倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析
倒立摆系统的构成及其参数
1倒立摆系统的基本结构
本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。如图2.1所示：
图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图
Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system
2系统主要组成部分简介
直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：
图2.2直线一级倒立摆装置
Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体
倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：
图2.3伺服单元IP02的组成
Fig 2.3 Servo unit IP02 parts
编号名称英文
(01)IP02小车IP02 Cart
(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft
(03)齿轮导轨Rack
(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion
(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion
(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft
(07)摆杆传动轴Pendulum Axis
(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder
(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder
(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector
(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector
(12)电机接口Motor Connector
图2.4系统导轨结构图
Fig 2.4 System guide rail structure
直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。系统的直流电机采用的是Faulhaber 2338S006型号的无刷直流电机，这种电机不仅具有结构简单、运行可靠的优点，而且还比传统的直流电机具有更快的反应速度。电机还配有Faulhaber的变速箱，可以提供3.71:1的减速比。
（2）．数据采集模块
电控箱安装了本系统用到的各种电气元件，其中包括了有5针数字I/0接口的数据采集卡、开关电源、电源及功率放大器、指示灯和开关等。控制信号需要
通过电源及功率放大器对控制信号进行处理，然后再输送至小车的直流伺服电机。
（3）．控制平台
控制平台主要由以下部分组成：(1)通用PC机；(2)实时控制软件QUARC 控制平台的是倒立摆伺服系统的核心，是实现系统闭环的关键环节。它通过PC机的USB接口接收数据采集卡传输过来的位移和角度数据，进一步处理得到小车速度和摆杆角速度，同时将输入量根据所设计的控制算法计算出控制量，控制小车的运动，维持倒立摆的平衡。而控制平台的实时控制软件QUARC可以和MATLAB/Simulink完美联动，操作起来非常的方便。
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
而Simulink是MATLAB最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。在该环境中，无需大量书写程序，而只需要通过简单直观的鼠标操作，就可构造出复杂的系统。Simulink具有适应面广、结构和流程清晰及仿真精细、贴近实际、效率高、灵活等优点，并基于以上优点Simulink 已被广泛应用于控制理论和数字信号处理的复杂仿真和设计。同时有大量的第三方软件和硬件可应用于或被要求应用于Simulink。
3系统性能参数
小车及配重质量M=0.94kg；
摆杆质量m=0.230kg；
摆杆长L=0.6413m；
摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3302m；
重力加速度g=9.81N/s2。
2.2一级倒立摆系统的模型建立
2.2.1 Lagrange方程建立模型
由于倒立摆的多变量、非线性的特点，同时也为了减少实验设计的盲目性，先建立系统的数学模型，然后才进行仿真实验和实时控制。使用牛顿运动定理来求解这样一个复杂的系统的数学模型，势必会产生大量的微分方程的计算。并且，在实际系统中，当质点存在约束情况的时候，计算量将会更大。所以，在本设计中，采用的是Lagrange方程来推导倒立摆系统的系统模型。
Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量——系统的动能和势能，另一个是表征主动力作用的动力学量——广义力。因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，并将倒立摆的物理模型分解为小车和摆杆的两部分分别进行受力分析。如图2.5所示。
图2.5直线一级倒立摆分析图
Fig 2.5 Linear inverted pendulum analysis chart
图2.5中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位置，θ为摆杆与垂直向上方向的夹角。 为了方便在数学上推导和处理问题，可作出如下假设：
（1）摆杆在运动中是不变形的刚体；
（2）齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； （3）忽略空气阻力；
由 n 个关节部件组成的机械系统，其 Lagrange 方程应为：
i q i
i i i F q D q V q T q
T dt d =??+??+??-???? ????
(2-1)
其中，q 为系统的广义坐标，表示系统中线位移和角度的变量；T 为倒立摆系统的动能，V 为倒立摆系统的势能，D 为倒立摆系统中的耗散能。
那么，可以根据分析得出，上式中小车和摆杆的各部分能量的表达式为：
202
1
x M T =
(2-2)
000==D V
(2-3)
)]}
cos ([)]sin ({[21212
21θθθl dt
d l x dt d m I T c +++= (2-4)
2
121θ b D =
(2-5)
θcos 1mgl V =
(2-6)
这里，000,,D V T 分别代表小车的动能，势能及耗散能；111,,D V T 分别代表摆杆的动能，势能及耗散能。所以，由上面各式，可以得到：
)]}cos ([)]sin ({[2121212
2210θθθl dt
d l x dt d m I x M T T T c ++++=+= (2-7)
θcos 10mgl V V V =+=
(2-8)
2
1021θ
b D D D =+=
(2-9)
当x q i =的时候，即对小车而言：
2sin cos )()(θθθθ ml ml x
m M x
T dt d -++=?? (2-10)
0=??x T ，0=??x V ，0=??x
D
(2-11)
而，当θ=i q 的时候，即对摆杆而言：
)sin cos ()(θθθθθθ l x x
ml I T dt d c +-+=??
(2-12)
θθθ sin x ml T -=??，θθsin mgl V -=??，
θ
θ b D =?? (2-13)
根据上面各式综合，可以得到直线一级倒立摆的系统动力学方程为：
???
??
?=????????????-+???????????
?++θθθθθθθsin 0sin 0cos cos 2mgl u x b ml x ml I ml ml m
M c (2-14)
这里，进行线性化处理。根据分析可知，在接近平衡位置时，θ与l 相比很
小，即θ<<1。则可进行近似处理：1cos ≈θ，θθ≈sin ，0sin ≈θθ 因此，将(2-14)
式简化后得到的动力学方程：
??????=???????????
?+????????????++θθθmgl u x b x ml I ml ml m
M c 0002 (2-15)
因为摆体绕支点的转动惯量I 与摆体绕质心转动惯量c I 关系为：
2ml I I c +=
(2-16)
将(2-16)代入到式(2-15)后，可以得到：
u x mgl x b x I ml ml m M ??????+????????????+????????????=???????????
?+00000000θθθ
(2-17)
设Q=??
?
???+I ml ml m M ，P=??????b 000，W=??????mgl 000，Z=??????00，
则有：
Zu x W x P x Q +??
?
???+??????=??????θθθ (2-18) 变换(2-18)得到：
Zu Q x W Q x P Q x 111---+??????+??????=??????θθθ (2-19)
所以，接下来就可以得出系统的状态空间方程。代入相关数据，可以得到所要用到的直线一级倒立摆系统的状态空间方程：
u Mml m M I ml Mml m M I ml
I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb
Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ???
?????
?????
???++++++???????????????????????????
?+++++-+++++-=????????????2
222
22
2
2
2
2)(0)(00)()()(0
10
000)()()(0001
θθθθ
(2-20)
u x x x y ??
????+??????
????????????=??????=00
01000001θθθ (2-21)
所以，代入小车的实际各项参数值，可以得出小车的状态空间方程。 即：
u x x x x
?????
???????+???????????????????
?????--=????????????32597.2000503.10058199
.2600556.001000072547.100241.000010θθθθ (2-22) u x x x y ??
????+?????
?
????????????=??????=00
01000001θθθ (2-23) 2.2.2 系统的性能分析
对于一个连续的时间系统Du
Cx y Bu Ax x
+=+= ，系统的完全可控性的充分必要条件
是：[]
B A B A AB
A S n c 12...-=，该系统可控矩阵满秩，即rank Sc=n 。
系统的输出可控性充要条件是：当且仅当矩
[]
D B
CA B CA CAB CB
n 12...-的秩等于y 的维数，则系统的输出可控。
根据上面可控性的原理，对系统进行可控性分析，将(2-22)中的AB 代入
Sc 式后，输入到MATLAB 中进行计算可以得到：
[
]
B A B A AB
A
S n c 12...-==4 (2-24)
[]
D B CA B CA CAB CB Q n c 12...-==2 (2-25)
由上式结得出结论，该系统是一个可控系统。所以，可以应用该系统作为控制对象系统，进行控制器的设计，使之稳定。