结晶矿物学32种点群动画图
三十二个点群 32 point groups
14
wangcl@
15
滑移面 slide
平移对称与对称面结合即形成“滑 移面”。滑移面操作为对此平面反 映后，再沿平行于此平面的某个方 向上平移二分之一或四分之一周期， 图形即可自身重合。滑移面的国际 符号为a、b、c、n、d等。
wangcl@
16
例如，a表示沿a轴方向的滑移面， 平移a/2；n表示沿对角线方向的滑 移面，平移（a/2+ b/2），或 （b/2+ c/2）或（c/2+ a/2）；d 表示沿对角线方向的滑移面，但平 移为（a/4+ b/4），或（b/4+ c/4）或（c/4+ a/4）。
wangcl@
36
立方晶系
晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转 轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个 相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反 轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴， 分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。 晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角 为===90。
M Vujicic et al, J Phys A10 (1977)1271; I Bozovic et al, J Phys A11 (1978) 2133; I Bozovic et al, J Phys A14 (1981) 777
wangcl@
40
坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重 合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a 方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向， 如图1-23所示。
wangcl@
25
图1-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系
wangcl@
26
单斜晶系
晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转 轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴， 并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱 方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为： abc，a>c，晶轴之间夹角为==90， >90。单斜晶系的实例如图1-24所示。
晶体点群
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶 数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三 个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
注意各晶系点 群国际符号中的不 同位置所代表的对 称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
319
分 子 点 群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号 国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极 射 赤 面 投 影 图
任何分子的全部对称元 素交于一点，其全部对 称操作必构成点群。 点群用熊夫利斯符号表 示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
32种点群
晶序
晶 类
符 号
系
号
熊夫利符号
国际符号 (全写)
国际符号 (简写)
三1
C1
1
1
斜2
Ci (S2)
1
1
对称素 —— γi
对称 素数目
具体对称操作
对称 操作数
—— E= 1
1
1
E= 1 反演
2
3
C s (C 1h)
m (= 2)
m
单
4
C2
2
2
斜5
C 2h
32 种点群按是否为纯旋轴对称, 可分为两类: 第一类是纯旋转轴点群; 第二类是除旋转轴外, 还可以 通过其它对称操作与自身重合.
第一类点群——纯旋转轴点群, 包括单轴点群 Cn, D n 点群和多面体群. Cn 点群指只有 1 根 n 次旋转 对称轴的点群. 由于晶体中只能有 5 种旋转轴, 所以它只有 5 种, 即 C1, C2, C3, C4, C6; D n 点群即指具有 n 次旋转轴及 n 个与之垂直的 2 次旋转轴, 共 4 种: D 2, D 3, D 4, D 6 (D 1 即 C2 已并入 Cn 群内) ; 多面体群只有 2 种: 即四面体群 T 和八面体群O. 四面体群 T 表示有 4 个 3 次旋转轴和 3 个 2 次轴. 八面体群O 表示 3 个 互相垂直的 4 次旋转对称轴及 6 个 2 次旋转轴, 4 个 3 次旋转轴. 至此, 我们已找出了点群中所有可能的 纯旋转群, 合计 11 种.
D nh点群是在 D n 群的基础上, 再加上 (n+ 1) 个平面形成的. (这些平面分别垂直主轴和 2 次轴) 共有 4 种: D 2h , D 3h , D 4h 和 D 6h (D 1h 等效于 C 2v).
第五章 32种结晶学点群
这一章我们将学习32种结晶学点群 这一章我们将学习32种结晶学点群， 种结晶学点群， 它们的推演方案和它们的表示方法. 它们的推演方案和它们的表示方法.
推导方案：
从晶系的特征对称元素出发， 从晶系的特征对称元素出发 ， 在保持晶 系不变的前提下， 确定镜面， 系不变的前提下 ， 确定镜面 ， 反演中心 和二次旋转轴是否能够加到晶系的特征 对称元素上( 对称元素上(如果有主轴则加上垂直与主 轴的镜面, 轴的镜面 , 包含主轴的镜面或垂直与主轴 的二次旋转轴) 的二次旋转轴)， 把这种方法应用于每种晶系就将得到全 32种结晶学点群 种结晶学点群. 部32种结晶学点群.
这个点群对称操作的集合为 这个点群对称操作的集合为{1, 2, m, 集合为{ 2 ī }, 点群的国际符号为 m , 熊夫利符号为 点群的国际符号为 C2h, 分母上的 m 指这个镜面与二次旋转 分母上的m 2 轴垂直. 轴垂直. 这样 m 点群等效点的极射赤面 投影图应有4个点. 投影图应有4个点.
2 m
(C2h )。
3 正交晶系 正交晶系的特征对称元素是两个 互相垂直的二次旋转轴或两个互 相垂直的镜面. 相垂直的镜面.
由正交晶的特征对称元 素所要求， 素所要求 ， 正交晶系的晶胞 参数必须是
0，a≠b≠c. α=β=γ=90 a≠b≠c. α=β=γ=90
（为什么？） 为什么？）
定理: 定理 : 两个互相垂直的二次旋转轴 决定另一个二次旋转轴, 决定另一个二次旋转轴 , 三个二次 旋转轴互相垂直. 旋转轴互相垂直.
图5.1 极射赤面投影图
图5.1 极射赤面投影图
1. 三钭晶系
在我们学习七个晶系时知道, 在我们学习七个晶系时知道,三钭晶系 要求对称操作对晶轴和轴间角没有任何限 制,满足这个条件的对称操作有1(C1), ī(i). 因 满足这个条件的对称操作有1(C 三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C ī(i). 此三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C1), ī(i).
晶体结构空间群点群
(二)点群、单形及空间群点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型，称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。
其余类推同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。
F：代表面心格子。
I：代表体心格子。
C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
R：代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4点群符号m 43m2晶 系 等轴晶系 晶 族高级晶族/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。
【材料学堂】七大晶系详解（文字+多图）
【材料学堂】七⼤晶系详解（⽂字+多图）已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体⾃然也是有的。
它们都是按七种结晶⽅式模式发育的，即七⼤晶系。
晶体即是⼀种以三维⽅向发育的的⼏何体，为了表⽰三维空间，分别⽤三、四跟⼈为添加的轴来表⽰晶体的长宽⾼以及中⼼。
三条轴分别⽤S、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表⽰，⽽为了更好表⽰轴之间的度数，我们⽤α、β、γ来表⽰轴⾓。
就这样出现了七种不同的晶系模式：⽴⽅晶系（也称等轴晶系）、四⽅晶系、三⽅晶系、六⽅晶系、正交晶系（也称斜⽅晶系）单斜晶系、三斜晶系。
其中⼜按照对称程度⼜分为⾼级晶族、中级晶族、低级晶族。
⾼级晶族中只有⼀个⽴⽅晶系；中级晶族有六⽅、四⽅、三⽅三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
点群（point group）：晶体形态中，全部对称要素的组合称为该晶体形态的对称型或点群，在10种对称素的基础上组成的对称操作群。
对称性是晶体的⼀个共性，结晶多⾯体中，全部对称要素的组合，称为该结晶多⾯体的点群（也称对成型）。
根据晶体的特征对称元素所进⾏分类。
晶体可分为7⼤晶系：三斜晶系、单斜晶系、正交（斜⽅）晶系、四⽅晶系、六⾓（六⽅）晶系、三⾓（三⽅）晶系、⽴⽅晶系；14种布喇菲格⼦：简单三斜、简单单斜、底⼼单斜、简单正交、底⼼正交、体⼼正交、⾯⼼正交、三⾓、简单四⽅、体⼼四⽅、六⾓、简单⽴⽅、体⼼⽴⽅、⾯⼼⽴⽅；32个晶类（点群）：C1、Ci、C2、Cs、C2h、D2、D2v、D2h、C3、C3i、D3、C3v、D3d、C4、C4h、D4、C4v、D4h、S4、D2d、C6、C6h、D6、C3v、D6h、C3h、D2h、T、Th、Td、O、Oh（这⾥⽤ Schoenflies 符号表⽰，还可以⽤国际符号表⽰。
32点群的动画图⽚1、⽴⽅晶系⽴⽅晶系是指具有4个⽴⽅体对⾓线⽅向三重轴特征对称元素的晶体。
英⽂名：cubic crystal system⼜称：等轴晶系⽴⽅晶系晶体对称性最⾼，其晶体理想外形必具有能内接于(内)球⾯的⼏何特点。
晶体与空间群概述
极射赤面投影
m3m-Oh点群极射赤平投影图
研究点群的意义
对晶体进一步分类：所有 晶体分属32种晶类，每种晶 类对应一种点群；
点群是空间群的基础； 固体的性质与点群有关。
在32种晶体点群中，有 21种没有对称中心，其中20 种点群的晶体具有压电效应： 10种极性、10种非极性。极 性压电晶体指具有永久偶极 矩，如钛酸钡、铌酸锂晶体 等。
下面一个空间群推导的简单例子，可以帮助我们理解
空间群是如何由对称操作的组合得到的。单斜晶系中 的2/m点群，可能具有2次轴、21螺旋轴、m镜面和c滑
移面这些对称性。为了简明，这里不考虑非标准设置 的单斜晶系空间群及其对称性，即取平行于2次旋转轴 或21螺旋轴方向为b轴，则镜面m和c滑移面垂直于b轴， 则镜面m和c滑移面垂直于b轴。单斜晶体的晶格类型可 能是简单P晶格和底心C晶格。P和C晶格与2次轴、21螺 旋轴、m镜面和c滑移面对称性进行组合，共有8种可能 性：P2/m, P2/c, P21/m, P21/c, C2/m, C2/c, C21/m和 C21/c。 由于21螺旋轴可以由C格子和2次旋转对称操作 组合产生，C21/m与C2/c也是等价的，因此，属于2/m 点群的空间群只有6个：P2/m, P2/c, P21/m, P21/c, C2/m 和C2/c。
分 子 与 晶 体 点 群
n? ？
230种空间群
点群一般用于研究有限图 形的对称性—对称元素有限且 必相交于一点。晶体的内部构 造是由无数个化学质点在三维 空间组合而成的，任何相邻两 质点之间均仅有以nm为单位的 微小距离。
晶体构造可认为是沿三维
空间延伸的无限图形，所有对 称元素(包括对称元素的交点) 在三维空间作平行排列，也不 交于一点。
点群和空间群ppt课件
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
65
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6 2
19
20
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
21
22
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3
1 4
4
23
24
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
12
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
32种晶体学点群的记号
m(3)
m
D3d
6
六方晶系
c
a
[210]
6
C6
6
6/m
C3h
6/m
C6h
622
D6
6
2(3)
2(3)
6/mmm
6mm
C6v
6
m(3)
m(3)
m2
D3h
m(3)
2(3)
6/mmm
D6h
7
立方晶系
c
[111]
[110]
23
T
2(3)
3(4)
m
m
Th
(4)
432
O
4(3)
3(4)
2(6)
m m
3m
Td
3(3)
序号(No.)
晶系(Crystal system)
点群(Point group)
轴向对称要素的方向和数目(Orientation and number of axial symmetry factor)
劳埃群(Laue group)
国际符号(HM)
圣佛利斯符号(Schfl.)
1
三Hale Waihona Puke 晶系1C1Ci
2
单斜晶系
Symbols of the 32 Crystallographic Point Groups
点群不存在平移操作，所有的对称要素都集中在一个共同的点上。对称要素包括旋转、反映、反伸（对称中心）与旋转反伸。有这4个对称要素组合出32个点群。
下表中“轴向对称要素的方向和数目”的圆括号内数据代表该对称要素的数目。
3(4)
m(6)
m m
Oh
(4)
4-第四章-晶体学点群
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
第一章 对称操作 第二章 二维晶体学 第三章 群论初步 第四章 晶体学点群 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 第六章 空间群的推导 第七章 空间群图表的认识与使用
G = H U nH
G = HU 1nH
由G可给出 G ：
设G为纯旋转点群，且有个指数为2的子群H，则作出
的集合 G = H U 1(G \ H ) 必为非纯旋转点群。
其中 1(G \ H ) 表示把点群G中除子群H之外的对称
操作n全部换成非纯旋转操作的所得的集合。
找出11个纯旋转晶体学点群G的指数为2的子群H，将
cos w = cosW + cosU cosV sinU sinV
A
w
U=α/2
B V=β/2
cosu = cosU + cosV cosW sinV sinW
v
u
W=γ/2
cosv = cosV + cosW cosU
C
sinW sinU
二、晶体中旋转轴的可能组合
U、V、W为旋转角之半，则对于1，2，3，4，6次旋转轴， U，V，W的值为：
Octahedral
六、小结：
点群
1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432
11个第一类（纯旋转）晶体学点群及子群
阶
子群
11
2 12
31
3
4 12
4
6 123
6
4 12
222
6 123
32
8 12