高三数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案 理 新人教A版

§2.2函数的单调性与最值

2014高考会这样考 1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围．

复习备考要这样做 1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

当x1

f(x1)

f(x)在区间D上是增函数

当x1

f(x1)>f(x2)，那么就

说函数f(x)在区间

D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是

下降的

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)

单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .

(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .

结论

M 为最大值 M 为最小值

[难点正本 疑点清源] 1． 函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特 征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2． 函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的 定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数 函数、指数函数等；

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调 性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3． 单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不 能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

1． (2012·安徽)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.

答案 －6

解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧

2x ＋a ，x ≥－a

2，

－2x －a ，x <－a

2

.

作出函数图象，由图象知：

函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－a

2，＋∞， ∴－a

2

＝3，∴a ＝－6.

2． (2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______________．

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞ 3． (课本改编题)函数f (x )＝

2x

x ＋1

在[1,2]的最大值和最小值分别是__________． 答案 43，1

解析 f (x )＝

2x x ＋1

＝2

x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝4

3

，

f (x )min

＝f (1)＝1.

4． 已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)、B (－3,2)在其图象上，则不等式－2

的解集为________． 答案 (－3,0)

解析 画一个草图，数形结合，得不等式的解集为(－3,0)．

5． 如果函数f (x )＝ax 2

＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是

( )

A ．a >－14

B ．a ≥－1

4

C ．－14≤a <0

D ．－1

4≤a ≤0

答案 D

解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，＋4)上单调

递增；

当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a

，

因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－1

4.

综合上述－1

4

≤a ≤0.

题型一 函数单调性的判断 例1 试讨论函数f (x )＝

ax

x －1

(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 思维启迪：可利用定义或导数法讨论函数的单调性． 解 设－1

f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1x －1，

f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛

⎭⎪⎫

1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

1＋1x 2－1

＝a

x 2－x 1

x 1－1x 2－1

当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，

函数f (x )在(－1,1)上递减；

当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．

(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x

(x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函

数，在[a ，＋∞)上是增函数； (2)求函数y ＝x 2

＋x －6的单调区间． 解 (1)设x 1，x 2是任意两个正数，且0

⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋a x 2 ＝

x 1－x 2

x 1x 2

(x 1x 2－a )． 当00，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

(2)令u ＝x 2

＋x －6，y ＝x 2

＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2

＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2

＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.

∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋

∞)上是增函数．

∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数单调性求参数 例2 若函数f (x )＝

ax －1

x ＋1

在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围． 思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函 数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参． 解 f (x )＝

ax －1x ＋1＝a －a ＋1

x ＋1

，设x 1

⎛

⎭⎪⎫a －

a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a －a ＋1x 2＋1