“韩信点兵”问题的一种新解法探索
数学大讲堂-----韩信点兵教学设计2
数学大讲堂-----韩信点兵教学内容：韩信点兵教学目标：1、知识与技能：掌握用列举法解决“韩信点兵”类似的问题，能理解“韩信点兵”的方法并能运用。
2、过程与方法：经历探究韩信点兵法的过程，培养学生的观察、推理、迁移、有序思考等能力。
3、情感态度与价值观：感受中华民族优秀的数学文化，培养学生的民族自豪感；激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：掌握列举法教学难点：理解韩信点兵的方法教学过程：一、情景引入师：同学们，你们认识这个人物吗？（课件出示韩信图像）他叫韩信（约公元前231年－前196年），是西汉开国功臣，中国历史上杰出的军事家，与萧何、张良并列为汉初三杰。
有一个歇后语的故事叫做“韩信点兵，多多益善”，你们听说过吗？我们先来听听这个故事。
课件出示：相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
双方大战一场，楚军不敌，败退回营。
而汉军也有伤亡，只是一时还不知伤亡多少。
于是，韩信整顿兵马也返回大本营，准备清点人数。
当行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人心大乱。
韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
不一会儿，值日副官报告，共有1035人。
他还不放心，决定自己亲自算一下。
于是命令士兵3人一列，结果多出2名;接着，他又命令士兵5人一列，结果多出3名;再命令士兵7人一列，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：值日副官计错了，我军共有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”，于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军个个奋勇迎敌，楚军顿时乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
师：读了这个故事，你有什么想说的？生：韩信真了不起！生：韩信是怎样算出值日副官记错了的？师：韩信到底是怎样计算出士兵人数的呢？今天我们就一起来探讨一个中国数学文化史上非常有名的数学趣题-“韩信点兵”。
【精品文档】中国剩余定理的应用实例——韩信点兵-推荐word版 (4页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==中国剩余定理的应用实例——韩信点兵物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何?"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件;如果五件五件地数，就会剩下三件;如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件?变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
我们换一个例子;韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。
问：这队士兵至少有多少人?这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。
满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。
当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意;当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。
我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。
【叙事】韩信点兵 有趣的数学题作文600字
【叙事】韩信点兵有趣的数学题作文600字韩信点兵是中国古代著名的将领之一，他的智勇才华闻名于世。
有一天，韩信带领他的军队进行军事演习，他面对着万夫莫敌的大军，却只带了三个兵种的士兵——骑兵、步兵和弓箭手。
敌人的兵力强大，但韩信却没有一点退缩的迹象，他神思缜密地开始思考如何击败敌人。
他带来的三个兵种的兵力分别是骑兵100人，步兵500人和弓箭手300人。
他用手指着地图，思考着怎样能用这些兵力最大限度地打击敌人。
突然，他的脑海中闪过一个灵感。
他想到了数学的排列组合知识。
他意识到，这道题目可以通过数学的方法解决。
韩信开始进行计算，他知道，作战的最终目标是将敌方军队全部消灭。
鉴于弓箭手的射程远，他决定将他们放在队伍的最后端，用来射杀敌方的将领和远程攻击敌人。
于是，他将300名弓箭手放在了后面。
接下来，韩信计算了骑兵的最大射程，他决定将骑兵分成两个部分，分别摆在行军队伍的前方和两翼。
因为骑兵射程有限，需要尽可能靠近敌人进行攻击。
韩信想到了步兵。
他明白步兵是最耐心的部队，对于突破敌军的防线、消灭敌军的兵力有着重要作用。
他决定将步兵分为许多小队，放在队伍的最前端，用于正面与敌人交战。
通过这样的部署，韩信成功地将军队的战斗力最大化，每支兵种都发挥了他们独特的作用。
他的军队实施了一个精确而有效的军事行动，大大增加了打败敌人的机会。
最终，韩信的军队在强大的敌人面前，取得了巨大的胜利。
通过这道题目，我们不仅可以看出韩信的智慧和才华，还可以体会到数学在实际生活中的应用。
数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
通过数学的方法，我们可以更加清晰地思考问题，找到最优解决方案，无论是在数学题中，还是在现实生活中。
韩信点兵这个有趣的数学题，不仅展示了古代将领的智谋，也体现了数学在实际生活中的作用。
通过这道题目的启示，我们可以更好地理解数学的重要性，并且在解决问题时更加灵活和高效。
初中教学数学趣味题目总结计划大全之韩信点兵
初中数学兴趣题目大全之韩信点兵
韩信点兵
韩信是我国汉代有名的大将，以前统率过千军万马，他敌手
下士兵的数量如数家珍。
他统计士兵数量有个独到的方法，
后代称为“韩信点兵”。
他的方法是这样的，队伍会合齐
后，他让士兵1、 2、3－－ 1、2、 3、 4、5－－ 1、 2、 3、 4、5、 6、 7 地报三次数，而后把每次的余数再报告给他，他便
知道队伍的实质人数和缺席人数。
他的这类计算方法历史上
还称为“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，外国人则叫
“中国节余定理”。
有人用一首诗归纳了这个问题的解法：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团聚月正半，除百
零五便得悉。
这意思就是，第一次余数乘以70，第二次余数乘以 21，第三次余数乘以15，把这三次运算的结果加起来，
再除以105，所得的除不尽的余数即是所求之数（即总数）。
比如，假如 3 个 3 个地报数余 1， 5 个 5 个地报数余 2， 7 个 7 个地报数余 3，则总数为 52。
算式以下：
1×70＋2×21＋3×15＝157
157÷105＝152
下面给同学们出一道题，请用“韩信点兵法”算一算。
小红暑期时期帮着张二婶放鸭子，她总也数不清一共有多少
只鸭子。
她先是 3只 3只地数，结果剩3只；她又 5只 5
第 1页
只地数，结果剩 4 只；她又7 个 7 个地数了一遍，结果剩6只。
她算来算去仍是算不清一共有多少只鸭子。
小朋友，请
你帮着小红算一下，张二婶一共喂着多少只鸭子？
第 2页。
【叙事】韩信点兵 有趣的数学题作文600字
【叙事】韩信点兵有趣的数学题作文600字韩信点兵是古代中国的一个著名故事，这个故事与数学有着密切的关系，可以说是一个有趣的数学题目。
让我们一起来看看韩信点兵的故事吧。
故事发生在中国历史上的战国时期，韩信是汉代的一位杰出将领，他非常聪明而且善于思考。
有一天，他接到了国王的命令要进行一次大规模的军事行动，需要点兵。
韩信接受了国王的命令，但他想要找到一个快速而且准确的方法来点兵，于是就想到了一个数学题。
韩信让士兵排成三队站在他的面前，这些士兵的数量分别是a，b，c。
韩信告诉士兵们，第一队的士兵比第二队的士兵多两个，而第二队的士兵比第三队的士兵多两个。
这样，韩信就将这个问题转化为了一个数学方程：a = b+2，b = c+2。
通过这两个方程，韩信可以求得士兵的数量。
现在，我们来解这个方程组。
根据第一个方程，我们可以将b用c替代，得到a = c+4；再将第二个方程带入到第一个方程中，得到a = (b-2)+4。
将这两个方程联立起来，得到a = b+2 = (c+2)+4，经简化后得到a-6 = b = c。
由此可以得出结论，士兵的数量应该是一个等差数列，公差为6。
通过这个方程，韩信很快就得出了士兵的数量。
他告诉国王，第一队士兵有a人，第二队士兵有b人，第三队士兵有c人，总共有a+b+c人。
韩信解出的方程是a = b+2 = c+4，他得出的结论是a-6 = b = c。
经过仔细计算后，他告诉国王，士兵的数量分别是10、16、22，总共有48人。
国王听后非常惊讶，因为他之前没有想到可以通过数学来解决这个问题。
他十分佩服韩信的智慧和才能，对他赞誉有加。
从那以后，韩信成为了国王的得力干将，也被后世人们称为“军事奇才”。
这个故事告诉我们，数学不仅仅是一门学科，更是一门实用的工具。
通过数学的思维方式，我们可以在生活中解决许多问题。
这个故事也让我们明白，智慧和才能并不是与生俱来的，只有不断学习和思考，我们才能获得更多的知识和能力。
“韩信点兵法”和中国剩余定理
“韩信点兵法”和中国剩余定理中国古代数学有几项研究曾经远远领先于世界，被西方称为“中国剩余定理”的算法就是其中之一。
定理中蕴含的数学思想，在世界近代数学的很多分支中都可以找到其身影。
韩信是西汉时期的名将，同时也是中国历史上排得上号的著名军事家。
关于他有各种各样或真或假的传说，其中就有一个跟数学有很密切的关系。
据说有一次韩信率领1500人与楚军大战，楚军败退，汉军也伤亡四五百人。
韩信率军回营途中，军士又报告楚军来袭，韩信马上命令整队迎战。
他先按3人一排列队，多出2人；又按5人列队，多出3人；再按7人列队，多出2人。
于是他鼓舞士兵们说，我们一共有1073人，而楚军不足500人，我们一定能战胜楚军。
汉军士气大振，果然大败楚军。
这就是所谓“韩信点兵法”。
在这个故事中关于列队方式有各种不同的说法，但在数学上这都属于数论中的余数问题。
这类问题对于同余理论的发展有重要的推动作用。
中国数学家在余数问题上有很多世界领先的研究成果。
例如古代数学名著《孙子算经》里有一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？”翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。
如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。
“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。
以二百一十减之，即得。
凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。
一百六以上，一百五减之，即得。
”这段文言读起来有点拗口，但如果读完本文下面的内容，再回头看就不难理解了，所以暂时先不解释。
《孙子算经》后的一千多年，十六世纪的数学家程大位在其所著的《算法统宗》里以歌谣的方式给出了这个问题的解法。
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得之。
在歌谣的前三句中，每句给出一组数，分别是(3,70)，(5,21)，(7,15)。
“韩信点兵”问题新解
“韩信点兵”问题新解戴中林【摘要】对“韩信点兵”问题的解法进行新解,给出了较孙子定理简便的求同余式组最小正整数解的一种递推公式解法.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2013(029)006【总页数】4页(P112-115)【关键词】孙子定理;同余式组;最小正整数解;递推公式解法【作者】戴中林【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002【正文语种】中文【中图分类】O156.11 引言问题1 韩信点兵.有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人；求兵数.问题2 黄宗宪《求一术通解》.今有数不知总，以五累减之无剩，以七百十五累减之剩十，以二百四十七累减之剩一百四十，以三百九十一累减之剩二百四十五，以一百八十七累减之剩一百零九，问总数若干？上述问题的解法，中国古代数学家称之为“大衍求一术”，即求解同余式组的问题，一般利用孙子定理［1］来解决.但其解法较为繁琐，且不能直接求出最小正整数解.为此本文给出了一种简便的并能直接求出同余式组最小正整数解的递推公式解法.2 本文的结果首先给出引理.依次求得的最小正整数解时，则解3 “韩信点兵”问题新解4 两种解法之比较本文定理解法孙子定理解法k的个数 n－1个 n个计算k的难易程度计算较为简单m1k1≡a2－a1（mod m2），m1m2k2≡a3－x1（modm3），……m1m2…mn－1kn－1≡an－xn－2（mod mn），其中xi＝a1＋∑计算较为麻烦，尤为mi过多时更甚.m2m3…mnk1≡1（mod m1），m1m3…mnk2≡1（mod m2），……m1m2…mn－1kn≡1（mod mn）.n－1m1…miki.i＝1解的结构可直接得到最小正整数解x＝xn－1，且解x的结构简单易记.x＝a1＋m1k1＋m1m2k2＋…＋m1m2…mn－1kn－1解x的结构复杂，最后还应适当选取k使得解x大于零，才能将其化为最小正整数解.x＝（a1m2m3…mnk1＋a2m1m3…mnk2＋…＋anm1…mn－1kn）－m1…mnk ［参考文献］【相关文献】［1］闵嗣鹤，严仕健.初等数论［M］.北京：人民教育出版社，1957. ［2］杜德利U.基础数论［M］.上海：科学技术出版社，1980. ［3］陈景润.初等数论Ⅰ［M］.北京：科学出版社，1978.。
奥数韩信点兵
[阅读材料]世界名题与小升初之：韩信点兵问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。
韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。
这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。
例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。
求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
韩信点兵类似题解题思路
韩信点兵类型题解题思路题目：站队：如：每队3人多2人，每队5人多4人，每队7人多5人，最少有多少人？如果在1000——1200人之间，这个数是多少？分物体：如：2个2个地分多1个，5个5个地分多3个，9个9个地分多6个，最少多少个？如果在200——400个之间，这个数是多少？等类似题思路：总的数除以A，余几（A′）；除以B，余几（B′）；除以C，余几（C′）方法：1、首先找被A和B整除（也就是AB的最小公倍数），被C 除余1 的数是多少，以AB乘积翻倍去找，直到找到满足被C 除余1用这个数×C′=D2、再找被A和C整除（也就是AC的最小公倍数），被B除余1 的数是多少，以AC乘积翻倍去找，直到找到满足被B除余1用这个数×B′=E3、再找被B和C整除（也就是BC的最小公倍数），被A除余1 的数是多少，以BC乘积翻倍去找，直到找到满足被A除余1用这个数×A′=F4、找ABC最小公倍数是多少（G）5、（D+E+F）÷G=H……KK就是这题的答案（最少的这个数），如果指定在某一范围内，则用G（ABC的最小公倍数）乘以整数倍后加上K（保证得数在指定的范围内的数），就是答案。
例题：一堆苹果，每次拿3个最后剩余2，每次拿7个最后剩3个，每次拿8个最后剩5个，问这堆苹果最少是多少？如果个数在800到1000之间，这堆苹果是多少个？解答：1、首先找被3和7整除（21），被8 除余1 的数（21、42、63、84、105……）是105 105×5=5252、被3和8整除（24），被7除余1 的数是（24、48、72、96、120……）是120120×3=3603、被7和8整除（56），被3除余1 的数是（56、112……）是112112×2=2244、3和7和8两两互质的整数故其最小公倍数是168（525+360+224）÷168=6 (101)101就是最少的苹果数。
【叙事】韩信点兵 有趣的数学题作文600字
【叙事】韩信点兵有趣的数学题作文600字韩信是中国历史上的一位著名将军，他在军事和策略方面都有很高的造诣。
据说，韩信曾经在一次点兵的时候提出了一个有趣的数学题，让人们大开眼界。
有一天，韩信率领他的部队在行军途中，突然遇到了一个森林，需要通过这片森林才能继续前进。
经过勘察后，韩信发现这片森林非常茂密，不仅有很多大型的树木，还有许多潮湿的沼泽地，非常难走。
而且，韩信的部队人数众多，不可能同时通过整片森林，需要分为几个小队分别穿越。
韩信决定让士兵按照一定的规则分成几个小队，他提出了一道数学题：把士兵分成3人一组、5人一组、7人一组，每组正好一样多，而且除了这些组之外，没有剩下的士兵。
这个数学题听上去很复杂，但是韩信却对此信心满满，于是他开始组织士兵分队。
韩信让每个士兵都在地上放下一块石头，然后按照3、5、7的顺序依次数数，每数到7的时候，就把他踢出队伍。
最终，韩信成功地将士兵分成了正好3人一组、5人一组、7人一组的小队，并且没有剩下任何士兵。
这个数学题实际上是一个古老的数论问题，也被称为“韩信点兵问题”。
这个问题最早在中国古代数学著作中出现，后来被古希腊数学家彻底解决。
这个问题的解决方法是通过求解一组关于未知数的线性同余方程组来解决，可以用中国剩余定理来求解。
而韩信使用的方法，实际上就是利用了这个定理的原理。
通过韩信点兵的有趣数学题，我们不仅可以看到古代中国军事家的智慧和策略能力，还可以体会到数学在现实生活中的应用。
数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
正如韩信通过数学的方式来组织士兵分队一样，数学知识在我们的日常生活中也有着重要的作用，我们应该多多关注数学，学会运用数学的方法来解决问题。
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“韩信点兵”问题的一种新解法探索
作者：唐海军 陈佳
来源：《科技资讯》2014年第17期
摘 要：通过研究韩信点兵问题得到关于中国剩余问题的一般解法，加深了对数论中一次
同余式的认识，有助于中学生解决数学竞赛问题以及学习算法。
关键词：剩余问题 同余 解法
中图分类号：O141.2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）06（b）-0255-02
Abstract：Now by studying the question of”Han Xin Calculate the Sum Total of Soldiers”，we
can get the general solution of the Chinese surplus theorem and the new method has deepened our
knowledge of congruences in member theory， It also helps high school students to slove the
problems about math competition and learning algorithm.
Keywords：Chinese Surplus Theorem； Congruence；Solution
已知某个正整数分别被一些小于该数的正整数除所得的余数求原数，这就是我国从古至今
流传很广的“余数问题”[1]或中国剩余问题。它是一类同余问题。这类问题在古代有不少有趣味
的名称，“韩信点兵”也是其中之一[2]。“一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战
一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至
一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来……，韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急
速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；
他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌
人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”[3]。这种解法也可以应用于其它
类似的问题，如《孙子算经》中的物不知数问题[4]。这类问题和解法，一般也称它为孙子定
理，外国人称其为“中国剩余定理”。剩余是数论中的重要概念，剩余类与剩余系及其性质是一
种解决数论问题的重要工具[5]。中国剩余问题不但是中国古代数学中的著名问题，也是现在
中学数学竞赛中一个重要内容。对其解法的一般性研究，不但加深对数论中一次同余方程组的
认识，也便于高中生学习算法、编写程序以及利用研究中提出的定理来解决一些竞赛数学上的
问题。
参考文献
[1] 彭月英.求解“韩信点兵”问题的算法研究[J].广西师范学院学报，1997，14（2）：43-48.
[2] 张兴华.由“韩信点兵”引发的思考[J].数学教育研究，2008（3）：17.
[3] 奚建萍.“韩信点兵”之疑[J].数学之友，2010（20）：65.
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
[4] 李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2005：89-90
[5] 邹明.剩余类与剩余系在竞赛中的应用[J].中等数学，2011（10）：6-10.