2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲-数学三

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考研数学(数学三)必备资料

考研数学（数学三）必备资料高等数学：同济五版线性代数：同济六版概率论与数理统计：浙大三版推荐资料：1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类)2、李永乐《经典400题》3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》方案2《基础过关660》李永乐。

(做过三遍)这本书很好，别看有基础二字你就觉得简单，所谓基础是说里面的题都是填空选择，他基本上穷尽了填空选择所有能见到的题型，做好了考研时填空选择不会出什么问题的。

这本书我做了三遍，不过当然不是每一遍都是从头到尾做，一会我会告诉你怎么做。

《考研数学焦点概念与性质》徐兵(做过两遍)这本书大家可能听的比较少，这本书是我在看过之后觉得确实不错才买的(我一般很少买这种大家没有公认的书)，我觉得可能是因为大部分人不是很在意基础，所以这本书才没有想其他书一样流行，它的高数部分相当的好，会把高数里面大家容易弄错的概念性质以判断的形式给出，后面给出详细的解释，并且举一反三，如果你想打下坚实的基础，强烈建议你看看，里面最精华的属高数部分，如果没时间线代和概率部分就别看了。

《复习全书》李永乐(做过三遍)关于复习全书和复习指南那本好的争论一直就没有停过，不过我觉得如果是数三，全书要胜过指南一筹，而且很多第一年用复习指南没考上，第二年换复习全书的人都会这么说，全书整体上要好一点。

至于数一数二用哪本，我没经历过，也不敢妄下结论。

关于陈文灯的《复习指南》我在后期的时候简单选读过，这本书里面有两部分大家一定要看：分部积分的表格法和微分方程的算子法，太牛了，以至于我用过之后就爱不释手，哈哈!《概率论与数理统计讲义》(基础篇) 姚孟臣(做过两遍)关于概率论的试题用书大家推荐过几本，我在图书大厦都翻阅过，强烈建议大家用这本，你用过后就知道了，它穷尽了你能见到的所有概率题型，相信做完后你的概率会有质的飞跃!这本书有个提高篇，千万别买哈，里面的东西考研都不考，基础篇才是真正的考研用书，呵呵!考研数学规划：课本＋复习指导书＋习题集＋模拟题＋真题＝KO复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题完整版(含答案及解析)

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，230(1)x t e dt −⎰是7x 的（）A.低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小【答案】C【解析】当0x →时，23670(1)2(1)~2x t x e dt x e x '⎡⎤−=−⎢⎥⎣⎦⎰，即230(1)x t e dt −⎰是7x 的高阶无穷小. 故选C.（2）函数10()1,0x e x f x x x ⎧−≠⎪=⎨⎪=⎩，，在0x =处（）A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为0【答案】D.【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x →→−===，即()f x 在0x =连续；因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x→→→−−−−−===−−，即1(0)2f '=. 故选D.（3）设函数()ln (0)f x ax b x a =−>有2个零点，则ba的取值范围是（） A.(,)e +∞ B.(0,)eC.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A.【解析】令()0b f x a x '=−=得，b x a=. ln 0b b f b b a a ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，则ln 1b a >，即b e a >，故选A.（4）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（） A.dx dy + B.dx dy − C.dy D.dy −【答案】C.【解析】等式2(1,)(1)x f x e x x +=+两端同时对x 求导可得212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++①等式22(,)2ln f x x x x =两端同时对x 求导可得2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+②分别将0,1,0,1x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩代入①②可得1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2f f f f ''''+=+=. 联立可得1212(1,1)0,(1,1)1,(1,1)(1,1)(1,1)f f df f dx f dy dy ''''===+=. 故选C.（5）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++−−的正惯性指数与负惯性指数依次为（） A.2,0B.1,1C.2,1D.1,2【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−−=+++，即011121110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，故令特征多项式11121(1)(3)011λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−−=+−= ⎪ ⎪−−⎝⎭|E A |，可得特征值为0,1,3−，即二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1. 故选B.（6）设1234(,,,)αααα为4阶正交矩阵，若矩阵123T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ααα，111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，k 表示任意常数，则线性方程组=Bx β的通解=X （） A.2341k +++αααα B.1342k +++αααα C.1243k +++ααααD.1234k +++αααα【答案】D.【解析】因为1234(,,,)=A αααα为4阶正交矩阵，所以向量组1234,,,αααα是一组标准正交向量组，则()3r =B . 又14243T T T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭0B ααααα，所以齐次线性方程组=0Bx 的通解为4k α.而1123212331()()11T T T ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ααααααααβα，故线性方程组=Bx β的通解为1234k =+++x αααα，其中k 为任意常数. 故选D.（7）已知矩阵101211125−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则,P Q 可以分别为（） A.100101010,013001001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.100100210,010321001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ C.100101210,013321001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭D.100123010,012131001−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C.【解析】101100101100(,)211010013210125001026101−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E101100013210(,)000321−⎛⎫ ⎪→−−= ⎪ ⎪−⎝⎭F P ，则100210321⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭P . 101100013010000000100101010013001001−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F E Q Λ，即101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q . 故选C.（8）设,A B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中为假命题的是（） A.若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A = B.若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A > C.若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A > D.若(|)(|)P A A B P A A B >，则()()P A P B > 【答案】D.【解析】(())()(|)()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB ==+−，(())()()()(|)()()()()()P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB −===+−.因为(|)(|)P A A B P A A B >，所以()()()P A P B P AB >−，故选D. （9）设1122(,),(,),,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体221212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令12θμμ=−，11n i i X X n ==∑，11ni i Y Y n ==∑，ˆX Y θ=−，则（） A.2212ˆˆ(),()E D n σσθθθ+==B.2212122ˆˆ(),()E D n σσρσσθθθ+−==C.2212ˆˆ(),()E D nσσθθθ+≠=D.2212122ˆˆ(),()E D nσσρσσθθθ+−≠=【答案】B.【解析】因为(,)X Y 服从二维正态分布，所以,X Y 均服从二维正态分布，则 X Y −也服从二维正态分布，即12221212ˆ()()()(),2ˆ()()()()cov(,).E E X Y E X E Y D D X Y D X D Y X Y nθμμθσσρσσθ=−=−=−=+−=−=+−= 故选B.（10）设总体X 的概率分布为11{1},{2}{3}24P X P X P X θθ−+======，利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为（） A.14B.38C.12D.52【答案】A.【解析】似然函数3511()24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,取对数得11ln ()3ln 5ln 24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 求导得ln ()315011d L d θθθθ=+=−+，即14θ=.故选A.二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11）若cose y =1=.x dy dx=【答案】1sin 2e e【解析】11sinsin 2x dydy e e e dxdx e −⎛=−= ⎝.（12）5.=【答案】6.【解析】2235353311622−+==⎰⎰. （13）设平面区域D由(01)y x x π=≤≤与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所围成的旋转体体积为 . 【答案】4π.【解析】112220001)sin sin 24xx t V x dx x xdx tdt ππππππ======⎰⎰⎰.（14）t y t ∆=的通解为t y = .【答案】*21122y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.【解析】*1,(),(1)((1))(1),2y C y at b t a t b t at t ==++++−+=112,,,22at a b t a b ++===−*21122y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.（15）多项式12121()211211x x x xf x x x−=−中3x 项的系数为 . 【答案】5−. 【解析】12211211112121()1121211211211112131211211x x xx x x xf x x x x x x x x x x x x−−−−==−−−−−−−. 所以展开式中含3x 项的有33,4x x −−，即3x 项的系数为5−.（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 和Y 的相关系数为 .【答案】15.【解析】联合分布律：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0101(,)~,~~311311111055102222X Y X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1111cov(,),,, 20445x X Y DX DY γρ====即. 三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）已知101lim[arctan (1||)]x x x xα→++存在，求α的值.【答案】11()e eαπ=−. 【解析】要想极限存在，则左右极限相等，又因为101lim arctan (1||)2x x x e x παα+→⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦. 1011lim arctan (1||)2x x x x e παα−→⎡⎤++=−+⎢⎥⎣⎦，从而122e e ππαα+=−+，11e e απ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. （18）（本题满分12分）求函数222(1)(,)2ln ||2x y f x y x x −+=+的极值.【答案】(1,0)−处取极小值2；1(,0)2处取极小值12ln 22−.【解析】2232210,0,x y x x y f x y f x ⎧+−−'==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎩即22210,0.x x y y ⎧+−−=⎨=⎩得驻点(1,0)−，1(,0)2.22432(41)3(21),2,1.xx xyyy x x x x y f x y f x f x ⎧+−+−−''=⎪⎪−⎪''=⎨⎪⎪''=⎪⎩驻点(1,0)−处23,?0,1,30,0A B C AC B A ===−=>>，故(, )f x y 在(1,0)−处取极小值2.驻点1(,0)2处224,0,4,30,0A B C AC B A ===−=>>，故(, )f x y 在1(,0)2处取极小值12ln 22−. （19）（本题满分12分）设有界区域D 是圆221x y +=和直线y x =以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分2()22()x y De x y dxdy +−⎰⎰. 【答案】2111848e e −+.【解析】2221()22(cos sin )224001()cos22x y r Dex y d d e r dr πθθσθθ++−=⎰⎰⎰⎰221(cos sin )224001cos22r d e r dr πθθθθ+=⎰⎰21(cos sin )40cos2u d e udu πθθθθ+=⎰⎰.2211(cos sin )2(cos sin )2401(cos sin )(cos sin )(cos sin )u u ue du ue du θθθθθθθθθθ++=+++⎰⎰2(cos sin )41(cos sin )t te dt θθθθ+=+⎰22(cos sin )(cos sin )24111(cos sin )(cos sin )e e θθθθθθθθ++⎡⎤=−−⎣⎦++.。

考研数学大纲的三次重大变革

考研数学大纲的三次重大变革考研大纲是教育部颁发的，指导命题和考生复习的纲领性文件，是命题的根本性依据。

它严格划定了各类专业考生应考的范围和难度要求，这也是考生制定计划的依据。

所以我们要充分了解考试大纲的每年变动情况，以此来指定有效的复习计划和第二年可能要考的重点内容。

接下来，跨考教育数学教研室郭静娟老师为大家历数考研数学大纲进行的3次大的变动，以供2016考生掌握命题特点。

第一次，2002年全国硕士研究生入学考试数学考试大纲是在原考试大纲的基础上修订而成。

修订的原则是保持考试内容、考试要求和试卷结构的基本稳定。

现将修订情况说明如下：一、删去有关近似计算的考试内容和考试要求。

由于目前大多数高等院校开设了“计算方法”课程，近似计算的内容基本上在此课程中讲授，高等数学已基本不再讲授近似计算的内容。

同时考虑到随着计算机的广泛普及和应用，近似计算的问题完全可由计算机解决，对考生近似计算的能力已不是研究生入学考试考核的重点。

基于以上考虑，新的数学考试大纲中删除了有关近似计算的所有考试内容和考试要求。

(1)数学一中删去一元函数微分学中关于“微分在近似计算中的应用”以及“方程近似解的二分法和切线法”的考试内容和考试要求;一元函数积分学中“定积分的近似计算法”及相应的考试要求;多元函数微分学中关于“全微分在近似计算中的应用”的考试内容和考试要求;无穷级数中的“幂级数在近似计算中的应用”及相应的考试要求;常微分方程考试内容中的“微分方程的幂级数解法”及相应的考试要求;概率论中“会用有关定理近似计算有关随机事件概率”的要求。

(2)数学二中删去一元函数微分学中关于“微分在近似计算中的应用”以及“方程近似解的二分法和切线法”的考试内容和考试要求以及一元函数积分学中“定积分的近似计算法”及相应的考试要求。

二、数学二考试大纲中增加了部分线性代数考试内容，提高了线性代数在试卷中的占分比例，同时将“线性代数初步”更名为“线性代数”。

年全国硕士研究生入学统一考试

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲（概率论与数理统计初步部分）数学一（20%）一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完全事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间 ( 基本事件空间 ) 的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式。

3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。

二、随机变量及其概率分布考试内容随机变量及其概率分布随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布考试要求 1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数)}({)(+∞<<−∞≤=x x X P x F的概念及性质。

会计算与随机变量有关的事件的概率。

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0 － l 分布、二项分布、超几何分布、泊松（ Poisson ）分布及其应用。

3．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。

4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为),(2σµN λ（0>λ）的指数分布的密度函数为5．会求随机变量函数的分布。

三、二维随机变量及其概率分布考试内容二维随机变量及其概率分布二线离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度随机变量的独立性和相关性常用二维随机变量的概率分布两个随机变量简单函数的概率分布考试要求1．理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital ）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle ）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值二重积分的概念．基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解x e ．sin x ．cos x ．ln(1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()00xe f x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x>0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev ）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli ）大数定律辛钦（Khinchine ）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre －Laplace ）定理列维—林德伯格（Levy －Lindberg ）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩 2χ分布 t 分布 F 分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2211()1ni i S X X n ==--∑ 2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】(文末含答案解析)

2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f （x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（）。

A ．()0,1fx ∂∂不存在，()0,1f y ∂∂存在B ．()0,1fx ∂∂存在，()0,1f y ∂∂不存在C ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y ∂∂均存在D ．()0,1fx ∂∂，()0,1f y∂∂均不存在2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）。

A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜04．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则*0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭＝（）。

A ．****0A B B A B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．****0B A A B A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．****0B A B A A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ．****0A B A B B A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．二次型f （x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。

2010年数学二试题分析、详解和评注(曹)

2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题分析、详解和评注考研数学专家曹显兵、刘喜波教授解答分析解答所用参考资料：曹显兵（线代、概率部分）与刘喜波（高数部分）的授课讲稿，黄先开、曹显兵与刘喜波主编的参考书：1.《2010 考研数学经典讲义》，简称经典讲义(人大社出版). 2.《2010 考研数学最新精选 600 题》，简称 600 题. 3.《2010 考研数学经典冲刺 5 套卷》，简称冲刺卷.一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项．．．指定位置上. 2x − x 1 (1) 函数 f ( x ) = 1 + 的无穷间断点数为 22 x − 1x(A) 0.(B)1.(C) 2.(D) 3.【】【答案】应选(B).【分析】间断点为，计算各点处的极限以判断间断点的类型 x = 0, ±12 x − x 1 【详解】 f ( x) = 1 + 有间断点 x = 0, ±1 . 又 2 2 x − 1 xx ( x − 1) 1 x 1f ( x ) =1 + = 1 +2 2( x + 1)( x − 1) x x + 1 x1 1因为 lim x 1 + = 1, lim = x 1 + = − 1 ，所以 x = 0 为跳跃间断点. +2 −2 x → 0x x → 0 x1 2 又 lim f ( x) = 1 + 1 = ，所以 x = 1 为可去间断点，且 x → 12 2x 1lim f ( x ) = lim1 + = ∞ ，所以 x = −1 为无穷间断点，因而选择(B).2 x →− 1x →− 1 x + 1 x【评注】 x → 0 时的极限要考虑单侧极限.原题见《经典讲义》高等数学部分习题精选一解答题的第 10 题, 以及强化班讲义第一讲中的例题 38.(2) 设y 1, y 2是一阶线性非齐次微分方程y ′ +p (x ) y = q (x )的两个特解. 若常数λ , μ 使 λ y 1 + μ y 2 是该方程的解, λ y 1 − μ y 2是对应的齐次方程的解, 则1 1 1 1(A) λ = , μ = (B) λ = − , μ = −2 2 2 2 2 12 2(C) λ = , μ =(D) λ = , μ =【】3 33 3【答案】应选(A) .【分析】此题主要考察线性微分方程解的性质和结构【详解】因 λ y 1 − μ y 2 是方程y ′ +p (x ) y =0 的解, 所以 (λ y 1 − μ y 2)′ +p (x ) (λ y 1 − μ y 2) =0,即λ [y 1′ +p (x ) y 1 ] − μ [ y 2′ +p (x ) y 2 ] =0 . 由已知得(λ − μ ) q (x ) =0, 因为 q (x ) ≠0, 所以 λ − μ =0, 又 λ y + μ y 是非齐次y ′ +p (x ) y = q (x )的解,1 2 故(λ y 1 + μ y 2)′ +p (x ) (λ y 1 + μ y 2) = q (x ) . 即λ [y 1′ +p (x ) y 1 ] − μ [ y 2′ +p (x ) y 2 ] = q (x ) . 由已知得(λ + μ ) q (x ) = q (x ) . 因为 q (x ) ≠0, 所以 λ + μ =1 , 1 1 解得λ = , μ =2 2【评注】此题属反问题，题目构造较新颖.原题见《经典讲义》高等数学部分第十章解的性质和解的结构定理2(3) 曲线 y = x 与曲线 y = a ln x(a ≠ 0) a(A)4e (B)3e (C)2e (D)e 【】【答案】应选(C).【分析】利用导数的几何意义（切点处斜率相等）及两条曲线都经过切点.1 a 2【详解】因 y = x 与 y = a ln x (a ≠ 0) 相切，故 2 x = a ⋅ , 即x = x 22a aa 在 y = x 上， x =时 , y = ; 在 y = a ln x (a ≠ 0) 上， x = 时 ,2 2 2a 1 a a a ay = a ln= a ln = ln ，即 a = 2e . 所以选 (C).2 22 . 因此 2 2 2 原题见《经典讲义》高等数学部分第二章的例题 2.27, 以及强化班讲义第七讲中的例题 2.m2 1 ln ( 1 − x )(4) 设 m , n 是正整数, 则反常积分 dx 的收敛性： ∫ 0n x(A) 仅 m 与值有关. (B) 仅 n 与值有关. (C) 与 m , n 值都有关. (D) 与 m , n 值都无关.【】【答案】应选(D).1 【分析】 x = 0 、1 为瑕点，插入分点，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛 2散性.22 m21m m1ln ( 1 − x ) [ln ( 1 − x ) ] 1 [ln ( 1 − x ) ] 2【详解】dx = dx + dx = I + I ∫∫ 1 ∫ 1 1 1 2 0n 0x n 2nx x2m 2 1 [ln 1 − x ] − +( ) 2 1 m n对 I ，当 x → 0 时， ~ x . 显然 − > − 1 ，由比较判别法知无论正整 1 1m nnx 数 m ,n 取何值, 反常积分 I 是收敛的. 12 2 1 mm[ln ( 1 − x ) ][ln ( 1 − x ) ] 2对 I ，lim (1 − x ) = lim 2 −1−1x → 1x → 1− n2x(1 − x )2 2 − 1 2 m − 1 − 1− [ln ( 1 − x ) ] (1 − x ) m 4[ln ( 1 − x ) ] m = lim = lim − 3 − 1 x → 1 1 − x → 1 − 2 2− (1 − x ) m (1 − x ) 22 2 − 2 2 m − 1 − 2 − 4( − 1)[ln ( 1 − x ) ] (1 − x ) m8(2 − m )[ln ( 1 − x ) ] m = lim = lim = 0 − 3 −1 x → 1 1− x → 1 − 2 2 2− m (1 − x ) m (1 − x ) 2由比较判别法知无论正整数 m ,n 取何值反常积分 I 是收敛的，因此应选(D).2 【评注】根据当年考试大纲的要求，此题属超纲范围.y z (5) 设函数z = z (x , y ) 由方程 F ( , ) = 0 确定, 其中F 为可微函数, 且f ′2≠0, 则x x∂ z ∂ zx + y = ___________ . ∂ x ∂ y(A) x .(B) z .(C) − x .(D) − z .【】【答案】应选(B) .【分析】利用公式直接求两个一阶偏导数.⎛ y ⎞ ⎛ z ⎞ y z F ′ − + F ′ − ′ ′ 1 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ F ⋅ + F ⋅ ′ 1 2 ∂ z F x x x⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x 【详解】因为= − = − = , ∂ x ′ 1 ′ F F z F ′ ⋅ 2 2x1 F ′ ⋅ F ′ 1 ′ ∂ z y F x 1= − = − = − ,∂ y ′ 1 ′ F F z F ′ ⋅ 2 2x∂ z ∂ z yF ′ + zF ′ yF ′ F ′ ⋅ z 1 2 1 2 所以 x + y =− = = z 因此应选(B).∂ x ∂ y ′ ′ ′ F F F 2 2 2∂ ∂ z y原题见《经典讲义》高等数学部分的第六章的例题 6.19, 以及强化班讲义第八讲中的例题 8. n nn(6) lim= ∑ ∑ 2 2n →∞i = 1 j = 1( n + i)(n + j ) 1x 11x 1(A)dx dy(B) dxdy ∫ 0∫2 ∫∫ 0 (1 + x )( 1 + y ) ( 1 + x )( 1 + y )111111(C)dx dy(D) dxdy 【】∫ ∫∫ ∫ 20 1 + x 1 + y 0( )() ( 1 + x )( 1 + y )【答案】应选(D).【分析】用二重积分（或定积分）的定义. 【详解】因为n nn nn nlim = lim ∑ ∑ 2 2 ∑ ∑ n →∞ ( n + i )( n + j ) n →∞ i j i = 1 j = 1 i = 1 j = 1 2 2 n ( 1 + ) n [ 1 + ( ) ]n nn n1 1= lim ⋅ ∑ ∑ 2n →∞ i j i = 1 j = 12 n ( 1 + ) [ 1 + ( ) ]n n111= dx dy ,∫ 0 ∫0 2 ( 1 + x )( 1 + y )所以应选(D).【评注】1. 也可用定积分定义计算n nnn n 1 1 1 1lim = lim ( ⋅ ) ( ⋅ ) ∑ ∑ 2 2 ∑ ∑ n →∞ ( n + i )( n + j ) n →∞ i n j n i = 1 j = 1i = 1 j = 1 2 1 + 1 + ( ) n nnn 1 1 1 1= lim ( ⋅ ) lim ( ⋅ ) ∑ ∑ n →∞ i n n →∞ j n i = 1j = 1 21 + 1 + ( ) n n 11 1 1 1 1 1 = dx dy = dx dy ∫0 ∫ 0 2 ∫ 0 ∫ 0 2 1 + x 1 + y ( 1 + x )( 1 + y ) 2. 以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖.(7)设向量组I:α1,α2 , ⋅⋅⋅ , αr 可由向量组II: β1,β2 , ⋅⋅⋅ , βs 线性表示, 则列命题正确的是(A) 若向量组I线性无关, 则r≤s. (C) 若向量组II线性无关, 则r≤s. (B) 若向量组I线性相关, 则r > s. (D) 若向量组II线性相关, 则r > s. 【】【答案】应选(A) .【详解】因向量组I能由向量组II线性表示，所以r（I）≤r（II），即r (α1,α2 , ⋅⋅⋅ , αr）≤r (β1,β2 , ⋅⋅⋅ , βs)≤s ,若向量组I线性无关，则r(α1,α2 , ⋅⋅⋅ , αr )= r，所以r≤s . 故应选(A). 【评注】这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案. 原题见《经典讲义》线性代数部分的第三章§1中的推论3.5.(8)设A为4阶实对称矩阵, 且A2+A=O, 若A的秩为3, 则A与相似于⎡1⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥1 1(A) ⎢⎥(B) ⎢⎥⎢ 1 ⎥⎢−1⎥⎢⎥⎢⎥0 0⎣⎦⎣⎦⎡1⎤⎡−1⎤⎢⎥⎢⎥−1−1(C) ⎢⎥(D) ⎢⎥【】⎢−1⎥⎢−1⎥⎢⎥⎢⎥0 0⎣⎦⎣⎦【答案】应选(D) .【详解】设λ为A的特征值，由A2+A=O，知特征方程为λ2+λ=0，所以λ= − 1或0. 由于A 为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A ~Λ，r（A）= r（Λ）=3，因此⎡−1⎤⎢⎥−1A ~Λ= ⎢⎥，⎢−1⎥⎢⎥⎣⎦应选( D) .【评注】(1)若A可对角化，则r（A）=A的非零特征值的个数.(2)本题由A 2+A=O即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉.. 几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题5.30，5.39, 以及强化班第一讲中的例题8、冲刺辅导班讲义线性代数部分例题4.．．．指定位置上.(9) 3阶常系数线性齐次微分方程y′′′− 2 y′′+ y′− 2 y = 0 的通解为y =2 x【答案】应填y = C e + C cos x + C sin x1 2 3【分析】求特征方程的解，直接写出3阶常系数线性齐次微分方程的通解，属基础题型.3 2【详解】y′′′− 2 y′′+ y′− 2 y = 0 的特征方程为λ− 2λ+ λ− 2 = 0 ,2 即 ( λ − 2 ) λ + 1 = 0 ，解得 λ = 2, λ = ± i , 所以通解为 ( ) 12,3 2 xy = C e + C cos x + C sin x 1 2 3【评注】虽然此题是 3 阶微分方程，但是考试大纲明确要求会的内容.原题见《经典讲义》高等数学部分第十章的例题 10.13.3 2 x(10) 曲线 y = 的渐近线方程为 2x + 1【答案】应填 y = 2 x【分析】曲线只有斜渐近线，直接计算即可.【详解】函数的定义域是全体实数，于是不存在垂直渐近线. 又 lim y = ∞ ，故不存在水x →∞y 平渐近线，而lim = 2 ， lim( y − 2x ) = 0 ，所以曲线的斜渐近线为 y = 2 x x →∞ x x →∞【评注】求曲线的斜渐近线几乎每年均有考题，属基本题型.原题见《经典讲义》高等数学部分的第三章的例题 3.73, 以及强化班讲义第七讲中的例题 5.(11) 函数 y = ln (1 −2 x ) 在x = 0 处的 n 阶导数 y (n ) (0 ) = n【答案】应填 − 2⋅ ( n − 1 ) ! 【分析】利用函数 y = ln (1 − x ) 的高阶导数公式. n n ( n − 1)! n【详解】 [ln (1 −2 x ] = − 2 . 令 x = 0 ，得所求 n 阶导数为 − 2 ⋅ ( n − 1 ) ! , n(1 − 2x )n故应填 − 2⋅ ( n − 1 ) ! 【评注】此题也可用 ln (1 − x ) 的麦克劳林展开式，比较系数得到结果. 原题见《经典讲义》高等数学部分第二章的例题 2.44，以及强化班讲义第二讲中的例题 18.(12) 当 0≤ θ ≤ π 时, 对数螺线 r = e θ 的弧长为 ____________ .【答案】应填 2 ( e π − 1 )【分析】直接用极坐标下的弧长计算公式.【详解】由弧长公式π π22π s = r ( θ ) + r ′ ( θ )d θ = 2e θd θ = 2 (e − 1)∫ ∫ 0故应填2 ( e π − 1 )原题见《经典讲义》高等数学部分第四章例题 4.102.(13) 已知一个长方形的长 l 以 2cm /s 的速率增加, 宽 w 以 3 cm /s 的速率增加, 则当 l =12cm ,w =5cm 时, 它的对角线增加的速率为 ____________ .【答案】应填 3 c m / s 【分析】利用导数的物理意义.【详解】设 l = x (t ), w = y (t ) ，由题意知，在 t = t 时0 x ( t ) = 12, y (t ) = 5 ，且 x ′ (t ) = 2, y ′ (t ) = 30 0 0 0 x (t ) x ′ (t ) + y (t ) y ′ (t )2 2又 S (t ) = x (t ) + y (t ) ，所以 S ′(t ) = ，22x (t ) + y (t )x ( t ) x ′ ( t ) + y ( t ) y ′ ( t ) 12 × 2 + 5 × 3 0 0 0 0因而S ′ ( t ) = = = 32 2 2 2 x ( t ) + y ( t ) 12 + 5 0 0(14) 设A , B 为 3 阶矩阵, 且| A |=3, | B |=2, |A −1+B |=2, 则 |A +B −1|= _______ . 【答案】应填 3 .【分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质.【详解】由于 |A +B −1|=|(AB +E )B −1|=|(AB +AA −1)B −1|=|A (B +A −1)B −1|=| A |⋅|A −1+B |⋅|B −1|=3⋅2⋅2−1=3 因此应填 3 .【评注】也可以由 |A |⋅|A −1+B | =| E +AB | =| A +B −1|⋅|B | 得 |A +B −1|=3. 类似的问题见《经典讲义》线代部分的例题 2.10.三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)2x 22 t 求函数 f (x )= ( x − t )e − dt 的单调区间与极值. ∫ 1 【分析】求变限积分f (x )的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间. 222x 2x 2x 22− t 2− t − t 【详解】f ( x ) = ( x − t ) e dt = xe dt − te dt ,∫ ∫∫ 11122x 244x 2− t 3 − x 3 − x − t f ′ ( x ) = 2dt + 2 x e− 2 x e= 2dt∫1∫1令 f ′( x) = 0 ，得 x = 0, x = ±1 因为当 x > 1 时， f ′( x ) > 0 ；当 0 < x < 1 时，f ′(x ) < 0 ；当− 1 < x < 0 时， f ′( x ) > 0 ； x < −1f ′( x ) < 0所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( −∞, −1), (0,1) ; f ( x ) 的单调递增区间为 (− 1,0), (1, +∞) ; 极小值为 f (1) = f ( −1 ) = 0 ，极大值为121 2 1 − t − t − 1f (0) = (0 − t ) e dt = − e = (1 − e )∫ 1 2 20 【评注】也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型.原题见《经典讲义》高等数学部分第三章例题 3.69. (16) (本题满分 10 分)1n (I) 比较 | ln t | [ln(1 + t )] dt 与 t n | ln t | d t (n =1, 2, ⋅⋅⋅) 的大小, 说明理由;∫0 01nlim u n n →∞ t n | ln t| dt 再用夹逼定理求极限.【详解】(I) 当 0≤ t ≤1 时, 0≤ ln(1+ t ) ≤ t , 故 | ln t | [ ln(1+ t ) ] n ≤ | ln t | t n . 1n由积分性质得|ln t | [ln( 1 + t )] dt ≤ t n | ln t | dt (n =1, 2,⋅⋅⋅) .∫ 0 0 1 1 1 1 1 n n n + 1 1 n + 1 (II) t | ln t | d t = − t ⋅ ln t dt = − [ t ⋅ ln t | − t ⋅ dt ]∫ ∫ 0 ∫ 0 0 0 n + 1 t1 n + 1 11 = ⋅ t | =2 0 2( n + 1 ) ( n + 1 ) 1于是有0≤ u n ≤ , (n =1, 2, ⋅⋅⋅) , 2( n + 1 ) 1由夹逼定理得0≤ lim u ≤ lim =0, 故 lim u = 0 n 2n n →∞ n →∞ ( n + 1 ) n →∞ 【评注】若一题有多问，一定要充分利用前面提供的信息。

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲

全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲高等数学一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:,函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5．理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念含左连续与右连续,会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理,并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔Rolle定理、拉格朗日Lagrange中值定理和泰勒Taylor定理,了解并会用柯西中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容：原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常广义积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿－莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念,会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等及函数的平均值．四、向量代数和空间解析几何考试内容：向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算线性运算、数量积、向量积、混合积,了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系平行、垂直、相交等解决有关问题.6．会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.五、多元函数微分学考试内容：多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1．理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性. 4．理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6．了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程.8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题.六、多元函数积分学考试内容：二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1．理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理.2．掌握二重积分的计算方法直角坐标、极坐标,会计算三重积分直角坐标、柱面坐标、球面坐标. 3．理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系. 4．掌握计算两类曲线积分的方法.5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数. 6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,掌握用高斯公式计算曲面积分的方法,并会用斯托克斯公式计算曲线积分.7．了解散度与旋度的概念,并会计算.8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等.七、无穷级数考试内容：常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间指开区间和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶系数与傅里叶级数狄利克雷定理函数的傅里叶级数函数的正弦级数和余弦级数考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法.4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系. 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质和函数的连续性、逐项求导和逐项积分,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10．掌握e x,sinx, cosx,ln1+x 及1+xα的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将函数展开为傅里叶级数,会将函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式.八、常微分方程考试内容：常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利Bernoulli方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉Euler方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解概念.2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程4．会用降阶法解下列形式的微分方程：．5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行列展开定理考试要求1．了解行列式的概念,掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行列展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容：向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试要求1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩4．理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行列向量组的秩之间的关系.5．了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．6．了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵．7．了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特Schmidt方法．8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．四、线性方程组考试内容:线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容: 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求:1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变换与合同矩阵的概念,了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法．考研老师私人扣扣：概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容：随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间基本事件空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯公式．3．理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布及其应用．3.了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布.4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用,5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容：多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,会求与二维随机变量相关事件的概率．2．理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件.3．掌握二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义．4．会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望均值、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征2.会求随机变量函数的数学期望.五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫不等式切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律棣莫弗－拉普拉斯定理列维－林德伯格定理考试要求1．了解切比雪夫不等式．2．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律独立同分布随机变量序列的大数定律 .3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理二项分布以正态分布为极限分布和列维-林德伯格定理独立同分布随机变量序列的中心极限定理 .六、数理统计的基本概念考试内容：总体个体简单随机样本统计量样本均值样本方差和样本矩卡方分布 T分布 F分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为：2．了解卡方分布、T分布 F分布的概念及性质,了解上侧分位数的概念并会查表计算．3．了解正态总体的常用抽样分布．七、参数估计考试内容：点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法一阶矩、二阶矩和最大似然估计法．3．了解估计量的无偏性、有效性最小方差性和一致性相合性的概念,并会验证估计量的无偏性．4．理解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间,会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.八、假设检验考试内容：显着性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1．理解显着性检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误．2．掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验．考研老师私人扣扣：。

考研数学数学三公认教材及参考书

二随机变量及其分布
考试内容
随机变量?随机变量分布函数的概念及其性质?离散型随机变量的概率分布?连续型随机变量的概率密度??常见随机变量的分布??随机变量函数的分布
三多维随机变量的分布
考试内容
多维随机变量及其分布函数?二维离散型随机变量的概率分布?边缘分布和条件分布??二维连续型随机变量的概率密度，边缘概率密度和条件密度??随机变量的独立性和不相关性??常见的二维随机变量的分布?两个及两个以上随机变量的函数分布
六二次型
考试内容
二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形?二次型及其矩阵的正定性
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三考试大纲考点归纳（三）
概率论与数理统计
一随机事件和概运算完备事件组?概率的概念??概率的基本性质??古典型概率???几何型概率??条件概率?概率的基本公式??事件的独立性?独立重复试验?
（一）试卷满分为150分考试时间为180分钟.
（二）内容结构：高等教学约56％线性代数约22%概率论与数理统计约22％
（三）题型结构：
单项选择：8小题，每小题4分，共32分
填空题：6小题，每小题4分，共24
解答题(包括证明题)：9小题，共94分
全国硕士研究生入学统一考试英语考试大纲
完形填空：10分（20道选择题每题0.5分）[可以抛弃的题型]
五无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念??级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法?任意项级数的绝对收敛与条件收敛??交错级数与莱布尼茨定理????冥级数及其收敛半径?收敛区间（指开区间）和收敛域?冥级数的和函数?冥级数在其收敛区间的基本性质?简单冥级数的和函数的求法?初等函数的冥级数展开式?

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2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三考试大纲

考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22% 概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分

微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求 1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用． 6．会用洛必达法则求极限． 7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线． 9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求 1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法． 2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法． 3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题． 4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值二重积分的概念．基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求 1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义． 2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质． 3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数． 4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题． 5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求 1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念． 2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法． 3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法． 4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域． 5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．

6．了解了解，，，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念． 2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程． 4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程． 5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．

线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质． 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质． 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质． 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法． 5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关