高等数学第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
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例1 讨论函数y=x-sinx 的单调性。
解：∵y=1-cosx 0，∴ y=x-sinx在(－∞ ,+∞ )上单调增加
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加.
注2:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性．
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例3 讨论函数 f ( x) 3 x2 的单调性.
例6 证明当x>0时，sin x x x 3 .
6 证：令 F ( x) sin x x x 3
6
F ( x) cos x 1 x 2 2sin2 x x 2 2[( x )2 (sin x )2 ] 0
2
22
2
2
∴ F(x)在(0,+∞)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续，
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定理1 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a, b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的 ; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的 .
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证 仅证结论（1）. 任取x1, x2 [a, b], 且x1 x2 ,
函数的单调性与曲线的凹凸性
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
第4~5节 函数的单调性、极值、最值与曲线的凹凸性
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
注意: 1 函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 2 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立.
第三章 第四节 3
证
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得 ( x1 x2 )
求极值的步骤:
(1) D f 求 f 的零点及不存在的点 ;
( 2) 讨 论 f 在上步求出点左右的的 取值情况，从而确 定 f 的极值点（可用极值定 义、第一充分条件、第 二 充分条件）；
(3) 求极值。
(2)、 (3) 两步可用列表方式完成 。
第三章 第五节
20
例3 求 f ( x ) ( x 1) 3 x 2 的极值 .
即 x ln(1 x ). 证 毕.
第三章 第四节 9
利用函数的单调性证明不等式的方法步骤：
1 构造辅助函数： 使不等式的一端为0，另一端即位要作的辅助函数； 2 判断单调性： 3 求出区间端点的函数值或极限值，比较后即证， 或直接用不等式判断。
第三章 第四节
10
3 讨论方程的根
x 若k 0，f x ln x k , 求f x 在 0， 内零点的个数。 e
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x2 x1 0,
第四节函数的单调性与凹凸性
F ( x ) 是凸函数
F ( x ) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
第四节、函数单调性与凹凸性
五、作业
第四节、函数单调性与凹凸性
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
x1 x2 x x x x 1 2 1 2 f ( x1 ) f ( ) ) ( x1 ) f ( 2 2 2 f (1 ) x1 x2 2 ( x1 ) 2! 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ) ) f ( ) ( x2 f ( x2 ) f ( 2 2 2 f ( 2 ) x1 x2 2 ( x2 ) 两式相加，得 2! 2
第四节 函数的单调性与凹凸性
一、函数单调性的判定 法 二、曲线的凹凸与拐点 三、小结、思考与练习 四、作业
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减). 任取
( f ( x ) 0) ,则
证: 无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
( x 1)
2( x 3 3 x 2 3 x 1) 2 3 ( x 1)
2( x 1)( x 2 3 )( x 2 3 ) 2 3 ( x 1)
第四节、函数单调性与凹凸性
令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 ,
x 3 2 3
内容小结
1. 可导函数单调性判别 f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
第四节函数的单调性与曲线
−∞ ， 单调区间为 (−∞,0] [0,+∞).
注意:区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 注意 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性.
在 单 增 . y = x3 , y′ x=0 = 0, 但 (−∞,+∞)上 调 加 例如, 例如 x , 证 立 例4 当 > 0时 试 x > ln(1 + x)成 .
3π 7π [ ∴在 0,2π] 曲 有 点 内 线 拐 为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 注意: 若 f ′′( x0 ) 不 在点( x0 , f ( x0 )) 也 能 存 , 可
连 曲 是 续 线 y = f ( x)的 点 拐 .
例4
曲 求 线y = 3 x的 点 拐 .
2 − 3 5 − 3
( ∴点 0,0)是 线 y = 3 x 拐 . 曲 的 点
三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性
凹凸性的判定. 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法1, 拐点的求法 2.
x , 可 函 取 极 的 件 ∴ f ′( x)在 0取得极值由 导 数 得 值 条 ,
∴ f ′′( x) = 0.
x 邻 内 阶 导 方法1: 函 f 方法1: 设 数 ( x)在 0的 域 二 可 , 且 ′′( x0 ) = 0, f
(1) x0两 旁 ′′( x)变 ,点 x0, f ( x0 ))即 拐 ; 近 f 号 ( 为 点 (2) x0两 旁 ′′( x)不 号 点 x0 , f ( x0 ))不 拐 . 近 f 变 , ( 是 点
第四节函数调性与曲线的凹凸性
第四节 函数单调性与曲线的凹凸性我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.分布图示★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的定义 ★ 例9★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法★ 例11★ 例12★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4★ 返回内容要点一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导.(1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少.二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则(1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''；(2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.例题选讲函数单调性的判断例1 (E01) 讨论函数1--=x e y x 的单调性.解 Θ.1-='x e y 又).,(:+∞-∞D 在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加.注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.例2 (E02) 讨论函数32x y =的单调区间.解 Θ).,(:+∞-∞D 332xy ='),0(≠x 当0=x 时，导数不存在.当0<<-∞x 时，,0<'y ∴在]0,(-∞上单调减少；当+∞<<x 0时，,0>'y ∴在[)+∞,0上单调增加； 单调区间为]0,(-∞，),0[+∞.注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，,3x y =,00='=x y 但是),(+∞-∞上单调增加.注：从上述两例可见，对函数)(x f y =单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数)(x f '在各子区间的符号，从而确定出函数)(x f y =在各子区间上的单调性，每个使得)(x f '的符号保持不变的子区间都是函数)(x f y =的单调区间.求单调区间例3 (E03) 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 解 Θ).,(:+∞-∞Dx x x x f 12186)(2+-='),2)(1(6--=x x解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少； 当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加； 单调区间为],1,(-∞],2,1[).,2[+∞例4 求函数32))(2(x a a x y --=')0(>a 的单调区间. 解 y ',)()2(323232x a a x x a ---⋅=令 ,0='y 解得,321a x =在 ,22ax =a x =3处y '不存在. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,a 内，,0>'y 函数单调增加. 在⎪⎭⎫⎝⎛a a 32,2内，,0>'y 函数单调增加.在⎪⎭⎫⎝⎛a a ,32内，,0<'y 函数单调减少. 在()+∞,a 内，,0>'y 函数单调增加.例5 当0>x 时， 试证)1ln(x x +>成立.证 设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' Θ)(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， Θ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>证毕.应用单调性证明例6 (E04) 试证明：当0>x 时, 221)1ln(x x x ->+. 证 作辅助函数 ,21)1ln()(2x x x x f +-+= 因为)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且x xx f +-+='111)(,12x x +=当0>x 时，,0)(>'x f 又.0)0(=f 故当0>x 时，,0)0()(=>f x f所以.21)1ln(2x x x ->+例7 (E05) 证明方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.证 令,1)(5++=x x x f 因)(x f 在闭区间]0,1[-延续，且)1(-f 1-=,0<)0(f 1=.0> 根据零点定理)(x f 在)0,1(-内有一个零点.另一方面，对于任意实数,x 有)(x f '154+=x ,0> 所以)(x f 在),(+∞-∞内单调增加，因此曲线)(x f y =与x 轴至多只有一个交点.综上所述可知，方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.例 8 证明方程1ln -=exx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证 令,1ln )(+-=exx x f 欲证题设结论等价于证)(x f 在),0(+∞内有两个零点. 令011)(=-='ex x f ⇒.e x = 因,1)(=e f ,)(lim 0-∞=+→x f x 故)(x f 在),0(e 内有一零点.又因在),0(e 内,0)(>'x f 故)(x f 在),0(e 内单调增加，这零点唯一.因此, )(x f 在),0(+∞内有且仅有两个零点, 证毕.例9 (E06) 判定 )1ln(x x y +-=的凹凸性. 解 因为,111x y +-=' 2)1(1x y +='' 所以，题设函数在其定义域),1(+∞-内是凹的.例10 (E07) 判断曲线3x y =的凹凸性.解 Θ,32x y =',6x y =''当0<x 时，,0<''y ∴曲线在]0,(-∞为凸的；当0>x 时，,0>''y ∴曲线在),0[+∞为凹的；注意到点)0,0(是曲线由凸变凹的分界点.例11 (E08) 求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹、凸区间. 解 易见函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎭⎫ ⎝⎛-=''x x y令,0=''y 得,01=x .22=x所以，曲线的凹区间为]0,(-∞,),32[+∞凸区间为]2,0[拐点为)1,0(和)27/11,3/2(.例12 求曲线 ))2,0((cos sin π∈+=x x x y 的拐点.解 y ',sin cos x x -=y '',cos sin x x --=y '''.sin cos x x +-= 令,0=''y 得 ,431π=x .472π=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛'''43πf 2=,0≠⎪⎭⎫ ⎝⎛'''47πf 2-=,0≠∴在]2,0[π内曲线有拐点为,0,43⎪⎭⎫ ⎝⎛π.0,47⎪⎭⎫⎝⎛π注：若)(0x f ''不存在，点))(,(00x f x 也可能是连续曲线)(x f y =的拐点.曲线凹凸性判断例13 (E09) 求函数32b x a y --=的凹凸区间及拐点. 解 y ',)(13132b x -⋅-= y '',)(9235b x -= 函数y 在b x =处不可导，但b x <时，,0<''y 曲线是凸的，b x >时，,0>''y 曲线是凹的. 故点),(2a b 为曲线32b x a y --=的拐点课堂练习1. 若,0)0(>'f 是否能断定)(x f 在原点的充分小的邻域内单调递增?2. 设函数)(x f 在),(b a 内二阶可导, 且,0)(0=''x f 其中),(0b a x ∈, 则))(,(00x f x 是否一定为曲线)(x f 的拐点?举例说明.。
高等数学3.4----函数的单调性和曲线的凹凸性习题带答案
44第四节函数的单调性和曲线的凹凸性一、填空题1.设()f x =，则它在区间[]1,2内单调减少，在[]0,1内单调增加.2.曲线e xy x -=的拐点为()22,2e-.3.曲线()523539y x x =+-的凹区间为(],2-∞[)3,+∞和.提示：由0y ''=得2x =，且当(),2x ∈-∞时，0y ''>；又3x =为二阶导数不存在的点，且当()3,x ∈+∞时，0y ''>.二、单项选择题1．函数()f x 在(),a b 内可导，则在(),a b 内()0f x '>是函数()f x 在(),a b 内单调增加的B.A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.无关条件2.设()f x =，则()f x 的单调递减区间为A .A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[)2,,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ C.(),1-∞ D.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.若点()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点，则C.A.必有()0f x ''存在且等于零B.必有()0f x ''存在但不一定等于零C.如果()0f x ''存在，必等于零D.如果()0f x ''存在，必不等于零4.若点()1,0是曲线322y ax bx =++的拐点，则B.A．1,2a b == B.1,3a b ==- C.0,3a b ==- D.2,2a b ==提示：232,y ax bx '=+62y ax b ''=+由题意知，(1)620y a b ''=+=，(1)20y a b =++=1,3a b ∴==-.45三、解答题1.确定函数23(1)y x x =-的单调区间.解：函数定义域为(),-∞+∞，y '=0y '=得驻点25x =，0x =为不可导点；列表确定函数的单调区间如下：故函数()231y x x =-的单调递增区间为(],0-∞和2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为20,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2.证明：当π02x <<时，sin tan 2x x x +>.证明:令()πsin tan 2,0,2f x x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()222211cos sec 2cos 2cos 0cos cos f x x x x x xx ⎛⎫'=+->+-=-> ⎪⎝⎭；从而()f x 在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，即π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，有()()00f x f >=；故sin tan 2x x x +>，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3.列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间.解：221xy x '=+，()()()222111x x y x --+''=+；令0y ''=得121,1x x =-=,列表：曲线的拐点和凹凸区间如下：x (,0)-∞02(0,)5252(,)5+∞y '+不存在-+()y f x =464.证明方程3520x x +-=只有一个正实根.证明：令()352f x x x =+-，则()()02,14f f =-=；由零点定理得，函数()f x 在()0,1内至少有一个零点．故方程510x x +-=至少有一正实根．又()2350,f x x '=+>()x -∞<<+∞，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增；即方程sin x x =只有一个实根．x (),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞y ''－+－()y f x =的图形⋂拐点()1,ln 2-⋃拐点()1,ln 2⋂。
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f ( x) 0的点都是孤立点 , 所以 f ( x) 在 ( , ) 单调增加 . #
分区间讨论:
在 (0, 2 )内, f ( x) 0 , f ( x) 在 [0, 2 ] 单调增加 ; 在 (2 , 4 )内, f ( x) 0 , f ( x) 在[2 , 4 ] 单调增加 ,
1
一 . 单调性的判别法 .
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理1 . 设函数 y f ( x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导 .
(1) 如果在 (a , b)内 f ( x) 0 ,
则 f ( x2 ) f ( x1) 0 , y f ( x) 在[a , b] 上单调减少.
3
例1 . 讨论函数 y e x x 1的单调性. 解 . 函数的定义域 : D (,)
y e x 1. 在 ( , 0)内, y 0 ,
在 ( , 0]内, 函数单调减少 .
f ( x) 在 [ 0, ) 连续 , 在 ( 0 , )内 f ( x) 0 , 所以 f ( x) 在[ 0 , ) 单调增加 . 当 x 0 时 , f ( x) f (0) 0 , 即 x ln(1 x) 0 , x ln(1 x) .
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
P143 对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1) f ( x2 ) , 则称 f ( x) 在区间 I 上是单调增加的 . 对于区间I上任意两点 x1 x2 , 恒有 f ( x1) f ( x2 ) , 则称 f ( x) 在区间 I 上是单调减少的 .
单调区间为 : ( , 0] , [ 0, ) .
6
注意 : 区间内若干孤立点的导数为 0 , 不影响我们用上述
方法判别函数的单调性 .
例如: f ( x) x sin x 5 在 ( , ) 连续 ,
f
(
x)
1
cos
x
0 0
x 2k , (k 0, 1, 2,) x 2k
8
二. 曲线的凹凸性与拐点
凸 上凸 下凹
凹 上凹 下凸
凸弧 弧位于弦之上 凸弧
凸弧
凹弧 弧位于弦之下 凹弧
定义 . f ( x) 在[a , b] 上连续 , 任意 x1 , x2 (a , b) ,
如果
f
x1 x2 2
f
(
x1
) 2
f
(
x2
)
成立
,
则称
f ( x) 在[a , b]
那么函数 y f ( x) 在[a , b]上单调增加 ;
(2) 如果在 (a , b)内 f ( x) 0 ,
那么函数 y f ( x) 在[a , b]上单调减少 . 2
证 . x1 , x2 [a , b] , 且 x1 x2 , 在[x1 , x2] 上应用Lagrange中值定理得:
在 (0 , )内, y 0 , 在[0, )内, 函数单调增加 . #
注意 1) . 函数的单调性是一个区间上的性质 , 用导数在这
一区间上的符号来判定 , 而不能由一点的导数来 判定函数的单调性 .
2) . 函数的定义域往往被分割成几个不同的单调区间 .
导数为 0 的点 ( 称为驻点) 和不可导的点 , 可能是单
解 . D ( , ) .
f ( x) 2 , ( x 0) 33 x
y 3 x2
当 x 0 时 , 导数不存在 .
在 ( , 0)内，f ( x) 0 , f ( x) 在 ( , 0] 上单调减少 ；
在 ( 0, )内，f ( x) 0 , f ( x) 在[ 0, ) 上单调增加 .
从而 f ( x) 在[ 0 , 4 ] 单调增加 ,
以此类推 , 可得到 f ( x) 在 ( , ) 单调增加 . 7
例 4 . 当 x 0时 , 试证 x ln(1 x) . 证 . 设 f ( x) x ln(1 x) .
f ( x) 1 1 0 , x ( 0, ) . 1 x
上图象是凸弧 , (向上凸, 下凹 )
如果
f
x1 x2 2
f
(
x1
) 2
f
(
x2
)
成立
,
则称
f ( x) 在[a , b]
上图象是凹弧 , (向上凹 , 下凸 )
9
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A
oa
f ( x2 ) f ( x1) f ( ) ( x2 x1) ( x1 x2 ) 如果在 (a , b)内 f ( x) 0 , f ( ) 0 ,
则 f ( x2 ) f ( x1) 0 , y f ( x) 在[a , b] 上单调增加.
如果在 (a , b)内 f ( x) 0 , f ( ) 0 ,
调区间的分界点 .
4
例 2 . 确定函数 f ( x) 2x3 9x2
12 x 3的单调区间 .
解 . D ( , ) , f ( x) 6x2 18x 12
6( x 1)( x 2) ,
解方程 f ( x) 0 得驻点: x1 1, x2 2 . 在( ,1)内, f ( x) 0 , f ( x) 在( ,1]内单调增加 .
在(1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 )内, f ( x) 0 , f ( x) 在[1 , 2]内单调减少 .
在( 2, )内, f ( x) 0 , f ( x) 在[ 2 , )内单调增加 .
单调区间为 : ( ,1] , [1, 2] , [ 2, ) .
5
例 3 . 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间 .