专题l十一 反比例函数
苏科版 八年级下册 第十一章《反比例函数》K值几何意义专题训练(二)(有答案)
八下第十一章《反比例函数》K值几何意义专题训练（二）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题(k>0)的图象中，阴影部分的面积不等于k的是()1.在反比例函数y=kxA. B.C. D.2.如图，A，B两点在双曲线y=4上，分别经过A，B两点x向x轴，y轴作垂线段，若图中阴影部分的面积为1，则S1与S2的大小比较是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 无法确定(k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积3.如图，点P在反比例函数y=kx为2，则k的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 64.在反比例函数y=4的图象上，阴影部分的面积不等于4的是()xA. B.C. D.5.以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，且AD//x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=3经过点D，则正方形ABCD的面积是()xA. 10B. 11C. 12D. 13(k>0)的图象6.如图所示，直线l和反比例函数y=kx的一支交于A，B两点，P是线段AB上的点(不与A，B重合)，过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别是C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则()A. S1<S2<S3B. S1>S2>S3C. S1=S2>S3D. S1=S2<S37.如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C.若△ABC的面积是4，则这个反比例函数的解析式为()A. y=2x B. y=4xC. y=8xD. y=16x8.如图，两个反比例函数y=1x 和y=−2x的图象分别是l1和l2.设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为()A. 3B. 4C. 92D. 59.如图，点A在双曲线y=1x 上，点B在双曲线y=3x上，且AB//y轴，C，D在y轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为()A. 1.5B. 1C. 3D. 210.两个反比例函数y=kx 和y=1x在第一象限内的图象如图所示，点P在y=kx的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=1x 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B，当点P在y=kx的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A 是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④二、填空题(k≠0)的图11.如图(图象在第二象限)，若点A在反比例函数y=kx象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为5，则k=______．12.如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为x1，则k=______．(x>0)图13.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=1x(x>0)的象上一点，过点A作x轴的平行线，交函数y=kx图象于点B，连结OA、OB.若△OAB的面积为1，则k的值2为______．14.如图，矩形ABCD中，E是AC的中点，点A、B在x轴(x>0)的图象过D、E两点，则矩形ABCD上．若函数y=4x的面积为________．(x>0)的图象上任意一点，15.如图，点A是反比例函数y=2xAB//x轴交反比例函数y=−3的图象于点B，以AB为边作P平行四边形ABCD，x其中C、D在x轴上，则S□ABCD为16.如图，点A，B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x 轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC.已知点C(2,0)，BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=____．17.如图，A(a,b)、B(1,4)(a>1)是反比例函数y=kx(x>0)图象上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G.则四边形ACDG的面积随着a的增大而______ .(填“减小”、“不变”或“增大”)三、解答题18.如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P．(1)求反比例函数的解析式；(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．19.如图，两个反比例函数y=kx 和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P(1,4)在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B(1,m)，求k，m的值及△POB的面积．20.已知反比例函数y=w+3的图象的一支位于第一象限．x(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求w的取值范围；(2)点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称，若△ABC的面积为4，求w的值．21.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=4，点D是BC的四等分点．且CD<BD，反比例函数y=k(x>0)的图象经过点D，交AB于点E，连接OE、OB．x(1)求反比例函数的解析式；(2)求△BOE的面积．22.小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：x0.51 1.5234612y12643210.5结果发现一个数据被墨水涂黑了(1)被墨水涂黑的数据为______．(2)y与x之间的函数关系式为______，且y随x的增大而______．(3)如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由．(4)在(3)的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y=2的图象经过点G交AB于点xH，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为______．(k1>0,x>0)交于点A，与y轴交于点C．23.平行于x轴的直线与函数y=k1x(1)若k1=10，点C的坐标为(0,5)，求点A的坐标；(k2>0,x>0)交于点B，如图所示，且△ABO的面积为(2)若该直线与函数y=k2x4，求k1−k2的值．答案和解析1.B解：A.图形面积为k，B.阴影是梯形，面积为2k，C.D面积均为两个三角形面积之和，为2×(12|k|)=k．2.C解：∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S阴影=S2+S阴影=|k|=4，∴S1=S2．3.C解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=12|k|，即12|k|=2，解得，k=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k=4，4.B解：∵y=4x，∴k=4．A.图形面积为k=4，不符合题意；D.阴影是梯形，面积为2k=8，符合题意；|k|)=k=4．C.D面积均为两个三角形面积之和，为2×(125.C解：∵双曲线y=3经过点D，x∴第一象限的小正方形的面积是3，又∵正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点；∴正方形ABCD的面积是3×4=12．6.D上，解：∵点A在y=kx∴S△AOC=1k，2∵点P在双曲线的上方，k，∴S△POE>12∵点B在y=k上，xk，∴S△BOD=12∴S1=S2<S3．7.B解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，图象上的点，且AC⊥x轴于点C，又∵A是反比例函数y=kx|k|，∴△AOC的面积=12∴1|k|=2，2∵k>0，∴k=4．故这个反比例函数的解析式为y=4x．8.C解：∵点P在y=1x上，∴|x p|×|y p|=|k|=1，∴设P的坐标是(a,1a)(a为正数)，∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=−2x上，∴A的坐标是(a,−2a)，∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是1a，∵B在y=−2x上，∴代入得：1a =−2x，解得：x=−2a，∴B的坐标是(−2a,1a)，∴PA=|1a −(−2a)|=3a，PB=|a−(−2a)|=3a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：12PA×PB=12×3a×3a=92．9.D解：如图，延长BA交x轴于点E．∵AB//y轴，四边形ABCD为矩形，∴四边形AEOD、DBEOC都是矩形．∵点A在双曲线y=1x上，∴矩形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=3x上，∴矩形BEOC的面积为3，∴矩形ABCD的面积为3−1=2．10.C解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为12；②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；④连接OP，点A是PC的中点，则△OAP和△OAC的面积相等，∵△ODP的面积=△OCP的面积=k2，△ODB与△OCA的面积相等，∴△OBP与△OAP的面积相等，∴△OBD和△OBP面积相等，∴点B一定是PD的中点．故一定正确的是①②④．11.−10解：因为△AMO的面积为5，所以|k|=2×5=10．又因为图象在二，四象限，k<0，所以k=−10．12.4解：设D(a,ka)，∵点D为矩形OABC的AB边的中点，∴B(2a,ka)，∴E(2a,k2a)，∵△BDE的面积为1，∴12⋅a⋅(ka−k2a)=1，解得k=4．解：延长BA交y轴于点D，如图所示．(x>0)图象上一点，∵点A是函数y=1x∴S△AOD=1，2∴S△BOD=S△AOD+S△OAB=1．∵点B在函数y=k在第一象限的图象上，x∴k=2S△BOD=2．14.8解：如图，过E作EF⊥AB于F，∵点E是矩形ABCD对角线的交点∴AE=CE，∴EF是△ABC的中位线，∴AD=2EF，(x>0)上，设点D的横坐标为m，且点D在反比例函数y=4x)，∴D点坐标为(m,4m∴AD=4，m∴EF=2，m∴F(2m,2)，m∴AF=m，∴AB=2m，=8．∴矩形ABCD的面积=2m⋅4m解：设点A的纵坐标为b，所以，2x=b，解得x=2b，∵AB//x轴，∴点B的纵坐标为−3x=b，解得x=−3b，∴AB=2b −(−3b)=5b，∴S▱ABCD=5b⋅b=5．16.5解：∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=12BD⋅CD=3，即CD=3，∵C(2,0)，即OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B(5,2)，代入反比例解析式得：k=10，即y=10x，则S△AOC=5，17.增大解：∵A(a,b)、B(1,4)(a>1)是反比例函数y=kx(x>0)图象上两点，∴k=ab=1×4=4，∴b=4a．∵过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G，∴四边形ACDG是矩形，∴矩形ACDG的面积=矩形ACOE的面积−矩形ODGE的面积=ab−1⋅b=4−4a，∵a增大时，4a 减小，4−4a增大，∴四边形ACDG的面积随着a的增大而增大．18.解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过格点P(2,2)，∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4x；(2)如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．19.解：把P(1,4)代入y=kx得k=1×4=4，把B(1,m)代入y=2x得m=2，S△POB=S△POA−S△BOA=12×|4|−12×|2|=1．20.解：(1)∵反比例函数y=w+3x的图象的一支位于第一象限．∴该函数图象的另一支所在的象限是第三象限，w+3>0，w>−3，即w的取值范围是w>−3；(2)设点A的坐标为(a,b)，∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A 关于原点O对称，∴a>0，b>0，点B的坐标是(a,−b)，点C的坐标是(−a,−b)，∴BC=a−(−a)=2a，AB=b+b=2b，∵△ABC的面积为4，∴12×AB×BC=4，∴12×2a×2b=4，解得：ab=2，∵A点在反比例函数y=w+3x位于第一象限的图象上，∴w+3=2，解得：w=−1．21.解：(1)∵四边形OABC是矩形，∴BC=AO=8．∵点D是BC的四等分点，且CD<BD，∵CD=2，∵OC=4，∴D(2,4)，将点D(2,4)代人反比例函数y=kx中，得k=8．∴反比例函数的解析式为y=8x(x>0)；(2)∵点E在AB上，将x=8代入y=8x中，得y=1，∴点E的坐标为(8,1)，∴AE=1，BE=3，∴S△BOE=12BE⋅OA=12×3×8=12．22.(1)1.5；(2)y=6x，减小．(3)S1=OA⋅OC=k=6，S2=OD⋅OF=k=6，∴S1=S2；(4) 4．解：(1)从表格可以看出xy=6，∴墨水盖住的数据是1.5；故答案为1.5；(2)由xy=6，得到y=6x，y随x的增大而减少；故答案为y=6x；减少；(3)S1=OA⋅OC=k=6，S2=OD⋅OF=k=6，∴S1=S2；(4)∵S四边形OCBA =OA⋅OB=6，S△OCG=12OD⋅OC=12×2=1，S△OAH=12OA⋅AH=12×2=1，∴S四边形OGBH =S四边形OCBA−S△OCG−S△OAH=6−1−1=4；23.解：(1)设点A坐标为(a,b)，∵AC//x轴，点C的坐标为(0,5)，∴b=5，又∵点A在反比例函数y=10x的图象上，∴5=10a，a=2，∴点A的坐标为(2,5)；(2)由反比例函数k的几何意义，知，，∴S△ABO=S△OBC−S△AOC=k22−k12=k2−k12，，∴k2−k12=4，∴k1−k2=−8。
反比例函数经典例题(有答案)
反比例函数专题复习一、反比例函数的对称性1、直线y=ax（a＞0）与双曲线y= 3/x交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则4x1y2-3x2y1=2、如图1，直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 2/x交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为（）A、-8B、4C、-4D、0解析：直线Y=KX和双曲线Y=2/X图象都关于原点对称因此两交点A、B也关于原点对称X2=-X1，Y2=-Y1双曲线形式可变化为XY=2，即双曲线上点的横纵坐标乘积为2因此X1Y1=2X1Y2+X2Y1=X1（-Y1）+（-X1）Y1=-X1Y1-X1Y1=-4图1 图2 图3 图4二、反比例函数中“K”的求法1、如图2，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4，BC=3．将BC边在直线l上滑动，使A，B在函数 y=k/x的图象上．那么k的值是（）A、3B、6C、12D、 15/4解析：∵BC在直线X=1上，设B(1，M)，则C(1，M-3)，∴A(5，M-3)，又A、B都在双曲线上，∴1*M=5*(M-3)，M=15/4 即K=15/42、如图3，已知点A、B在双曲线y= k/x（x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k=解析：A(x1,k/x1),B(x2,k/x2)AC:x=x1 BD:y=k/x2P(x1,k/x2)k/x2=k/2x1 2x1=x2BP=x2-x1=x1AP=k/x1-k/x2=k/2x1S=x1*k/(2x1)*1/2)=k/4=3 k=123、如图4，双曲线y= k/x（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A、y=1/xB、y=2/xC、y=3/xD、y=6/x三、反比例函数“K”与面积的关系1、如图5，已知双曲线 y1=1/x(x＞0)， y2=4/x(x＞0)，点P为双曲线y2=4/x上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别次双曲线y1=1/x于D、C两点，则△PCD的面积为（）图5 图6 图7解析：假设P的坐标为（a,b），则C（a/4,b), D(a,b/4),PC=3/4*a PD=3/4*bS=1/2*3/4*a*3/4*b因为点P为双曲线y2=4/x上的一点所以a*b=4所以S=9/82、如图6，直线l和双曲线 y=k/x(k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（）A、S1＜S2＜S3B、S1＞S2＞S3C、S1=S2＞S3D、S1=S2＜S3解析：结合题意可得：AB都在双曲线y=kx上，则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2＜S3．3、如图7，已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 y=k/x交于C、D两点，且S△AOC=S△COD=S△BOD，则k= 。
2020人教版中考数学《反比例函数》专题及答案详解
4 x （a＞ 0）中，得 a＝2，
把（ 4＋ b， b）代入函数解析式得 b＝ 4 b ，解得 b＝ 2 2 ﹣ 2，
∴y2 ＝2 2 ﹣2，
∴A2 的坐标是（ 4 2 ，0），
设 C3 的纵坐标是 c（c＞0），则 C3 横坐标为 4 2 ＋c，把（ 4 2 ＋ c， c）代入函数解析式得 c 4
（3）直接写出当 y1＞ y2 时， x 的取值范围 .
【思路分析】
（1）将 A 点坐标代入反比例函数解析式求出 m，即可得到反比例函数解析式；把 y=-3 代入反
比例函数解析式求出 a 的值，得到 B 点坐标，再将 A， B 坐标代入一次函数解析式求出 k， b，
即可求出一次函数解析式；
（2）利用 A 、B 坐标求出直线 AB 解析式，由解析式求出 C、D 两点坐标；分别对 B、 C、 P 三
1
A. y
1 B．
x1
【答案】 C．
1
1
1
y
1 C． y
1 D． y
1
x1
x1
x1
【解析】二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．
∵将 y
1 的图象向右平移 1 个单位长度后所得函数关系式为
y
1，
x
x1
∴将 y
1 的图象向右平移
1 个单位长度，再向上平移
x
1 个单位长度所得图象的解析式为
＝ 4 2 c，
解得 c＝ 2 3 ﹣ 2 2 ，
∴y3 ＝2 3 ﹣ 2 2 .
∵y1 ＝2 1 ﹣ 2 0 ，y2 ＝2 2 ﹣2 1 ，y3 ＝2 3 ﹣ 2 2 ，…
∴y100＝ 2 100 ﹣ 2 99 ，
专题 反比例函数(10个考点)-九年级数学上学期期中期末考点大串讲(人教版)(原卷版)
专题06反比例函数（10个考点）【知识梳理+解题方法】一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．九．根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．十．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．【专题过关】一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（）A．y＝4x B．2x+y＝4C．y＝x2+3D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022•西宁一模）函数的自变量x的取值范围是．二．反比例函数的图象（共4小题）4．（2021秋•大城县期末）反比例函数的图象如图所示，则k的值可以是（）A．﹣2B．C．1D．35．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．（1）画出函数图象．①列表：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣201234…y…﹣1﹣2﹣4421…②描点并连线．（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①，②；（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向平移个单位，其对称中心的坐标为．（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足时，y≥3．7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示三．反比例函数图象的对称性（共3小题）8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆⊙O1和⊙O2均与x轴相切于点O，反比例函数（k＞0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数中，反比例常数k的值为．12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（）A．B．C．D．13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一、第三象限B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交D．y随x的增大而减小14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双曲线L1：y＝﹣（x＜0）和双曲线L2：y＝（x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”]（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有个“优点”；（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为．15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…﹣3﹣2﹣10123…y…m12101n…其中，m＝，n＝．（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点，在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值时y＝1，求自变量x的值．16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1 x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P 在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k118．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝的图象上，P A⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为．19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A．B．C．D．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．D．（﹣2，1）23．（2021秋•碧江区期末）如图，△OAB、△BA1B1、△B1A2B2、…、△B n﹣1A n B n都是等边三角形，顶点A、A1、A2、…、A n在反比例函数（x＞0）的图象上，则B2020的坐标是．24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是（填序号）；①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与（m为常数，m＞0）相交于A （x A，y A）、B（x B，y B）两点，A在B的左边，x B﹣x A＝5，则m＝．25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C 的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；（2）当k＝1时：①若AC＝BD，求a与b的数量关系；②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝（其中a≠0，a为常数）经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x3＜0＜x1＜x2，则把y1、y2、y3按从小到大排列为．29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y 轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝10．（1）求k的值；（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直接写出这个最小值．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．（1）求反比例函数的解析式；（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数的图象经过点B，D．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）y与x的函数解析式为；（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标；（3）直接写出关于x不等式：＞kx﹣3的解为．36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞237．（2022•仁怀市模拟）如图，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的值为（）A．3B．4C．D．38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1＝在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y2＝k2x+b，回答下列问题：（1）求双曲线y1＝和直线AB的y2＝k2x+b表达式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）求△AOB的面积．39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于（）A．24B．18C．12D．6九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t 小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（1）写出v关于t的函数表达式；（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个函数的解析式；（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）一十．反比例函数的应用（共4小题）43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.2544．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x++1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x…1234…y…m3n…请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（2）性质再探请结合函数的图象，写出当x＝，y有最小值为；（3）学以致用某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x++3．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？．46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少还需调配几台挖掘机？。
反比例函数专题复习及中考真题
★★★(I)考点突破★★★考点1：反从例函数的意义及其图象和性质一、考点讲解：1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=xk(k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 备注：反比例函数的另外两种形式，k xy kx y ==-,1(k ≠0).2．注意：(1)k 为常数，必须强调k ≠0；例如y= kx就不是反比例函数；（2）xk中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0；（4）因变量y 的取值范围是y ≠0． 3．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质（见下表）①当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；②当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．注意：分析反比例函数增减性时，必须强调“在每一个象限内或者X ﹥0，X ﹤0”。
4．反比例函数y=xk（k ≠0）中k 的几何意义 过反比例函数y=xk图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足为M 、 N （如图），则矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y |·|x |=|xy |=|k |。
所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数k。
从而有注意：所围矩形的面积为k，而不是k 。
若其面积为6，则k=±6。
二、经典考题剖析：【考题1、】（2009、宁安）函数y= kx与y=kx+k 在同一坐标系的图象大致是图 1－5－l 中的（ ）解：B 点拨：A 中，y= kx 的图象过第一、三象限，则k ＞0．而y=kx+b 过第一、二、四象限，则k ＜0，矛盾；C 中，由y= kx 的图象知，在k ＜0．但一次函数y=kx ＋k 与y 轴交于正半轴，和k ＜0矛盾；D 中，由y= kx的图象知，k ＜0．Y=kx ＋k 中，k ＞0，矛盾．故选B ．【考题2】（2009、潍坊）若M （－12 ，y 1），N （－14 ，y 2），P （12 ，y 3）三点都在函数y= kx （k ＜0）中的图象上，则y 1，y 2，y 3，的大小关系为（ ） A ．y 2 ＞y 3＞y 1 B 、y 2＞y 1＞y 3 C ．y 3 ＞y 1＞y 2 D 、y 3＞y 2＞y 1解：如上图数形结合得B ；还可以由y= kx 中k ＜0，故y 的值在每个象限内随x 的增大而增大．而－14 ＞－12 ，故 y 2＞y 1＞0．由于 P 点在第四象限，故y 3 <0 .【考题3】（2009、湟中）点P 既在反比例函 数y=－ 3x（x ＞0）的图象上，又在一次函数y =－x －2的图象上，则P 点的坐标是（ ， ）解：点P 是两函数的交点，则同时满足两个解析式，联立解析式得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=,2,3x y xy 得到－ 3x =－x —2，化简得0322=-+x x ，解得3,121-==x x （舍去）。
反比例函数的图象PPT课件
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作业 请完成《典中点》的“应用提升练”和“思 维拓展练”习题，具体内容见习题课件。
50－30＝20 20＋6＝26
答：小青蛙比大青蛙少吃了__2_6__只虫子。
算一算，说一说。
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2．用小棒摆一摆，算一算。
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摆一摆略。
归纳总结：
计算两位数加、减整十数，先把两位数拆分成整十数和 一位数，再把整十数相加、减，最后和一位数相加。
（讲解源于《典中点》）
一共吃了多少只虫子？
第21章 二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
第2课时 反比例函数的 图象
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
反比例函数的图象 反比例函数图象的对称性 反比例函数的系数k的几何意义
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问 引出问题
问题1：什么叫做反比例函数?下列函数中哪些是反比例函数?
的点及横坐标为正数的点，各得到图象的一个分 支，这两个分支合起来就是函数 y 4 的图象．
x 如图.
感悟新知
归纳
知1－讲
列表时，自变量的值可以以0为中心，在0的 两边选择绝对值相等而符号相反的值，既可简化 运算又便于描点；在列表、描点时要尽量多取一 些数据，多描一些点，方便连线．
感悟新知
1．反比例函数 y＝2x的图象在( B ) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
感悟新知
知3－练
1．如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝kx1(x ＞0)及 y2＝kx2(x＞0)的图象分别交于 A，B 两点，连 接 OA，OB，已知△ OAB 的 面积为 4，则 k1－k2＝___8_____．
第十一章 11.2 反比例函数的图像与性质(课时2)
x
x
y = 2 的图像于点 B ，当点 M 在 y = a 的图像上运动时，以下结论:
x
x
①S
=S
;②四边形 O A M B 的面积不变;③若点 A 是 M C 的中点，则点 B 是 M D
O D B
O CA
的中点.其中正确结论的序号是
.
7. A B C D 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点 A (2,0) , B (6,0) , D (0,3)，反比例 函数的图像经过点 C . (1)求该反比例函数的表达式; (2)将 A B C D 向上平移，使点 B 恰好落在双曲线上，此时 A , B , C , D 的对应点分别为
y ，则 x
1
2
x
的取值范围是( )
A. − 2 x 0 或 x 1
C.
或 x − 2
x 1
B. − 2 x 1
D.
或 x − 2
0
x 1
5.如图，点 A 在函数 y = − 1 ( x 0 ) 的图像上，将线段 A O 绕点 O 按顺时针方向旋转 180°
3
轴于点 G ( 0 , − 2 ) ，则点 F 的坐标是
.
6.反比例函数 y = a ( a 0 , a 为常数)和 y = 2 在第一象限内的图像如图所示，点 M 在
x
x
y = a 的图像上， M C ⊥ x 轴于点 C ，交 y = 2 的图像于点 A ； M D ⊥ y 轴于点 D ，交
课时 2 反比例函数的图像与性质的综合
知识点 1 反比例函数 y = k ( k 0 ) 中的比例系数 k 的几何意义
x
1.反比例函数 y = − 3 ( x 0 ) 的图像如图所示，则矩形 O A P B 的面积是(
中考专题_反比例函数
性质 在每个象限内 y 随 x 增大而减小
在每个象限内，y 随 x 增大而增大
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(3)反比例函数比例系数k的几何意义
k 的 反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数
几何 这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两 意义 条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
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2．(2010·宁波中考)已知反比例函数y= 确的是( )
，下列结论不正
(A)图象经过点(1，1) (B)图象在第一、三象限 (C)当x＞1时，0＜y＜1 (D)当x＜0时，y随着x的增大而增大 【解析】选D.因为k=1＞0，所以当x＜0时，y随着x的增大而 减小.
图13－1
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命题角度： 1. 反比例函数在实际生活中的应用； 2. 反比例函数与一次函数的综合运用． 例4 [2012·镇江 ]如图13－2，在平面直角坐标系xOy中， 直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝ 4 在第一象限内交于点C(1，m)． x (1)求m和n的值； (2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线l，分别与直线 AB和双曲线y＝4 交于点P、Q，求△APQ的面积．
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4．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形
数学复习：反比例函数
数学复习：反比例函数反比例函数从代数定义上来说非常简单，即ky x=或xy k =，从函数的图像上来看就是分布在不同像限的两条曲线，简称双曲线．随着近几年各地中考的各种变式题型出现，对反比例函数“数形结合”的数学思想考查越来愈多．每一次的命题设计，其背后都有隐藏的二级定理和二级结论．数学的学习，总是在思考中归纳总结从而得出结论，站在结论的平台向上展望，看清命题者的命题逻辑，很多问题将会大大简化．本专题从反比例函数的本质入手，通过寻找反比例函数的不变特性来进行分析，力争化繁为简，并能在平常的训练中找到思考和结论的平衡点．第一讲 反比例函数的本质系数m 与面积关系在之前对正比例函数和反比例函数的理解中，似乎只有k xy=和k xy =，翻译成语言文字就是，当自变量扩大m 倍，则因变量也随即扩大m 倍，此为正比例函数；同理当自变量扩大m 倍，而因变量随即缩小m1，则为反比例函数．函数是一个连续的曲线，不是只分析单一定点，所以引入比例系数m 对研究函数大有帮助，正比例函数由于过于单调的形式和结论，所以没有成为命题重难点，那么反比例函数呢？【例1】如图，反比例函数)0(>=k xky 的图像与矩形OABC 的AB 、BC 边分别交于点M 、N ，延长MN 分别交坐标轴于点D 、E ．（1）如图11-1-5，若2:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （2）如图11-1-6，若4:1:=AB AM ，则=CB CN : ； （3）如图11-1-7，若n AB AM :1:=，则=CB CN : ；直线MN 与AC 的位置关系是 ，EN 与MD 的大小关系 ．图11-1-5 图11-1-6 图11-1-7【例2】（2020•九龙坡月考）如图11-1-8，ABC Rt △的顶点A 和斜边中点D 在反比例函数(00)k y k x x =≠>，的图像上，若5k =，则ABC △的面积为（ ） A．B．C ．4 D ．5xxx图11-1-8【例3】（2020•朝阳二模）如图11-1-11，在平面直角坐标系中，直线6y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与函数(00)k y k x x =>>，的图像交于点C 、D ．若12CD AB =，则k 的值为（ ）A ．9B ．8C ．427D ．6图11-1-11思考 前面分析了一条直线与反比例函数图像交于一个像限的情况，那么一条直线与反比例函数图像交于两个像限会有怎样的几何性质呢？ 【例4】（1）如图11-1-17，反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系． （2）如图11-1-18，反比例函数)0(>=k xky 的图像与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x MC ⊥轴于点C ，y ND ⊥轴于点D ，x NB ⊥轴于点B ，请探究直线MN 与线段AB 、线段CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系．图11-1-17 图11-1-18【例5】如图11-1-19，一次函数b ax y +=的图像与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，与反比例函数xky =的图像相交于C 、D 两点，分别过C 、D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E 、F ，连接CF 、DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S △△=；②FOE AOB ∽△△；③CDF DCE ≌△△；④BD AC =．其中正确的结论x是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）图11-1-19【例6】（1）如图11-1-26，BC AB =，AOB △的面积为3，则k 的值为 ． （2）如图11-1-27，点A ，C 在双曲线xky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =． ①在运动过程中，ABC △的面积是不是定值？答： ； ②若32=k ，且ABC △是正三角形，则点A 的坐标为 ．图11-1-26 图11-1-27【例7】（1）如图11-1-30， OABC 中，︒=∠60B ，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为 ．（2）如图11-1-31，正AOB △的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 ．图11-1-30 图11-1-31【例8】如图11-1-34，反比例函数16(0)y x x=>的图像经过Rt △BOC 斜边上的中点A ，与边BC 交于点D ，连接AD ，则ADB △的面积为（ ） A ．12B ．16C ．20D ．24图11-1-34【例9】（2020·威海中考）如图11-1-36，点)1(，m P ，点)2(n Q ，-都在反比例函数xy 4=的图像上．过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）图11-1-36 A ．3:2:21=S S B ．1:1:21=S S C ．3:4:21=S S D ．3:5:21=S S【例10】（2020•龙华二模）如图11-1-38，已知直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线(0)ky x x=>交于C 、D 两点，且AOC ADO ∠=∠，则k 的值为 ．图11-1-38【例11】如图11-1-40，矩形OABC 的边2OA =，4OC =，点E 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图像与边BC 交于点F ．当四边形AOFE 的面积最大时，FC 的长度为（ ） A ．8.0B ．1C ．6.1D ．8.1图11-1-40【例12】如图11-1-41，A 、B 是函数x y 6=上两点，P 为一动点，作y PB //轴，x PA //轴，下列说法：①BOP AOP ≌△△；②BOP AOP S S △△=；③若OB OA =，则OP 平分AOB ∠；④若2=BOP S △，则4=ABP S △，正确有 ．（填序号）图11-1-41【例13】如图11-1-45，点)31(，A 为双曲线x ky =上的一点，连接AO 并延长与双曲线在第三像限交于点B ，M 为y 轴正半轴上一点，连接MA 并延长与双曲线交于点N ，连接BM 、BN ，已知MBN △的面积为233，则点N 的坐标为 ．图11-1-45【例14】如图11-1-47所示，PAB Rt △的直角顶点)43(，P 在函数(0)ky x x=>的图像上，顶点A 、B 在函数(00)ty x t k x=><<，的图像上，//PA y 轴，连接OP ，OA ，记OPA △的面积为OPA S △，PAB △的 面积为PAB S △，设OPA PAB w S S =-△△． ①求k 的值以及w 关于t 的表达式；②若用max w 和min w 分别表示函数w 的最大值和最小值，令max 2T w a a =+-，其中a 为实数，求min T ．图11-1-47【例15】如图11-1-49，已知平面直角坐标系中A 点坐标为)40(，，以OA 为一边在第一像限作平行四边形OABC ，对角线AC 、OB 相交于点E ，OA AB 2=．若反比例函数x ky =的图像恰好经过点C 和点E ，则k的值为 ．图11-1-49【同步训练】1．如图11-1-52，双曲线xky =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M 在双曲线上，直线AM 、BM 分别交y 轴于点P 、Q ． 若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m ．图11-1-522．如图11-1-53，在矩形OABC 中，)01(，A ，)20(，C ，双曲线)20(<<=k xky 分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接OE 、OF 、EF ，BEF OEF S S △△2=，则k 的值为 ．图11-1-53 图11-1-543．如图11-1-54，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点A 在x 轴的正半轴上，AC BC 2=，点B 、C 在反比例函数)0(>=x xky 的图像上．若OBC △的面积等于12，则k 的值为 ． 4．如图11-1-55，1P 、2P 是反比例函数xy 4=的图像上任意两点，过点1P 作y 轴的平行线，过点2P 作x 轴的平行线，两线相交于点N ．若点)(n m N ，恰好在另一个反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，且221=⋅NP NP ，则=k ．图11-1-55 图11-1-565．（2020•江阴一模）如图11-1-56，在AOB ∆中，OC 平分AOB ∠，43OA OB =，反比例函数(0)ky k x=<图像经过点A 、C 两点，点B 在x 轴上，若AOB ∆的面积为7，则k 的值为（ ） A ．4-B ．3-C ．215-D ．73-6．（2019•莲湖期末）如图11-1-57，双曲线k y x =经过Rt BOC △斜边上的点A ，且满足12AO AB =，与BC 交于点D ，4BOD S =△，则k 的值为（ ） A ． 19B ．1C ．2D ．8图11-1-577．（2019•武侯模拟）双曲线x k y =1和)0(32>=k xky 在第一像限的图像如图11-1-58所示，过2y 上的任意一点A 作x 轴的平行线交1y 于B ，交y 轴于C ，过A 作x 轴的垂线交1y 于D ，交x 轴于E ，连结BD ，CE ，则有下列结论：①CE BD //； ②k S ABOD 2=四边形；③5:4:=BDEC ABD S S 四边形△；④DE CB =； 图11-1-58 ⑤2:1:=BOD ABD S S △△．其中正确的有 （填番号）．8．（2019•杭州一模）一次函数b ax y +=的图像分别与x 轴、y 轴交于点M ，N ，与反比例函数xky =的图像相交于点A ，B ．过点A 分别作x AC ⊥轴，y AE ⊥轴，垂足分别为C ，E ，过点B 分别作x BF ⊥轴，y BD ⊥轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．对于下述结论： ①CFBK AEDK S S 四边形四边形=；②BM AN =；③CD AB //； 不论点A ，B 在反比例函数xky =的图像的同一分支上 （如图11-1-59），还是点A ，B 分别在反比例函数xky =的图像的不同分支上（如图11-1-60），都正确的是（ ） 图11-1-59 图11-1-60 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9．（2020•长春期末）如图11-1-61，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数)0(>=x xmy 的图像上，顶点C 、D 在函数)0(>=x xny 的图像上，其中n m <<0，对角线y BD //轴，且AC BD ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4． （1）当4=m ，20=n 时，①点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，BD 的长为 ． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积． ③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系． 图11-1-61第二节 反比例函数的面积关系特殊到一般的转化上一讲提到了以原点为顶点的三角形面积转化，如果不过原点呢？答案还是要找准特殊的模特三角形，然后进行面积的转化．【例1】如图11-2-1，在平面直角坐标系中，A 是第一像限内一点，过A 作//AC y 轴交反比例函数(0)ky x x =>的图像于B 点，E 是y 轴上一点，AE 交反比例函数的图像于点D ，若B 是AC 的中点，:3:2DE AD =，且BDE △的面积为94，则k 的值为（ ） A ．7 B ．215 C ．8 D ．217图11-2-1【例2】如图11-2-3，点A 、B 是反比例函数(0)ky k x=≠图像上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 的三等分点，且OE DE <．连接AE 、BE ，若7ABE S =△，则k 的值为（ ） A ．12-B ．10-C ．9-D ．6-图11-2-3【例3】（2021·成都嘉祥）如图11-2-6，在直角坐标系中，已知)40(，A 、)42(，B ，C 为x 轴正半轴上一点，且OB 平分ABC ∠，过B 的反比例函数xky =交线段BC 于点D ，E 为OC 的中点，BE 与OD 交于点F ，若记BDF △的面积为1S ，OEF △的面积为2S ，则=21S S ．图11-2-6前篇所有的面积和比值问题都来自辅助矩形和辅助比例系数m ，但不是每一个题目都是来自矩形的变x形，最近几年以平行四边形和反比例交点和面积问题也开始频繁出现，平行四边形和菱形上的两点与反比例函数相交，到底隐藏了多少秘密呢？【例4】（2017•南通）如图11-2-11，四边形OABC 是平行四边形，点C 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点(512)A ，，且与边BC 交于点D ．若AB BD =，则点D 的坐标为 ．图11-2-11【例5】（2020•孝南二模）如图11-2-15，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数k y x =的图像经过点A ，与BC 交于点D ，若154ABC S =△，2CD BD =，则k = ．图11-2-15【例6】（2020•沙坪坝月考）如图11-2-18，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点D 在对角线2:3OB y x =上，且满足OD =(00)ky k x x==>>，的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是203，则点B 的坐标为 ．图11-2-18【例7】（2020•两江模拟）如图，双曲线(0)ky x x=>经过平行四边形OABC 的顶点A ，交边BC 于点D ，交对角线AC 于点E ，连接OE ．若2BD CD =且OAE △的面积为163，则k 的值为（ ） A．B ．12C ．10D．图平移问题小试牛刀【例8】（2020•西藏）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数4(0)y x x=>的图像交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图像于点C ．若2OA BC =，则b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【例9】（2018•锦江区模拟）已知如图， 直线23y x =分别与双曲线(0,0)my m x x=>>、双曲线(0,0)n y n x x =>>交于点A ，点B ，且23BA OA =，将直线23y x =向左平移 6 个单位长度后， 与双曲线ny x=交于点C ，若4ABC S ∆=，则mn 的值为 ．【同步训练】1．（2018•九龙坡区校级期末）如图，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，90ACB ∠=︒，点A 、C 在双曲线(0)ky k x=≠的图像上，//AB x 轴，AC 交x 轴于点F ，满足23AF CF =，10AC =，BC 交双曲线于点E ，连接AE ，则ACE ∆的面积为( )A ．BCD ．2．（2020•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OC 在x 轴正半轴上，四边形OABC 为平行四边形，反比例函数ky x=的图像经过点A 与边BC 相交于点D ，若15ABC S ∆=，2CD BD =，则k = ．3．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点(3,2)D 在对角线OB 上，反比例函数(0,0)k y k x x =>>的图像经过C 、D 两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为()A ．8(4,)3B ．9(2，3)C ．10(5,)3D ．24(5，16)54．（2020•相城区期末）如图，Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OB =，反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点B ，将Rt OAB ∆沿着x 轴向右平移6个单位，得到Rt CDE ∆，反比例函数图像恰好经过CE 的中点F ，则k 的值为( )A B ．C ．D ．5．（2020•宁波模拟）如图，点A ，B 是反比例函数6(0)y x x=>图像上的两点，延长线段AB 交x 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD y ⊥轴于点D ，点E 为线段OD 上的点，且2DE OE =．连结AE ，BE ，则ABE ∆的面积为 ．第三讲反比例函数隐藏的等角等边关系在反比例函数的背景下，隐藏了比值关系，我们在前两节已经给到了探讨和证明，那么反比例函数还有哪些矩形圈不住的性质呢？或者说不以比值系数m 相关的等量关系呢？下面我们来探讨一些等角和等边的性质．【例1】（2020•武汉模拟）如图，在平面直角坐标系中，(1,0)A ，(0,2)B -，将线段AB 平移得到线段CD ，当13AE AC =时，点C 、D 同时落在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，则k 的值为 ．【例2】（2018•十堰中考）如图1，直线x y -=与反比例函数xky =的图像交于A ，B 两点，过点B 作x BD //轴，交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数xky =的图像于另一点C ，求CB CA 的值．图1【例3】（2019•长沙）如图，函数(ky k x=为常数，0)k >的图像与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一像限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①ODM ∆与OCA ∆的面积相等；②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒；③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+；④若25MF MB =，则2MD MA =．其中正确的结论的序号是 ．（只填序号）x【例4】（2018•武汉模拟）如图，直线112y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，将线段AB 绕点M 旋转180︒得到线段CD ，双曲线(0)ky k x=>恰好经过C 、D 、M 三点，则k 的值为( )A ．43B ．1C ．98D ．89【例5】已知双曲线x y 4=与直线x y 41=交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．如图，点P 是第一像限内双曲线上一动点，AP BC ⊥于C ，交x 轴于F ，PA 交y 轴于E ，则2224EF BF AE +的值是_________．【例6】如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2．图1【同步训练】1．如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 作x AC //∥轴，连接BC 并延长，交双曲线于点D ．①求证：CD AD =； ②求BD AD :的值．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于x 轴正半轴和y 轴正半轴上． 证明：21∠=∠，43∠=∠．3．如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB BC 2=，A 、B 两点的坐标分别是)01(，-和)20(，，C 、xxD 两点在反比例函数xky =长的图像上，则=k ．4．如图所示，点A 在反比例函数)0(1>=x x k y 的图像上，点B 在反比例函数)0(2<=x xky 的图像上，124k k =，且直线AB 经过坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上，直线CA 交x 轴于点E ，直线CB 交x 轴于点F ．若3=AE AC ，则=CFBF．5．如图1，已知平行四边形ABCD ，A 、B 在反比例函数xky =上，C 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴，且反比例图像经过平行四边形对角线的交点E ，已知平行四边形ABCD 面积为6，则=k ．图1xxx6．（2020•宁德二模）如图，点A，B，C在反比例函数4yx=-的图像上，且直线AB经过原点，点C在第二像限上，连接AC并延长交x轴于点D，连接BD，若BOD∆的面积为9，则ACCD=．第四节 反比例函数的特殊等量关系和叠罗汉模型 一、平方关系二、乘积关系三、多个三角形矩形问题【例1】如图1，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数8y x=在第一像限的图像经过点B ，则OAC ∆与BAD ∆的面积之差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4图1【例2】如图1，在第一像限内，动点P 在反比例函数ky x=的图像上，以P 为顶点的等腰OPQ ∆，两腰OP 、PQ 分别交反比例函数my x=的图像于A 、B 两点，作PC OQ ⊥于点C ，BE PC ⊥于点E ，AD OQ ⊥于点D ，则以下说选正确的个数为( )个①AO PQ 为定值；②若4k m =，则A 为OP 中点；③2PEB k mS ∆-=；④222OA PB PQ +=；图1A ．4B ．3C ．2D ．1【例3】如图47所示，直线b x y +-=交y 轴于点B ，与双曲线)0(<=x xky 交于点A ．若622=-OB OA ，则=k ．图47【例4】如图49所示，点A 、B 为直线x y =上的两点，过A 、B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线)0(1>=x xy 于点C 、D ．若AC BD 2=，则224OD OC -的值为 ．图49【例5】如图51所示，直线52-=x y 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，点M 是反比例函数)0(>=x xky 的图像上位于直线上方的一点，x MC //轴交AB 于点C ，MC MD ⊥交AB 于点D ．已知5=⋅BD AC ，则k 的值为 ．图51【例6】（2020•鄂州）如图53，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y ＝（x ＞0）的图像上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1OA 1＝∠B 2B 1A 2＝∠B 3B 2A 3＝…，直线y ＝x 与双曲线y ＝交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是（ ）图53A ．（2，0）B ．（0，）C ．（0，）D ．（0，2）【例7】如图54，在y 轴的正半轴上，自O 点开始依次间隔相等的距离取点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，分别过这些点作y 轴的垂线，与反比例函数2(0)y x x=-<的图像相交于点1P ，2P ，3P ，4P ，⋯，n P ，作2111P B A P ⊥，3222P B A P ⊥，4333P B A P ⊥，⋯，111n n n n P B A P ---⊥，垂足分别为1B ，2B ，3B ，4B ，⋯，1n B -，连接12P P ，23P P ，34P P ，⋯，1n n P P -，得到一组Rt △112PB P ，Rt △223P B P ，Rt △334P B P ，⋯，Rt △11n n n P B P --，它们的面积分别记为1S ，2S ，3S ，⋯，1n S -，则12S S += ，1231n S S S S -+++⋯+= ．图54【例8】（2015•贵港）如图55，已知点1A ，2A ，⋯，n A 均在直线1y x =-上，点1B ，2B ，⋯，n B 均在双曲线1y x =-上，并且满足：11A B x ⊥轴，12B A y ⊥轴，22A B x ⊥轴，23B A y ⊥轴，⋯，n n A B x ⊥轴，1n n B A y +⊥轴，⋯，记点n A 的横坐标为(n a n 为正整数）．若11a =-，则2015a = ．图55【例9】如图56所示，等腰三角形△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，△1(n n n B A B n -为正整数）的一直角边在x 轴上，双曲线ky x=经过所有三角形的斜边中点1C ，2C ，3C ，⋯，n C ，已知斜边1OA =点n A 的坐标为 ．图56【同步训练】1．（2019秋•龙岗区校级期中）如图，BOD ∆是等腰直角三角形，过点B 作AB OB ⊥交反比例函数(0)ky x x=>于点A ，过点A 作AC BD ⊥于点C ，若3BOD ABC S S ∆∆-=，则k 的值为 ．2．（2020•海门市二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)P a a ，过点P 作OP 的垂线交(0)ky x x=>的图像于点Q ．若2212OP PQ -=，则k 的值为( )A ．12B ．9C ．6D ．33．（2018•越秀区二模）如图， 点A ，B 为直线y x =上的两点， 过A ，B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线2(0)y x x=>于C ，D 两点 ． 若3BD AC =，则229OC OD -的值为( )A ． 16B ． 27C ． 32D ． 484．（2017•十堰）如图， 直线6y =-分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数(0)ky x x=>的图像上位于直线上方的一点，//MC x 轴交AB 于C ，MD MC ⊥交AB 于D ，43AC BD =k 的值为( )A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-5．（2013秋•洞头县期中）如图，△11POA 、△212P A A 、△323P A A 、⋯、△10099100P A A 是等腰直角三角形，点1P 、2P 、3P 、⋯、100P 在反比例函数4y x=的图像上，斜边1OA 、12A A 、23A A 、⋯、99100A A 都在x 轴上，则点100A 的坐标是 ．6．如图，已知反比例函数1y x =的图像，当x 取1，2，3，n ⋯时，对应在反比例图像上的点分别为1M 、2M 、3n M M ⋯，则11222311P M M P M M Pn Mn MnSSS--++⋯= ．7．（2015•威海一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线:1l y x =--，双曲线1y x=，在直线l 上取点1A ，过点1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过点1B 作y 轴的垂线交直线l 于点2A ，过点2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过点2B 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ⋯，这样依次得到直线l 上的点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯，n A ，⋯若点1A 的横坐标为2，则点2015A 的坐标为 ．8．（2019•淄博）如图，△11OA B ，△122A A B ，△233A A B ，⋯是分别以1A ，2A ，3A ，⋯为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点11(C x ，1)y ，22(C x ，2)y ，33(C x ，3)y ，⋯均在反比例函数4(0)y x x=>的图像上．则1210y y y ++⋯+的值为( )A ．B ．6C ．．达标训练1．如图所示，矩形ABCO 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，反比例函数)0(≠=x xky 的图像分别与BC 、BA 的延长线交于E 、F 两点，连接AC ． 证明：（1）EF AC //；（2）FH GE =．2．如图所示，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 位于反比例函数xky =第一像限的图像上，点C 、D 分别位于y 轴负半轴和x 轴负半轴上，AD 交y 轴于点H ，BC 交x 轴于点G ． 证明：（1）21∠=∠，43∠=∠；（2）四边形CDHG 是菱形．3．如图所示，A 、B 为反比例函数xky =第一像限图像上任意两点，连接OA 并延长交反比例函数图像另一支于点C ，连接BC 交x 轴于点G 、交y 轴于点F ，连接AB 并向两侧延长分别交x 轴于点E 、交y 轴于点D ．证明：21∠=∠，43∠=∠．4．如图所示，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是)01(，-A 、)20(-，B ，顶点C 、D 在双曲线xky =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是ABE △的面积的5倍，则=k ．5．如图所示，矩形ABCD 的顶点C 、D 在反比例函数)00(>>=x k xky ，的图像上，顶点A 在y 轴上，顶点B 在x 轴上，连接OD ．若︒=∠60ODC ，则=ADAB．6．如图，函数1(0)y x x =>和3(0)y x x=>的图像分别是1l 和2l ．设点P 在2l 上，//PA y 轴交1l 于点A ，//PB x轴，交1l 于点B ，PAB ∆的面积为( )A ．12B ．23 C ．13D ．347．（2020•崇川一模）如图，直线y kx b =+与曲线3(0)y x x=>相交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，若2AB BC =，则AOB ∆的面积是( ) A ．3B ．4C ．6D ．8yxAC BE D O y xBADCO8．（2019•双峰一模）如图，ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(1,0)A -，(0,3)B -，顶点C 、D 在双曲线ky x=上， 边AD 交y 轴于点E ，且ABCD 的面积是ABE ∆面积的 8 倍， 则k = ．8题图 9题图9．（2019•如东期末）如图，AOB ∆的顶点B 在x 轴上，点C 在AB 边上且2AC BC =，若点A 和点C 都在双曲线(0)ky x x=>上，AOC ∆的面积为4，则k 的值为 ．10．（2017•孝义二模）如图，点A 是反比例函数(0)k y x x =>的图像上一点，OA 与反比例函数1(0)y x x=>的图像交于点C ，点B 在y 轴的正半轴上，且AB OA =，若ABC ∆的面积为6，则k 的值为 ．11．（2017•慈溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，平行四边形ABOC 的对角线交于点M ，双曲线(0)ky x x=<经过点B 、M ．若平行四边形ABOC 的面积为12，则k = ．12．（2016•青羊月考）如图，已知点(4,3)P -是双曲线11(0k y k x=<，0)x <上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线221(0||)k y k k x=<<于E 、F 两点．记PEF OEF S S S ∆∆=-，则S 的取值范围是 ．13．（2020•雨花期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB ∆的边OA 在y 轴上，OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky k x=≠与斜边AB 交于点C 、D ，连接OD ，若:1:2AC CD =，14OBD S ∆=，则k 的值为 ．14．（2020•常熟期末）如图，在平面直角坐标系中，ABO ∆的边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且OAB ∆的面积为6，则k = ．x15．（2020•随州中考）如图，直线AB 与双曲线(0)ky k x =>在第一像限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC ∆的面积为3，则k 的值为 ．16．（2020•平湖二模）如图，已知OAB ∆中，AB OB ⊥，以O 为原点，以BO 所在直线为x 轴建立坐标系．反比例函数的图像分别交AO ，AB 于点C ，D ，已知32OC AC =，ACD ∆的面积为169，则该反比例函数的解析式为 ．17．如图所示，双曲线)0(4>=x xy 与直线EF 交于点A 、B ，且BF AB AE ==，线段AO 、BO 分别与双曲线)0(2>=x xy 交于点C 、D ，则： （1）AB 与CD 的位置关系是；（2）四边形ABDC 的面积为 ．18．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，AO BC //，AO AB ⊥，过点C 的反比例函数)0(>=x x k y 的图像交OB 于点D ，且21=DB OD ．若16=OBC S △，k 的值是__________．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在反比例函数)0(4>=x xy 的图像上，延长AB 交x 轴于点C ，且21=AB BC ，连接OA 交反比例函数)0(1>=x xy 的图像于点D ，则=ABD S △ ．19题图 20题图20．（2019•鼓楼期末）如图，A 、B 是反比例函数ky x=图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO ∆的面积为4，则k 的值为 ．21．（2017•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一像限，点C 在线段AB 上，点D 在AB 的右侧，OAB ∆和BCD ∆都是等腰直角三角形，90OAB BCD ∠=∠=︒，若函数6(0)y x x=>的图像经过点D ，则OAB ∆与BCD ∆的面积之差为( )A ．12B ．6C ．3D ．222．（2020•广西）如图，点A ，B 是直线y x =上的两点，过A ，B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线xy CB AD O1(0)y x x=>于点C ，D ．若AC ，则223OD OC -的值为( )A ．5B ．C ．4D ．23．（2020•宁乡市一模）如图，点M 为双曲线1y x=上一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线2y x m =-+于D 、C 两点，若直线2y x m =-+交y 轴于A ，交x 轴于B ，则AD BC 的值为 ．24．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点1A 、2A 、3A 、4A 、5A 分别作x 轴的垂线与反比例函数(0)4y x x=≠的图像相交于点1P 、2P 、3P 、4P 、5P ，得直角三角形11OP A 、122A P A ，233A P A ，344A P A ，455A P A ，并设其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S 、5S ，则10S = ．(1n 的整数）25．如图，在AOC ∆中，90OAC ∠=︒，AO AC =，2OC =，将AOC ∆放置于平面直角坐标系中，点O 与坐标原点重合，斜边OC 在x 轴上．反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点A ．将AOC ∆沿x 轴向右平移2个单位长度，记平移后三角形的边与反比例函数图像的交点为1A ，2A ．重复平移操作，依次记交点为3A ，4A ，5A ，6A ⋯分别过点A ，1A ，2A ，3A ，4A ，5A ⋯作x 轴的垂线，垂足依次记为P ，1P ，2P ，3P ，4P ，5P ⋯若四边形11APP A 的面积记为1S ，四边形2233A P P A 的面积记为2S ⋯，则n S = ．（用含n 的代数式表示，n 为正整数）26．如图所示，点1A ，2A ，3A ⋯⋯．n A 在x 轴上，且1121n n OA A A A A -==⋯⋯=，分别过点1A ，2A ，3A ⋯，n A ⋯作y 轴的平行线，与反比例函数8(0)y x x =>的图像分别交于点1B ，2B ，3n B B ⋯，分别过点1B ，2B ，3B ⋯⋯，．n B 作x 轴的平行线交y 轴交于点1C ，2C ，3:C ⋯⋯．n C ，连接1OB ，2OB ，3n OB OB ⋯，得到△11OB C ，△222D B E ．△333D B E ⋯⋯△n n n D B E ，则△201820182018D B E 图面积等于 ．27．（2016•抚顺模拟）如图，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯，点(n nP x ，)n y 在函数1(0)y x x=>的图像上，△1POA ，△212P A A ，△323P A A ，⋯，△1n n n P A A -都是等腰直角三角形，斜边1OA ，12A A ，23A A ，⋯，1n n A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数）．若△11POA 的内接正方形1111B C D E 的周长记为1l ，△212P A A 的内接正方形的周长记为2l ，⋯，△1n n n P A A -的内接正方形n n n n B C D E 的周长记为n l ，则123n l l l l +++⋯+= （用含n 的式子表示）．28．（2019•鞍山一模）如图，直线4y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数(0)ky x x=>，图像上位于直线4y x =-+下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F ，并且4AF BE = （1）求k 的值； （2）若反比例函数ky x=与一次函数4y x =-+交于C 、D 两点，求三角形OCD 的面积．29．（2013秋•龙湾区校级月考）如图，点1P 、2P 、n P ⋯是反比例函数16y x=在第一像限图像上，点1A 、2n A A ⋯在x 轴上，若△11POA 、△212P A A ⋯△1n N N P A A -均为等腰直角三角形，则： （1）1P 点的坐标为 ； （2）求点2A 与点2P 的坐标； （3）直接写出点n A 与点n P 的坐标．30．（2018•景德镇二模）如图，四边形111OP A B 、1222A P A B 、2333A P A B 、⋯⋯、1n n n n A P A B -都是正方形，对角线1OA 、12A A 、23A A 、⋯⋯、1n n A A -都在y 轴上(2)n ，点11(P x ，1)y ，点22(P x ，2)y ，⋯⋯，点(n n P x ，)n y 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，已知1(1,1)B -． （1）反比例函数解析式为 ； （2）求点3P 和点2P 的坐标；（3）点n P 的坐标为( )（用含n 的式子表示），△n n P B O 的面积为 ．31．（2020•江夏区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数(0)ky x x=>的图像经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 上的一点E ，且2CE AE =，菱形的边长为8，则k 的值为 ．32．（2018•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 的边OB 在x 轴上，过点(3,4)C 的双曲线与AB 交于点D ，且2AC AD =，则点D 的坐标为 ．。
初三数学反比例函数知识点及举例
反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且k 不为零；（2）xk 中分母x 的指数为1，如22y x =不是反比例函数。
（3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。
知识点2. 反比例函数的图象及性质重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xk y =的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。
（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。
反比例函数的性质xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。
（2）若点()在反比例函数xk y =的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。
（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。
重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式xk y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入xk y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。
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反比例函数 一.选择题 1. （2015•四川眉山，第12题3分）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A． B． C． 3 D． 4 考点： 反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．. 分析： 过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD=BE，设A（x，），则B（2x，），故CD=，AD=﹣，再由△ADO的面积
为1求出y的值即可得出结论． 解答： 解：过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点， ∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE． 设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣， ∵△ADO的面积为1，∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得y=， ∴k=x•=y=． 故选B． 点评： 本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y=图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解答此题的关键．
2.（2015•山东莱芜,第7题3分）已知反比例函数，下列结论不正确的是( ) A．图象必经过点(－1,2) B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则y＞－2 【答案】B 【解析】 试题分析：此题可根据反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断．
A、把（－1，2）代入函数解析式得：2=－成立，故点（－1，2）在函数图象上，故选
项正确； B、由k=－2＜0，因此在每一个象限内，y随x的增大而增大，故选项正确；
C、由k=－2＜0，因此函数图象在二、四象限内，故选项正确； D、当x=1，则y=－2，又因为k=－2＜0，所以y随x的增大而增大，因此x＞1时，－2＜y＜0，故选项不正确；
故选D． 考点：反比例函数的图像与性质
3.(2015山东青岛，第8题,3分)如图，正比例函数的图像与反比例函数的
xky11
x
ky22图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，的取值范围是（ ）． A． B． C． D．
【答案】D 【解析】 试题分析：根据函数的交点可得点B的横坐标为－2，根据图象可得当一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x＞2或－2＜x＜0.
考点：反比例函数与一次函数.
4．（2015·湖北省武汉市，第9题3分）在反比例函数xmy31图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，
y2)，x1＜0＜y1，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞31 B．m＜31 C．m≥31 D．m≤31 【解析】x1＜0＜x2时，y1＜y2,说明反比例函数图像位于一三象限，故1－3m＞0，所以m≤31.
易错警示：对于x1＜0＜x2时，y1＜y2,部分同学容易误认为y随x增大而增大，故错误得出1－3m＜0.考虑反比例函数增减性要在同一个分支上，x1＜0＜x2说明点A、B不在同一个分支上，故不能利用增减性来解答.
21yy＞x22＞或＜xx202＜＜或＜xx2002＜＜或＜＜xx202＞或＜＜xx 备考指导：①反比例函数kxky(为常数，且)0k的图像是双曲线，当0>k时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；当0双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.②两个点若在双曲线同一分支上，则两点纵坐标符号相同，横坐标符号相同，两个点若不在双曲线同一分支上，则两点纵坐标符号相反，横坐标符号相反.
5．（2015·湖北省孝感市，第8题3分）如图，△AOB是直角三角形，AOB=90，OAOB2，
点A在反比例函数xy1的图象上．若点B在反比例函数xky的图象上，则k的值为
A．4 B．4 C．2 D．2
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．.分析： 要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系数法即可．
解答：解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m， ∵∠AOB=90°，
)8(题第xyOAB∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵∠DBO+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC， ∵∠BDO=∠ACO=90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴==， ∵OB=2OA， ∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m）， ∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4． 故选A． 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
6．(2015•湖南株洲,第5题3分)从2，3,4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点(a，b)在函数12yx图象上的概率是 ( )
A．12 B．13 C．14 D．16 【试题分析】 本题有两个：一、2,3，4,5从中选出一组数的所有可能性，注意任选两个，是指不能重复；二、反比例函数经过的点的理解；
答案为：D 8．(2015•江苏无锡,第5题2分)若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象
上，则m的值为（ ）
A． 6 B． ﹣6 C． 12 D． ﹣12 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 反比例函数的解析式为y=，把A（3，﹣4）代入求k=﹣12，得解析式，把B的坐标代入解析式即可． 解答： 解：设反比例函数的解析式为y=， 把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12， 即y=﹣， 把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6， 故选A． 点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是求反比例函数的解析式，难度适． 9.（2015湖北鄂州第7题3分）如图，直线y=x－2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与
反比例函数的图象在第一象限交于点A，连接OA，若S△AOBS△BOC = 1:2，则k的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B.
考点：反比例函数与一次函数的交点问题. 10、（2015•四川自贡,第6题4分）若点,,,,,112233xyxyxy都是反比例函数1yx图
象上的点，并且123y0yy ，则下列各式正确的是 （ ）
A.123xxx B.132xxx C.213xxx D.231xxx 考点：反比例函数的图象及其性质 分析：反比例函数1yx的y与x的变化关系，要注意反比例 函数的图象是双曲线的特点；由于k10时，在每一个象限 内y随着x的增大而增大；本题从理论上分析似乎有点抽象，也 容易判断出错；若用“赋值”或“图解”的办法比较简捷和直观， 且不容易出错. 略解：用“图解”的办法.如图123y0yy，过123yyy、、处作y轴
垂线得与双曲线的交点，再过交点作x轴的垂线得对应的,,123xxx，从 图中可知231xxx.故选D. 11. （2015•浙江滨州,第12题3分）如图,在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方
向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为( )
1y3y2y1x
3x2x
x
yO1yxA.逐渐变小 B.逐渐变大 C.时大时小 D.保持不变
【答案】D
考点：反比例函数，三角形相似，解直角三角形 12. （2015•浙江湖州，第10题3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，
点A是函数y= (x<0)图象上一点，AO的延长线交函数y= (x>0，k是不等于0的常数)的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于( )
A. 8 B. 10 C. 3 D. 4
【答案】B. 【解析】 试题分析：如图，连接O A′,由点A和点A′关于y轴的对称可得∠AOM=∠A′OM，又因∠AOM+∠BOC=90°, ∠A′OM +∠A′OB=90°,根据等角的余角相等可得∠BOC= A′OB；又因点
C与点C′关于x轴的对称，所以点A、A′、C′三点在同一直线上.设点A的坐标为（m，），
直线AC经过点A，可求的直线AC的表达式为.直线AC与函数y=一个交点为点C,则可求得点C的坐标当k＜0时为（mk，），当k＞0时为（－mk，）,根据△ABC的面积等于6可得，解得.或，解得，所以y=.根据反比例函数比例系数k的几何意义和轴对称的性质可得△AO A′的面积为1，△CO C′的面积为9，所以线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于△AO A′的面积+△CO C′的面积，即线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于10，故答案选B.