第1讲_空间几何体的结构、三视图和直观图2013届高考数学(理)一轮复习教案：第八篇_立体几何
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
3.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一 种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、 多面体与旋 转体、旋转体与旋转体的组合体.
4. 三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图 , 分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
考纲解读
空间几何体的结构 和三视图部分 重点考 查柱、锥、台、球 的定义和以三 视图为 载体考查柱、锥、 台、球的表面 积和体 积, 难度 不大. 空间几 何体的 性质是 基础, 以它们为载体考查 线线、线面、 面面间 的 关 系 是 重点 . 三 视图 的 还 原在 各 地 高 考 试 题 中 频繁 出 现 , 已 经 成 为高 考 的 热 点 问 题, 题型 多以 选择 题和 填空 题为 主 , 有时也会作为解答题的背景出现.
三视图的长度特征: “ 长对正, 宽相等, 高平齐” , 即正视图和侧 视图一样高, 正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽. 若相邻两物 体的表面相交, 表面的交线是它们的分界线, 在三视图中, 要注意实、 虚线的 画法 .
5. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画, 其规则是: (1) 原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直, 直观图中, x' 轴、 y' 轴的夹角为 45° , z' 轴与 x' 轴和 y' 轴所在平面垂直. (2) 原图形中平行于坐标轴的线段, 在直观图中仍分别平行于坐标轴. 平 行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y轴的线段长度 在直观图中变为原来的一半. 6. 中心投影与平行投影 (1) 平行投影的投影线互相平行, 而中心投影的投影线相交于一点. (2) 从投影的角度看, 三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行 投影下画出来的图形.
高中数学一轮复习 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图随堂演练巩固1.下列命题正确的是( )A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点【答案】D【解析】如果上、下两个面平行,但它们是大小不一样的多边形,即使各面是四边形,那也不能A B C 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并是棱柱,A错;如图,图中平面ABC∥平面111不都互相平行,故不是棱柱,B错;棱锥有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体,而棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的,故C错,D对.2.直线x+y-2=0与坐标轴围成的平面图形,绕该直线旋转360形成的封闭曲面所围成的几何体为( )A.底面半径为2的圆锥B.底面半径为2的圆锥C.两个有公共底面且底面半径为2的组合体D.两个有公共底面且底面半径为2的组合体【答案】D【解析】如图所示,直线x+y-2=0与坐标轴围成等腰直角三角形,等腰直角三角形绕该直线也即绕斜边旋转,所得几何体是两个圆锥共用一底面的组合体,底面半径为等腰直角三角形斜边上的高,2.3.图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )【答案】C【解析】根据斜二测画法的规则,将直观图还原,可知选C.4.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )【答案】B【解析】A中几何体的正视图为: ;C中几何体的俯视图为: ;D 中几何体的侧视图为: . 显然选B.5.如图,是一个正方体的展开图,在原正方体中,相对的面分别是 .【答案】①④;②⑥;③⑤【解析】折叠后知①④;②⑥;③⑤对应.课后作业夯基基础巩固1.在下面四个命题中,真命题有( )①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;②斜三棱柱的侧面一定都不是矩形;③底面为矩形的平行六面体是长方体;④侧面是正方形的正四棱柱是正方体. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A【解析】由棱柱、直棱柱的概念可得④正确.2.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为”等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是( )A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 【答案】B【解析】选项B 由于底面形状未定,仅依靠等腰不能确定侧面高是否相等.3.如图所示,已知△ABC 的水平放置的直观图是等腰Rt △A ′B ′C ′,且A ∠′=90,A ′B ′2=,则△ABC 的面积是( )2 B.22C.42D.1【答案】B【解析】因A ∠′B′C′=45,A′B′2=,从而B′C′=2,所以△ABC 为直角三角形90B ,∠=,AB =2A′B′=22 所以1222222ABCS=⨯=4.(2012湖南联考)一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( )A.32B.12C.1D.2【答案】 A【解析】 由三视图知该几何体为正六棱锥,底面边长为1,高为3.侧视图为等腰三角形,底边边长为3,高为3,所以侧视图的面积为313322⨯⨯=.5.棱长为1的正方体ABCD -1111A B C D 的8个顶点都在球O 的表面上,E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点,则直线E F 被球O 截得的线段长为( )A.2 B.1 C.21+D.2【答案】 D【解析】由题知球O 半径为32,球心O 到直线E F 的距离为12,所以直线E F 被球O 截得的线段长d =312244-=.6.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有( )A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④ 【答案】D【解析】因几何体的正视图和侧视图一样,所以易判断出其俯视图可能为①②③④,故选D.7.如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图,则此几何体共由 块木块堆成.【答案】5【解析】根据题意可知,几何体的最底层有4块长方体木块,第2层有1块长方体木块,一共有5块. 8.棱长为a 的正四面体ABCD 的四个顶点均在一个球面上,则此球的半径R = . 【答案】64a 【解析】如图所示,设正四面体ABCD 内接于球O ,由D 点向底面ABC 作垂线,垂足为H ,连接A H ,O A,则可求得3AH a =,2236()33DH a a a =-=,在Rt △A OH 中,22236()()a a R R +-=,解得6R a =.9.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，45ABC ∠=1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为 .【答案】222+【解析】在直观图中,过点A 作AE BC ⊥,垂足为E , 则在Rt △ABE 中145AB ABE ,=,∠=,∴22BE =. 而四边形A E CD 为矩形,AD=1, ∴E C=AD=1.∴212BC BE EC =+=+. 由此可还原原图形如图.在原图形中,A′D′=1,A′B′=2, B′C′21=+, 且A′D′∥B′C′,A′B′B ⊥′C′, ∴这块菜地的面积为1(2S A =′D′+B′C′)A ⋅′B′221(11)22222=⨯++⨯=+. 10.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在平面,那么所截得的图形可能是下图中的 .(把可能的图的序号都填上)【答案】①③【解析】截面为轴截面时可得①,不是轴截面时可得③.11.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角为45,求这个圆台的高、母线长和底面半径. 【解】 圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm,延长1AA 交1OO 的延长线于点S . 在Rt △SO A 中45ASO ,∠=,则45SAO ∠=. 所以132SO AO x OO x ==,=. 又1(62)23922x x x ⨯+⨯=,解得x =7,所以圆台的高114OO = cm,母线长12l OO ==142 cm,底面半径分别为7 cm 和21 cm. 12.在半径为25 cm 的球内有一个截面,它的面积是49π cm 2,求球心到这个截面的距离. 【解】设球半径为R ,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d ,如图.∵S =π249r =π cm 2, ∴r=7(cm).∴2222257d R r =-=-=24(cm). ∴球心到这个截面的距离为24 cm.13.如图(1),在四棱锥P ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面ABCD 垂直,图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形.(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求PA.【解】(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线,边长为6 cm 的正方形,如图,其面积为36 2cm .(2)由侧视图可求得22226662PD PC CD =+=+=. 由正视图可知AD=6且AD PD ⊥.所以在Rt △APD 中2222(62)663PA PD AD ,=+=+= (cm).拓展延伸14.从一个底面半径和高均为R 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体,如果用一个与圆柱下底面距离等于l 并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.【解】几何体轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截的圆柱截面半径1O C R =,设圆锥截面半径1O D x =, ∵O A=AB =R ,∴△OAB 为等腰直角三角形. 又CD ∥O A,∴BC=CD=R -x , 又BC=R -l ,故x =l ,截面面积为S =π2R -π2l =π22()R l -.。
高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第1节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图课件 理
12/11/2021
解析：选 D 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可 得到圆锥，故 A 不正确；如图，平面 ABC∥平面 A1B1C1，侧面都是平行 四边形，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故 不是棱柱，故 B 不正确；当矩形(包括其内部)水平放置时，沿竖直方向平 移一段距离，运动的轨迹是一个长方体，当矩形(包括其内部)不是水平放 置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹不是长方体，故 C 不正确；棱台是用一个 平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故 D 正确．
_平__行__且__相__等____
棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个 3 _公__共__顶__点__的三角形 棱台 棱锥被平行于 4 __底__面_____的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台
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(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
矩形任一边所在的直线
圆锥
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4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一 个正方形，则原来的图形是( )
A
B
C
D
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解析：选 A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 2，所以原 图形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 2.故选 A．
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【全程复习方略】2013版高中数学 7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件 理 新人教B版
①图A中的几何体是棱柱
②图B中的几何体是棱柱 ③图C中的几何体是圆台 ④图D中的几何体是棱锥
(
( ( (
)
) ) )
【解析】根据各几何体的结构特征进行判断可得①④正确，
②③错误.
答案：①√ ②× ③× ④√
(3)如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥 轴截面中两条母线的夹角)的度数是_____________. 【解析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l.
体(如图所示)，且顶点在底面的射影恰
是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰
三角形，且轮廓线为实线，故选D.
【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以 得到以下误区警示和备考建议： 在解答本题时常出现以下错误： 1.根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现 错误，误把半圆锥看成半圆柱,不能准确判断出几何 警 示 体的形状而误选A. 2.对实线与虚线的画法规则不明确而误选C.
【解题指南】(1)先由部分三视图判断出几何体的形状，然后再
确定俯视图；
(2)根据三视图之间的关系画出俯视图即可. 【规范解答】(1)选C.由主视图和左视图知，该长方体上面去掉 的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左侧看在观察者右 侧，故俯视图为C.
(2)如图所示：
【反思·感悟】画几何体的三视图可以想象自己站在几何体 的正前方、正左方和正上方，观察它是由哪些基本几何体组 成，它的轮廓线是什么，然后再去画图.
(2)已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,
求原△ABC的面积.
【解题指南】(1)先由三视图确定几何体的结构，然后画出
直观图. (2)根据斜二测画法规则建立适当的坐标系，将△A′B′C′ 还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角.求解时 要注意线段和角的变化规律. 【规范解答】(1)该几何体下底面为长为20 cm，宽为16 cm的 矩形，上底面为长为12 cm，宽为8 cm的矩形，高为8 cm，类
高考数学一轮复习第八章立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图高效演练分层突破文新人教A版
第 1 讲空间几何体的构造、三视图和直观图[ 基础题组练 ]1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是()A．圆柱B．圆锥C．四周体D．三棱柱分析：选 A. 由三视图知识知圆锥、四周体、三棱柱( 放倒看 ) 都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不行能为三角形．2．以下说法正确的有()①两个面平行且相像，其他各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不一样的两点只好作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱必定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个分析：选 A. ①中若两个底面平行且相像，其他各面都是梯形，其实不可以保证侧棱会交于一点，因此①不正确；②中若球面上不一样的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，因此②不正确；③中底面不必定是正方形，因此③不正确；很显然④是正确的．3．某几何体的正视图和侧视图均为如下图的图形，则在以下图的四个图中能够作为该几何体的俯视图的是()A．①③B．①④C．②④D．①②③④分析：选 A. 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．4．如下图，在三棱台A′ B′ C′-ABC中，沿 A′ BC截去三棱锥A′-ABC，则节余的部分是()A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体分析：选 B. 如下图，在三棱台A ′B ′C ′-ABC 中，沿 A ′BC 截去三棱锥 A ′-ABC ，节余部分是四棱锥A ′-BCC ′B ′.5．有一个长为 5 cm ，宽为 4 cm 的矩形，则其直观图的面积为．22分析：因为该矩形的面积 S ＝5×4＝ 20(cm ) ，因此其直观图的面积 S ′＝4S ＝5 2(cm 2) ．2答案： 5 2 cm6．一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为cm.分析：如图，过点A 作 ⊥ ，交 于点 .AC OB OBC在 Rt △ ABC 中， AC ＝ 12 cm ， BC ＝8－ 3＝ 5(cm) ．22因此 AB ＝ 12 ＋5 ＝ 13(cm) ．7．正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长均为 3，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为．分析：由题意知，正视图就是如下图的截面，此中 ， F 分别是， 的中点，PEFE AD BC连结 AO ，易得 AO ＝ 2，又 PA ＝ 3，于是解得 PO ＝ 1，因此 PE ＝ 2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案： 2＋2 28．如图 1，在四棱锥P- ABCD中，底面为正方形，PC与底面 ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA的长．解：(1) 该四棱锥的俯视图为( 内含对角线 ) 边长为 6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.222 2(2) 由侧视图可求得PD＝PC＋ CD＝ 6 ＋ 6 ＝ 6 2 (cm) ．由正视图可知AD＝6 cm，且 AD⊥PD，因此在 Rt △APD中，PA＝2 2 2 23 (cm) ．PD＋ AD＝（6 2）＋6＝6[ 综合题组练 ]1．(2020 ·陕西西安陕师大附中等八校 3 月联考 ) 已知正三棱柱- 1 1 1的三视图如ABCA B C图所示，一只蚂蚁从极点 A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周祥达极点A1，则该蚂蚁走过的最短路径长为 ( )A. 193 B． 25C． 2 193 D． 31分析：选 B. 将正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 沿侧棱 AA 1 睁开两次，如下图：在睁开图中， AA 1 的最短距离是大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上绕两圈所走行程的最小值．2 3由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为＝ 4.32因此矩形的长等于 4×6＝ 24，宽等于 7.由勾股定理求得 d ＝ 242＋72＝ 25. 应选 B.2．(2020 ·吉林第三次调研测试 ) 某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积为 2，则正视图的面积为 ()A ． 2B ． 1 C. 3D ． 2 2分析：选 A. 由题中三视图可知该几何体为四棱锥 -，此中底面四边形 为直角P ABCDABCD梯形， AD ∥BC ， AB ⊥AD ， AB ＝2， BC ＝1， AD ＝ 2， PA ⊥底面 ABCD .1 1＋ 2×2 ＝ 2，解得 x ＝ 2. 因此正视图的面积1应选 A.因此 ×2＝ ×2×2＝ 2.3 xS 23． ( 一题多解 )(2020 ·河南非凡结盟4 月联考 ) 某组合体的正视图和侧视图如图(1) 所示，它的俯视图的直观图是图 (2)中粗线所表示的平面图形，此中四边形′′′′为平O A B C行四边形， D ′为 C ′ B ′的中点，则图 (2) 中平行四边形 O ′ A ′ B ′ C ′的面积为．分析：法一：由题图易知，该几何体为一个四棱锥( 高为 2 3，底面是长为4，宽为 3 的矩形 ) 与一个半圆柱 ( 底面圆半径为2，高为 3) 的组合体，因此其俯视图的外侧边缘线构成一个长为4，宽为 3 的矩形，其面积为12，由斜二测知识可知四边形O′ A′B′ C′的面积3为 4×2sin 45 °＝ 3 2.法二：由斜二测画法可先复原出俯视图的外轮廓是长为4，宽为 3 的矩形，其面积为 4×3＝12，联合直观图面积是原图形面积的24，即可得结果．答案：3 24．如图是一个几何体的三视图，则该几何体随意两个极点间距离的最大值是．分析：作出直观图如下图，经过计算可知AF、DC最长，且 DC＝ AF＝BF2＋ AB2＝3 3.答案：3 3。
2021年高考数学(理)一轮复习讲义 第8章 1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
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第八章 立体几何
14
1．如图，长方体 ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中 EH∥A′D′.剩下的几何体是
()
A．棱台
B．四棱柱
C．五棱柱
D．六棱柱
解析：选 C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选 C.
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第八章 立体几何
15
2．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视
解析：由俯视图定义易知选项③符合题意． 答案：③
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第八章 立体几何
12
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．
(× )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
(× )
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台． ( × )
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第八章 立体几何
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【迁移探究 1】 (变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是 多少？ 解：由三视图可知，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，经计算可知，PB＝PD＝2 2，PC＝3， CD＝ 5，故最长棱为 PC，且|PC|＝3.
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第八章 立体几何
()
A．2 B．1＋ 3 C．2 3 D．2 2
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第八章 立体几何
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【解析】 (1)由题知，四个选项的高都是 2.若侧视图为 A，则中间应该有一条竖直的实 线或虚线；若侧视图为 C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线；若侧视图为 D， 则长度应为 3，而不是 1.故选 B. (2)由题意得 AB 在平面 α 内，且平面 α 与平面 ABCD 所成的角为 30°，与平面 B1A1AB 所成的角为 60°，故所得的俯视图的面积 S＝ 2×( 2cos 30°＋ 2cos 60°)＝2(cos 30° ＋cos 60°)＝1＋ 3. 【答案】 (1)B (2)B
8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注
意线段和角的变化规律.
解析
根据斜二测画法画平面图形的直观图的规
则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持 不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原 来的一半,且∠x′O′y′=45°(或135°),所以, 若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为
3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥
的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )
A.30° C.60° 解析 B.45° D.90° 设母线为l,底面半径为r，则π l=2π r.
r 1 , ∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶 l 2
角为60°.
4.三视图如下图的几何体是
（B ）
第八编 立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三
视图和直观图
基础知识
要点梳理
1.多面体的结构特征
自主学习
(1)棱柱的上下底面 平行 ，侧棱都平行且长度
相等 ，上底面和下底面是 全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公 共点 的三角形.
(3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面截棱锥得
在直观图中，过A1作A1D1⊥B1C1，
因为△A1B1C1是等边三角形，
3 a, 2 在Rt△A1O1D1中，∵∠A1O1D1=45°，
所以A1D1=
∴ O1 A 1 =
6 a, 2 6 根据直观图画法规则知： OA 2O1 A1 2 a 6a, 2 ∴△ABC的面积为 1 a 6a 6 a 2 . 2 2 答案 C
1 2 2 S S S . 可以得出一个平面图形的面积S 2 2 4
与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=
第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图(教师版).
第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图【高考会这样考】1.几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点.2.三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势.【复习指导】1.备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型.2•要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正方体、三棱锥等几何体的三视图.基础梳理1.多面体的结构特征(1棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形.(2棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.2.旋转体的结构特征(1圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.(2圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.(3圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子, 与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是: (1画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点0,画直观图时，把它们画成对应的X' 轴、y轴，两轴相交于点0',且使/ X' O'-y45°或135°已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于X轴、y轴•已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(2画几何体的高在已知图形中过0点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的Z轴，也垂直于x’ O'平面, 已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中仍平行于Z轴且长度不变.一个规律三视图的长度特征：长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.两个概念(1正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱•反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.(2正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥. 特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体•反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.双基自测1下列说法正确的是(A .有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B .有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D .棱台各侧棱的延长线交于一点2•用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是A .圆柱B.圆锥C.球体D .圆柱、圆锥、球体的组合体3.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是考向一 空间几何体的结构特征【例1】?如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ . A .等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B .等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C .等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D •等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 ［审题视点］可借助几何图形进行判断.A \\解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相 等，即A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即C 正确；在高线上可以找到一个点点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即卩 面所成角不一定相等或互补 （若为正四棱锥则成立.故仅命题 答案 B 莖塑如一三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重 要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决.【训练1】以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角 梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台•其中正确命题的个数为 （ . A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题②错，因这条腰必 须是垂直于两底的腰•命题③对•命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.答案 B考向二空间几何体的三视图【例2】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是0,使得该 D 正确；但四棱锥的侧面与底 B 为假命题.选B.A.a2B.a2C.a2D.a2解析 如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，=a ，在图②中作C D 丄A B ' 于D ，贝U C D A B ' • C D =冷冷=a2. 答案 D 方法fliSM 直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积 是其直观图面积的 2倍，这是一个较常用的重要结论.【训练3】 如图，矩形 O' A B '是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O' A = 6 cm , O' C=2 cm ，则原图形是( . A .正方形B .矩形C .菱形D . —般的平行四边形将直观图还原得？OABC 贝U T O' D = O' C = 2 (cm , OD= 20' D = 4 (cm , C D = =2 (cm , CD= 2 (cm , 0C= = = 6 (cm , 0A= O A ' = 6 (cm = OC 故原图形为菱形.答案解析俯视图不对，故C 错，故选D.答案 D考向三空间几何体的直观图【例3】?已知正三角形( •ABC 的边长为 a ,那么 △ ABC 的平面直观图 △ A B'的面积为 ［审题视点］画出正三角形△ ABC 的平面直观图△ A ‘ B ‘ C ' ，求△ A ‘ B ‘ C ‘的高即可.A 'B ' = AB = a , O'C ' = OC =O' C = a. .-S △ A B C '=解析 O C C 中侧视图,I.. BBu - JBI ・■■r - ,■«HC UKl阅卷报告一一忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点.【防范措施】应从多角度细心观察•【示例】？一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________ （填入所有可能的几何体前的编号.①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③•实录①②⑤正解①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形.答案①②③⑤【试一试】右图是长和宽分别相等的两个矩形•给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正图，俯视图如右图.其中真命题的个数是（.［尝试解答］如图①②③的正（主视图和俯视图都与原题相同，故选 A.zO 口① ② ③•同一几何体（主（主视。
超实用高考数学专题复习教学课件：8.1 空间几何体的结构及其三视图直观图
所以直观图的底边长为√2,高为 4,所以面积为 4√2,故选 D.
考点3
空间几何体的三视图(多考向探究)
考向1 由空间几何体的直观图识别三视图
【例3】 (1)(2020湖北武汉模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是
直观图是面积为2的正方形,则原四边形ABCD的面积为(
A.2
√2
B.
2
C.2√2
D.4√2
)
答案 (1)A
(2)D
解析 (1)将△A'B'C'放入锐角为45°的斜角坐标系x'O'y'内,如图(1)所示,
过 C'作 C'D'⊥A'B',垂足为 D',
将其还原为真实图形,得到图(2)的△ABC,其中 OA=O'A',AB=A'B',OC=2O'C',
8.1
空间几何体的结构及其三视图、直观图
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考，能否咬紧牙关、学会自我调
节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往
往大不一样。以下是本人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助大家
成的面所围成的旋转体.
(2) ②圆锥是以直角三角形的一条 直角边 所在直线为旋转轴,其余两边
旋 旋转一周形成的面所围成的旋转体.
转 ③圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕上、
体 下底边中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截
高考数学一轮复习 第8章 立体几何初步 第1节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图课件 文
课 后
B．相等的线段在直观图中仍然相等
限 时
集
课 堂
C．正方形的直观图是正方形
训
考
点
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
探
究
D [根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.]
返
首
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页
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18
2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何
课
顾
B．存在每个面都是直角三角形的四面体
后 限
C．直角梯形以一条腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成
时 集课Βιβλιοθήκη 训堂 考的面所围成的旋转体是圆台
点
探 究
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
返
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29
课 前
B [如图 1 所示，可排除 A，如图 2 所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1
回
顾 _平__行_(_pí_ng_xínxg)′于轴和y′轴的线段；
课 后
限
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变 ； 时
课 堂
平行于y轴的线段，长度为原来的
1 2.
集 训
考
点
探
究
返
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课
前
自
主 回
4．三视图
课
顾
(1)三视图的画法规则：
探
究
返
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第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
基础梳理
1．多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2．旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．
(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心
所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．
3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形
留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧
视图、俯视图．
4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们
画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，
已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图
形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直
于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴
且长度不变．
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一个规律
三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，
正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表
面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
两个概念
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做
正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥
叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底
面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
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双基自测
1．下列说法正确的是( )．
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是
( )．
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
（3） （4） （5）
3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )．
A．8－2π3 B．8－π3 C．8－2π D.2π3
4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ( )．
5．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m3.
6、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它
的腰，以下4个命题中，假命题是( )．
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
7、以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的
底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个
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数为( )． A．0 B．1 C．2 D．3
8、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以
为( )．
9、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．
10、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的
面积为( )． A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2
11、如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )．
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
12、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的
________． ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
13、右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其
正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③
存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
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第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图答案
1、 D 2、C
3、A该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，V＝22×2－13×π×12×2＝8－
2
3
π
4、B所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，
5、6＋π 由三视图知该几何体是组合体，下是长方体，长、宽、高为3、2、1，
上是圆锥，底圆半径为1，高为3，该几何体的体积为3×2×1＋13π×3＝6＋π(m3)．
6、B 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰
与底面所成角相等，A正确；底面四边形必有一个外接圆，C正确；在高线上可
以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的
球心，D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥
则成立)．故仅命题B为假命题．
（11）
7、B 命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．
8、D 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一
侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体
9、D10、D如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A′B′＝
AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′
＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.
直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平
面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．
11、C将直观图还原得▱OABC，则∵O′D′＝2O′C′＝22 ，
OD＝2O′D′＝42 ，C′D′＝O′C′＝2，∴CD＝2 ，
OC＝CD2＋OD2＝22＋422＝6 ，OA＝O′A′＝6 ＝OC，原图形为菱形．
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12、①②③⑤ ①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，
其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视
线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能
是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放
置，其正视图也不可能是三角形．
13、A 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选A.