余数问题之韩信点兵
韩信点兵
简介：韩信点兵又称为中国剩余定理，乃由于相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，随便抓一把蚕豆粒，假若3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么所抓的蚕豆有多少粒?这类题目看起来是很难计算的，可是中国古时却流传着一种算法，它的名称也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔墙算」；杨辉叫它「剪管术」；而比较通行的名称是「韩信点兵」。
最初记述这类算法的是一本名叫「孙子算经」的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做「大衍求一术」，流传到西洋以后，外国化称它是「中国剩余定理」，在数学史上是极有名的问题。
至于它的算法，在「孙子算经」上就已经有了说明：“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五”，而且还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是：但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法，直到1247年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法：70是5与7最小公倍的2倍，21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。
秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”，求出乘率，就可知乘数，意思是说：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的），5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的），7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的），最后将70、5、15这些数加起来，若超过105，就再减掉105，所得的数便是原来的数了。
根据这个道理，你就可以很容易地把前面一个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
韩信点兵的故事及数学知识
韩信点兵的故事及数学知识
韩信点兵的故事是一个著名的数学问题，它在中国古代数学史上占有重要地位。
这个故事描述的是韩信在点兵时，通过利用余数的方法来判断士兵的数量。
故事背景是秦朝末年，楚汉相争时期。
韩信作为刘邦的部下，需要点兵迎战。
他让士兵们每排站3人，结果多出2名；每排站5人，结果多出3名；每排站7人，结果多出2名。
通过这一系列条件，韩信得知了总共有1073名士兵。
这个问题的核心是利用余数来判断士兵的数量。
当士兵们每排站3人时，多出2人，即士兵总数除以3的余数是2。
同样地，当每排站5人时，多出3人，即士兵总数除以5的余数是3。
当每排站7人时，多出2人，即士兵总数除以7的余数是2。
因此，我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
中国剩余定理是指在整数系中，给定一组线性同余方程（组），存在一个整数n，使得n对这组同余方程（组）的余数均为0。
在这个问题中，我们可以设士兵总数为n，那么n对3、5、7的余数分别为2、3、2。
因此，我们可以得到一组线性同余方程：
n ≡ 2 (mod 3)
n ≡ 3 (mod 5)
n ≡ 2 (mod 7)
通过解这组方程，我们可以得到士兵的总数为1073。
这个故事展示了数学在古代中国的广泛应用。
通过数学方法来解决实际问题，不仅体现了数学的实用性，也展示了古代中国在数学领域的卓越成就。
韩信点兵同余问题
二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
韩信点兵--剩余定理
《孙子算经》
6
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数
之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之
剩8，问物几何？
7
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，… 5， 11， 17，
和余 ，使 a bq r , 0 r b
12
当余 r 0 时，则 a bq ，称为 “ a被b 整除”，或 “ b
a q 法“ b
a ”，这是通常除 整除
” 的另一种表达形式。所以，
带余
除法是通常除法的推广。
13
回到求“用2除余1的数”的问题。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 这 样的数为
x
，则
x 2n1 1
n1
。这里
x
是
被除数， 0 12 2是除数，
是商，1是余，
且
。
14
x 2n1 1(0 1 2), 这就是“带余除
法”的式子。当取n1 0,1, 2,3, 4,
用上式求得的 x 正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， 17，19，21，23，25，…
时，
15
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70， 105，…）寻找被3除余1的数； （2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42， 63，…）寻找被5除余1的数； （3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30， 45，…）寻找被7除余1的数。
奥数韩信点兵
[阅读材料]世界名题与小升初之：韩信点兵问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。
韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。
这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。
例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。
求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
中国剩余定理——韩信点兵
中国剩余定理——韩信点兵民间传说着一则故事韩信点兵。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是神仙下凡、神机妙算。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为韩信点兵.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为中国剩余定理，这是由中国人首先提出的.①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23.它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，.除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，.它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，.一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12整数，整数可以取0，1，2，，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把除以3余2，除以4余1两个条件合并成除以12余5一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：当某数被3除余1对，即写上70（因为70是5和7的倍数，是3的倍数多1），余2时即写702＝140，这140仍是5和7的倍数，是3的倍数余2。
韩信点兵与中国剩余定理(2-2)
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就 是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质， 那么简化就“不失一般性”。
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能 力。
寻找规律的思想
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
来就综合考虑两者，则就是要解联立方
程组
x x
2n1 3n2
1中的x. 2
18
那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法 外，还有没有更加巧妙的解法？
我们考察上边两个方程的特点，发现，两个 “带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。
于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为 0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？
22
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,L
即 x 2520k 1,k 1,2,3,L
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第 一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。
23
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c 除余c－1”的数。
x x
3n1 5n2
2 3
(*)
x 7n3 2
我们先对前几页（*）式作两个方面的简化：一方面是每 次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整 除的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样 得到三组方程。
x x
3n1 5n2
1
(1);
x 7n3
y
y
3n1 5n2
韩信点兵问题的神算法
韩信点兵问题的神解法定理1：一个数除以a余数x，除以b余数y，a、b互质且a<b，求这个数的最小值。
设这个数为z，则z=b(an+x-y)/(b-a)+y (1)或z=a(bn+x-y)/(b-a)+x (2)其中n为使(bn+x-y)/(b-a)为正整数的最小值。
证明：设z=al+x=bm+y 则：al+x-y-am=(b-a)m所以m=(a(l-m)+x-y)/(b-a)将变量l-m用独立变量n代替：m= (an+x-y)/(b-a)将m代入以上等式得到：z=b(an+x-y)/(b-a)+y同理可以证明等式2定理2：在定理1等式中，0<=n<=b-a。
证明：从定理1等式中可知n=l-m，因为a<b，所以l>=m，故n>=0假设n=h(b-a)+k，k<=b-a 代入以上算式z=b(ah(b-a)+ak+x-y)/(b-a)+y=ahb+b(ak+x-y)/(b-a)，由此可知，n可以取值为k。
根据以上两个定理来计算韩信点兵问题，具有两个方面的优点：1、将两个变量合并成了一个变量，从而只需要尝试一个变量即可。
2、这一个变量的范围被两个除数的值界定，需要尝试的最多次数是确定的。
例1：一个数除以9余5，除以13余4，求这个数的最小值列出算式：13*(9n+5-4)/(13-9)+4=13*(9n+1)/4+4显然能让相除结果为整数的n的最小值为3，代入则得：13*(9*3+1)/4+4=95。
例2：一个数除以13余10，除以17余5，求这个数的最小值列出算式：17*(13n+10-5)/(17-13)+5=17*(13n+5)/4+5显然能让相除结果为整数的n的最小值也为3，代入则得：17*(13*3+5)/4+5=192以上算法比传统算法更简便，但依然有缺陷，即如果除数的值比较大时，要获得满足条件的n的值尝试的次数也会相应增大，从而对于大数相除时也会计算量太大，无法手算，用计算机计算也会比较耗时。
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余数问题之韩信点兵
减同余、加同补：
例1、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。
有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。
他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下2个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下2个。
问小林同学买了至少多少个棒棒糖？
例2、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。
有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。
他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下1个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下3个。
问小林同学买了至少多少个棒棒糖？
【练习1】一个两位数除以4余3，除以7余3，问这个两位数至少是多少？
【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？
【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。
这堆糖至少有多少块？
【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？
逐级满足：
例3、1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？
2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？
【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？
【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？
【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。
例4、三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？
三、拓展提高：
1、有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。
那么这筐苹果至少_______个。
2、有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个，那么这箱苹果至少有个。
3、一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为_______。
4、一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3，而所得的三个商的和是570，这个数是多少？
5、一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？
【课后作业】
1、一个数除以2余1，除以3余1，除以4余1，除以5余1，则这个数至少是多少？
2、一个数除以
3、
4、
5、6的余数分别是2、3、4、5，则这个数至少是多少？
3、某类数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则小于50的这类数分别是多少？
4、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？
5、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？
6、三个连续自然数，从小到大依次是8、
7、9的倍数，那么这三个数的和至少是多少？
【挑战题】一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是多少？。