江苏省兴化市第一中学2014-2015年度高二上学期数学第十五周双休练习

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江苏省扬州中学2014-2015学年高二数学上学期月考试卷(10月份)(含解析)

江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期月考数学试卷（10月份）一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分．1．（5分）若直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直，则k=．2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为．3．（5分）设AA1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA1垂直的棱共有条．4．（5分）直线x+2y﹣1=0右上方（不含边界）的平面区域用不等式表示．5．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．6．（5分）直线a，b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a，b位置关系是．7．（5分）将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为．8．（5分）过点C（3，4）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2=．9．（5分）已知直线kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=．10．（5分）设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是．11．（5分）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．12．（5分）过圆x2+y2=4内一点P（1，1）作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC=BD时，四边形ABCD的面积为．13．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．14．（5分）平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是．二、解答题：本大题共6小题，14+14+14+16+16+16=90分．15．（14分）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．16．（14分）已知：无论a取何值，直线（a+2）x+（a+1）y+a=0始终平分半径为2的圆C．（1）求圆C的标准方程；（2）过点A（﹣1，4）作圆C的切线l，求切线l的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．18．（16分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（1）若过点C1（﹣1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分．1．（5分）若直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直，则k=．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线y=kx+1的斜率是k，直线2x+y﹣4=0的斜率是﹣2，利用直线与直线垂直的关系，能够求出k．解答：解：直线y=kx+1的斜率是k，直线2x+y﹣4=0的斜率是﹣2，∵直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直，∴﹣2k=﹣1，k=．故答案为：．点评：本题考查直线的一般方程与直线的垂直关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为1．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线3x+y+a=0上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心是（﹣1，2）圆心在直线3x+2y+a=0上，∴﹣3+2+a=0，∴a=1故答案为：1点评：本题考查圆的一般方程与点与直线的位置关系，本题解题的关键是表示出圆心，根据圆心的位置，即可求解3．（5分）设AA1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA1垂直的棱共有8条．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正方体的性质，判定线面垂直，再根据线面垂直判断线线垂直．解答：解：∵AA1垂直于上、下两底面，∴位于上、下两底面中的8条棱都与AA1垂直，其余的棱与AA1平行，故答案是8．点评：本题考查空间中直线与直线的垂直关系的判定．4．（5分）直线x+2y﹣1=0右上方（不含边界）的平面区域用不等式x+2y﹣1＞0表示．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：直线ax+by+c=0（b≠0）两侧的区域用不等式ax+by+c＜0或ax+by+c＞0表示．只看b的值，b＞0时“＞”为上侧、“＜”为下侧．而b＜0时“＞”为下侧、“＜”为上侧．解答：解：∵y的系数大于零，∴要表示直线x+2y﹣1=0右上方（不含边界）的平面区域，需用“＞”的不等式表示，∴x+2y﹣1＞0故答案为：x+2y﹣1＞0点评：本题主要考查用不等式表示平面区域，关键是记住y的系数与上下两侧的关系．5．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：解：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．6．（5分）直线a，b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a，b位置关系是相交或异面．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：a，b对角线开始于同一个顶点时相交；a，b不是开始于同一个顶点时异面；a，b 没有平行的可能．解答：解：∵直线a，b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，∴a，b可能是相交线，a，b对角线开始于同一个顶点时相交；a，b也可以是异面，两个对角线a，b不是开始于同一个顶点时异面；a，b没有平行的可能．故答案为：相交或异面．点评：本题考查两条直线的位置关系的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（5分）将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1，∴h==．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面，比较基础．8．（5分）过点C（3，4）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2=25．考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由题意得：满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设出圆心（a，a），根据切线的性质得到半径r=a，表示出圆的标准方程，由C在此圆上，将C的坐标代入圆的方程中，得到关于a的一元二次方程，根据r1，r2为此一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系即可得出r1r2的值．解答：解：由题意得：满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设圆心坐标为（a，a），则半径r=a，∴圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2，又C（3，4）在此圆上，∴将C的坐标代入得：（3﹣a）2+（4﹣a）2=a2，整理得：a2﹣14a+25=0，∵r1，r2分别为a2﹣14a+25=0的两个解，∴r1r2=25．故答案为：25点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：切线的性质，以及韦达定理，根据题意满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，进而设出相应圆的标准方程是解本题的关键．9．（5分）已知直线kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：设AB的中点为 D，有=2，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程解出实数k的值．解答：解：设AB的中点为D，有=2，||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得 1=，解得k=0，故答案为 0．点评：本题考查向量加减法的意义，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用．10．（5分）设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是④．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，由面面平行的判定定理判断；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直，由线线的位置关系判断；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β，由线面垂直的条件进行判断；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β，由线面垂直的条件进行判断．解答：解：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，是一个错误命题，因为m，n 不一定相交；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直，是错误命题，因为两个不垂直的平面中也存在互相垂直的两条直线；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β，是错误命题，因为对比面面垂直的性质定理知，少了一个条件即n⊂α；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β是一个正确命题，因为两条平行线中的一条垂直于一个平面，则它也垂直于另一个平面，再有两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直，则另一个平面也与这条直线垂直．故答案为④点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对命题相关的定义与定理掌握得比较熟练．11．（5分）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离．解答：解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0∴BC⊥平面APM又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APM，又∵平面ABC∩平面APM=PM，∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高设底面边长为a，则设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离故答案为：点评：本小题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．12．（5分）过圆x2+y2=4内一点P（1，1）作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC=BD时，四边形ABCD的面积为6．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，利用垂径定理得到E、F分别为AC、BD的中点，由AC=BD得到弦心距OE=OF，可得出四边形PEOF为正方形，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得到OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC与BD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，∴E为AC的中点，F为BD的中点，又AC⊥BD，AC=BD，∴四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=2，又P（1，1），∴|OP|==，∴OE=×=1，又OA=r=2，∴根据勾股定理得：AE==，∴AC=BD=2AE=2，则S四边形ABCD=AC•BD=6．故答案为：6点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．解答：解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故答案为：（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．14．（5分）平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两点之间的距离公式，列出四边形PABN的周长关于a的表达式，得到x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和最小时，四边形PABN的周长也最小．利用对称思想结合直线方程的求法，可得a值为时，四边形PABN的周长最小．从而得到P、N的坐标，再用直线方程的一般式，求出经过三点A、P、N的圆方程，从而得到圆心的坐标．解答：解：四边形PABN的周长为C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+++1=+++1，只需求出+的最小值时的a值．由于+=+，表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，﹣3）与（3，1）间的距离，且取得最小的a值为E（1，﹣3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，∵直线EF的斜率k==2，∴直线EF方程为y+3=2（x﹣1），化简得y=2x﹣5，令y=0，得x=，所以此时a值为由以上的讨论，得四边形PABN的周长最小时，P（，1），N（，1）设过三点A、P、N的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0可得，解之得D=﹣6，E=，F=∴过三点A、P、N的圆方程为x2+y2﹣6x+y+=0，可得圆坐标为（3，﹣）故答案为：（3，﹣）点评：本题以四边形周长取最小值为载体，求经过三点圆的圆心坐标，着重考查了直线的方程、圆方程求法等知识，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，14+14+14+16+16+16=90分．15．（14分）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）因为EF∥平面ABD，所以EF⊂平面ABC，EF∥AB，由此能够求出实数λ的值．（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，由此能够证明平面BCD⊥平面AED．解答：解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，所以EF∥AB，又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由得；（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，又AE∩DE=E，AE、DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED，而BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面AED．点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．16．（14分）已知：无论a取何值，直线（a+2）x+（a+1）y+a=0始终平分半径为2的圆C．（1）求圆C的标准方程；（2）过点A（﹣1，4）作圆C的切线l，求切线l的方程．考点：圆的切线方程；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（1）求出动直线经过的定点，即圆C的圆心，然后代入圆的标准方程得答案；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求解斜率，则切线方程可求．解答：解：（1）由（a+2）x+（a+1）y+a=0，得a（x+y+1）+2x+y=0，联立，解得：．∴直线（a+2）x+（a+1）y+a=0过定点（1，﹣2）．即圆的圆心为（1，﹣2）．又圆的半径为2．∴圆的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=4；（2）如图，当切线l的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1；当切线l的斜率存在时，设切线方程为y﹣4=k（x+1），整理得：kx﹣y+k+4=0．由圆心（1，﹣2）到切线的距离等于圆的半径得：，解得：k=﹣．∴切线l的方程为：．整理得：4x+3y﹣8=0．综上，圆的切线方程为x=﹣1或4x+3y﹣8=0．点评：本题考查圆的标准方程的求法，训练了直线系方程的用法，考查了利用几何法求圆的切线方程，是中档题．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得到BC∥AD，再利用线面平行的判定定理即可证明AD∥平面PBC；（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，进而得到面面垂直．解答：证明：（1）因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD．因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力．18．（16分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足定理所需条件；（2）先根据线面垂直的判定定理证出B1C⊥平面ABC1D1，而BD1⊂平面ABC1D1，根据线面垂直的性质可知B1C⊥BD1，而EF∥BD1，根据平行的性质可得结论；（3）可先证CF⊥平面EFB 1，根据勾股定理可知∠EFB1=90°，根据等体积法可知=V C﹣B1EF，即可求出所求．解答：解：（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则平面ABC1D1．（2）（3）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1且，∵，，∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB1=90°，∴==点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想，属于中档题．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．解答：解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（1）若过点C1（﹣1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：计算题；综合题；直线与圆．分析：（1）设过直线l方程：y=k（x+1），根据垂直于弦的直径的性质，结合点到直线的距离公式列式，可解出k的值，从而得到直线l的方程；（2）①由题意，圆心C到C1、C2两点的距离相等，由此结合两点间的距离公式建立关系式，化简整理得x+y﹣3=0，即为所求定直线方程；②根据题意设C（m，3﹣m），得到圆C方程关于参数m的一般方程形式，由此可得动圆C经过圆x2+y2﹣6y﹣2=0与直线x﹣y+1=0的交点，最后联解方程组，即可得到动圆C经过的定点坐标．解答：解：（1）设过点C1（﹣1，0）的直线l方程：y=k（x+1），化成一般式kx﹣y+k=0 ∵直线l被圆C2截得的弦长为，∴点C2（3，4）到直线l的距离为d==，解之得k=或由此可得直线l的方程为：4x﹣3y+4=0或3x﹣4y+3=0．（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2，即=，化简整理，得x+y﹣3=0，即动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动．②设圆C过定点，设C（m，3﹣m），则动圆C的半径为=，于是动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2，整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0，由得或所以动圆C经过定点，其坐标为，．点评：本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程，并探索动圆圆心在定直线上的问题．考查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，考查学生运算能力．。

江苏省涟水中学2014-2015学年高二上学期期末复习数学练习(7) Word版缺答案

高二上学期期末复习数学练习（7）1.命题“∃]3,0[∈x ，使022≤+-m x x ”是假命题，则实数m 的取值范围为2.以下说法正确的有．．．．（1）命题“若2320x x -+=,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”.（2）“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.（3）若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题.（4）若命题p :x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥.3．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为．4.若圆锥底面半径为1，则其侧面积为．5.圆221:1C x y +=与圆222:4210C x y x y +-++=的位置关系为．6. 过点(0,1)P 向圆2246120x y x y +--+=引切线，则切线长为．7. 圆心在x 轴上，且与直线y x =相切于点(1,1)的圆的方程为．8. 已知,l m 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面.给出下列命题： ①若l ∥m ,m α⊂,则l ∥α； ②若,l l α⊥∥m ,则m α⊥； ③若,l αβα⊥⊥且l β⊄，则l ∥β； ④若α∥,,l m βαβ⊂⊂,则l ∥m . 其中正确命题的序号为（请写出所有你认为正确命题的序号）．9．已知抛物线28y x =的焦点是双曲线22213x y a -=（0a >）的右焦点，则双曲线的右准线方程为 .10. 若方程22113x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为．11. 已知双曲线22221x y a b -=的右焦点到右准线的距离等于焦距的13, 则离心率为．12.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是13.若双曲线221y x m -=的离心率为2，则m 的值为P E D CB A （第15题）14.已知椭圆22+=1164x y 的焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且12=90F PF ∠，则12F PF ∆的面积为．15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，BA ⊥平面P AD ， AP ＝AD ，DC //AB ，DC ＝2AB ， E 是棱PD 的中点.（1）求证：AE //平面PBC ；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.。

江苏省金坛市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试(理,无答案)

金坛市第一中学2014秋学期高二期中考试数学试卷2014.11.20一、填空题（本题满分70分）1. 命题“,20xx R ∀∈≠”的否定是 ________________ . 2. 已知(251)(224)(141)A B C ---，，，，，，，，，则向量AB 与AC 的夹角为__________ 3. 已知:12p x ≤≤，2:01x q x -≤-，则p 是q 的 ______________ 条件.（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填写） 4. 以下说法正确的有_____________（1）命题“若2320x x -+=,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”.（2）“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. （3）若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题.（4）若命题p:x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥.5. 已知向量),2,3(z a -= ，)1,,1(-=y b ，若b a //，则yz 的值等于________6. 若F 1、F 2是2214x y +=的两个焦点，过F 1作直线与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为____________7. 已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则 |PF 1|·|PF 2|＝ ___________.8. 在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+5则m 的值为____.9. 过点P （2，-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是_______________． 10. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若12AB BC =，则双曲线的离心率是 _________11. 如图，已知过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y轴于点P ，交椭圆于点Q.，若△AOP 是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为___________12. 与圆x 2+y 2－4x=0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是________________ 13. 给出下列命题：①若()()0+-+=a b c c b a ，则=a c ；②AB M N ，，，为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么点A B M N ，，，共面；③已知∥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线平行．其中正确的是___________14.若椭圆12222=+by a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛21,1作圆122=+y x 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_____________ 二、解答题（本题满分90分）15、(本题满分14分)已知2:1x p x -≤+, 22:210 (0)q x x m m -+-≤>,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.16. (本题满分14分)（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的方程．（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 17. (本题满分14分) 已知在长方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，2=AD ，31=AA ，M ，N 分别是棱1BB ，BC 上的点，且2=BM ，1=BN ，建立如图所示的空间直角坐标系．求：（1）异面直线DM 与AN 所成角的余弦值；（2）直线DM 与平面AMN 所成角的正弦值。

2014-2015高二上竞赛试题含答案

2014-2015高二上学期数学竞赛试题（时间： 120分钟满分：150分）出卷人：陈木茂、陈加丰一、填空题：共15小题，每小题5分，共75分．把答案填在横线上．1、()242x x x f -+=函数在[]21，上的值域是． 2(1tan 45)(1tan 46)...(1tan89)______---=、.()2201231nn n x xa a x a x ++=+++ 、设，则242n a a a +++ 的值为__________.4、已知(),,14,112111n n n n n n a a a a a a a >-+==+++且,*N n ∈=n a 则 .5、已知,0,>b a 且，2=ab 则2222b aa b +++的最小值是 . 6、设(),562+-=x x x f 若实数y x ,满足()()⎩⎨⎧≤≤≥-,51,0x y f x f则xyy x u 22+=的取值范围是 .7、若,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx 使(),14sin 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-πx x 则=x .8、若方程π<<=+x c x b x a 0sin cos 在上有两根βα和，则()=+βαs i n .9、已知实数x,y 满足方程22(2)(1)149x y --+≤，则y x -2的最大值为______,最小值为_______.min 12310,,,1,______.23y zx y z R x x y z +∈++=++=、若则（）.11、若不等式61114...135357252729m x x m x x-<+++<+-∙∙∙∙∙∙ 对任意(1,3)x ∈恒成立，则①正数m 的取值范围为__________， ②正整数m 的最值为_______.12、函数f(x)是定义在R 上的函数，它的图像既关于直线x=5对称，又关于直线x=7对称，且在[5,7]内单调，则f(x)的最小正周期为______.13、已知点)02(，P ，正方形ABCD 内接于圆22:2O x y +=， ,M N 分别为,AB BC 中点，当正方形绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 .14、记号[x]表示不超过x 的最大整数（如[-π]=-4，[3]=3），则方程29[3]2104x x ---=的解集为_______. 15、已知互不相等的三个实数c b a 、、成等比数列，且b c a a b c log log log 、、构成公差为d 的等差数列，则d = ．二、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（满分10分）比较,53322341++++=x x x x y 15425232++-=x x x y 的大小.17、（满分10分）某屋子有很多张桌子，若3个人一桌，则多2个人；若5个人一桌，则多4个人；若7个人一桌，则多6个人；若9个人一桌，则多8个人；若11个人一桌，则刚好坐满，不多不少；请问这个屋子总共有多少人？写出必要的过程。

2014-2015年江苏省泰州市兴化市板桥中学九年级(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年江苏省泰州市兴化市板桥中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共18分）1．（3分）一组数据﹣1、2、3、4的极差是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（3分）下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A．3 B．4 C．D．54．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°5．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3 6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根二、填空题：（每题3分，共30分）7．（3分）任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于．8．（3分）已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是．9．（3分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为cm2．10．（3分）用圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片恰好围成一个圆锥形无底纸帽（接缝忽略不计），则这个纸帽的高是．11．（3分）已知样本x1，x2，x3，…，x2014的方差是2，那么样本3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3x2014﹣1的方差是．12．（3分）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．13．（3分）已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为cm．14．（3分）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC的度数是．15．（3分）点P为⊙O内一点，若⊙O的直径是10，OP=4，则过点P的最短的弦长是．16．（3分）如图，线段AB=8cm，点D从A点出发沿AB向B点匀速运动，速度为1cm/s，同时点C从B点出发沿BA向A点以相同速度运动，以点C为圆心，2cm长为半径作⊙C，点D到达B点时⊙C也停止运动，设运动时间为t秒，则点D在⊙C内部时t的取值范围是．三、解答题：17．（8分）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）已知：AB=16，CD=4．求（1）中所作圆的半径．18．（10分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．19．（10分）某校初三学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是甲班和乙班成绩最好的5名学生的比赛成绩．1号2号3号4号5号总数甲班1009810297103500乙班991009510997500经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等．此时有学生建议，可以通过考查数据中的其它信息作为参考．请你回答下列问题：（1）甲乙两班的优秀率分别为、；（2）计算两班比赛数据的方差；（3）根据以上三条信息，你认为应该把团体第一名的奖状给哪一个班？简述理由．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE．（1）直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）若AC=，⊙O的半径为1，求CD的长及由弧BC、线段BD、CD所围成的阴影部分的面积．21．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．（1）格点△ABC的面积为；（2）画出格点△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△A1B1C1，并求出在旋转过程中，点B所经过的路径长．22．（10分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．23．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F（1）求证：CE=CF；（2）求线段EF的最小值；（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．24．（12分）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，过C点作⊙O的切线CG交AB延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且AF=FD．（1）求证：CG∥AD；（2）求证：E是OB的中点；（3）若AB=8，阴影部分的面积．25．（12分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线；（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．26．（14分）已知直线y=kx+b分别与y轴、x轴相交于A、B两点，与二次函数y=x2﹣mx+3的图象交于A、C两点．（1）当点C坐标为（﹣，）时，求直线AB的解析式；（2）在（1）中，如图，将△ABO沿y轴翻折180°，若点B的对应点D恰好落在二次函数y=x2﹣mx+3的图象上，求点D到直线AB的距离；（3）当﹣1≤x≤1时，二次函数y=x2﹣mx+3有最小值﹣3，求实数m的值．2014-2015学年江苏省泰州市兴化市板桥中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共18分）1．（3分）一组数据﹣1、2、3、4的极差是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：4﹣（﹣1）=5．故选：A．2．（3分）下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【解答】解：A、直径相等的两个圆是等圆，所以A选项的说法正确；B、三角形的外心是这个三角形三边的中垂线的交点，所以B选项的说法错误；C、圆中最长的弦是直径，所以C选项的说法正确；D、一条直径弦圆分成两条弧，这两条弧是等弧，所以D选项的说法正确．故选：B．3．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A．3 B．4 C．D．5【解答】解：连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，∴∠C=90°，∵AB=5，BC=3，∴AC==4，∵点P是上任意一点．∴4≤AP≤5．故选：A．4．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．70°【解答】解：∵∠ABC=∠AOC，而∠ABC+∠AOC=90°，∴∠AOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=60°．故选：C．5．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选：A．6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一个根【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故C选项错误；∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故B选项错误；∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．故选：D．二、填空题：（每题3分，共30分）7．（3分）任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于．【解答】解：∵任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的有2种情况，∴任意抛掷一枚均匀的骰子一次，朝上的点数大于4的概率等于：=．故答案为：．8．（3分）已知⊙A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与⊙A的位置关系是在⊙A上．【解答】解：∵点A的坐标为（4，3），∴OA==5，∵半径为5，而5=5，∴点O在⊙A上．故答案为：在⊙A上．9．（3分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为60πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm2．10．（3分）用圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片恰好围成一个圆锥形无底纸帽（接缝忽略不计），则这个纸帽的高是6cm．【解答】解：=2πR，解得R=3cm，再利用勾股定理可知，高=6cm．故答案为：6cm．11．（3分）已知样本x1，x2，x3，…，x2014的方差是2，那么样本3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3x2014﹣1的方差是18．【解答】解：∵样本x1，x2，x3，…，x2014的方差是=2，则样本3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3x2014﹣1的方差为S22=9S12=18．故答案为：18．12．（3分）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为（6，2）．【解答】解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得，A（4，6），B（2，4），C（2，0）则有==，即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2，化简后得x=6，y=2，因此圆心坐标为（6，2）．13．（3分）已知圆锥的侧面积为8πcm2，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为8cm．【解答】解：设母线长为R，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积S==8π，∴R=8cm．14．（3分）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC 的度数是135°．【解答】解：如图，∵∠AOC=90°，∴∠ABC=∠AOC=45°，又∵点A、B、C、D共圆，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=135°．故答案是：135°．15．（3分）点P为⊙O内一点，若⊙O的直径是10，OP=4，则过点P的最短的弦长是6．【解答】解：如图，AB为⊙的直径，AB=10，过P点作弦CD⊥AB，则CD为过点P的最短弦，连结OC，∵CD⊥AB，∴CP=DP，在Rt△OCP中，OC=5，OP=4，∴CP==3，∴CD=2CP=6．故答案为6．16．（3分）如图，线段AB=8cm，点D从A点出发沿AB向B点匀速运动，速度为1cm/s，同时点C从B点出发沿BA向A点以相同速度运动，以点C为圆心，2cm长为半径作⊙C，点D到达B点时⊙C也停止运动，设运动时间为t秒，则点D在⊙C内部时t的取值范围是3＜t＜5．【解答】解：∵运动速度相同，相向运动，点C、D的运动速度均为1cm/s，又∵⊙C的半径为2cm，∴第一次当点D在⊙C上时，点C、D运动了8﹣2=6cm，∴运动时间为3秒，当第二次点D在⊙C上时，点D运动了8+2=10cm，∴运动了5秒，∴点D在⊙C内部时t的取值范围是3＜t＜5，故答案为：3＜t＜5．三、解答题：17．（8分）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）已知：AB=16，CD=4．求（1）中所作圆的半径．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵AB=16，CD=4，CD⊥AB，∴AD=BD=8，设半径为x，得：x2=82+（x﹣4）2，解得：x=10．18．（10分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意可列表或树状图如下：12 3 4第一次第二次1（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（5分）从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P（和为奇数）=；（7分）（2）不公平．（8分）∵小明先挑选的概率是P（和为奇数）=，小亮先挑选的概率是P（和为偶数）=，∵，∴不公平．（10分）19．（10分）某校初三学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是甲班和乙班成绩最好的5名学生的比赛成绩．1号2号3号4号5号总数甲班1009810297103500乙班991009510997500经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等．此时有学生建议，可以通过考查数据中的其它信息作为参考．请你回答下列问题：（1）甲乙两班的优秀率分别为60%、40%；（2）计算两班比赛数据的方差；（3）根据以上三条信息，你认为应该把团体第一名的奖状给哪一个班？简述理由．【解答】解；（1）甲班的优秀率为×100%=60%，乙班的优秀率为×100%=40%，故答案为：60%，40%；（2）甲班的平均数为（100+98+102+97+103）÷5=100，乙班的平均数为（99+100+95+109+97）÷5=100，甲的方差是：[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（102﹣100）2+（97﹣100）2+（103﹣100）2]=5.2．乙的方差是：[（99﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（109﹣100）2+（97﹣100）2]=23.2；（3）应选甲；∵甲班的优秀率大于乙班，平均数等于乙班，方差小于乙班，∴甲班的成绩波动性小，∴应该把团体第一名的奖状给甲班．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE．（1）直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）若AC=，⊙O的半径为1，求CD的长及由弧BC、线段BD、CD所围成的阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切．连结OC，∵OA=OC∴∠CAO=∠OCA，又∵AC平分∠DAE，∴∠EAC=∠OAO，∴∠ECO=∠OCA，∴AE∥OC，∴OC⊥DC，∴直线DE与⊙O相切；（2）∵∠CAB=30°，∴CD=，则S=•OC•CD=，△OCDS扇形OCB==，则阴影部分的面积为．21．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．（1）格点△ABC的面积为4；（2）画出格点△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△A1B1C1，并求出在旋转过程中，点B所经过的路径长．【解答】解：（1）△ABC的面积=3×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×1×3，=9﹣2﹣﹣，=9﹣5，=4；（2）△A1B1C1如图所示；由勾股定理得，BC==，所以，点B所经过的路径长为=π．22．（10分）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．23．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F（1）求证：CE=CF；（2）求线段EF的最小值；（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．【解答】（1）证明：如图1，设AC于点DE交于点G，则EG=DG，且ED⊥AC，∵DF⊥DE，∴∠EGC=∠EDF=90°，∴AC∥DF，且G为ED中点，∴EC=FC；（2）解：由（1）知，EF=2CD，∴当线段EF最小时，线段CD也最小，根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，∵AB是半圆O 的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=8，∠CBA=30°，∴AC=4，BC=4，当CD⊥AD时，CD=BC=2，此时EF=2CD=4，即EF的最小值为4；（3）解：当点D从点A运动到点B时，如图2，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，由（2）知AC=4，BC=4，=•AC•BC=×4×4=8，∴S△ABC∴线段EF扫过的面积是16．24．（12分）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，过C点作⊙O的切线CG交AB延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且AF=FD．（1）求证：CG∥AD；（2）求证：E是OB的中点；（3）若AB=8，阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD．∵CG是切线，∴CG⊥CO，∵OA=OD，AF=FD，∴CF⊥AD，∴CG∥AD；（2）证明：连接AC，∵AB⊥CD，∴=，∴AC=AD，同理：AC=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，∴OE=OC=OB，∴E是OB的中点；（3）解：∵AB=8，∴OC=4，OE=2，在Rt△OCE中，CE2=OC2﹣OE2，∴CE=2，∴S=×2×2=2，△OCE=，∴S扇形BOC∴．25．（12分）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线；（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．【解答】解：（1）如右图所示，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，即∠MAB=90°，∴MN是半圆的切线；（2）AE=CH，理由如下：连接AD，∵D是的中点，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴DE=DH，且∠AED=∠DHC，在Rt△ADE和Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），∴AE=CH；（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，在△Rt△DBH和Rt△DBE中，，∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，∴BA﹣AE=BC+AE，又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，∴AE=1．26．（14分）已知直线y=kx+b分别与y轴、x轴相交于A、B两点，与二次函数y=x2﹣mx+3的图象交于A、C两点．（1）当点C坐标为（﹣，）时，求直线AB的解析式；（2）在（1）中，如图，将△ABO沿y轴翻折180°，若点B的对应点D恰好落在二次函数y=x2﹣mx+3的图象上，求点D到直线AB的距离；（3）当﹣1≤x≤1时，二次函数y=x2﹣mx+3有最小值﹣3，求实数m的值．【解答】解：（1）令x=0则y=3，∴点A（0，3），设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）令y=0，则﹣x+3=0，解得x=4，∴点B（4，0），点B关于y轴的对称点D的坐标为（﹣4，0），∴BD=4﹣（﹣4）=4+4=8，由勾股定理得，AB===5，设点D到直线AB的距离为h，则sin∠ABO==，即=，解得h=4.8，即点D到直线AB的距离是4.8；（3）对称轴为直线x=，当≤﹣1，即m≤﹣2时，x=﹣1时二次函数的最小值为﹣3，（﹣1）2﹣m•（﹣1）+3=﹣3，解得m=﹣7；当﹣1＜＜1，即﹣2＜m＜2时，x=时二次函数有最小值为﹣3，=﹣3，解得m=±2，都不满足﹣2＜m＜2，舍去；当≥1即m≥2时，x=1时二次函数的最小值为﹣3，12﹣m•1+3=﹣3，解得m=7，综上所述，实数m的值为7或﹣7．。

江苏省苏州市2014-2015学年高二第一学期期末数学考试(修订版)

2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学（正题卷）2015.01注意事项：1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的体积公式：343V R π=（其中R 是球的半径）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．命题“∀x ∈()0,+∞，2x x >”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中，准线方程为1x =的抛物线的标准方程是 ▲ ． 3．若直线l 经过点(2,1)A ，且与直线310x y ++=垂直，则直线l 的方程为 ▲ ． 4．函数12ln y x x=+的单调递减区间为_____▲______. 5．记函数f (x )＝21x x-的导函数为f '(x )，则 f '(1)的值为 ▲ ．6．棱长为2的正方体的各顶点均在球O 的表面上，则球O 的体积等于 ▲ ．7．“2m >”是“方程 22212x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ▲ 条件．（“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一） 8．已知函数()cos sin 2f x f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的图象在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_______▲_____.9．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11C D BC -的体积等于_____▲___.10．过点()0,1P 的直线l 与圆22:230C x y x +--=交于,A B两点，则当ABC∆的面积最大时，直线l 的方程是_______▲_____.11．若,,l m n 是三条互不相同的空间直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ▲(填所有正确答案的序号)．①若//,,,l n αβαβ⊂⊂则//l n ； ②若,,l αβα⊥⊂则l β⊥； ③若,,l n m n ⊥⊥则//l m ； ④若,//,l l αβ⊥则αβ⊥．12．已知点()0,2M ，()2,0N -，直线:220l kx y k --+=（k 为常数），对于l 上任意一点P ，恒有2MPN π∠<，则实数k 的取值范围是_______▲________．13．已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2(a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．14．直角坐标平面上，已知点()()1,0,1,0A B -，直线:1l x =-，点P 是平面上一动点，直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，且121k k ⋅=-，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，则三角形APQ 的面积的最大值等于______▲ _____.二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分14分)已知命题p ：任意x ∈()0,+∞，x 24ax -+≥0，命题q ：方程x 2a ＋2－25y a-＝1表示双曲线．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若 “p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分14分)已知圆22:30C x y Dx Ey ++++=关于直线10x y +-=2，且圆心C 在第二象限．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 在x 轴、y 轴上的截距相等，且与圆C 相切，求直线l 的方程．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 上一点. （Ⅰ）若点D 是BC 的中点，求证1//A C 平面1AB D ；（Ⅱ）平面1AB D ⊥平面11BCC B ，求证AD BC ⊥.18．(本小题满分16分)现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD 铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中间，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图 (2)，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值．19．(本小题满分16分)设1F,2F分别是椭圆()2222:10yxC a ba b+=>>的左，右焦点，M是C上一点，2MF与x轴垂直，且M位于x轴上方，直线1MF与椭圆C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若直线MN交y轴于点()0,P m，m是正常数，且15MN F N=，求椭圆C的方程.（用含m的方程表示）yxPNMF1F2O20．（本小题满分16分）已知函数x x g bx ax x f ln )(,)(2=+=．（Ⅰ）当0=a 时，① 若)(x f 的图象与)(x g 的图象相切于点00(,)P x y ，求0x 及b 的值； ② 若关于x 的方程()()f x g x =在],1[m 上有解，求b 的范围；（Ⅱ）当1-=b 时，若)()(x g x f ≥在1[,]n e上恒成立（n 为正常数），求a 的取值范围．附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）【必做题】第21题、第22题、第23题、第24题，每题10分，共40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，已知A （0，-1），点P 是抛物线221y x =+上的动点，点M 是线段AP 的中点，求点M 的轨迹方程．22.（本小题满分10分）已知函数()()0kxf x xe k =≠在区间()1,1-上是增函数,求k 的取值范围.23.（本小题满分10分）三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知12,4,3AB AC AA ===，D 是BC 的中点。

【创新设计】2014届高考数学(理)江苏专用一轮复习限时规范作业第十五章第6讲不等式的证明

第6讲不等式的证明分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 证明法一构造两组数：a ，b ，c ；1a ，1b ，1c .因此根据柯西不等式有[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ×1a ＋b ×1b ＋c ×1c 2. 即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32＝9.(当且仅当a 1a ＝b 1b ＝c1c ，即a ＝b ＝c 时取等号)．又a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ≥9.法二 ∵a ，b ，c 均为正数，∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc . 又1a ＋1b ＋1c ≥331abc ＝33abc ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ·1≥313abc ·33abc ＝9. 即1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．解 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤2 3.当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－2 3.3．(2012·常州一中期中)设正实数a 、b 满足a 2＋ab －1＋b －2＝3，求证：a ＋b －1≤2. 证明由a 2＋ab －1＋b －2＝3，得ab －1＝(a ＋b －1)2－3，又正实数a 、b 满足a ＋b －1≥2ab －1，即ab －1≤(a ＋b －1)24，当且仅当a ＝b 时取“＝”．∴(a ＋b －1)2－3≤(a ＋b －1)24，∴a ＋b －1≤2.4．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N *)，求证：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.证明 ∵n (n ＋1)＝n 2＋n ，∴n (n ＋1)>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)>1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∵n (n ＋1)<n ＋(n ＋1)2，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋(n ＋1)2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n (n ＋2)2. 综上得：n (n ＋1)2<a n <n (n ＋2)2.5．(2012·宁波模拟)已知x ，y ，z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 证明因为x 、y 、z 均为正数．所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z ，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .6．(2011·徐州二模)已知a 、b 都是正实数，且ab ＝2.求证：(1＋2a )(1＋b )≥9. 证明法一因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2，所以2a ＋b ≥22ab ＝4.所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9. 法二因为a 、b 都是正实数，所以由柯西不等式可知(1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2]≥(1＋2ab )2. 又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9.所以(1＋2a )(1＋b )≥9. 法三因为ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2a ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2 a ·1a ＝2.所以(1＋2a )(1＋b )≥9.法四因为a 、b 都是正实数，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋b 2≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b 24. 又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.分层训练B 级创新能力提升1．(2012·苏锡常镇调研)设实数x 、y 、z 满足x ＋2y －3z ＝7，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．证明由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)·[12＋22＋(－3)2]≥(x ＋2y －3z )2. ∵x ＋2y －3z ＝7，∴x 2＋y 2＋z 2≥72.当且仅当x ＝y 2＝z－3时取等号，即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号．∴x 2＋y 2＋z 2的最小值为72.2．(2011·苏锡常镇调研)已知m 、n 是正数，证明：m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2.证明 ∵m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m＝(m 3－n 3)(m －n )mn ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn ，∵m 、n 均为正实数，∴(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)mn ≥0，∴m 3n ＋n 3m ≥m 2＋n 2.当且仅当m ＝n 时，等号成立．3．(2012·苏中三市调研，21)已知a 、b 、c 满足abc ＝1，求证：(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)≥27.证明 (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．4．(2012·南京、盐城调研一，21)已知x 、y 、z 均为正数，求证：33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤1x 2＋1y 2＋1z 2.证明由柯西不等式，得(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z 2.即3×1x 2＋1y 2＋1z 2≥1x ＋1y ＋1z .∴33⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≤1x 2＋1y 2＋1z 2.当且仅当1x ＝1y ＝1z 时等号成立． 5．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0. (1)求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9； (2)求(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2的最小值． (1)证明因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a ＝33b >0， ①同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b >0.②由①②及不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b ＝9. (2)解 [(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2][12＋12＋22] ≥[(5－2a )×1＋2b ×1＋(a －b )×2]2. 所以(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2≥256.当且仅当5－2a 1＝2b 1＝a －b 2时取等号，即a ＝2512，b ＝512. 所以当a ＝2512，b ＝512时，(5－2a )2＋4b 2＋(a －b )2取最小值256. 6．(2013·福建毕业班质检)已知a ，b 为正实数． (1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x (0<x <1)的最小值．(1)证明法一 ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．法二 ∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b . (2)解 ∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x ≥(1－x )＋x ＝1.当且仅当1－x ＝x ，即x ＝12时等号成立．∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值为1.。

2014-2015年江苏省宿迁市高二第一学期数学期末试卷及解析

6．（5 分）某算法的流程图如图所示，则输出 n 的值为
．
7．（5 分）若点 A（1，1），B（2，﹣1）位于直线 x+y﹣a=0 的两侧，则 a 的取值范围为．
8．（5 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，且焦点在 y 轴上．若抛物线上的点 M （m，﹣3）到焦点的距离是 5，则抛物线的准线方程为
3．（5 分）在空间直角坐标系中，若点 A（﹣1，2，2），B（2，﹣2，2），则线段 AB 的长度为．
4．（5 分）已知命题“若 a=0，则 ab=0”，则在该命题的逆命题、否命题和逆否命题这 3 个命题中，真命题的个数为．
5．（5 分）如图，运行算法的伪代码后，则输出 S 的值为
二、解答题（共 5 小题，满分 76 分） 16．（14 分）某校从高二年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期末考试数学成绩（满分为 100 分，且成绩均不低于 40 分的整数）分成六段：[40，50）， [50，60），[60，70），[70，80），[80，90）[，90，100]，并将得到的数据如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的初数 a 的值；（1）若该校高二年级共有学生 800 人，试估计该校高二年级期末考试数学成绩不低于 60 分的人数；（2）若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率．
①若此时动点 D 又在⊙Q 内（包含边界），求实数 a 的取值范围； ②设点 G 为△DAB 的重心，过 G 作直线分别交边 AB，AD 于点 M，N，求四边形 MNDB 的面积的最大值．
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2014-2015年江苏省宿迁市洋河实验学校高二(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年江苏省宿迁市洋河实验学校高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式a n=3﹣2n，则它的公差d为．2．（5分）在△ABC中，，则∠B=．3．（5分）不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是．4．（5分）已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）取得最大值时x的值为．5．（5分）在等差数列{a n}中，当a2+a9=﹣4时，它的前10项和S10=．6．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若，则∠A=．8．（5分）函数的最小值为多少？9．（5分）如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为米．10．（5分）已知正数m、n满足nm=m+n+8，则mn的取值范围为．11．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是．12．（5分）等比数列{a n}中，a n＞0，q≠1，且a2、、a1成等差数列，则=．13．（5分）在△ABC中，a=xcm，b=2cm，B=45°，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则x的取值范围是．14．（5分）对于数列{a n}，如果对任意正整数n，总有不等式：≤a n+1成立，则称数列{a n}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{a n}满足如下两个条件：（1）数列{a n}为上凸数列，且a1=1，a10=28；（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|a n﹣b n|≤20，其中b n=n2﹣6n+10．则数列{a n}中的第五项a5的取值范围为．二、解答题（共6小题，满分80分）15．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b=2asinB．（1）求A；（2）若a=7，：△ABC的面积为10，求b+c的值．16．（4分）已知a∈R，解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．17．（14分）已知：等差数列{a n}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d＜0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求的最大值及相应的n的值．18．（16分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．19．（16分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．20．（16分）已知数列{a n}，b n满足：．（1）求b1，b2，b3，b4；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设S n=a1•a2+a2•a3+…+a n•a n+1，若4a•S n＞b n对n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年江苏省宿迁市洋河实验学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式a n=3﹣2n，则它的公差d为﹣2．【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=3﹣2n，∴公差d=a n﹣a n=[3﹣2（n+1）]﹣（3﹣2n）=﹣2+1故答案为：﹣22．（5分）在△ABC中，，则∠B=45°．【解答】解：由正弦定理可知，∵∴∴sinB=cosB∴B=45°故答案为45°3．（5分）不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是{x|1≤x≤2} ．【解答】解：∵（x﹣1）（2﹣x）≥0，∴（x﹣1）（x﹣2）≤0∴1≤x≤2故答案为：{x|1≤x≤2}4．（5分）已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）取得最大值时x的值为．【解答】解：x（3﹣3x）=3•x（1﹣x）≤3•=3•=，当且仅当x=1﹣x，即x=时，等号成立．取得最大值时x的值为．5．（5分）在等差数列{a n}中，当a2+a9=﹣4时，它的前10项和S10=﹣20．【解答】解：∵a2+a9=﹣4∴a1+a10=﹣4，∴S10=5（a1+a10）=﹣20故答案为：﹣20．6．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．7．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若，则∠A=30°．【解答】解：∵△ABC中，b2+c2﹣bc=a2，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则∠A=30°．故答案为：30°8．（5分）函数的最小值为多少？【解答】解：令，则t≥2，x2+4=t2．∴函数==t+．∴=＞0，（t≥2）．∴函数y=在区间[2，+∞）是单调递增．∴当t=2时，函数y=取得最小值．因此函数的最小值为．9．（5分）如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为600米．【解答】解：航标A在正东，俯角为30°，由题意得∠APC=60°，∠PAC=30°．航标B在南偏东60°，俯角为45°，则有∠ACB=30°，∠CPB=45°．故有BC=PC=600，AC===600．所以，由余弦定理知AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB=360000+360000×3﹣2×=360000．可求得AB=600．故答案为：600．10．（5分）已知正数m、n满足nm=m+n+8，则mn的取值范围为[16，+∞）．【解答】解：∵正数m、n满足nm=m+n+8，∴+8，当且仅当m=n=4时取等号．化为，解得，∴mn≥16．∴mn的取值范围为[16，+∞）．故答案为：[16，+∞）．11．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是﹣15．【解答】解：根据约束条件画出可行域，由图得当z=2x+4y过点A（﹣，﹣）时，z=2x+4y取最小值﹣15．故答案为：﹣15．12．（5分）等比数列{a n}中，a n＞0，q≠1，且a2、、a1成等差数列，则=．【解答】解：∵a2、、a1成等差数列，∴a3=a2+a1．∵数列{a n}是等比数列{a n}．∴，化为q2﹣q﹣1=0，q＞0，q≠1．解得q=．∴==q2=．故答案为：．13．（5分）在△ABC中，a=xcm，b=2cm，B=45°，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则x的取值范围是．【解答】解：==2∴a=2 sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°则和A互补的角大于等于135°这样A+B≥180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2 sinA所以2＜a＜2故答案为（2，2）．14．（5分）对于数列{a n}，如果对任意正整数n，总有不等式：≤a n+1成立，则称数列{a n}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{a n}满足如下两个条件：（1）数列{a n}为上凸数列，且a1=1，a10=28；（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|a n﹣b n|≤20，其中b n=n2﹣6n+10．则数列{a n}中的第五项a5的取值范围为[13，25] ．【解答】解：（1）∵≤a n，≤，+1≤，把a1=1，a10=28代入得a5≥13，在|a n﹣b n|≤20，b n=n2﹣6n+10中，令n=5，得b5=25﹣30+10=5，①∴﹣20≤a5﹣b5≤20，∴﹣15≤a5≤25，②（2）①②联立得13≤a5≤25．故答案为：[13，25]二、解答题（共6小题，满分80分）15．（14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且b=2asinB．（1）求A；（2）若a=7，：△ABC的面积为10，求b+c的值．【解答】解：（1）由正弦定理，可得，b=2asinB即为=2sinAsinB，即有sinA=，由于A是锐角，则A=；（2）由面积公式可得，10bcsinA=bc，即bc=40，由余弦定理，可得，49=b2+c2﹣2bccos，即有49=（b+c）2﹣3bc，即有b+c==13．16．（4分）已知a∈R，解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．【解答】解：当a=0时，不等式的解为{x|x＞1}；当a≠0时，分解因式a（x﹣）（x﹣1）＜0当a＜0时，原不等式整理得：x2﹣x+＞0，即（x﹣）（x﹣1）＞0，不等式的解为{x|x＞1或x＜}；当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为{x|1＜x＜}；当a＞1时，＜1，不等式的解为{x|＜x＜1}；当a=1时，不等式的解为∅．17．（14分）已知：等差数列{a n}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d＜0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求的最大值及相应的n的值．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴a2+a5=a3+a4=15，∴，解得或，∵d＜0，∴a2=9，a5=6，则a1=10，d=﹣1．∴a n=11﹣n；（2）∵a1=10，a n=11﹣n，∴，．令，知上单减，在上单增，又，而．∴当n=5时，取最大值为．18．（16分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．【解答】解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n …（3分）=…（5分）=0.1n2+n+14.4…（7分）（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…（9分）=++1≥2+1=2×1.2+1=3.4仅当，即n=12时，等号成立．…（13分）故：汽车使用12年报废为宜．…（14分）19．（16分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．【解答】解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．20．（16分）已知数列{a n}，b n满足：．（1）求b1，b2，b3，b4；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设S n=a1•a2+a2•a3+…+a n•a n+1，若4a•S n＞b n对n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴（*），∴（2）由两边同减去1，得对上式取倒数，得，又则数列是以﹣4为首项，﹣1为公差的等差数列，∴，即，∴（3）由（2）知，而又S n=a1•a2+a2•a3++a n•a n+1，则有又因4a•S n＞b n对n∈N*恒成立，则有即对n∈N*恒成立．设函数，则所以g（n）是单调递减，则当n=1时，g（n）取得最大值为∴4a＞4+11即所以实数a的取值范围为．。

江苏省清江中学2014-2015学年高二数学午间练习(70) Word版含答案

午练练习（70）1.不等式221x x +>+的解集是． 2.设1z i =-（i 为虚数单位），则22z z+ = ___ ．3.中心在原点，焦点坐标为(0,±的椭圆被直线320x y --=截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为． 4.已知甲地有蔬菜加工企业2家，水产品加工企业3家；乙地有蔬菜加工企业3家，水产品加工企业2家，从甲、乙两地各任意抽取2家企业检查，恰有一家蔬菜加工企业被抽到的概率为．5.设函数()||f x x x bx c =++，则下列命题中正确命题的序号有．①当0b >时，函数()f x 在R 上是单调增函数； ②当0b <时，函数()f x 在R 上有最小值； ③函数()f x 的图象关于点（0，c ）对称； ④方程()0f x =可能有三个实数根．6.对于任意两个实数a ,b 定义运算“*”如下：a a b a b b a b≤⎧*=⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =*-*+的最大值为7.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是___________．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：22(1)16x y -+=与点(1,0)A -,P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C ．(1) 求曲线C 的方程；（2）曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为,M N ，连接,QM QN ,分别交直线x t =（t 为常数，且2t ≠）于点,E F ，设,E F 的纵坐标分别为12,y y ，求12y y ⋅的值（用t 表示）.（70）参考答案1．(1,0)(1,)-+∞ 2．1i - 3．1752522=+y x 4．2565. ①③④ 6．9 7.=8. 解：(1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，所以42RA RB AB +=>=，由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22143x y +=. (2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k ，则002QM y k x =-，002NQ y k x =+，所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =--，直线QN 的方程00(2)2y y x x =-+，令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22y y y t y t x x =-=--+，又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2200334y x =-，所以22202201222003(3)(2)34(2)(2)444x t y y y t t x x --⋅=-==----，其中t 为常数.。

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一中高二数学2015年秋学期第十五周双休练习姓名班级成绩

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相．．．．

应的位置上．．．．．.）

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面外” ▲ ． 2．三条直线两两相交，过其中任意两条最多可以确定 ▲ 个平面． 3．若直线,ab异面，直线,bc异面，则,ac的位置关系是_ ▲ ． 4．“a、b是异面直线”是指： ①,,abab平面平面且；②ab且,ab不平行

③,,ab且；④,ab；⑤不存在平面使,.ab且；上述说法中，正确的是（填序号）___▲________． 5．设异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的范围构成的集合分别为A、B、C、，则A、B、C之间的关系为 ▲ 6．如图所示⊿AOB为水平放置的平面图形的直观图，其原平面图形的面积是 ▲ ． 7．如图(a)，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图(b)，(c)所示，则其左视图的面积为_____▲_________

8．将一个边长为6和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为 ▲ ． 9．关于直线lba,,以及平面,，写出下面正确命题的序号 ▲ ．

①若,//,//ba 则ba// ②若,,//aba 则b ③若,,ba 且,,blal则 l ④若,//,aa则 10．已知平面,和直线m，给出条件：①//m；②m；③m；④；⑤//.

A B C D

(a)

A B

C D (b) (c) （i）当满足条件 ▲ 时，有//m；（ii）当满足条件 ▲ 时，有m.（填所选条件的序号）． 11．如图，在底面为正方形的四棱锥ABCDP中，ABCDPA平面，则图中互相垂直的平面有 ▲ 对．

12．有一根长为4cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则这段铁丝的最短长度为__ ▲ . 13．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点， D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG平面EFG；（2）SD平面EFG；（3）GF平面SEF；（4）EF平面GSD；（5）GD平面SEF. 正确的有 ▲ ．

14．已知正三棱锥PABC的侧棱长为2，底面边长为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱ABBCPA、、CP、上，则11EFFG的最小值为____▲_______．

DSG2

G一中高二数学秋学期第十五周双休练习答题卡姓名班级成绩 2011-11-27

1、__________________ 6、__________________ 11、________________ 2、__________________ 7、__________________ 12、________________ 3、__________________ 8、__________________ 13、________________ 4、_________________ 9、_________________ 14、________________ 5、_________________ 10、_________________ 二．解答题：（本大题共6小题,共90分.写出必要的解题过程.）

15．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是AA1、

CC1的中点，

（1）求证：点D1、E、F、B共面．（2）连结D1E并延长交DA的延长线于M，连结D1F并延长交DC的延长线于N，求证：M、B、N共线 F

C1D

CDBA16．（本小题满分14分）正三棱柱111CBAABC中，过点11,,CBA的平面和平面ABC的交线记作l，（１）判断直线11CA和l的位置关系，并加以证明。（２）若此三棱柱底面边长为２，棱柱高为３，求四棱锥11BACCA的体积

17．（本小题满分1５分）如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体，并简单说明理由。（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体，并计算它的体积与长方体的体积的比．(写分数)

A B

C D

B118．（本小题满分1５分）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：

（1）平面BDO⊥平面ACO；（2）EF//平面OCD.

19. （本小题满分1６分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1ACBCCC， ACBC，点D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：11CDAABB平面；（Ⅱ）求证：11//ACCDB平面；（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得1AM平面1CDB ？

DABCF

ABCD

C1 20．（本小题满分1６分）如图，已知ABC是斜边为AB的直角三角形，PA平面ABC，,AMPBANPC 垂足分别为,MN （1）求证：BC平面PAC；（2）求证：面PBC⊥平面AMN （3）若4PAAB，设BPC，试用tan表示AMN 的面积，当 tan取何值时，AMN的面积最大？最大面积是多少？一中高二数学秋学期第十五周双休练习答案一、填空题：（每小题5分，共14小题，满分70分） 1． A∈l，l 2． 3

3．相交，异面，平行都有可能 4． ②和⑤ 5． CBA 6． 4

7． 23 8． 3或 4 9． ④ 10． ③⑤ ②⑤ 11． 6 12． 2249 13． ①④ 14． 322 二．解答题： 15．证明：（1）取BB1中点G，连结D1E，C1G，EG，BF，因为E、G分别为AA1，B1B的中点，所以四边形AEGB1为平行

四边形， 11//BAEG，又111//1DCBA，所以11//DCEG，即四边形 EGC1D1为平行四边形，所以GCED11//，又四边形B1GFC1为平行四边形，CG∥BF，所以BF∥D1E，所以点D1、E、F、B共面„„„„„7分（2）由（1）得D1、E、F、B共面，设平面D1EFB平面ABCD=l，则Bl，又M= D1EDA，所以M平面D1EFB，且M平面ABCD，所以Ml，同理Nl 所以M、B、N都在直线l上，即M、B、N共线。„„„„„14分 16．解：（１）平行．„„„„„2分

证明：1111111111////ACABCABCABClAClACABC平面平面平面平面„„„„„7分（２）过B作BD⊥AC于D，面A1ACC1⊥面ABC，面A1ACC1面ABC=AC，所以BD为四棱锥11BACCA的高，在等边三角形ABC中，

BD=3，„„„„„10分

FEB

C1D

CDBA11AACCBV31AC×AA1×BD=3

1×3×2×3=23„„„„„14分

17．解：（1）A1 -ABC 或C1-ABC或 A1-ACD或C1-ACD（只要写出一个即可）„„„3分（2）B1-ABC或D1 -ACD（只要写出一个即可）„„„„„„6分以B1-ABC为例，B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以 B1B⊥AC。同理AB⊥B1C，BC⊥AB1，即四面体B1-ABC的任一对对棱垂直。„„„„„9分（3）A-CB1D1，„„„„„12分该四面体由长方体截去四个三棱锥A1-AB1D1，C1-B1CD1，D-D1AC，B-AB1C，而四个小三棱锥的体积均相等，其中

111

DABAV

=311612111111ACVDABAAA

所以四面体A-CB1D1的体积为长方体体积的31，即它的体积与长方体的体积的比为31。„„„„„15分 18．证明：⑴∵OA平面ABCD，BD平面ABCD，所以OABD，„2分 ∵ABCD是菱形，∴ACBD，又OAACA， ∴BD平面OAC，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分又∵BD平面OBD，∴平面BDO平面ACO． „„„„„„„„„„„„„„7分 ⑵取OD中点M，连接EM,CM,则1,2MEADMEAD‖， ∵ABCD是菱形，∴//,ADBCADBC， ∵F为BC的中点，∴1,2CFADCFAD‖，„„„„„„11分 ∴,MECFMECF‖． ∴四边形EFCM是平行四边形，∴//EFCM，„„„„„„13分又∵EF平面OCD，CM平面OCD． ∴EF‖平面OCD． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15分 19．（Ⅰ）证明：111 ABCABC是直三棱柱，

 平面11.ABCAABB平面

 ACBC，点D是AB的中点，

CDAB，面ABC面11AABBAB

11 CDAABB平面． „„„„„„„„5分

（Ⅱ）证明：连结1BC，设1BC与1BC的交点为E，连结DE．