),11x y 关于电()22,x y 的对称点坐标是（ ）（A ）()2121,22x y x y -- (B) ()1212,22x y y x -- （C ）()12122,2x x y y -- （D ）()21212,2x x y y --12． 一个长方体盒子的最短边长50cm ，最长边长90cm.则盒子的体积可能是（ ）（A ）45003cm (B) 1800003cm （C ）900003cm （D ）3600003cm 13． 若两个角可以构成内错角，则称为“一对内错角”.四条直线两两相交，且任意三条直线不交于同一点.那么，在这个几何图形中，可以构成的内错角的两个角的对数是（ ）（A ）12 (B) 24 （C ）36 （D ）48 14． 如图3，已知ABC 中，,AB AC BAC ACB =∠∠和的角平分线相交于D 点，130ADC ∠=︒,那么CAB ∠的大小是（ ） （A ）80︒ (B) 50︒ （C ）40︒ （D ）20︒ 15． GivenABC with 90ACB ∠=︒,15ABC ∠=︒,1AC =,then the length of BC is ( )（A ）23+ (B) 32+（C ）32- （D ）23+16． 已知三角形三边的长分别为,,a b c ，且,,a b c 均为整数，若7,b a b =<，则满足条件的三角形的个数是（ ）（A ）30 (B)36 （C ）40 （D ）45 17． 三角形三边的长分别为,,a b c ，且a ab cb c b c a++=+-，则三角形是（ ） （A ）等边三角形 (B) 直角三角形（C ）以a 为腰的等腰三角形 （D ）以a 为底的等腰三角形 18． 有4个命题：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；O 是四边形ABCD 内一点，若AO=BO=CO=DO ，则四边形ABCD 是矩形；若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形。
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
初二第22届希望杯”一试试题+解析
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3222=-+-，则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解，则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ， 若PC=2，则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：5252549+=++；12、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+，则k 的取值范围是3k >；figure 1A O BP C 2 图213、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个 三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相 等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟， 停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦；15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--，则代数式c1b 1a 1++的值是 1； 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是1516；17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。
初二希望杯数学竞赛培训题
初二希望杯数学竞赛培训题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的） 1．一个多项式经分解后为(2－a 3)(a 3＋2)，那么该多项式是 （ ）（A ）a 6－4（B ）a 9－4（C ）4－a 9（D ）4－a 62．下列多项式：①a 2＋4ab ＋4b 2；②9m 2＋4n 2－12mn ；③4p 2＋q 2－4p ＋2q ；④25a 4＋16b 4＋40a 2b 2；⑤9s 2－12s ＋6．其中是完全平方式的是（ ） （A ）①，④，⑤ （B ）①，②，⑤ （C ）①，②，④ （D ）①，③，④ 3．当分式1111－＋x 无意义时，x 的取值情况是（ ）（A ）x ＝1 （B ）x ＝±1 （C ）x ＝±1或x ＝0 （D ）x ＝±1且x ＝04．下列根式中与32a -相同的是 （ ）（A ）a a 2-（B ）a a 2--（C ）32a -（D ）aa 22-- 5．a 是实数，且满足05362＝－－aa ，则a 的值是（ ）（A ）6（B ）±6 （C ）≠5的数 （D ）－66．如果a -是整数，则（ ）（A ）a 是正整数 （B ）a 是非负整数 （C ）a 是完全平方数 （D ）－a是完全平方数 7．11＋－n n 与1＋＋n n 的关系是 （ ）（A ）相等 （B ）互为相反数 （C ）互为倒数 （D ）互为负倒数8．方程x 2＋3y 2＝16的整数解的组数是（ ）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）7组以上9．若a ＜b ＜0，则()()22b b a －－÷＝ （ ）（A ）bab －－（B ）bab － （C ）－b (b －a ) （D ）bb a －10．某同学从家到学校的路程为s ，速度为v 1，从学校回家的速度为v 2，那么他来回的平均速度是 （ ）（A ）221v v ＋ （B ）212v v s ＋ （C ）2121v v v v ＋ （D ）21212v v v v ＋11．各边长均为整数且各边长均不相等的三角形周长小于13，则这样的三角形共有（ ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个12．三角形的三个外角平分线所在的直线围成的三角形是（ ）（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）直角或钝角三角形13．在△ABC 和△A ´B ´C ´中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠B ´＋∠C ´＝∠A ´，且b －a ＝b ´－c ´，b＋a ＝b ´＋c ´则这两个三角形 （ ）（A ）不一定全等（B ）不全等（C ）根据“SAS ”全等 （D ）根据“ASA ”全等14．下列说法中，正确的是（ ）（A ）每个命题都有逆命题 （B ）每个定理都有逆定理 （C ）真命题的逆命题是真命题 （D ）假命题的逆命题是假命题 15．等腰△ABC 的顶角A ＝100°，两腰AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则 （ ）（A ）P 点在△ABC 内 （B ）P 点在BC 边上（C ）P 点在△ABC 外 （D ）P 点位置与BC 边的长度有关16．下列命题中，真命题是（ ）（A ）两个全等三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （B ）两个全等的等腰三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （C ）两个全等的等边三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （D ）关于某条直线成轴对称的两个三角形一定是全等三角形 17．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，又AD ∥BC ，在AD 上取一点E ，使∠EBC ＝30°，则BE 和BC 的大小关系是 （ ） （A ）BE ＞BC（B ）BE ＜BC（C ）BE ＝BC （D ）不确定的 18．四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形（ ）（A ）一定是菱形（B ）一定是轴对称图形（C ）一定是平行四边形（D ）可能是平行四边形，也可能是轴对称图形19．如图，D 为等腰△ABC 的腰AB 上的一点，E 为另一腰AC延长线上的一点，且BD ＝CE ，则 （ ）（A ）DE ＝BC （B ）DE ＞BC（C ）DE ＜BC（D ）DE 与BC 大小关系决定于角A 的大小20．设△ABC 的三边为c b a ，，，且满足c b a cb a 5.1225.3222＋＝＋＋ ，则△ABC 是 （ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等边三角形 （D ）形状不确定的三角形21．分解因式：＝＋－－412422a b a ____________________．22．如果(x －a )(x ＋2)－1能够分解成两个二项式(x ＋3)和(x ＋b )的乘积，那么a ＝______，b ＝_______．AC BDEAC BD E23．分解因式：xy (m 2－n 2)－mm (x 2－y 2)＝_________________． 24．分解因式：＝＋－233x x ___________________． 25．a ，b 均为实数，且满足()0425322＝－－＋＋aa b a ，那么b ＝_________．26．x ，y 均为实数，且4111222＋＋－＋－＝x x x y ，则x ＋y 的值是__________．27．x 是实数，则25101222＋－－＋＋x x x x 的最大值是____________．28．已知m ，n 互为倒数，且m ＋n ＋1998＝0，那么(m 2＋1999m ＋1)(n 2＋1999n ＋1)的值为____．29．已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是___________． 30．若61＝＋yx ，25122＝＋y x ，那么＝∶y x ____________ 31．若3939＝＋，＝＋zy yx ，则xz 9＋的值等于______________．32．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝32，abc ＝8，那么cb a 111＋＋的值等于___________．33．若a 2＋3b 2－4a －12b ＋16＝0，则a ＋b 的值是________． 34．已知N＋＋＋＋＝4141412，则N 的值是___________．35．若实数x ，y ，z 适合方程组⎩⎨⎧0720634＝－＋＝－－z y x z y x ，那么1999y －1997x ＋1993z ＝_______．36．方程组⎩⎨⎧34231232＝－－＝－＋z y x z y x 中的x ，y 满足条件x ＋y ＝6，那么z 的值等于___________．37．a 为实数，那么aa a a 119991999－＋－＋－的值等于_________． 38．已知12－＝x ，那么xx x－－342的值为__________ 39．化简623232－＋＋，结果是_______________．40．方程x x x －＝＋－41682的正整数解是_____________． 41．化简：(6－2)(3＋2)32-＝_____________．42．已知：A ＝53＋，B ＝53－，若存在正整数N ，使N ＜A 3＋B 3＜N ＋1，则N ＝____． 43．116201－的整数部分是__________．44．求值：100999910014334132231221＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝___________．45．若y ≠z ，且满足()()23322＝－＋＝－＋zy x z y x z y ，则x ＋y ＋z 的值等于__________． 46．已知(x ＋2y －1)是二元二次式3x 2＋axy ＋by 2＋x ＋9y －4的一个因式，则a ＝_______，b ＝______．47．大小不超过(3＋2)6的最大整数为_____________．48．若x ＜0，y ＞0，a －b ＞0，M ＝ax ＋by ，N ＝bx ＋ay ，则M 与N 的大小关系是M ______N ．（填“＞”或“＜”）49．5的整数部分是a ，小数部分为b ，则ba 1－的大小是____________．50．已知a ，b ，c 都是正实数，()()c b a c b a y c b a x ＋＋＋＋＋＝，＋＋＝22222，则x 与y 的大小关系是x ______y ．（填“＞”或“＜”）51．如图，a ，b ，c ，d 为数轴上对应点的数，则｜a ＋b －c ｜＋｜d －a ｜－｜c －d ｜＋｜a －d ｜＝_______． 52．如图，AB 、CD 、MN 三条直线相交，交点分别为E 、F 、G ，则∠EFB 的同位角是________． 53．两个对顶角的和是它的一个邻补角的4倍，则这个邻补角的度数是_________． 54．△ABC 的周长是15，若a ＋c ＝2b ，c －a ＝4则a 2＋b 2＋c 2＝____________． 55．如图，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝_____________．56．△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB ＝9，AC ＝5，则AD 的取值范围是__________．（第52题图） （第55题图） （第57题图） （第58题图）57．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AC ＝4厘米，则△BDE 的周长是___________．58．如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，C 、D 、E 在一条直线上，∠ABE ＝20°，则∠CAD 的大小是____________．59．如图，△ABC 中，D 在AC 上，AD ＝AB ，∠ABC ＝∠C ＋30°，则∠CBD ＝_______． 60．如果一个三角形的两条中线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状是___________．c 0 a bd C EFA B D G M N C EF A B D O A D E C B A D CB E第十一届希望杯数学竞赛初二第一试一．选择题1．与的关系是（）。
新希望杯八年级数学试题及答案
八年级试题（A 卷）（时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题4分，共32分） 1.若()422015+=mA ，则A 的算术平方根是（ ）A.(m 2+2015)4B.(m 2+2015)2C.m 2+2015D.m+20152.已知等腰三角形的两边长分别为a 、b ，且0243163=-++-+b a b a ，则此三角形的周长是（ ）A.13B.17C.13或17D.14或163.将一副三角板如下图叠放在一起，则∠1的度数是（ ）A.105°B.110°C.115°D.120°4.如图，在3×4的正方形网格中，已有3个方格涂色，若再选择一个方格涂色，且使得4个涂色的方格组成轴对称图形，可选择的方格共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知201531+n 是整数，若n 是正整数，则n 的最小值是（ ）A.31B.59C.65D.1246.某超市购进50千克的散装糖果，决定包装后出售，方式一：1.5千克/盒，包装成本1.2元/个；方式二：1千克/盒，包装盒成本1元/个.根据需要1千克装的糖果数量不能少于1.5千克装的一半，且糖果全部包装完，那么包装盒的总成本最低是（ ）A.43.4元B.43.1元C.42.8元D.42.5元7.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且BO=DO ，点P 在△BCD 内部，下列说法：①S △AOD=S △AOB ；②BC ＋CD ＞PB ＋PD ；③AC ＋BD ＞AB ＋CD ；④AC ＋BD ＞AD ＞CD ，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图，等边三角形ABC 边长为6，点P 从B 点开始在BC 上向点C 运动，运动到点C 停止，以AP 为边在直线BC 的同侧作等边三角形APQ ，得到点Q ，则点Q 的运动路径长（ ） A.6 B.33 C.24 D.23π二、填空题：（每小题5分，共40分）9.化简：.________________)2015(201522=+--x x ）（10.已知正n 边形的一个内角是一个外角的5倍，则n=____________.11.如图，△ABC 是格点三角形，点D 是异于点A 的一个格点，则使△DBC 和△ABC 全等的D 点共有__________个.12.方程3100820151210071=+-+-xx x 的解是___________________.13.如图，等边三角形的边长为1，现将其各边n(n ＞2)等分，并以相邻分点为顶点向外作小等边三角形，再将相邻分点之间的线段去掉，得到一个锯齿图形，当n=k 时，锯齿图形的周长为___________.(用含k 的代数式表示).14.将1、2、3、4、5这五个数排成一列，要求第一个数和最后一个数都是偶数，且其中任意三个相邻的数之和都能被这三个数中的第一个数整除，这样的排列方法共有_____________种.15.对于实数m 、n ，定义运算m ※n=m(1-n)，下面是关于这种运算的几个结论：①2※3=-4；②若m ※n=0，则n=0；③m ※n=（1-n ）※(1-m)；④若m+n=1，则（m ※n ）-(n ※n)=0.其中正确的是___________. 16.如图，已知点A(1，1)，点B （7,3），点P 为x 轴上一个动点，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标为_______________.三、解答题（10+12+12+14=48分）17..)32(32,2,29的值）求（若+--==-y x xy y x18.如图，△ABC 为等边三角形，点D 是BC 延长线上一点，且CD ＜BC ，BD 的垂直平分线交AC 于E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于F.（1）求证：△AEF 为等边三角形； （2）若BC=3CD ，求ECAE的值.19.某数学俱乐部组织60名会员租车进行自驾游，共有两种车型可供选择，A 型车共有8个座位，B 型车有4个座位，要求租用的车不能空座，也不能超载. （1）共有多少种不同的租车方案？（2）若A 型车的租金是400元/天，B 型车的租金是260元/天，请设计最划算的租车方案，并说明理由.20.已知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图1，在△ABC 中，∠CAB=90°，D 是BC 的中点，连接AD ，则AD=CD=BD.（1）如图2，过点D作DE⊥AB于E，以E为边作等边三角形AEF，以DF为边作等边三角形DFG，连接AG，求证：AG平分∠FAB.（2）如图3，过点C作CH⊥AF于H，连接DH，求证：DH=FG.1 2 3 4 5 6 7 8C B AD B C D A9 10 11 12 13 14 15 1610 1/2-8060X12 3 1008KK 66-6 ①③④⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25。
希望杯数学竞赛第一届至十历届四年级全部试题与答案(打印版)
球的正上方悬挂有相同的灯泡。A 灯泡位置比 B 灯泡位置低。当灯泡点亮时，受
光照部分更多的是
球。
18．用 20 厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形，这样的长方形不只一种。 其中，面积最小的，长______ 厘米，宽______ 厘米；面积最大的长方形的长 ______ 厘米，宽______ 厘米。
千米。
13．甲、乙、丙三人中只有 1 人会开汽车。甲说：“我会开。”乙说：“我
不会开。”丙说：“甲不会开。”三人的话只有一句是真话。会开车的是
。
14．为了支援西部，1 班班长小明和 2 班班长小光带了同样多的钱买了同一
种书 44 本，钱全部用完，小明要了 26 本书，小光要了 18 本书。回校后，小明
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试）
四年级 第 1 试
1．下边三个图中都有一些三角形，在图 A 中，有
在图 C 中，有
个。
个；在图 B 中，有
个；
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:
0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷
。
3．观察 1，2，3，6，12，23，44，x，164 的规律，可知 x ＝
目录
1. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ........................................2 2. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ........................................5 3. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ........................................7 4. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................10 5. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................13 6. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................16 7. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................18 8. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................21 9. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................23 10. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................26 11. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................28 12. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................30 13. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................32 14. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................36 15. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................39 16. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................41 17. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................44 18. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................46 19. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 1 试） ......................................48 20. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第 2 试） ......................................50 21. 第一届---第八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案………………………53
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希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。