2020上海高中数学学业水平考试模拟试题
上海市2020年中考数学模拟试卷(含答案解析)
2020年上海市中考数学模拟试卷含答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1.下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA 【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；A ． tanA= = ，则 BC=2tanA ，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3. 如图，在△ABC中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B ．C ．D ．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A ．当时，能判断ED∥BC； B. 当时，能判断ED∥BC； C. 当时，不能判断ED∥BC； D. 当时，能判断ED∥BC；故选：C ．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6 厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα=．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡 AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF ∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD 就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB==．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y=（1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
【附20套高考模拟试题】2020届上海市青浦高级中学高考数学模拟试卷含答案
2020届上海市青浦高级中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的两倍，则m =（ ）A ．14 B ．12 C ．4D ．22．如图所示的程序框图所实现的功能是（ ）A ．输入a 的值，计算()2021131a -⨯+ B ．输入a 的值，计算()2020131a -⨯+ C ．输入a 的值，计算()2019131a -⨯+ D ．输入a 的值，计算()2018131a -⨯+3．用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为（ ） A ．479 B ．480 C ．455 D ．4564．已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且0n a >，2*634()n n n S a a n N =+-∈,()()1111n n n b a a +=--，若对任意的n *∈N ,n k T >恒成立，则的最小值为（ ）A ．13B ．19C ．112D ．1155．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )．A．32 B．2 C．23D．36．5y A sin x x R66ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦如图是函数（）（）在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R=∈（）的图象上所有的点A．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．下列命题中：①若命题:p x R∃∈，200x x-≤，则:p x R⌝∀∈，20x x->；②将sin2y x=的图象沿x轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③“0x>”是“12xx+≥”的充分必要条件；④已知()0,0M x y为圆222x y R+=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R+=与该圆相交.其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A．1044 B．1024 C．1045 D．10259．已知双曲线()2222100x ya ba b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c-，，，，若直线2y x=与双曲线的一个交点P的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率为（）A5B．2 C21D2110．设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，则m 的取值集合是（ ） A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 11．在ABC ∆中，3AB =，4BC =，5AC =，过B 点作AC 的垂线，垂足为D ，以BD 为折痕将ABD ∆折起使点A 到达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P BDC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．16πC ．48πD ．48125π12．已知0x y >>，则( ) A ．11x y > B ．11()()22x y> C ．cos cos x y > D ．ln(+1)ln(1)x y >+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市松江区2020届高三下学期模拟质量监控数学试题 Word版含解析
松江区2019学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1.若集合{2,4,6,8}A =，2{|40}B x x x =-≤，则A B =___.【答案】{}2,4 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，得到{|04}B x x =≤≤，再由交集定义，即可得出结果. 【详解】因为2{|40}{|04}B x x x x x =-≤=≤≤，{2,4,6,8}A =， 所以{}2,4AB =.故答案为：{}2,4.【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2.已知复数12z a i =+，223z i =+（i 是虚数单位），若12z z ⋅是纯虚数，则实数a =__. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，先求12z z ⋅，再由复数类型，即可求出结果. 【详解】因为复数12z a i =+，223z i =+， 所以12(2)(23)26(34)z z a i i a a i ⋅=+⋅+=-++， 又12z z ⋅是纯虚数，所以260a -=，解得：3a =. 故答案：3.【点睛】本题主要考查由复数类型求参数的问题，涉及复数的乘法运算，属于基础题型. 3.已知动点P 到定点()1,0的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为___. 【答案】24y x = 【解析】【分析】根据抛物线的定义，即可得出结果.【详解】因为动点P 到定点()1,0的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，由抛物线的定义，可得点P 的轨迹是以()1,0为焦点，以及:1l x =-为准线的抛物线，设抛物线方程为：22(0)y px p =>，则2p =，即所求轨迹方程为：24y x =. 故答案为：24y x =.【点睛】本题主要考查由定义求抛物线方程，属于基础题型.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15374,12a a a a +=+=，则7S =___. 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质，求出35,a a ，再由求和公式，即可求出结果. 【详解】因为15374,12a a a a +=+=， 所以3524,212a a ==，即352,6a a ==， 所以()()17357772822a a a a S ++===.故答案为：28.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和基本量的运算，熟记求和公式与等差数列的性质即可，属于基础题型.5.若8()x a +的展开式5x 中项的系数为56，则实数a =___.【答案】1 【解析】 【分析】根据二项展开式通项公式，写出8()x a +展开式的通项，由题意，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为二项式8()x a +的展开式的通项为：88188r r r r r r r T C x a C a x --+==，令85r -=，则3r =， 又5x 的系数为56，所以33856C a =，解得：1a =.故答案为：1.【点睛】本题主要考查由指定项系数求参数的问题，熟记二项式定理即可，属于基础题型. 6.已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()1*0N 12n n a a n +=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=___. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，先确定数列{}n a 是公比为12的等比数列，根据求和公式，求出1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而可求出其极限. 【详解】因为()1*0N 12n n a a n +=∈，所以()*120N n n a a n +-=∈，即数列{}n a 是公比为12的等比数列， 又11a =，所以数列{}n a 的前n 项和为()1111112211212nnn n a qS q -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭===- ⎪-⎝⎭-，因此111122222lim lim lim n n n n n n S →-∞→∞-→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=.【点睛】本题主要考查求等比数列前n 项和的极限，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型.7.用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是___立方米. 3【解析】 【分析】根据题意，先求出容器的表面积，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由题中数据求出母线与半径，即可得出圆锥的高，再由体积公式，即可得出结果. 【详解】由题意可得，容器的表面积为：21222S ππ=⨯=半圆， 设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，则2l =，圆锥的侧面积为：2rl ππ=，所以1r =， 因此该圆锥的高223h l r =-= 所以，这个圆锥容器的容积为21333V r h π==. 故答案为：33. 【点睛】本题主要考查圆锥体积的相关计算，属于基础题型. 8.若函数()2log (21)xf x kx =++是偶函数，则k =__________．【答案】12- 【解析】由题可知，有()()11f f -=，则223log log 32k k -=+，得12k =-． 9.已知等边ABC 的边长为3P 是其外接圆上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是____.【答案】[]2,6- 【解析】 【分析】以AB 所在直线为x 轴，以AB 垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据题意求得()3,0A -，)3,0B，再求出三角形外接圆方程，设()2cos ,12sin P θθ+[]0,2θπ∈，根据向量数量积的坐标运算，即可求出结果.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 垂直平分线所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为ABC 是边长为23的等边三角形，所以()3,0A -，()3,0B，()0,3C ，则其外接圆的半径为：1232260r =⨯=， 则圆心坐标为()0,1，则外接圆的方程为：()2214x y +-=，因为点P 是()2214x y +-=上的一个动点，设()2cos ,12sin P θθ+[]0,2θπ∈，则()32cos ,12sin PA θθ=----，()32cos ,12sin PB θθ=---，因此()()()()32cos 32cos 12sin 12sin PA PB θθθθ⋅=---+----()22224cos 312sin 4cos 4sin 4sin 24sin 2θθθθθθ=-++=++-=+，因为[]0,2θπ∈，所以[]sin 1,1θ∈-，因此[]4sin 22,6PA PB θ⋅=+∈-. 故答案为：[]2,6-.【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的范围，熟记平面向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型.10.已知函数()cos(2)6f x x π=-，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，总存在2[,]x m n ∈，使得1()f x +2()0f x =，则m n -的最小值为__.【答案】3π 【解析】 【分析】先由题意，根据余弦函数的值域，求出()111,2f x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再由题意，得到2()f x 的取值范围应包含11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；根据预先函数的性质，得到为使m n -取最小值，只需函数()cos(2)6f x x π=-在[,]x m n ∈上单调，分函数单调递增与单调递减两种情况，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为1[,]44x ππ∈-，所以122,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因此()111cos 2,162f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；则()111,2f x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦； 因为对于任意的1[,]44x ππ∈-，总存在2[,]x m n ∈，使得1()f x +2()0f x =， 所以2()f x 的取值范围应包含11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的性质，为使m n -取最小值， 只需函数()cos(2)6f x x π=-在[,]x m n ∈上单调，若函数()cos(2)6f x x π=-在[,]x m n ∈上单调递增；则()cos(2)161()cos(2)62f m m f n n ππ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，所以22,622,63m k k Z n k k Zππππππ⎧-=-+∈⎪⎪⎨⎪-=-+∈⎪⎩，即5,12,12m k k Z n k k Z ππππ⎧=-+∈⎪⎪⎨⎪=-+∈⎪⎩，则m n -的最小值为512123πππ-+=； 若函数()cos(2)6f x x π=-在[,]x m n ∈上单调递减；则1()cos(2)62()cos(2)16f m m f n n ππ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩，所以22,6322,6m k k Z n k k Zππππππ⎧-=+∈⎪⎪⎨⎪-=+∈⎪⎩，即,47,12m k k Z n k k Zππππ⎧=+∈⎪⎪⎨⎪=+∈⎪⎩，则m n -的最小值为74123πππ-=； 故m n -的最小值为3π. 【点睛】本题主要考查余弦三角函数的应用，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型. 11.已知集合12{(,,)|1,1,2,,}n n i A x x x x i n ==±=，元素1(1,1,,1)n =成为集合n A 的特征元素，对于n A 中的元素12(,,,)n a a a a =与12(,,,)n b b b b =，定义：1122()n f a b a b a b ⊗=⨯+⨯n n a b ++⨯.当9n =时，若a 是集合9A 中的非特征元素，则99(1)1f a ⊗=的概率为___.【答案】1873【解析】 【分析】根据题意，先得到991239(1)f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅，分别确定(1,2,3,...,9)i a i =中有“1个1，2个1，3个1，4个1，5个1，6个1，7个1，8个1，9个1”所对应的基本事件个数，确定99(1)1f a ⊗=所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】由题意，当9n =时，129(,,,)a a a a =，91(1,1,,1)=则991239(1)f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅， 又12{(,,)|1,1,2,,}n n i A x x x x i n ==±=，所以(1,2,3,...,9)i a i =取值只能为1或1-；当(1,2,3,...,9)i a i =中有1个1时，991239(1)7f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=-，此时共包含19C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有2个1时，991239(1)5f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=-，此时共包含29C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有3个1时，991239(1)3f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=-，此时共包含39C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有4个1时，991239(1)1f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=-，此时共包含49C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有5个1时，991239(1)1f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=，此时共包含59C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有6个1时，991239(1)3f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=，此时共包含69C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有7个1时，991239(1)5f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=，此时共包含79C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有8个1时，991239(1)7f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=，此时共包含89C 个基本事件；当(1,2,3,...,9)i a i =中有9个1时，991239(1)9f a a a a a =+++⋅⋅+⊗⋅=，此时共包含99C 个基本事件；因此99(1)1f a ⊗=的概率为591234567899999999999126182173C P C C C C C C C C C ===++++++++-. 故答案为：1873. 【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，涉及组合数的运算，属于常考题型.12.已知函数20()log ()0a x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩（a R ∈且a 为常数）和()g x k =（k ∈R 且k 为常数），有以下命题:①当k 0<时，函数()()()F x f x g x =-没有零点；②当0x <时，若2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同的零点123,,x x x ，则1231x x x ⋅⋅=-；③对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点1234x x x x <<<，且1243||,||,||,||x x x x 成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）【答案】② 【解析】 【分析】①根据题意，将函数的零点个数问题，转换为对应函数图像的交点个数问题，分别判断0x <，0x >两种情况下，函数零点的个数情况，即可判断出结果；②根据题意，先令()t f x =，画出函数2log ()y x =-的图像，结合函数零点个数以及函数图像，判断方程20t bt c ++=根的分布情况，以及方程()t f x =根的个数情况，即可判断出结果；③根据题意，只需判断出0x >时，函数零点个数不一定是2个，即可得出结果.【详解】①因为20()log ()0a x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩，()g x k =，由()()()0F x f x g x =-=得，函数()F x 的零点，即是函数()f x 图像与直线()g x k =交点的横坐标， 当0x <时，2()log ()0f x x =-≥恒成立，因为k 0<，所以0x <时，函数()()()0F x f x g x =-=显然没有零点；当0x >时，由()g x k =得ax k x+=，即20x kx a -+=，即2x kx a -=-， 因为k 0<，所以20x kx ->恒成立，若0a ->时，函数()()()0F x f x g x =-=可能有零点；若0a -<，函数()()()0F x f x g x =-=没有零点；故①错；②当0x <时，因为2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同零点，令()t f x =，则关于t 的方程20t bt c ++=有两个不同的实数解，记作12,t t ，不妨令12t t <； 做出函数2log ()y x =-的图像如下：由图像可得：当0t =时，2log ()y x =-与y t =有1个交点； 当0t >时，2log ()y x =-与y t =有2个交点； 因为函数2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同零点，则1()f x t =有1个根，记作1x ；2()f x t =有2个根，记作23,x x （不妨令23x x >）； 所以只需10t =，20t >，因此21log ()0x -=，22232log ()log ()x x t -=-=，所以11x =；222t x -=，232tx --=，因此1231x x x ⋅⋅=-；故②正确；③由()()()0F x f x g x =-=，得()()f x g x =；所以函数()y f x =与()g x k =图像交点个数，即为函数()()()F x f x g x =-的零点个数； 由②中图像可知：当0k >时，()y f x =与()g x k =在(),0-∞上有2个交点，即函数()()()F x f x g x =-在(),0-∞上有2个零点；当0x >时，若0a ≤，则函数()af x x x=+在()0,∞+上单调递增，因此函数()y f x =与()g x k =在()0,∞+上最多只有1个交点，即函数()()()F x f x g x =-在()0,∞+上最多只有1个零点；不满足存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点； 若0a >，由基本不等式可得：()2af x x a x=+≥0x >时，min ()2f x a = 若0k a <≤()y f x =与()g x k =在()0,∞+上最多只有1个交点，也不满足对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点.故③错. 故答案为：②.【点睛】本题主要考查判断命题的真假，考查分段函数的应用，考查函数零点的应用，灵活运用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则OP 的最小值为( )A.2223 D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求OP 的最小值，只需OP 与直线20x y -+=垂直，再由点到直线距离公式，即可求出结果.【详解】由题意，为使OP 取最小值，只需OP 与直线20x y -+=垂直； 由点到直线距离公式可得：()min 222211OP ==+-故选：B.【点睛】本题主要考查求直线上的动点到定点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于基础题型.14.若1x a -≤成立的一个充分不必要条件是12x ≤≤，则实数a 的取值范围是( ) A. 12a ≤≤B. 1a ≥C. 2a ≤D. 1a ≥或2a ≤【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式1x a -≤得11a x a -≤≤+，根据题意，得到[]1,2是[]1,1a a -+的真子集；进而可求出结果.【详解】由1x a -≤得11a x a -≤≤+，因为1x a -≤成立的一个充分不必要条件是12x ≤≤， 所以[]1,2是[]1,1a a -+的真子集，因此1112a a -≤⎧⎨+>⎩或1112a a -<⎧⎨+≥⎩，解得：12a ≤≤.故选：A.【点睛】本题主要考查由命题的充分不必要条件求参数的问题，属于基础题型.15.在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为( )A. [,]43ππB. 2arctan 22⎡⎢⎣C. [2]4πD. 2π[arctan]22【答案】C 【解析】 【分析】先过点Q 作QO AD ⊥于点O ，连接OP ，根据题意，得到QPO ∠即为直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ，设正方体棱长为2，设BP x =()02x ≤≤，推出2tan 2(1)2x θ=-+进而可求出结果.【详解】过点Q 作QO AD ⊥于点O ，连接OP ，因为四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体，所以易得QO ⊥平面ABCD ， 因此QPO ∠即为直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ，设正方体棱长为2，设BP x =()02x ≤≤，则2QO =，2AP x =-，因为,P Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，所以1AO AQ BP x ===， 因此22222(2)244OP AO AP x x x x =+=+-=-+，所以22tan 2442(1)2QO OP x x x θ===-+-+， 因为02x ≤≤，所以[]22(1)22,4x -+∈，则2tan 1,22(1)2x θ⎡⎤=∈⎣⎦-+，因此arctan 24πθ≤≤.故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型. 16.已知实数12100,,,[1,1]x x x ∈-，且12100x x x π+++=，则当22212100x x x +++取得最大值时，12100,,,x x x 这100个数中，值为1的个数为( )A. 50个B. 51个C. 52个D. 53个【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到，为使22212100x x x +++取得最大值，只需()21,2,3,...,100i x i =中取1的数最多，再由12100x x x π+++=得到22212100x x x +++最大时，()21,2,3,...,100i x i =中只能有99个数取1，假设2100,,x x 中有m 个1，再由题意列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为实数12100,,,[1,1]x x x ∈-，为使22212100x x x +++取得最大值，只需()21,2,3,...,100ix i =中取1的数最多；又12100x x x π+++=，所以()21,2,3,...,100i x i =不能都取1；因此22212100x x x +++最大时，()21,2,3,...,100i x i =中只能有99个数取1，不妨令11x ≠±，则222100231x x x ====，假设2100,,x x 中有m 个1，则有99m -个1-，所以()()121001991x x x x m m π++-++=⨯-+=，即1299x m π=+-，因为1[1,1]x ∈-，所以12199m π--+≤≤，即495022m ππ+≤≤+，所以51m =. 故选：B.【点睛】本题主要考查由一组数的平方和取最值求变量取值问题，属于不等式的拓展应用，属于中档试题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AP AB AD ===，E是侧棱的中点.（1）求异面直线AE 与PD 所成的角； （2）求点B 到平面ECD 的距离 【答案】（1）3π；（225. 【解析】 【分析】（1）连接BD ，AC ，交点记作O ，连接EO ，根据题意，得到AEO ∠即为异面直线AE 与PD 所成的角，或所成角的补角，由题中数据，确定AEO △为等边三角形，即可得出结果； （2）取AB 中点为N ，连接EN ，NC ，根据等体积法求解，即可得出结果. 【详解】（1）连接BD ，AC ，交点记作O ，连接EO ， 因为四棱锥P ABCD -底面是正方形，所以O 为BD 的中点， 又E 是PB 的中点，所以//EO PD ，因此AEO ∠即为异面直线AE 与PD 所成的角，或所成角的补角，因PA ⊥底面ABCD ，2AP AB AD ===，所以2211222AE PB AP AB ==+=2211222EO PD AP AD ==+= 2211222AO AC AB AD ==+=因此AEO △为等边三角形，所以3AEO π∠=，即异面直线AE 与PD 所成的角为3π； （2）取AB 中点为N ，连接EN ，NC ，则//EN PA ，112EN PA ==因为PA ⊥底面ABCD ，所以EN ⊥底面ABCD ； 又225NC BN BC =+226EC EN NC =+=； 同理6ED =，所以2226642cos 2123ED EC CD DEC ED EC +-+-∠===⋅，因此5sin DEC ∠；所以1sin 52CDE S ED EC DEC =⋅⋅∠设点B 到平面ECD 的距离为d ， 由E BCD B CDE V V --=得1133BCDCDESEN S d ⋅=⋅，所以12212525BCD CDE S EN d S ⨯⨯⨯⋅===， 即点B 到平面ECD 25.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，求点到面的距离，灵活运用几何法求解即可，属于常考题型.18.已知函数2()2cos 3cos f x x x x =+. （1）求()f x 的最大值和最小正周期T ；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知()32Af =，且1a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）最大值为3，T π=；（23【解析】 【分析】（1）先将函数化简整理，得到()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质， 即可求出最大值与最小正周期； （2）先由()32A f =，求出3A π=；再根据余弦定理与基本不等式，得到1bc ≤，由三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为2()2cos 23cos cos 21322sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取得最大值3；最小正周期22T ππ==；（2）因()32A f =，由（1）得2sin 136A π⎛⎫⎪⎝+⎭+=，即2,62A k k Z πππ+=+∈， 所以2,3A k k Z ππ=+∈；又A三角形内角，所以3A π=；因为1a =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc bc bc bc =+-≥-=， 当且仅当b c =时，取等号； 所以133sin 2ABCSbc A ==≤； 即ABC 3【点睛】本题主要考查求三角函数的最值与最小正周期，考查求三角形面积的最值；熟记正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式等即可，属于常考题型.19.新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供[]0(0),1x x ∈（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到12(6)4t k x =⋅-+（万件），其中k 为工厂工人的复工率[]0.)1(5,k ∈，A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++（万元）. （1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数；（2）对任意的[]0,10x ∈（万元），当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）【答案】（1）3601807204ky k x x =---+；（2）0.58k ≥. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由利润等于收入减去成本，即可列出函数关系； （2）根据（1）的结果，由题意，只需36018072004ky k x x =---≥+在[]0,10x ∈上恒成立，即()()72041802x x k x ++≥+在[]0,10x ∈上恒成立，根据函数单调性，求出()()72042x x x +++的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为A 公司生产t 万件防护服还需投入成本()20850x t ++，政府以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，且提供x （万元）的专项补贴， 所以，A 公司生产防护服的利润121280(6)20850(6)44y x k x k x x ⎡⎤=+--++-⎢⎥++⎣⎦3601807204kk x x =---+； （2）为使A 公司不产生亏损，只需利润36018072004ky k x x =---≥+在[]0,10x ∈上恒成立；即()()72041802x x k x ++≥+在[]0,10x ∈上恒成立；因为()()()()()2272047220212748801272202222x x x x x x x x x x x ++++++++===+++++++，令2t x =+，因为[]0,10x ∈，所以[]2,12t ∈，记()12720g t t t=++， 任取12212t t ≤<≤， 则()()()()2112121212121212127207207t t g t g t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-=++-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()1212127t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为120t t -<，124144t t <<，所以12121234t t <=，即121270t t ->， 所以()12121270t t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即()()12g t g t <，所以函数()12720g t t t=++在[]2,12t ∈上单调递增； 因此()()max 12105g t g ==，即()()72042x x x +++的最大值为105；所以只需180105k ≥，即0.58k ≥.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，熟记函数的单调性，会根据单调性求函数最值是解题的关键，属于常考题型.20.如图，已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>经过圆N ：22(1)4x y ++=与x 轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值；（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M 于A 、B 两点，交圆N 于C 、D 两点，且满足,AC DB =求证:线段AB 的中点E 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）3222+；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆与坐标轴的交点坐标，再根据题意，即可求出椭圆方程； （2）先由椭圆方程，设)3,sin Pθθ，根据两点间距离公式，先求出点P 到圆N 圆心的距离，根据圆的特征，得到max max PQ PN r =+（其中r 为圆N 的半径），即可求出结果； （3）先设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()0x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到其中点坐标为223,33nmn m m -⎛⎫⎪++⎝⎭；再由题意，得到NE AB ⊥，推出1NE AB k k ⋅=-，求出m 与n 的关系式，进而可求出结果.【详解】（1）因为圆N ：22(1)4x y ++=，令0x =，则1y =或3y =-，所以圆N 与y 轴正半轴的交点为()0,1；令0y =，则3x =±N 与x 轴的两个交点为()3,0，因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过圆22(1)4x y ++=与x 轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点，所以2231a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆M的方程为：2213x y +=；（2）由（1）可设)3,sin P θθ，则点)3,sin Pθθ到圆22(1)4x y ++=的圆心的距离为：()2222193cos sin 12cos 2sin 22sin sin 42PN θθθθθθ⎛⎫=++=++=--++ ⎪⎝⎭2199322sin 2222θ⎛⎫=--+≤=⎪⎝⎭， 当且仅当1sin 2θ=时，等号成立； 又点Q 为圆N 上的动点，由圆的性质可得：max max3222PQ PNr =+=+（其中r 为圆N 的半径）； （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()0x my n m =+≠，由2213x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()2233my n y ++=， 整理得：()2223230m y mny n +++-=，所以12223mn y y m -+=+，所以()2121222262233m n nx x m y y n n m m -+=++=+=++， 所以AB 中点E 的坐标为：223,33nmn m m -⎛⎫⎪++⎝⎭； 因为直线AB 交圆N 22(1)4x y ++=于点C ，D ，且AC DB =， 因此E 也是CD 的中点；根据圆的性质可得：NE AB ⊥，所以1NE ABk k ⋅=-，即22113133mnm n m m -++⋅=-+，整理得232m mn +=-， 所以31,22E m ⎛⎫-⎪⎝⎭，因此点E 在定直线12y =上.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，求两动点距离的最值问题，以及证明点在定直线上；属于常考题型，计算量较大.21.已知函数()f x 的定义域为D ，若存在实常数λ及(0)a a ≠，对任意x D ∈，当x a D +∈且x a D -∈时，都有()()()f x a f x a f x λ++-=成立，则称函数()f x 具有性质(),M a λ.（1）判断函数2()f x x =是否具有性质(),M a λ，并说明理由；（2）若函数()sin2sin g x x x =+具有性质(),M a λ，求λ及a 应满足的条件；（3）已知函数()y h x =不存在零点，当x ∈R 时具有性质1(,1)M t t+（其中0t >，1t ≠），记*()(N )n a h n n =∈，求证:数列{}n a 为等比数列的充要条件是21a t a =或211a a t =. 【答案】（1）不具备，理由见解析；（2）2λ=时，2(a k k Z π=∈且0)k ≠；1λ=-时，22()3a k k Z ππ=±+∈；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先假设函数2()f x x =具有性质(),M a λ，根据题意求出2a λ=⎧⎨=⎩，与0a ≠矛盾，即可判断出结果；（2）根据题意，得到2sin 2cos22sin cos sin 2sin x a x a x x λλ+=+，推出2cos 22cos a a λλ=⎧⎨=⎩，求解，即可得出结果；（3）根据题意，先得到*0(N )n a n ≠∈，111n n n a a t a t -+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义，以及数学归纳法，分别证明必要性和充分性，即可证明结论成立.【详解】（1）若函数2()f x x =具有性质(),M a λ；则()()()f x a f x a f x λ++-= 即()()2222222x a x a x a x λ++-=+=，所以2220a λ=⎧⎨=⎩，即20a λ=⎧⎨=⎩，与0a ≠矛盾，所以函数2()f x x =不具有性质(),M a λ； （2）若函数()sin2sin g x x x =+具有性质(),M a λ， 则()()()g x a g x a g x λ++-=，即()()()()sin 22sin sin 22sin sin 2sin x a x a x a x a x x λλ++++-+-=+， 即2sin 2cos22sin cos sin 2sin x a x a x x λλ+=+，所以2cos 22cos a a λλ=⎧⎨=⎩，因此cos2cos a a =，即22cos cos 10a a --=，解得：cos 1a =或1cos 2a =-；所以 2λ=或1λ=-； 当2λ=时，cos 1a =且0a ≠，所以2(a k k Z π=∈且0)k ≠； 当1λ=-时，1cos 2a =-，所以22()3a k k Z ππ=±+∈； （3）因为函数()y h x =在x ∈R 时具有性质1(,1)M t t+（其中0t >，1t ≠），所以()()()111x h x t h h x t ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，又函数()y h x =不存在零点，*()(N )n a h n n =∈，所以*0(N )n a n ≠∈，111n n n a a t a t -+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭；下面证明必要性：若数列{}n a 为等比数列，则2132a a a =，又1321a t a t a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以122211a t a t a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 因此22221111t a a a at ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以221110a a t a a t ⎛⎫⎛⎫--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即21a t a =或211a a t =； 接下来证明充分性：若21a t a =，因为1321a t a t a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以23121a t a a t a +=+，因此23a t a =； 猜想：()1*nn N a a t n +=∈； 用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，21a t a =显然成立； ②假设()2n k k =≥时，()1*n n N a a t n +=∈成立，1k ka t a +=成立； 则当1n k =+时，由111n n n a a t a t -+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭得121k k k a t a t a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以1121k k k k a a t a a t +++=++，即1211k k t a t a t +++=+，所以21k k a a t ++=， 即1n k =+时，()1*nn N a a t n +=∈也成立， 由①②可得，()1*nn N a a t n +=∈恒成立；即数列{}n a 为公比是t 的等比数列； 同理：211a a t =时，数列{}n a 为公比是1t的等比数列； 综上，数列{}n a 为等比数列的充要条件是21a t a =或211a a t =.【点睛】本题主要考查函数性质的拓展，以及充要条件的证明，涉及等比数列的概念，以及余弦函数的性质等，难度较大.。
2020年上海崇明县中华高级中学高三数学理模拟试题含解析
2020年上海崇明县中华高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f（x）=，若f（x）=3，则x的值是（）A．1 B．1或C．1，或±D．参考答案：D考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x的方程，通过求解相应的方程得出所求的字母x的值．或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段确定出字母x的值．解答：解：该分段函数的三段各自的值域为（﹣∞，1]，[O，4）．[4，+∞），而3∈[0，4），故所求的字母x只能位于第二段．∴，而﹣1＜x＜2，∴．故选D．点评：本题考查分段函数的理解和认识，考查已知函数值求自变量的思想，考查学生的分类讨论思想和方程思想．2. 设，则A. B. C. D.参考答案：C3. 方程有解，则m的取值范围为（）A．0＜m ≤1 B．m ≥ 1 C．m ≤－1 D．0 ≤m ＜1参考答案：B4. 已知条件；条件 ,若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：A5. 复数，（i为虚数单位），z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】先将化简运算得到，再由对应点的坐标得出结果.【详解】由题意知，其对应点的坐标为（，），在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 复数(为虚数单位)的共轭复数是( )A．B．C． D．参考答案：C 略7. 已知函数，则下列说法错误的是（）A. 的最小正周期是πB. 关于对称C. 在上单调递减D. 的最小值为参考答案：B【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）sin（2x），由正弦函数的图象和性质一一判断选项即可．【详解】∵f（x）＝sin2x+sin x cos xsin2xsin（2x）．∴最小正周期Tπ，故A正确；最小值为故D正确；x时，2x，在上单调递减，故C正确；x=时，f（）=sin=，此时函数值不是最值，∴不关于对称，故B错误；故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)= f(b)= f(c)，则abc的取值范围是（）A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24) ks5u参考答案：C略9. 某几何体的三视图如图所示，当这个几何体的体积最大时，以下结果正确的是A. B. C. D.参考答案：D略10. 如果f（x）在[﹣5，5]上是奇函数，且f（3）＜f（1），则（）A．f（﹣1）＜f（﹣3）B．f（0）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．f（﹣3）＜f（﹣5）参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意结合计算的性质和不等式的性质可得．【解答】解：∵f（x）在[﹣5，5]上是奇函数，且f（3）＜f（1），∴﹣f（﹣3）＜﹣f（﹣1），故f（﹣3）＞f（﹣1），故选：A．【点评】本题考查奇函数的性质，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列满足，且对任意的正整数都有，若数列的前项和为，则= 。
高中数学学业水平考试试题(附答案)
高中数学学业水平考试试题(满分：100 时量：120分钟)一、选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1、如果集合{}1->=x x P ，那么A ．P ⊆0B ．{}P ∈0C ．P ∈∅D ．{}P ⊆02、65cosπ的值等于 A ．23 B ．23- C ．21 D ．21- 3、数列0，0，0，0…，0，…A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列4、下列函数中与y=x 是同一个函数的是A ．2)(x y = B ．xx y 2= C ．33x y = D ．2x y =5、点（0，5）到直线y=2x 的距离是A ．25B ．5C ．23D ．256、直线x+2y+3=0的斜率和在y 轴上的截距分别是 A ．21-和－3 B ．21和－3 C ．21-和23 D ．21-和23-7、已知下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行③垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行 ④垂直于同一平面的两条直线平行其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、若x f x=)10(，则f （3）等于 A ．lg3 B ．log 310 C ．103 D ．3109、函数x y -=112的值域为 A ．{}0>y y B ．{}10≠>y y y 且C ．RD ．{}0≠∈y R y y 且10、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为 A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°11、满足a=4，b=3和A=45°的△ABC 的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个12、若log 2a+log 2b=6，则a+b 的最小值为 A ．62 B ．6 C ．28 D ．1613、关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是 A ．0≤a ≤1 B ．a ≤1 C ．a ＜1 D ．a ≤1且a ≠014、83)x12x (-的展开式中的常数项为A ．–28B ．–7C ．7D ．2815、平行于底面的平面截棱锥所得截面的面积与底面面积之比为1:2，则此截面把侧棱分成的两线段的长度比为A ．1:2B ．1:2C ．)12(-:1D ．1:416、点A 分有向线段所成的比为21-，则点B 分有向线段所成的比为A ．21 B ．2 C ．1 D ．–117、将函数)6x 21cos(y π+=的图象经过怎样的平移，可以得到函数x 21cos y =的图象A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向左平移12π个单位 18、若不等式02<++b ax x 的解为1＜x ＜2，则不等式ax 2+bx+1＜0的解为 A ．1＜x ＜3B ．x ＞1或x ＜–31 C ．–31＜x ＜1 D ．x ＜–1或x ＞31 19、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法种数为 A ．144B ．24C ．36D ．12020、圆心在曲线x 2=2y(x>0)上，并且与抛物线x 2=2y 的准线及y 轴都相切的圆的方程是A ．041y 2x y x 22=---+ B ．01222=+-++y x y xC ．01222=+--+y x y xD ．041y x 2y x 22=+--+二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上。
2020年上海市东方曹杨外国语高级中学高一数学理模拟试卷含解析
2020年上海市东方曹杨外国语高级中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知O为锐角△ABC的外接圆的圆心，，若，则m的值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】取的中点的中点，连接，利用向量的数量积的计算公式，可得，再由正弦定理，得到，且，代入得，最后利用三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】如图所示，取中点的中点，连接，则；所以，所以由，设的外接圆半径为，则，由正弦定理得，所以，且，代入可得，所以，又因为，可得，即，故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆圆心的概念，向量的数量积的计算公式，以及三角函数恒等变换和正弦函数的性质的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于（）。
A．72 B． 66 C．60 D．30参考答案：A3. 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A. B. C. D.参考答案：D初始条件：，第1次判断0<8，是，第2次判断2<8，是，第3次判断4<8，是，第4次判断6<8，是，第5次判断8<8，否，输出;故选D.4. 函数的图象是（）参考答案：A略5. 设集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤4}，能表示集合P到集合Q的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②参考答案：C【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义，在集合P中的任一元素在集合Q中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案．【解答】解：由函数的定义知①中的定义域不是P，④中集合P中有的元素在集合Q中对应两个函数值不符合函数定义，故不对，只有②③成立．故选C．6. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．参考答案：D【考点】71：不等关系与不等式．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A 不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．7. 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若,则角C=（）A. B.C. D.参考答案：B试题分析：，由正弦定理可得即；因为，所以，所以，而，所以，故选B.8. 已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围（）.A．(0, ) B．C．（0,1） D ．参考答案：C略9. 设A={}, B={}, 下列各图中能表示集合A到集合B的映射是参考答案：D略10. 设集合，，若，则．参考答案：7略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 小米和兰亭定于早10点至11点在钟楼书店门口见面，为避免浪费时间，约定先到者只等10分钟，他们见面的概率为____________.参考答案：略12. 式子的值为．参考答案：5略13. 若函数有两个零点，则实数b的取值范围是__________．参考答案：(0,2)本题主要考查指数与指数函数．因为可知当时，函数与函数的图象有两个交点，即实数的取值范围是．故本题正确答案为．14. 一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为（万元）（用数字作答）．参考答案：【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】根据一批设备价值1万元，，每年比上一年价值降低50%，可得每年设备的价值，组成为公比的等比数列，由此可得结论．【解答】解：∵一批设备价值1万元，，每年比上一年价值降低50%，∴3年后这批设备的价值为（1﹣50%）3=故答案为：【点评】本题考查等比数列模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15. 计算：①=②log35﹣log315=③=④=⑤= ．参考答案：①= 19②log35﹣log315= ﹣1③=④= 32⑤= ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）==19，（2）log35﹣log315=log35﹣log33﹣log35=﹣1，（3）=，（4）=32，（5）=．故答案为：（1）19；（2）﹣1；（3）；（4）32；（5）．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算，考查计算能力．16. 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。
上海市南中学2020年高一数学理模拟试题含解析
上海市南中学2020年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则( )A． B． C． D．参考答案：B2. 下列函数中与函数表示同一函数的是（）A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知集合｜，则下列结论正确的是（）A．B． C． D．集合M是有限集参考答案：A4. （5分）如下图所示，对应关系f是从A到B的映射的是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：映射．专题：常规题型．分析：根据映射的定义，只要把集合A中的每一个元素在集合B中找到一个元素和它对应即可；据此分析选项可得答案．解答：如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．故D构成映射，A、不能构成映射，因为前边的集合中的元素4与9在后一个集合中有两个元素和它对应，故此对应不是映射．B与C中的元素0在后一个集合中没有元素和它对应，故B与C中的对应不是映射．故答案为：D点评：此题是个基础题．考查映射的概念，同时考查学生对基本概念理解程度和灵活应用．5. 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（-∞，1）∪（9，+∞） B．（1，9） C．（-∞，-2] D．（-∞，-2）参考答案：B6. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是( )．参考答案：A7. 当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】利用指数函数以及对数函数的图象与性质判断即可．【解答】解：当0＜a＜1时，函数y=是增函数，过（0，1），函数y=log a x是减函数，过（1，0）．由题意可得两个函数的图象是选项C．故选：C8. 的定义域是，且为奇函数, 为其减区间，若,则当时, 取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D9. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A. B. C. D.参考答案：D10. 已知直线l1；2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1⊥l2，则a的值为（）A. 8B. 2C.D. －2参考答案：D试题分析：根据两直线平行的条件，可得，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.两直线平行的条件.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆的方程为，则圆心坐标为，半径为 .参考答案：2略12. 已知{a n }是递增数列，且对任意n∈N *都有a n ＝n 2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是_______________．参考答案：13. 若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。
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2020上海高中数学学业水平考试模拟题
1.复数34i（i
为虚数单位）的实部是_____________.
2.
若2log(1)3x，则x____________.
3.
直线1yx与直线2y的夹角为_____________.
4.
函数()2fxx的定义域为______________.
5.三阶行列式135400121中，元素5
的代数余子式的值为________________.
6.
函数1()fxax的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a______________.
7.在ABC中，若30A，45B，6BC，则AC
_______________.
8.4
个人排成一排照相，不同排列方式的种数为______________（结果用数值表示）.
9.无穷等比数列{}na的首项为2
，公比为13，则{}na的各项的和为_____________.
10.
若2i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程250xax的一个虚根，
则a_____________.
11.
函数221yxx在区间[0,]m上的最小值为0，最大值为1，则实数m的取值范围
是_________________.
12.
在平面直角坐标系xOy中，点,AB是圆22650xyx上的两个动点，且满足
||23AB，则||OAOB
的最小值为_______________.
13.
满足sin0且tan0的角属于（）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
14.半径为1
的球的表面积为（）
（A）（B）
4
3
（C）2（D）
4
15.
在6(1)x的二项展开式中，2x项的系数为（）
（A）2（B）6（C）15（D）
20
16.
幂函数2yx的大致图像是（）
y()AO1x1y()CO1x1y
()D
O
1
x
1
y
()B
O1x1
17.已知向量(1,0)a，(1,2)b，则向量b在向量a
方向上的投影为（）
（A）1（B）2（C）(1,0)（D）
(0,2)
18.
设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（）
（A）直线l平行于直线m（B）直线l与直线m异面
（C）直线l与直线m没有公共点（D）直线l与直线m不垂直
19.
在用数学归纳法证明等式212322nnn*(N)n的第(ii)步中，假设
nk时原等式成立，那么在1nk
时，需要证明的等式为（）
（A）
22
12322(1)22(1)(1)kkkkkk
（B）
2
12322(1)2(1)(1)kkkk
（C）
22
1232212(1)22(1)(1)kkkkkkk
（D）
2
1232212(1)2(1)(1)kkkkk
20.
关于双曲线221164xy与221164yx的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）
（A）焦距相等，渐近线相同（B）焦距相等，渐近线不相同
（C）焦距不相等，渐近线相同（D）焦距不相等，渐近线不相同
21.
设函数()yfx的定义域为R，则“(0)0f”是“()yfx为奇函数”的（）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
22.
下列关于实数ab、的不等式中，不恒成立的是（）
（A）222abab（B）
22
2abab
（C）22abab（D）
2
2
ab
ab
23.设单位向量1e与2e既不平行也不垂直，对非零向量1112axeye、2122bxeye
有
结论：○1若12210xyxy，则//ab；○2若
1212
0xxyy
，则ab. 关于以上两个
结论，正确的判断是（）
（A）○1成立，○2不成立（B）○1不成立，○2成立
（C）○1成立，○2成立（D）○1不成立，○2不成立
24.
对于椭圆22(,)22:1 (,0,)abxyCababab. 若点00(,)xy满足2200221xyab. 则称该
点在椭圆
(,)abC内，在平面直角坐标系中，若点A在过点(2,1)的任意椭圆(,)ab
C
内或椭
圆
(,)ab
C
上，则满足条件的点A构成的图形为（）
（A）三角形及其内部（B）矩形及其内部