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高等数学教材第五版答案

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高等数学(同济大学第五版)第十二章

高等数学(同济大学第五版)第十二章

习题12−11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ′)2−2yy ′+x =0;解 一阶.(2)x 2y ′−xy ′+y =0;解 一阶.(3)xy ′′′+2y ′+x 2y =0;解 三阶.(4)(7x −6y )dx +(x +y )dy =0;解 一阶.(5)022=++C Q dt dQ R dtQ d L ; 解 二阶.(6)θρθρ2sin =+d d . 解 一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy ′=2y , y =5x 2;解 y ′=10x .因为xy ′=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.(2)y ′+y =0, y =3sin x −4cos x ;解 y ′=3cos x +4sin x .因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x −4cos x =7sin x −cos x ≠0,所以y =3sin x −4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ′′−2y ′+y =0, y =x 2e x ;解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .因为y ′′−2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x −2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.(4)y ′′−(λ1+λ2)y ′+λ1λ2y =0, .x x e C e C y 2121λλ+= 解 , .x x e C e C y 212211λλλλ+=′x x e C e C y 21222211λλλλ+=′′因为y y y 2121)(λλλλ+′+−′′)())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++−+= =0,所以是所给微分方程的解.x x e C e C y 2121λλ+= 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x −2y )y ′=2x −y , x 2−xy +y 2=C ;解 将x 2−xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x −y −xy ′+2y y ′=0,即 (x −2y )y ′=2x −y ,所以由x 2−xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0, y =ln(xy ).解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y ′+=′11, 即xxy y y −=′. 再次求导得 )(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y ′+′−′−⋅−=−+−′−=−−′+−−′=′′. 注意到由y y x y ′+=′11可得1−′=′y x y yx , 所以 )2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y ′+′−′−⋅−=′+′−′−′−⋅−=′′, 从而 (xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x 2−y 2=C , y |x =0=5;解 由y |x =0=0得02−52=C , C =−25, 故x 2−y 2=−25.(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y ′|x =0=1;解 y ′=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .由y |x =0=0, y ′|x =0=1得, ⎩⎨⎧=+=10121C C C 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x −C 2), y |x =π=1, y ′|x =π=0.解 y ′=C 1cos(x −C 2).由y |x =π=1, y ′|x =π=0得, 即, ⎩⎨⎧=−=−0)cos(1)sin(2121C C C C ππ⎩⎨⎧=−=0cos 1sin 2121C C C C 解之得C 1=1, 22π=C , 故2sin(π−=x y , 即y =−cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ′, 由条件y ′=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分.解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y ′−1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(−x , 0), 从而有y x x y ′−=+−10, 即yy ′+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解2T P k dT dP =, 其中k 为比例系数.习题12−111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y ′−xy −x =1;解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞=+=10n n n x a a y ,111011=−−−∑∑∞=+∞=−x x a x a x na n n n n n n 即 . 0])2[()12()1(112021=−++−−+−+∞=+∑n n n n x a a n x a a a 可见 a 1−1=0, 2a 2−a 0−1=0, (n +2)a n +2−a n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),于是 , 11=a 2102a a +=, !!313=a , !!4104a a +=, ⋅ ⋅ ⋅ , !)!12(112−=−k a k , !)!2(102k a a k +=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!2(1!)!12(1[120120∑∞=−++−+=k k k x k a x k a y ∑∑∞=∞=−++−+=12011202(!1)1(!)!12(1k k k k x k a xk a ∑∞=−−+++−=11220!)!12(1)1(12k k x x k e a , 即原方程的通解为∑∞=−−+−=1122!)!12(112k k x x k Ce y .(2)y ′′+xy ′+y =0;解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,0)1(01122=++−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a xna x x a n n即 , 0])1()1)(2[(21220=++++++∑∞=+n n n n x a n a n n a a 于是 0221a a −=,1331a a −=, ⋅ ⋅ ⋅,1112!)!12()1(a k a k k −−=−−,02!)!2()1(a k a k k −=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!12()1(!)!2()1([12112010+∞=+−+−++=∑k k k k k x k a x k a x a a y ∑∑∞=−−∞=−−+−=11211020!)!12()1()2(!!1k k k k k x k a x k a ∑∞=−−−−−+=1121120!)!12()1(2k k k x x k a e a , 即原方程的通解为∑∞=−−−−−+=1121221!)!12()1(2k k k x x k C e C y . (3)xy ′′−(x +m )y ′+my =0(m 为自然数);解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y , 0)()1(01122=++−−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a m xna m x x a n n x 即 . 0])())(1[()(1110=−−−++−∑∞=+n n n n x a m n a m n n a a m 可见 (a 0−a 1)m =0, (n −m )[(n +1)a n +1−a n ]=0 (n ≠m ),于是 a 0=a 1,)2( )2()1(1+≥+⋅⋅⋅−=+m n m n n a a m n ,)( !11m n a n a n ≤=. 所以 ∑∑∞+=+++=+⋅⋅⋅−+++=2111100)2()1(!m n n m m m m n n x m n n a x a x n a a y∑∑∞+=+++=+++=211100!)!1(!m n n m n m mn n n x a m x a n x a ∑∑∞+=+=++=1100!)!1(!m n n m m n n n x a m n x a )!()!1(!0100∑∑=+=−++=m n n x m m n n n x e a m n x a∑=+++−++=m n n m x m n x a m a e a m 0101!])!1([)!1(, 即原方程的通解为∑=+=m n n x n x C e C y 021!(其中C 1, C 2为任意常数). (4)(1−x )y ′=x 2−y ;解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,∑∑∞=∞=−−=−0211)1(n n n n n n x a x x na x 即 . 0])1[()13(231223201=+−++−−+++∑∞=+n n n n n x a na a n x a a x a a a 可见 a 1+a 0=0, 2a 2=0, 3a 3−a 2−1=0, (n +1)a n +1−(n −1)a n =0(n ≥3),于是 a 1=−a 0, a 2=0, 313=a , )1(221−=−=−n n a n n a n n (n ≥4). 因此原方程的通解为∑∞=−++−=43)1(231)1(n n x n n x x C y (C =a 0为任意常数). . (5)(x +1)y ′=x 2−2x +y .解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y, ∑∑∞=∞=−+−=+02112)1(n n n n n n x a x x x na x 即 . 0])1()1[()13()1(231232210=++−+−+++++−∑∞=+n n n n x a n a n x a a x a a a 于是 a 1=a 0, a 2=−1,323=a ,)4()1(4)1( 231≥−−=−−=−−n n n a n n a n n n. 因此原方程的通解为 ∑∞=−−−++−+=4332)1(4)1(32)1(n n n x n n x x x C y (C =a 0为任意常数). 2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解:(1)y ′=y 2+x 3, 21|0==x y ; 解 根据初始条件, 可设方程的解为∑∞=+=121n n n x a y , 代入方程得 32111)21(x x a x na n n n n n n ++=∑∑∞=∞=−, 即 ⋅⋅⋅+++++++=+∑∑∞=∞=− )2(2414312232122113211x a a a x a a x a x a x x na a n n n n n n . 比较两边同次幂的系数得411=a , 2a 2=a 1, 3a 3=a 2+a 12, 4a 4=a 3+2a 1a 2+1, ⋅ ⋅ ⋅, 于是 411=a , 812=a , 1613=a , 3294=a , ⋅ ⋅ ⋅. 因此所求特解为329161814121432⋅⋅⋅+++++=x x x x y . (2)(1−x )y ′+y =1+x , y |x =0=0;解 根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==1n n n x a y,x x a x na x n n n n n n +=+−∑∑∞=∞=−1)1(111即 . x x a n a n a n n n n +=−+−+∑∞=+1])1()1[(111比较系数得 , 11=a 212=a , )3( )1(121≥−=−=−n n n a n n a n n . 因此所求特解为∑∑∞=∞=−+=−++=232)1(1)1(121n n n n x n n x x n n x x y . 因为∑∞=−2)1(1n n x n n 的和函数为(1−x )ln(1−x )+x , 所以特解还可以写成 y =2x +(1−x )ln(1−x )+x .(3)0cos 22=+t x dt x d , x |t =0=a , 0|0==t dt dx . 解 根据初始条件, 可设方程的解为. ∑∞=+=2n n n t a a x 将, ∑∞=+=2n nn t a a x ∑∞=−−=2222)1(n n n t a n n dt x d 和∑∞=−=02)!2()1(cos n n n t n t 代 入方程得0)!2()1()()1(02222=−++−∑∑∑∞=∞=∞=−n n n n n n n n n t n t a a t a n n .将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得, a a =001=a , !22a a −=, , 03=a !424a a =, , 05=a !696a a −=, , 07=a !8558a a =, ⋅ ⋅ ⋅. 故所求特解为 !855!69!42!211(8642⋅⋅⋅++−+−=t t t t a x .习题12−21. 求下列微分方程的通解:(1)xy ′−y ln y =0;解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x −5y ′=0;解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx ,两边积分得, ∫∫+=dx x x dy )53(52即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C =为任意常数.(3)2211y y x −=′−;解 分离变量得2211x dx y dy −=−, 两边积分得∫∫−=−2211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y ′−xy ′=a (y 2+y ′);解 方程变形为(1−x −a )y ′=ay 2, 分离变量得dx x a a dy y −−=112, 两边积分得∫∫−−=dx xa a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y−−−−=−, 故通解为)1ln(1x a a C y −−+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解 分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22−=, 两边积分得∫∫−=dx xx y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=−ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .(6)y x dxdy +=10; 解 分离变量得10−y dy =10x dx ,两边积分得∫∫=−dx dy x y 1010, 即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=−−, 或 10−y =10x +C ,故通解为y =−lg(C −10x ).(7)(e x +y −e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1−e y )dx , 分离变量得dx e e dy e e xx y y +=−11, 两边积分得∫∫+=−dx e e dy e e xx y y 11, 即 −ln(e y )=ln(e x +1)−ln C ,故通解为(e x +1)(e y −1)=C .(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;解 分离变量得dx xx dy y y sin cos sin cos −=, 两边积分得∫∫−=dx x x dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=−ln(sin x )+ln C ,故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdy y ; 解 分离变量得(y +1)2dy =−x 3dx ,两边积分得∫∫−=+dx x dy y 32)1(, 即 14341)1(31C x y +−=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).(10)ydx +(x 2−4x )dy =0.解 分离变量得dx xx dy y 411(4−+=, 两边积分得∫∫−+=dx x x dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x −ln(4−x )+ln C ,故通解为y 4(4−x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y ′=e 2x −y , y |x =0=0;解 分离变量得e y dy =e 2x dx ,两边积分得, ∫∫=dx e dy e x y 2即 C e e x y +=221,或 )21ln(2C e y x +=.由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C , 所以特解2121ln(2+=x e y .(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ; 解 分离变量得tan y dy =tan x dx ,两边积分得∫∫=xdx ydy tan tan ,即 −ln(cos y )=−ln(cos x )−ln C , 或 cos y =C cos x . 由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y ′sin x =y ln y , e y x ==2π;解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y sin 1ln 1,即 C xy ln 2ln(tan )ln(ln +=, 或2tan x C e y =. 由e y x ==π2得4tan πC e e =, C =1,所以特解为2tan x e y =.(4)cos ydx +(1+e −x )sin ydy =0, 4|0π==x y ; 解 分离变量得dx e e dy y y x x +=−1cos sin , 两边积分得∫∫+=−dx e e dy y y xx 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,或 cos y =C (e x +1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.解 分离变量得dx xdy y 21−=, 两边积分得∫∫−=dx x dy y 21, 即 ln y =−2ln x +ln C ,或 y =Cx −2.由y |x =2=1得C ⋅2−2=1, C =4, 所以特解为24x y =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV )9802(5.062.0×××=, 即dt x dV )9802(5.062.0×××=. 又因为330tan x x r =°=,故 dx x dx r V 223ππ−=−=, 从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π−=×××, 即 x dt 2398025.062.03×××=π,因此 C x t +×××−=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053××××=πC ,故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(98025.062.0532252525+−=−××××=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即v t dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=. 由初始条件有C +×=2210105021, C =250. 因此 500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+×=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解 由题设知,R dt dR λ−=, 即dt RdR λ−=, 两边积分得ln R =−λt +C 1,从而 .)( 1C t e C Ce R ==−λ 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e −λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021−=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0−−==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为 xy x y −=−−2002, 故曲线满足微分方程:x y dx dy −=, 即dx x dy y 11−=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2×3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v −==, 故dx =ky (h −y )dt .又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h −at )dt ,积分得C t ka kaht x +−=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x −=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=−=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x −=.习题12−31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=−−−′x y y y x ;解 原方程变为1)(2−−=x y x y dx dy . 令xy u =, 则原方程化为 12−+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=−, 两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=−+, 即Cx u u =−+12, 将xy u =代入上式得原方程的通解Cx x y x y =−+1)(2, 即222Cx x y y =−+. (2)xy y dx dy xln =; 解 原方程变为xy x y dx dy ln =. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=−, 两边积分得ln(ln u −1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.(3)(x 2+y 2)dx −xydy =0;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx −x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=,两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).(4)(x 3+y 3)dx −3xy 2dy =0;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx −3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=−, 两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=−−, 即2312x C u −=, 将xy u =代入上式得原方程的通解 x 3−2y 3=Cx .(5)0ch 3)ch 3sh2(=−+dy xy x dx x y y x y x ; 解 原方程变为xy x y dx dy +=th 32. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x du u u 2sh ch 3=, 两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将xy u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx xy =. (6)0)1(2)21(=−++dy yx e dx e y x y x . 解 原方程变为y xy xe e y x dy dx 21)1(2+−=.令yx u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+−=+, 即u u ee u dy du y 212++−=, 分离变量得dy y du e u e uu 1221−=++, 两边积分得ln(u +2e u )=−ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将yx u =代入上式得原方程的通解 C e yx y y x =+)2(, 即C ye x y x =+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y 2−3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2−3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=−−, 或dx x du u u u 1)11113(=−+++− 两边积分得−3ln |u |+ln|u +1|+ln|u −1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2−1=Cxu 3, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2−x 2=Cy 3.由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2−x 2=y 3.(2)xy y x y +=′, y |x =1=2; 解 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212,将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy −y 2)dx +(y 2+2xy −x 2)dy =0, y |x =1=1.解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u −x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u −x 2)(udx +xdu )=0,即dx x du u u u u u 1112232−=+++−+, 或 dx x du u u u 1)1211(2=+−+, 两边积分得ln|u +1|−ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程. 解 设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x =−∫,两边求导得 x x y x x y x y 2)(21)(21)(=′−−, 即 4−=′x y y . 令xy u =, 则有 4−=+u dx du x u , 即dx xdu u 41−=, 两边积分得u =−4ln x +C . 将xy u =代入上式得方程的通解 y =−4x ln x +Cx .由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =−4x ln x +x .习题12−41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy −=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+∫⋅∫=−−−−−∫∫. (2)xy ′+y =x 2+3x +2;解 原方程变为x x y x y 231++=+′.])23([11C dx e x x e y x x +∫⋅++∫=∫−])23(1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=∫∫x Cx x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y ′+y cos x =e −sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +∫⋅∫=∫−−)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=−−−∫.(4)y ′+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫−)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=∫−∫+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx x x x x=cos x (−2cos x +C )=C cos x −2cos 2x .(5)(x 2−1)y ′+2xy −cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222−=−+′x xy x xy .)1cos(1221222C dx e x x e y x xdx x x +∫⋅−∫=∫−−−)(sin 11])1(1cos [112222C x x C dx x x xx +−=+−⋅−−=∫.(6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +∫⋅∫=∫−θρθθ )2(33C d e e +=∫−θθθ θθθ33332)32(−−+=+=Ce C e e . (7)x xy dxdy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )4(22C dx e x e x x +⋅=∫− .2222)2(x x x Ce C e e −−+=+= (8)y ln ydx +(x −ln y )dy =0;解 原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e ye x y y dy y y +∫⋅∫=∫− )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=∫ yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(−+=−x y dxdy x ; 解 原方程变形为2)2(221−=−−x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +∫⋅−∫=∫−−− ∫+−⋅−−=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x −2)[(x −2)2+C ]=(x −2)3+C (x −2).(10)02)6(2=+−y dxdy x y .解 原方程变形为y x y dy dx 213−=−. ])21([33C dy e y e x y dy y +∫⋅−∫=∫− )121(33C dy y y y +⋅−=∫ 32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =−, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=∫. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x x +∫∫=∫− )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +−=+⋅=∫. 由y |x =π=1, 得C =π−1, 故所求特解为)cos 1(1x x y −−=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|−==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +∫⋅∫=∫− )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +−=+⋅=∫. 由4|2−==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +−=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2;解 )8(33C dx e e y dx dx +∫⋅∫=∫− x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(−−−+=+=+=∫. 由y |x =0=2, 得32−=C , 故所求特解为)4(323x e y −−=. (5)13232=−+y x x dx dy , y |x =1=0. 解 )1(223232C dx e e y dx x x dx x x +∫⋅∫=∫−−− )21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=−−∫. 由y |x =1=0, 得e C 21−=, 故所求特解为)1(211132−−=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y . 解 由题意知y ′=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+∫∫=∫∫−− =e x (−2xe −x −2e −x +C )=Ce x −2x −2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x −x −1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dt dv m21−=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k e v t m k t m k dt m km k +⋅=+∫⋅∫=∫∫−− )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +−=−.由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k m k +−=− 即 )1(22121t m k e k m k t k k v −−−=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.解 由回路电压定律知01025sin 20=−−i dt di t , 即t i dt di 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(−−+−=+∫⋅∫=∫. 因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π−+=+−=−−t e e t t i t t (A).6. 设曲在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).dy x x xf dx x yf L ])(2[)(2−+∫ 解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2)]([2x x xf xx yf y −∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf ′(x )−2x , 或 1)(21)(=+′x f xx f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+∫⋅∫=∫∫−32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故xx x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy −=+;解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 11−=+, 即x x y dx y d cos sin )(11−=−−−. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [−=+−=∫−, 原方程的通解为x Ce y x sin 1−=. (2)23xy xy dxdy =−; 解 原方程可变形为x y x dxdy y =−1312, 即x xy dx y d −=+−−113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +∫⋅−∫=∫−−)(222323C dx xe e x x +−=∫− 31)31(222232323−=+−=−−x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223−=−x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy −=+; 解 原方程可变形为)21(31131134x y dx dy y −=+, 即12)(33−=−−−x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x x x Ce x C dx e x e +−−=+−=∫−12])12([, 原方程的通解为1213−−=x Ce y x .(4)5xy y dxdy =−; 解 原方程可变形为x ydx dy y =−4511, 即x y dx y d 44)(44−=+−−. ])4([444C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=∫−− )4(44C dx xe e x +−=∫− x Ce x 441−++−=, 原方程的通解为x Ce x y 44411−++−=.(5)xdy −[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解 原方程可变形为 )ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅−⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +−=+−−. ])ln 1(2[222C dx e x e y x dx x +∫⋅+−∫=∫−− ])ln 1(2122C dx x x x ++−=∫ x x x x C 94ln 322−−=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122−−=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy −=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x −=−,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=−, 积分得 C x du v f v g v v g +=−∫ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解 令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =−, 即21u du dx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =−x +tan(x −C ).(2)11+−=yx dx dy ; 解 令u =x −y , 则原方程化为 111+=−udx du , 即dx =−udu . 两边积分得 1221C u x +−=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +−−=, 即(x −y )2=−2x +C (C =2C 1).(3)xy ′+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+−, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e xy 1=. (4)y ′=y 2+2(sin x −1)y +sin 2x −2sin x −cos x +1;解 原方程变形为y ′=(y +sin x −1)2−cos x .令u =y +sin x −1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2−=−, 即dx du u =21. 两边积分得 C x u +=−1. 将u =y +sin x −1代入上式得原方程的通解 C x x y +=−+−1sin 1, 即C x x y +−−=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++−=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++−=−, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得 u uu C x ln 121ln 21+−−=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy xy y x C x ln 121ln 221+−−=+, 即 2x 2y 2ln y −2xy −1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12−51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;解 这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为x Q xy yP ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y y x dx x y x =++∫∫02202)46(3即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2−2xy −y 2)dx −(x +y )2dy =0;解 这里P =a 2−2xy −y 2, Q =−(x +y )2. 因为xQ y x y P ∂∂=−−=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y x dx a y x =+−∫∫0202)(即 a 2x −x 2y −xy 2=C .(3)e y dx +(xe y −2y )dy =0;解 这里P =e y , Q =xe y −2y . 因为x Q e yP y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y xe dx e y y x =−+∫∫000)2(即 xe y −y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y ′−y sin x +sin y =0;解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy −(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =−(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P ∂∂=−=∂∂sin cos ,所以此方程是全微分方程, 其通解为, C dy x y x dx yx =++∫∫00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C .解(5)(x 2−y )dx −xdy =0;解 这里P =x 2−y , Q =−x . 因为x Q yP ∂∂=−=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为, C xdy dx x y x =−∫∫002即 C xy x =−331. (6)y (x −2y )dx −x 2dy =0;解 这里P =y (x −2y ), Q =−x 2. 因为y x yP 4−=∂∂, x x Q 2−=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;解 这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C d e d =+∫∫θθρθρρ02022即 ρ(e 2θ+1)=C .(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.解 这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y yP 2=∂∂, y x Q =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:(1)(x +y )(dx −dy )=dx +dy ;解 方程两边同时乘以y x +1得 y x dy dx dy dx ++=−, 即d (x −y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x −y =ln(x +y )+C .(2)ydx −xdy +y 2xdx =0;解 方程两边同时乘以21y 得 02=+−xdx y xdy ydx , 即02()(2=+x d y x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+22. (3)y 2(x −3y )dx +(1−3y 2x )dy =0;解 原方程变形为xy 2dx −3y 3dx +dy −3x 2dy =0, 两边同时乘以21y 并整理得 0)33(2=+−+xdy ydx ydy xdx , 即0)(3)1()2(2=−−xy d y d x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy yx =−−3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;解 方程两边同时乘以221y x +得 022=−++dx yx ydy xdx , 即0)]ln(21[22=−+dx y x d , 所以221y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .(5)(x −y 2)dx +2xydy =0;解 原方程变形为xdx −y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x 得 0222=−+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx −3xy 2dx −xdy =0.解 方程两边同时乘以x 得2xydx −x 2dy −3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)−x 2dy −3x 2y 2dx =0, 再除以y 2得03)(2222=−−dx x ydy x x yd , 即0)(32=−x y x d 所以2y x 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=−x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy −是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解:解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy −得 0])()()]()([1=+−dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P −=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q −=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=−′−′=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy −是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2−2x 2y 2)dy =0;解 这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2−2x 2y 2 , 所以 31)]()([1y x xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=−++dy y x y x dx y x x , 其通解为C dy y x y x dx x x y x =−++∫∫122123232, 即C y x y x =−+−)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy −x 3y 3)dy =0.解 这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y −x 3 y 3 , 所以 441)]()([1yx xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以1y x 得全微分方程 02112433334=−+++dy y x y x xy dx yx xy ,其通解为C dy y x y x xy dx x x y x =−+++∫∫14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy ′+2y =4ln x ;解 原方程变为x x y x y ln 42=+′, 其积分因子为 22)(x e x x =∫=μ, 在方程x xy x y ln 42=+′的两边乘以x 2得 x 2y ′+2xy =4x ln x , 即(x 2y )′=4x ln x ,两边积分得, C x x x xdx x y x +−==∫222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x C x y +−=. (2)y ′−tan x ⋅y =x . 解 积分因子为,x e x xdx cos )(tan =∫=−μ在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y ′−sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )′=x cos x , 两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅∫cos sin cos cos , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12−61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ′′=x +sin x ;解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +−=+=′∫, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++−=+−=∫, 原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++−=. (2)y ′′′=xe x ;解 , 12C e xe dx xe y x x x +−==′′∫, 21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++−=+−=′∫, 3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++−=++−=∫原方程的通解为.32213C x C x C e xe y x x +++−= (3)211x y +=′′; 解 12arctan 11C x dx x y +=+=′∫ x C dx x x x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++−=+=∫∫ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++−=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++−=.(4)y ′′=1+y ′2;解 令p =y ′, 则原方程化为p ′=1+p 2, 即dx dp p =+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y ′=p =tan(x +C 1),, 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++−=+=∫原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++−=.(5)y ′′=y ′+x ;解 令p =y ′, 则原方程化为p ′−p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得, 1)()(111−−=+=+∫⋅∫=∫∫−−x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx 即 y ′=C 1e x −x −1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +−−=−−=∫, 原方程的通解为22121C x x e C y x +−−=.(6)xy ′′+y ′=0;解 令p =y ′, 则原方程化为 x p ′+p =0, 即01=+′p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p x x 1ln 111==∫=−−, 即 xC y 1=′, 于是 211ln C x C dx xC y +==∫, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ′′+′=y ′2;解 令p =y ′, 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅=′′, 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 112=−, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=−, 即. 22121y C p ±− 当|y ′|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=′, 即dx dy y C ±=+21)(11, 两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y ′|=|p |<1时, 方程变为 2211y C y −±=′, 即dx dy y C ±=−21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ′′−1=0;解 令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 013=−dy dp py , 即pdp =y −3dy , 两边积分得122212121C y p +−=−, 即p 2=−y −2+C 1, 故 21−−±=′y C y , 即dx dy y C ±=−−211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=−,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)yy 1=′′; 解 令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=′, 即dx dy C y ±=+11, 两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++−+±=.(10)y ′′=y ′3+y ′. 解 令p =y ′, 则dydp py =′′, 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+−p dy dp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解. 由0)1(2=+−p dydp 得 arctan p =y −C 1, 即y ′=p =tan(y −C 1),从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x −=−=+∫, 故原方程的通解为.12arcsin C e y C x +=+ 2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3 y ′′+1=0, y |x =1=1, y ′|x =1=0;解 令p =y ′, 则dy dp p y =′′, 原方程化为013=+dy dp p y , 即dy ypdp 31−=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±=′. 由y |x =1=1, y ′|x =1=0得C 1=−1, 从而yy y 21−±=′, 分离变量得dx dy yy =−±21, 两边积分得221C x y +=−±, 即22)(1C x y +−±=.由y |x =1=1得C 2=−1, 2)1(1−−=x y , 从而原方程的通解为22x x y −=.(2)y ′′−ay ′2=0, y |x =0=0, y ′|x =0=−1;解 令p =y ′, 则原方程化为02=−ap dx dp , 即adx dp p=21, 两边积分得 11C ax p +=−, 即11C ax y +−=′. 由y ′|x =0=−1得C 1=1, 11+−=′ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax a y ++−=.由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+−=ax a y .(3)y ′′′=e ax , y |x =1=y ′|x =1=y ′′|x =1=0;解 11C e adx e y ax ax +==′′∫.。

高数第五版答案(同济)12-7

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GAGGAGAGGAFFFFAFAF习题1271下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x x2解 因为x xx =2不恒为常数 所以xx 2是线性无关的(2)x2x解 因为22=xx 所以x 2x 是线性相关的(3)e2x3e2x解 因为332=xxee 所以e 2x3e 2x是线性相关的(4)exex解 因为x x x e ee 2=-不恒为常数 所以exe x是线性无关的(5)cos2x sin2x解 因为x xx 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以cos2xsin2x是线性无关的GAGGAGAGGAFFFFAFAF(6) 2xe 22xxe解 因为x exe x x 2222=不恒为常数 所以2xe 22x xe 是线性无关的(7)sin2x cos x ×sin x解 因为2sin cos 2sin =xx x 所以sin2xcos x ×sin x 是线性相关的(8)e xcos2x e xsin2x解 因为x xe x e x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以e xcos2xe x sin2x 是线性无关的(9)ln xx ln x解 因为x xx x =ln ln 不恒为常数 所以ln xx ln x 是线性无关的(10)eaxe bx(ab )GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 因为x a b ax bx e ee )(-=不恒为常数 所以eaxe bx是线性无关的2验证y 1cos x 及y 2sin x 都是方程y 2y 0的解 并写GAGGAGAGGAFFFFAFAF出该方程的通解解 因为 y 12y 12cos x 2cos x 0 y 22y 22sinx2sinx 0并且x y y ωcot 21=不恒为常数 所以y 1cos x 与y 2sin x是方程的线性无关解从而方程的通解为y C 1cos x C 2sin x提示 y 1 sin x y 12cos xy 2cos x y 12sin x3验证21xe y =及22xxe y =都是方程y 4xy (4x22)y 0的解并写出该方程的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 因为)24(2442)24(42222221211=⋅-+⋅-+=-+'-''x x x xe x xe x e x e y x y x y)24()2(446)24(4222222232222=⋅-++⋅-+=-+'-''x x x x x xe x e x e x e x xe y x y x y并且x y y =12不恒为常数所以21x e y =与222x xe y =是方程的线性无关解从而方程的通解为22221x x xe C e C y +=提示221xxe y =' 222142xxe x e y +=''22222xx e x e y +=' 223246xx e x xe y +=''4 验证(1)x x x e e C e C y 5221121++=(C 1、C 2是任意常数)是方程 y 3y2ye 5x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 令y 1e x y 2e 2x xe y 5121*= 因为y 13y 12y 1e x 3e x 2e x 0y 23y 22y 24e2x3(2e2x2e2x且xe y y =12不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程y 3y2y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为xx x x e e e e y y y 5555121212531225*2*3*=⋅+⋅-=+'-''所以y *是方程y3y 2y e 5x 的特解因此x x x e e C e C y 5221121++=是方程y 3y2ye 5x 的通解(2))sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=(C 1、C 2是任意常 数)是方程y 9y x cos x 的通解解 令y 1cos3xy 2sin3x)sin cos 4(321*x x x y +=因GAGGAGAGGAFFFFAFAF为y 19y 19cos3x 9cos3x 0y 29y 29sin3x9sin3x且x y y 3tan 12=不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程y 9y0的线 性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为 x x x x x x x x y y cos )sin cos 4(3219)cos 4sin 9(321*9*=+⋅+--=+''所以y *是方程y 9y x cos x 的特解因此)sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=是方程y9y x cos x的通解(3)y C 1x 2C 2x 2ln x (C 1、C 2是任意常数)是方程x2y3xy4y0GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF的通解解 令y 1x 2 y 2x 2ln x 因为x 2y 13xy 14y 1x 2×23x ×2x 4×x 20x 2y 23xy 24y 2x 2×(2lnx 3)3x ×(2x ln x x )4×x 2ln x 0且x y y ln 12=不恒为常数 所以y 1与y 2是方程x 2y3xy4y0的线性无关解从而yC 1x 2C 2x 2ln x 是方程的通解(4)x x x C x C y ln 92251-+=(C 1、C 2是任意常数)是方程x 2y 3xy 5y x 2ln x的通解解 令y 1x5x y 12= x x y ln 9*2-= 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAFx 2y 13xy 15y 1x 2×20x 33x ×5x 45×x 50015)1(32532322222=⋅--⋅-⋅=-'-''xxx xx y y x y x且621x y y =不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程x 2y3xy5y0的线性无关解 从而xC x C Y 251+=是齐次方程的通解又因为*5*3*2y xy y x -'-''x x x x x x x x x x ln )ln 9(5)9ln 92(3)31ln 92(222=-⋅---⋅---⋅=所以y *是方程x 2y3xy 5y x 2ln x 的特解因此x x x C x C y ln 92251-+=是方程x 2y3xy5yx 2lnx 的通解(5)2)(121xx x e e C e C x y ++=-(C 1、C 2是任意常数)是方程xy2yxy e x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解 令xe xy 11= xe xy -=12 2*x e y = 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAF0)(2)22(2223111=⋅-+-⋅++-⋅=-'+''x e x x e xe x e x e x e x xy y y x x x x x x x)(2)22(2223222=⋅---⋅+++⋅=-'+''------x e x x e xe x e x e x e x xy y y x xx x x x x且xe y y 221=不恒为常数 所以y 1与y 2是齐次方程xy 2yxy 0的线性无关解 从而)(121x x e C e C xY -+=是齐次方程的通解又因为x x x x e e x e e x xy y xy =⋅-⋅+⋅=-'+''2222**2*所以y *是方程xy 2y xy e x 的特解因此2)(121xx x e e C e C x y ++=-是方程xy 2yxy e x 的通解(6)y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2(C 1、C 2、C 3、C 4是任意常数)是方程y(4)y x 2的通解 解 令y 1e x y 2exy 3cos x y 4sin xGAGGAGAGGAFFFFAFAFy *x 2 因为y 1(4)y 1e x e x 0 y 2(4)y 2exexy 3(4)y 3cos x cos x 0 y 4(4)y 4sin x sin x 0并且04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xx e e x x e e x x e exx e e x x x x x xx x所以y 1e x y 2e xy 3cos x y 4sin x 是方程y (4)y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x 是方程的通解又因为y *(4)y *0(x 2)x 2所以y *x 2是方程y (4)y x 2的特解因此y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2是方程y (4)y x2的通解提示GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF令k 1e xk 2e xk 3cos x k 4sin x 0 则 k 1ex k 2exk 3sin x k 4cos x 0 k 1e x k 2e xk 3cos x k 4sin x 0k 1e x k 2exk 3sin x k 4cos x 0上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xxe e x x e e x x e e xx e e xxx x x x x x所以方程组只有零解 即y 1e x y 2exy 3cos xy 4sin x 线性无关如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！26829 68CD 棍40863 9F9F 龟39162 98FA 飺40501 9E35 鸵31656 7BA8 箨25851 64FB 擻30763 782B 砫O36482 8E82 躂a22364 575C 坜36929 9041 遁20408 4FB8 侸22279 5707 圇$。

高等数学同济五版下册答案

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习题8−11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为{(x , y )|x =0或y =0}.(2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界为{(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}.(3){(x , y )|y >x 2};解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x , y )| y ≥x 2}, 边界为{(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y −1)2≥1}∩{(x , y )|x 2+(y −2)2≤4}.解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,边界为{(x , y )|x 2+(y −1)2=1}∪{(x , y )|x 2+(y −2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22−+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22tytx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅−+= ),(tan 2222y x f t y x xy y x t =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x −y , xy ).解 f (x +y , x −y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x −y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2−2x +1);解 要使函数有意义, 必须y 2−2x +1>0,故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2−2x +1>0}.(2)yx y x z −++=11; 解 要使函数有意义, 必须x +y >0, x −y >0,故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x −y >0}.(3)y x z −=;解 要使函数有意义, 必须y ≥0,0≥−y x 即y x ≥, 于是有x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }.(4)221)ln(yx x x y z −−+−=; 解 要使函数有意义, 必须y −x >0, x ≥0, 1−x 2−y 2>0,故函数的定义域为D ={(x , y )| y −x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221rz y x z y x R u −+++−−−=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2−x 2−y 2−z 2≥0且x 2+y 2+z 2−r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}.(6)22arccos yx z u +=. 解 要使函数有意义, 必须x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限:(1)22)1,0(),(1limy x xy y x +−→; 解110011lim 22)1,0(),(=+−=+−→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y y x . (3)xy y x 42lim)0,0(),(+−→; 解 xy y x 42lim)0,0(),(+−→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++−=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim)0,0(),(−=++−=→xy y x . (4)11lim )0,0(),(−+→xy xy y x ; 解 11lim )0,0(),(−+→xy xy y x )11)(11()11(lim )0,0(),(−+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xy xy xy y x y x . (5)y xy y x )sin(lim )0,2(),(→; 解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xyxy y x . (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++−→. 解 22221lim )cos(1lim )()cos(1lim )0,0(),(2222)0,0(),(2222)0,0(),(y x y x y x y x y x e y x y x e y x y x →→→⋅++−=++− 01sin lim cos 1lim 00==−=→→t t t t t . 7. 证明下列极限不存在:(1)y x y x y x −+→)0,0(),(lim; 证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(==−+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0),则 1lim lim00)0,0(),(−=−=−+→=→y y y x y x y x y x . 因此, 极限y x y x y x −+→)0,0(),(lim不存在. (2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0),则 1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==−+→=→x x y x y x y x x xy y x ; 如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0),则 044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=−+→=→x x x y x y x y x x xy y x . 因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x −+→不存在. 8. 函数xy x y z 2222−+=在何处间断？ 解 因为当y 2−2x =0时, 函数无意义,所以在y 2−2x =0处, 函数x y x y z 2222−+=间断. 9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x .证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+, 所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x yx xy y x y x . 因此 0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x yx y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤−+22|0|2222y x yx xy , 所以0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x . 10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x −x 0|<δ时, 有|f (x )−f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x −x 0|<δ, 从而 |F (x , y )−F (x 0, y 0)|=|f (x )−f (x 0)|<ε,所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8−21. 求下列函数的偏导数:(1) z =x 3y −y 3x ;解 323y y x xz −=∂∂, 233xy x y z −=∂∂. (2)uvv u s 22+=; 解 21)(u v v u v v u u u s −=+∂∂=∂∂, 21)(v u u u v v u v v s −=+∂∂=∂∂. (3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理)ln(21xy y y z =∂∂. (4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅−⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y −= 根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz −=∂∂. (5)yx z tan ln =; 解 y x y y y x yxx z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂, y x y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222−=−⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(−−+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz , ]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xy xy xy y ++++=. (7)z yx u =;解 )1(−=∂∂z y x zy x u , x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂, x x zy z y x x z u z y z y ln )(ln 22⋅−=−=∂∂. (8) u =arctan(x −y )z ;解 z z y x y x z x u 21)(1)(−+−=∂∂−, z z y x y x z y u 21)(1)(−+−−=∂∂−, z z y x y x y x z u 2)(1)ln()(−+−−=∂∂. 2. 设gl T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l . 解 因为l g l T ⋅⋅=∂∂1π, g g g l gT 121(223⋅−=⋅−⋅=∂∂−ππ, 所以 0=⋅−⋅=∂∂+∂∂gl g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(y x e z +−=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂. 解 因为211(1xe x z y x ⋅=∂∂+−, 2)11(1y e y z y x ⋅=∂∂+−, 所以 z e e y z y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+−+− 4. 设yx y x y x f arcsin )1(),(−+=, 求. )1 ,(x f x解 因为x x x x f =−+=1arcsin )11()1 ,(, 所以1)1 ,()1 ,(==x f dxd x f x . 5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 242x x x z ==∂∂, αtan 1)5,4,2(==∂∂xz , 故4πα=. 6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4−4x 2y 2;解 2384xy x x z −=∂∂, 2222812y x xz −=∂∂; y x y y z 2384−=∂∂, 2222812x y yz −=∂∂; xy y x y yy x z 16)84(232−=−∂∂=∂∂∂. (2)x y z arctan=; 解 22222)(11y x y x y xy x z +−=−⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy y z +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +−=∂∂; 22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +−=+−+−=+−∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y x z x ln =∂∂, y y xzx 222ln =∂∂; 1−=∂∂x xy y z , 222)1(−−=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂−−y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, −1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x ,f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0,所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2,f yz (0, −1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyy x xy x z , x xy y x z 122==∂∂, 023∂∂∂yx z , y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z −=∂∂∂. 9. 验证:(1)满足nx e y tkn sin 2−=22xy k t y ∂∂=∂∂; 证明 因为nx e kn kn nx e ty t kn t kn sin )(sin 2222⋅−=−⋅⋅=∂∂−−, nx ne x y t kn cos 2−=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222−−=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 222−−=∂∂, 所以22x y k t y ∂∂=∂∂. (2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂.证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r x r −=∂∂−=∂∂, 由对称性知32222ry r y r −=∂∂, 32222r z r z r −=∂∂, 因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r −+−+−=∂∂+∂∂+∂∂ r r r r r z y x r 23)(332232222=−=++−=.习题8−31. 求下列函数的全微分:(1)yx xy z +=; 解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy yxx dx y y )()1(2−++=. (2)x ye z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+−=∂∂+∂∂=. (3) 22yx y z +=; 解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +−=+−=∂∂−, 2/3222222222)(y x x y x y x y y y x z +=++⋅−+=∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++−=)()(2/322xdy ydx y x x −+−=. (4)u =x yz .解 因为1−⋅=∂∂yz x yz x u , x zx y u yz ln =∂∂, x yx zu yz ln =∂∂, 所以xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=− 2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分.解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x x z, 3221=∂∂==y x y z,所以 dy dx dz y x 323121⋅+===. 3. 求函数xy z =当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时的全增量和全微分. 解 因为x y x x y y z −Δ+Δ+=Δ, y x x xy dz Δ+Δ−=12, 所以, 当x =2, y =1, Δx =0.1, Δy =−0.2时,119.0211.02)2.0(1−=−+−+=Δz , 125.0)2.0(211.041−=−+×−=dz . 4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时的全微分.解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂= 所以, 当x =1, y =1, Δx =0.15, Δy =0.1时,e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=*5. 计算33)97.1()102(+的近似值.解 设33y x z +=, 由于y y z x x z y x y y x x Δ∂∂+Δ∂∂++≈Δ++Δ+3333)()(332233233y x y y x x y x +Δ+Δ++=, 所以取x =1, y =2, Δx =0.02, Δy =−0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+−⋅⋅+⋅++≈+.*6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y Δ∂∂+Δ∂∂+≈Δ+Δ+)(y x x x yx x y y y Δ+Δ+=−ln 1, 所以取x =2, y =1, Δx =−0.03, Δy =0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cn 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z Δ+Δ+=Δ+Δ=≈Δ, 当x =6, y =8, Δx =0.05, Δy =−0.1时,05.0)1.0805.0686122−=⋅−⋅+≈Δz . 这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h ,ΔV ≈dV =2πRh ΔR +πR 2Δh ,当R =4, h =20, ΔR =Δh =0.1时,ΔV ≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm 3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z Δ⋅∂∂+Δ⋅∂∂≤≈Δ|)|||(122y y x x yx Δ+Δ+=. 令x =7, y =24, |Δx |≤0.1, |Δy |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm . *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=. zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈Δ. 令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则 55.2718021278631.0232631.023278=×××+××+××≈πδs , 82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS , %29.182.212755.27==S s δ, 所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55 m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ∂∂+Δ∂∂=≈Δ. 所以两数之和的绝对误差|Δu |等于它们各自的绝对误差|Δx |与|Δy |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.证明 设u =xy , yx v =, 则Δu ≈du =ydx +xdy , 2y xdy ydx dv v −=≈Δ, 由此可得相对误差;ydy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈Δy y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤; y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v −=⋅−==Δ2y y x x y dy x dx Δ+Δ=+≤.习题8−41. 设z =u 2−v 2, 而u =x +y , v =x −y , 求x z ∂∂, yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x , yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(−1)=2(u −v )=4y . 2. 设z =u 2ln v , 而yx u =, v =3x −2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x −+−=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ )2()(ln 222−+−⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x −−−−=. 3. 设z =e x −2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz . 解 dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅−⋅+=−− .)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x −=−=−− 4. 设z =arcsin(x − y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz . 解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x −−−+⋅−−= 232)43(1)41(3t t t −−−=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz . 解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xx x e x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+−=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dx du . 解 dxdz dz u dx dy y u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂= )sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax −⋅+−⋅+++−= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++−+=x e ax sin =. 7. 设y x z arctan =, 而x =u +v , y =u −v , 验证22v u v uv z u z +−=∂∂+∂∂. 证明 )()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂ )()(111)(11222y x y x y y x −⋅++⋅+=)1()()(111)(11222−⋅−⋅++⋅++y x yx y y x 22222v u v u y x y +−=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数):(1) u =f (x 2−y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号,2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy ′+′=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy ′+′−=∂∂⋅′+∂−∂⋅′=∂∂. (2) ,(zy y x f u =; 解 1211)()(f yz y x f y x x f x u ′=∂∂⋅′+∂∂⋅′=∂∂, )()(21z y y f y x y f y u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂2121f z f yx′+′−=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅′+∂∂′=∂∂22f z y ′−=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅′+⋅′+⋅′=∂∂3211321f yz f y f ′+′+′=, 3232f xz f x xz f x f yu ′+′=⋅′+⋅′=∂∂, 33f xy xy f zu ′=⋅′=∂∂. 9. 设z =xy +xF (u ), 而xy u =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅)([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂′+⋅+∂∂′++= )]([)]()([u F x y u F xy u F y x ′+⋅+′−+= =xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f y z −=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222′−=⋅′⋅−=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()(′−+=−⋅′⋅−=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+′+′−=∂∂⋅+∂∂⋅211y z zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22xz ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ),f x xu u f x z ′=∂∂′=∂∂2)(, f y y u u f y z ′=∂∂′=∂∂2)(, f x f x u f x f xz ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ′′=∂∂⋅′′=∂∂∂422, f y f y u f y f y z ′′+′=∂∂⋅′′+′=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).u f y vf y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0, vf u f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数.)()()(22u f x y uf y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=, )(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yv v u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u f y uf xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(, )()()()(22v f y u f y x vf u f x y y z y y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ yv v f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vf x u v f v u f x u f x2222222v f v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =; 解 令u =x , yx v =, 则z =f (u , v ). v f y u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1, vf y xdy dv v f y z ∂∂⋅−=⋅∂∂=∂∂2. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f ∂∂和v f ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f ∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xv v f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂= 22222212v f y v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=, 1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= yv v f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂⋅∂∂∂=22211 221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂∂⋅−= ()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅−∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322vf y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅−∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1′⋅y 2+f 2′⋅2xy =y 2f 1′+2xyf 2′,z y =f 1′⋅2xy +f 2′⋅x 2=2xyf 1′+x 2f 2′;z xx =y 2[f 11′′⋅y 2+f 12′′⋅2xy ]+2yf 2′′+2xy [f 21′′⋅y 2+f 22′′⋅2xy ] =y 4f 11′′+2xy 3f 12′′+2yf 2′′+2xy 3f 21′′+4x 2y 2 f 22′′=y 4f 11′′+4xy 3f 12′′+2yf 2′′+4x 2y 2 f 22′′,z xy =2y f 1′+y 2[f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+2xf 2′+2xy [f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2y f 1′+2xy 3f 11′′+x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+4x 2y 2f 21′′+2x 3yf 22′′ =2y f 1′+2xy 3f 11′′+5x 2y 2 f 12′′+2xf 2′+2x 3yf 22′′,z yy =2xf 1′+2xy [f 11′′⋅2xy +f 12′′⋅x 2]+x 2[f 21′′⋅2xy +f 22′′⋅x 2] =2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+2x 3y f 12′′+2x 3yf 21′′+x 4f 22′′=2xf 1′+4x 2y 2f 11′′+4x 3y f 12′′+x 4f 22′′.(4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1′⋅cos x + f 3′⋅e x +y =cos x f 1′+e x +y f 3′,z y =f 2′⋅(−sin y )+ f 3′⋅e x +y =−sin y f 2′+e x +y f 3′,z xx =−sin x f 1′+cos x ⋅(f 11′′⋅cos x + f 13′′⋅e x +y )+e x +y f 3′+e x +y (f 31′′⋅cos x + f 33′′⋅e x +y ) =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e x +y cos x f 31′′+e 2(x +y ) f 33′′ =−sin x f 1′+cos 2x f 11′′+2e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′+e 2(x +y ) f 33′′, z xy =cos x [f 12′′⋅(−sin y )+ f 13′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′+e 2(x +y )f 33′ =−sin y cos x f 12′′+e x +y cos x f 13′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+e 2(x +y )f 33′′, z yy =−cos y f 2′−sin y [f 22′′⋅(−sin y )+ f 23′′⋅e x +y ]+e x +y f 3′+e x +y [f 32′′⋅(−sin y )+ f 33′′⋅e x +y ] =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′−e x +y sin y f 32′′+ f 33′′⋅e 2(x +y ) =−cos y f 2′+sin 2y f 22′′−2e x +y sin y f 23′′+e x +y f 3′+f 33′′⋅e 2(x +y ).13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而3t s x −=, 3t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321y u x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅−=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂−+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(2yu x u s s u s s u ∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ (23)(212222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= 2321(23)2321(212222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(2yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(232222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂−= )2123(21)2123(232222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−+∂∂∂⋅+∂∂⋅−−=22222412343y uy x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅−∂∂⋅=,所以 22222222y u x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8−51. 设sin y +e x −xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x −xy 2, 则F x =e x −y 2, F y =cos y −2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222−−=−−−=−=.2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy. 解 令xyy x y x F arctan ln ),(22−+=, 则22222222)()(11221y x y x xy x y y x x y x F x ++=−⋅+−+⋅+=,22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +−=⋅+−+⋅+=,yx y x F F dx dyy x −+=−=. 3. 设022=−++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(−++=, 则 xyz yz F x −=1, xyzxz F y −=2, xyz xyF z −=1,xy xyz xyz yz F F x z z x −−=−=∂∂, xy xyz xyz xz F F y zz y −−=−=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及yz ∂∂, 解 令yz z x z y x F ln ),,(−=, 则z F x 1=, y yzyz F y 1)(12=−⋅−=, 2211z z x y y z z x F z +−=⋅−−=,所以 z x z F F x z z x +=−=∂∂, )(2z x y z F F y z z y +=−=∂∂.5. 设2sin(x +2y −3z )=x +2y −3z , 证明1=∂∂+∂∂yz x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y −3z )−x −2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y −3z )−1,F y =2cos(x +2y −3z )⋅2−2=2F x , F z =2cos(x +2y −3z )⋅(−3)+3=−3F x ,313=−−=−=∂∂x x z x F F F F x z , 3232=−−=−=∂∂x x z y F F F F y z ,于是 13231=+=−−=∂∂+∂∂z z z x F FF F yz x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z yy x .解 因为x y F F y x −=∂∂, y z F F zy −=∂∂, z x F F x z−=∂∂,所以 1()()(−=−⋅−⋅−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F xz z yy x .7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx −az , cy −bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足c yz b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为v u uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅−⋅−⋅−=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a v u vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z−xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z −xyz , 则F x =−yz , F z =e z −xy , xye yzF F x z z x −=−=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z −−∂∂−−∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y z z z −−−−+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz −−−=. 9. 设z 3−3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3−3xyz −a 3, 则xy z yz xy z yz F F x z z x −=−−−=−=∂∂22333, xyz xz xy z xz F F y z z y −=−−−=−=∂∂22333, )()(22xyz yzy x z y y x z −∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂222)()2())((xy z x y z z yz xy z yz y z −−∂∂−−∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz y z −−−−−⋅−+=322224)()2(xy z y x xyz z z −−−=.10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:(1)设, 求⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z dx dy , dx dz; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−xdx dz z dxdy y xdx dz dx dy y 3222.解方程组得)13(2)16(++−=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设, 求⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x dz dx ,dz dy ;解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dzdx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+zdz dy y dz dx x dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x −−=∂∂, yx xz z y −−=∂∂. (3)设, 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求⎩⎨⎧−=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u x u ∂∂,x v ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅′+−∂∂⋅′=∂∂∂∂⋅′+∂∂+⋅′=∂∂x v yv g x u g x v x v f x u x u f x u 21212)1()( , 即⎪⎩⎪⎨⎧′=∂∂⋅⋅−′+∂∂′′′−=∂∂⋅′+∂∂−′121121)12()1(g x v g yv x u g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ′′−−′−′′′−−′′−=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ′′−−′−′−′+′′=∂∂.(4)设, 求⎩⎨⎧−=+=v u e y v u e x u u cos sin x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得, 即, ⎩⎨⎧+−=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin ⎩⎨⎧=+−=++dy vdv u du v e dxvdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (从中解出du , dv 得dy v v e v dxv v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +−−++−=, v v e u e v dx v v e u e v dv u uu u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +−+++−−=,从而1)cos (sin sin +−=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +−−=∂∂v v e vy u u ,]1)cos (sin [cos +−−=∂∂v v e u e v x v u , ]1)cos (sin [sin +−+=∂∂v v e u e v y v u.11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组可确定两个一元隐函数, 方⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y ⎩⎨⎧==)()(x t t x y y 程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dxdt t f x f dx dy ,移项得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂−=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂−x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂−=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yF t f t F x Ft f t F x f t Fx F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂−∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂−∂∂−∂∂⋅=1.习题8−61. 求曲线x =t −sin t , y =1−cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (−π处的切线及法平面方程.解 x ′(t )=1−cos t , y ′(t )=sin t , 2cos 2)(t t z =′. 因为点)22 ,1 ,12 (−π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (−π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T .因此在点)22 ,1 ,12(−π处, 切线方程为22211121−=−=−+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=−+−⋅++−⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=′, 21)(t t y −=′, z ′(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(−=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为21124121−=−−=−z y x , 即8142121−=−−=−z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=−+−−−z y x , 即2x −8y +16z −1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m −x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m −x 的两边 对x 求导, 得m dx dyy22=, 12−=dxdz z , 所以y m dx dy=, z dx dz 21−=.曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m −=T , 所求的切线方程为000211z z z y m y y x x −−=−=−, 法平面方程为0)(21)()(00000=−−−+−z z z y y y m x x . 4. 求曲线在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+−=−++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y .解此方程组得z y z x dx dy 61015410−−−−=, z y y x dx dz 610946−−−+=. 因为169)1,1,1(=dx dy, 161)1,1,1(−=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111−−=−=−z y x , 即1191161−−=−=−z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=−−−+−z y x , 即16x +9y −z −24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4. 解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x ′=1, y ′=2t , z ′=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =−1, 31−=t . 于是所求点的坐标为(−1, 1, −1)和)271 ,91 ,31(−−. 6. 求曲面e z −z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=e z −z +xy −3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z −1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x −2)+2(y −1)+0⋅(z −0)=0, 即x +2y −4=0,法线方程为02112−=−=−z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x −x 0)+by 0(y −y 0)+cz 0(z −z 0)=0,即 , 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++法线方程为00000cz z z by y y ax x x −=−=−.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x −y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2−1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, −1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =−=, 即z x 21=, z y 41−=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+−+z z z , 解得1122±=z , 则1122±=x , 11221∓=y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±±∓. 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+−±z y x ∓, 即 2112±=+−z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2−16, 则点(−1, −2, 3)处的法向量为n 2=(F x , F y , F z )|(−1, −2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(−1, −2, 3)=(−6, −4, 6).点(−1, −2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F −++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=−+−+−z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8−71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数 解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故)cos ,(cos 23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy ′=4, 解得yy 2=′. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y ′(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +−=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222−+=b y a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a xF F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22b a b y a x b a −=−=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ,(2222βα=+−+−=b a a b a b n e . 又因为a a x x zb a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, bb y y z b a b a 222,2(2)2,2(−=−=∂∂, 所以 222222222cos cos b a abb a a b b a b a y z x z n z +=+⋅++⋅=∂∂+∂∂=∂∂βα. 4. 求函数u =xy 2+z 3−xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3 πγ=的方向的方向导数.解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为 1)()2,1,1(2)2,1,1(−=−=∂∂yz y x u, 0)2()2,1,1()2,1,1(=−=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=−=∂∂xy z z u , 所以 5211122021)1(cos cos cos =⋅+⋅+⋅−=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u .5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9−5, 4−1, 14−2)=(4, 3, 12), )1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz x u , 10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u, 所以 139813125133101342cos cos cos =⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导.解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1, 1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l , )143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u, 所以 1412143214221412cos cos cos )1,1,1(=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαz u y u x u l u . 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2−1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 000000111cos cos cos z y x z y x zu y u x u n u ++=⋅+⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα. 8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x −2y −6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).。

XXX第五版高数习题答案

XXX第五版高数习题答案

XXX第五版高数习题答案1.设 $u=a-b+2c,v=-a+3b-c$，则 $2u-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)=5a-11b+7c$。

2.假设平面四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 互相平分，设 $M$ 为 $AC$ 和 $BD$ 的交点，则$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overri ghtarrow{AC})$，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BD}+\overri ghtarrow{BA})$。

由此可得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A M}$，$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{B M}$。

将两式相加得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{BA}=2(\overrightarrow{AM}+\overrightarro w{BM})$，即$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD }+\overrightarrow{DA}=0$。

因此，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

3.设 $D_1,D_2,D_3,D_4$ 分别为 $\triangle ABC$ 的边$BC$ 上的五等分点，则$\overrightarrow{AD_1}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 4}{5}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD_2}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 3}{5}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD_3}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 2}{5}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD_4}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{ 1}{5}\overrightarrow{AC}$。

微积分第五版影印版)课后练习题含答案

微积分第五版影印版)课后练习题含答案

微积分第五版影印版课后练习题含答案本文提供微积分第五版影印版课后练习题及其答案，方便读者进行练习和自我检验。

前言微积分是高等数学中最基础也是最重要的一门学科，在各个领域中都有广泛的应用。

本文提供微积分第五版影印版的课后练习题及其答案，希望读者通过练习，加深对微积分的理解，提高自己的能力。

课后习题第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.已知函数f(x)=2x+1，求f(3)。

答案：$f(3)=2 \\times 3 +1=7$。

2.已知函数y=x2+1，求y(2)。

答案：y(2)=22+1=5。

3.已知函数f(x)=x3+3x，求f(−2)。

答案：$f(-2)=(-2)^3+3 \\times (-2)=-8-6=-14$。

…注：为了节约篇幅，本文仅列举几道习题及其答案。

第二章导数与微分2.1 导数的概念1.求函数y=x2在x=1的导数。

答案：y′=2x|x=1=2。

…第三章微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理及其应用1.证明函数y=x2在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。

答案：由罗尔定理可得，若f(a)=f(b)，且f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，那么必存在一点 $c\\in(a,b)$，使f′(c)=0。

在本题中，f(0)=0，f(1)=1，f(x)=x2在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，于是满足罗尔定理的条件。

…第四章曲线的性质与应用4.1 曲率1.求函数y=x3在点(1,1)处的曲率半径。

答案：函数y=x3的导函数为y′=3x2，曲率公式为$R=\\frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}$。

在点(1,1)处，$y'=3\\times1^2=3$，y″=6x|x=1=6。

代入公式得$R=\\frac{[1+3^2]^{3/2}}{|6|}=\\frac{10\\sqrt{10}}{9}$。

…结语本文提供了微积分第五版影印版的课后习题及其答案，希望对读者有所帮助。

同济大学《高等数学》第五版[上册]的答案解析

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练习 11-7
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练习 10-4
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练习 9-3
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总习题八
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练习 6-3

高等代数第五版(下)重点习题解

Page216向量空间7.证明对于任意正整数n 和任意向量α，都有个n ααα+⋯+=n（提示）利用数学归纳法4.设V 是一个向量空间，且V ≠{0}.证明：V 不可能表示成它的两个真子空间的并集。

证：设 W 1、W 2都是V 的真子集，且V ={}0，则至少有一个V 的非零向量W α∉1且至少有一个V 的非零向量W β∉2 ,(1)若W α∉2 则 因为W α∉1 ⇒Wα∉1W 2 命题得证． (2)若1W β∉则 因为W β∉2 ，⇒Wβ∉1W 2命题得证．(3)若W α∈2 ，而1W β∈，在这种情况下，我们考虑向量V αβ+∈．以下证明1W αβ+∉，且2W αβ+∉．(ị)若1W αβ+∈，则有1W γαβ=+∈，因为1W 是子空间⇒1W αγβ=-∈，这与W α∉1矛盾，所以1W αβ+∉，(ịị)若2W αβ+∈，则有2W δαβ=+∈，因为2W 是子空间⇒2W βδα=-∈，这与W β∉2矛盾．所以2W αβ+∉，于是有V αβ+∈，但Wαβ+∉1W 2综上表明12V W W ≠+．5.设W ，W 1，W 2都是向量空间V 的子空间，其中W 1⊆W 2，且W ∩W 1=W ∩W 2,W+W 1=W+W 2.证明W 1=W 2。

证：22W α∀∈因为2W ⊆W W +2W =W +1 ，所以21ααα=+，（W α∈，11W α∈）那么21ααα=-，又因为12W W ⊆，故212Wααα=-∈，所以21W W WW α∈=，因而1W α∈⇒11W αα+∈⇒21W α∈，即21W W ⊆，又12W W ⊆，故12W W =Page2276.3 向量的线性相关性3.令12(,,,),1,2,,.ni i i in a a a F i n α=∈=证明12,,,n a αα线性相关必要且只要行列1112121222120n n n n nna a a a a a a a a =证：1,,,na a 线性相关⇔有不全为零的数1,,,nk k 使10ni ii k a==⇔∑齐次11nnij ij i a k==∑∑有非零解⇔系数行列式ij a =．5.设,,,αβγ线性无关.证明,,αββγγα+++也线性无关.证：令123()()()0k k k αβγβαγ+++++=得齐次线性方程组121332000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 而它只有零解．6.设向量组{}12,,,(2)r r ααα≥线性无关.任取121,,,.r k k k F -∈证明,向量组111222111,,,,r r r r r r r k k k a βααβααβαα---=+=+=+线性无关.证：令1ri ii k β==∑把1,,,rββ的表示代入上式，用1,,,rk k 的线性相关证明1,0r k k ===．6.4 基和维数2．求下列子空间的维数：(i)3((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4));L R --⊆ (ii)22(1,1,)();L x x x x F x ---⊆ (iii)23(,,)[,].x x xL e e e C a b ⊆ 提示：12(,,,)n L ααα的维数为12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数．(ị)维数为2，因为2353420124--=，即它们线性相关，而其中任意两个都线性无关．(ịị)维数为2．(ịịị)维数为3．3．把向量组{}(2,1,1,3),(1,0,1,2)--扩充为4R 的一个基．提示：1(2,1,1,3)α=-2(1,0,1,2)α=-线性无关（不成比例）而1(1,0,0,0)ε=，2(0,1,0,0)ε=，3(0,0,1,0)ε=，4(0,0,0,1)ε=是4R 的一个基，所以1α，2α可由1ε，2ε，3ε，4ε表示，而1α，2α，1ε，2ε线性无关，故1α，2α，1ε，2ε是4R 的一个基．4．令S 是数域F 上一切数满足条件/A A =的n 阶矩阵A 所成的向量空间．求S 的维数．提示：因为S 是数域F 上一切满足'A A =的n 解矩阵A 所称的向量空间．令i j E 表示第i 行第j列交叉处是1 而其它元素全为零的n 解方阵，(i j E +')ji E =i j E +j iE ， S 的一组基为: 11E ,22E ,,nn E ;12E +21E ,,1n E +1n E ;23E +32E ,,2n E +2n E ; ,1n n E -+1nn E -,故(1)dim (1)212n n S n n -=+-+++=．5．证明，复数域C 作为实数域R 上向量空间，维数是2．如果C 看成它本身上的向量空间的话，维数是几？ 提示：1,i 在实数域R 上线性无关，且C 中任意复数均可由它们线性表示，故C 作为R 上的向量空间，维数为2．C 作为C 上的向量空间，维数为1．（任一非零复数均为它的基）6.5坐标１．设{}12,,,n a a a 是Ｖ的一个基．求由这个基到{}21,,,n a a a 的过渡矩阵．结果： 000110000100010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭（提示：线性表示可得）．2．证明，{}332,,1,1x xx x x +++是3()F x （数域Ｆ上一切次数3≤的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标：(i) 223x x ++; (ii) 3;x (iii) 4; (iv) 2x x -.结果：(i) (0,0,1,2); (ii) (1,0,0,0); (iii) (4,-4,0,4); (iv) (0,0,1,1) (提示：利用246P 公式（6）（取3[]F x 的基{}231,,,x x x ）即得由{}231,,,x x x 到{}332,,1,1x x x x x +++的过渡矩阵．)4．设123123(1,2,1),(0,1,3),(1,1,0);(2,1,5),(2,3,1),(1,3,2).αααβββ=-=-=-==-=证明{}123,,ααα和{}1,23,βββ都是3R 的基，求前者到后者的过渡矩阵．结果：717422915424153424⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭提示：取3R 的标准基，且求出123(,,)(ααα=123,,)A εεε，123(,,)(βββ=123,,)B εεε，并,A B 都可逆，即证得123(,,)ααα，123(,,)βββ都是3R 的基，从而有123(,,)βββ=1123(,,)A B ααα-，即1A B -为由123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵．5．设{}12,,,n a αα是F 上n 维向量空间V 的一个基．A 是F 上一个n s ⨯矩阵．令．1211(,,,)(,,,)s n A βββααα=.证明：12dim (,,,)s L βββ=秩A ．证：设 秩A r =，则存在F 上n 阶可逆矩阵P 和Q ，使000rI A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭（r I 为单位矩阵）．1212(,,,)(,,,)n n P r r r ααα=，即12,,,nr r r 线性无关．于是有12(,,,)s βββ=12(,,,)n P ααα000r I Q⎛⎫ ⎪⎝⎭12(,,,)n r r r =000r I Q⎛⎫ ⎪⎝⎭12(,,,,0,,0)r r r r Q =，从而12,,,sβββ与12,,,,r r r r 等价，故有dim L 12(,,,)s βββdim L =12(,,,)r r r r r ==秩A ．6.6向量空间2．设:f V W →是向量空间V 到W 的一个同构映射，1V 是V 的一个子空间．证明1()f V 是W 的一个子空间．证10V ∈,而1(0)0()f f V =∈，∴1()f V 是W 的一个非空子集．设,αβ∈1()f V ，所以存在11,αβ∈1V ，使得1()f αα=，1()f ββ=， ,a b F ∀∈， 有 a b αβ+=1()af α1()bf β+ =()f a b αβ+， 111a b V αβ+∈，a b αβ+∈1()f V ，故1()f V 是W 的子空间．6.7矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关． 证：设()i j n nA a ⨯=，0A =⇔秩A n <⇔行（列）空间的维数n <⇔A 的行（列）线性相关．2．证明，秩()A B +≤秩A +秩B提示：1W ，2W 是V 的子空间，由维数公式知，dim(1W +2W ）=秩1W +秩2W ，令1W =A 的行空间，2W =B 的行空间，比较维数，结论得证．3．设A 是一个m 行的矩阵，秩A r =，从A 中任取出s 行，作一个s 行的矩阵B ．证明，秩B r s m ≥+-． 证明：11S S m A αααα+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（i α为A 的第i 行），1S B αα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，100S A αα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100S m αα+⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭据第2题，得，秩A ≤秩100S αα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即r ≤秩B +秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，因m ≥秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+S ，所以秩B r ≥-秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()r m s r s m ≥--=+-5．求齐次线性方程组 12345123451234523450323054330220x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++=⎩的一个基础解系．解：对系数矩阵施行初等行变换后，得 10110012200000100000--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1342345220x x x x x x x =+⎧⎪∴=--⎨⎪=⎩， 基础解系为()'12100-， ()'12010-．6．证明定理6.7.3的逆命题：nF 的任意一个子空间都是某一含n 个未知量的齐次线性方程组的解空间．证明：设W 是nF 的任一子空间，而且dim W r =，令1111(,)n a a α=,1(,)r r r n a a α=是W 的一个基，以12,,,r ααα为行构成矩阵r n A ⨯，经初等行变换（必要时交换列）将化为111212110010001r n r n r r rn c c c c c c +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，因此111(1r r r c c ++ 00),()1001nr n cc 是100n x A x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的基础解系，而12,,,r ααα正是111110001r n r nr nc c c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1n y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭00⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （＊）的基础解系，所以（＊）的解空间为W ．第七章 线性变换7.1线性映射2.设V 是数域F 上一个一维向量空间,证明V 到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是:对于任意V ξ∈,都有()a σξξ=，这里a 是F 中一个定数.证： 必要性：设0α≠是V 的一个基，由σ是V 到自身的线性映射，有()V σα∈．设()a σαα=（a 是F 中的一个定数）．所以，V ξ∀∈，有()V σξ∈，而k ξα=（k 是F 中的任意数），则有()()k σξσα=()k σα=()k a α==()a k α=a ξ．充分性a 是F 中的一个定数，∴V ξ∀∈，都有唯一确定的V 中的向量a ξ，使得()σξ=a ξ．12,Vξξ∀∈及12,a a F ∈，1122()a a σξξ+=a 1122()a a ξξ+=1a 1()a ξ+22()a a ξ=11()a σξ+ 22()a σξ．∴σ是V 到自身的线性映像．４.令4F 表示数域F 上四元列空间.取 1151112331811397A --⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭对于4F ξ∈,令()A σξξ=.求线性映射σ的核和像的维数.解：先求k e r ()σ的维数．1234x x x x ξ⎛⎫ ⎪ ⎪∀=∈⎪ ⎪⎝⎭k e r ()σ，由核的定义，有()σξ＝0A ξ=．即1151112331811397--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭12340000x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，()Ker σ就是齐次线性方程组的解空间，由解空间的维数定理，得dim ()Ker σ=解空间的维数＝４－秩A ＝４－２＝２，再求Im()σ的维数．4F ξ∀∈，取4F 的标准基1,ε2,ε3,ε4,ε有:1k ξ=12k ε+23k ε+34k ε+4,ε()σξ=A ξ=A 1(k 122k εε+3k +34k ε+4)ε=1k (A 12)k ε+(A 23)k ε+(A34)k ε+(A 4),ε∴Im()σ=1234(,,,)L A A A A εεεε1234(,,,)L A A A A =, (i A 是A 的第i 列)，故dim Im()σ=秩A =2．7.2线性变换的运算3.设V 是数域F 上一个有限维向量空间.证明,对于V 的线性变换σ来说,下列三个条件是等价的: (i)σ是满射;(ii)ker()0σ=;(iii)σ非奇异. 当V 不是有限维时,(i),(ii)是否等价?提示：参照7.1习题第6题中充分性的证明．7.3线性变换和矩阵1.令[]n F x 表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，:()'()f x f x σ.求σ关于以下两个基的矩阵:(1) 21,,,,n x x x ,(2)2()()1,,,,2!!nx c x c x c n ---.解（1）(1)0100nx x σ=⋅+⋅++⋅，()1100nx x x σ=⋅+⋅++⋅，,1()0100nn n x x nx x σ-=⋅+⋅++⋅∴σ关于基1,,,n x x 的矩阵为010********00000000n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（它的阶数为1n +）．（2）同理，σ关于基2()()1,,,2!!nx c x c x c n ---的矩阵为010000000001000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭2.设F 上三维向量空间的线性变换σ关于基123{,,}ααα的矩阵是1511520158876-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．求σ关于基112321233123233422βαααβαααβααα=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 的矩阵.设1232ξααα=+-．求()σξ关于基123,,βββ的坐标.解：已知σ关于基123{,,}ααα的矩阵为1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为231342112T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1652431111T ---⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，设σ关于基123,,βββ的矩阵为B ，则有1B T AT -==100020003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，设ξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)x x x ，()σξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)y y y ，则有112233y x y B x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ关于123,,ααα的坐标为(2,1,1)-，所以123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1211T -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，所以123y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1211BT -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭580-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭． 3.设12{,,,}n γγγ是n 维向量空间V 的一个基11,,1,2,,nnj ij i j ij i i i a b j nαγβγ=====∑∑并且12,,,n ααα线性无关,又设σ是V 的一个线性变换,使得(),1,2,,j j j nσαβ==.求σ关于基12{,,,}n γγγ的矩阵.解 ：由已知，有12(,,,)n ααα12(,,,)n r r r A =（A 可逆）， 12(,,,)n βββ12(,,,)n r r r B =，12((),(),,())n r r r σσσ=112((),(),,())n A σασασα-=112(,,,)n A βββ-112(,,,)n r r r BA -=，故σ关于基12,,,n r r r 的矩阵为1BA -．4.设,A B 是n 阶矩阵,且A 可逆,证明,AB 与BA 相似. 证：11111()()()()AB AB AA A BA A A BA A -----===，∴BA 与AB 相似．5.设A 是数域F 上一个n 阶矩阵.证明,存在F 上一个非零多项式()f x 使得()0f A =.证：F 上所有n 阶矩阵作成F 上的向量空间()n M F ，其维数是2n ．所以，0I A =，22,,,n A A A 一定线性相关，∴存在不全为零的数：2012,,,n a a a a F∈，使得222012n n a I a A a A a A ++++0=，设()f x 222012n n a a x a x a x=++++，因系数不全为零，∴()0f x ≠且有()0f A =．。

同济第五版高数习题答案

习题9−11. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q.解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分.2. 设,其中D1={(x, y)|−1≤x≤1, −2≤y≤2};又,其中D2={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系.解I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积.I 2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积.显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V1是V位于第一卦限中的部分,故V=4V1, 即I1=4I2.3. 利用二重积分的定义证明:(1)∫∫ (其中σ为D的面积);证明由二重积分的定义可知,其中Δσi表示第i个小闭区域的面积.此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以.(2)∫∫ (其中k为常数);证明.(3),其中D =D 1∪D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域和,n 1+n 2=n , 作和.令各和的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有,即 .4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:(1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线x +y =1所围成;解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3≤(x +y )2, 从而≤.(2)∫∫与其中积分区域D 是由圆周(x −2)2+(y −1)2=2 所围成;解区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而.(3)∫∫与其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有[ln(x +y )]2≤ ln(x +y ),因而 .(4)∫∫与其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.解 区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而 ln(x +y )≥1, 因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ),故 .5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:(1), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解 因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得0≤xy (x +y )≤2,于是 ,即 .(2), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};解 因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是可得,即 .(3), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};解 因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是可得,即 .(4), 其中D ={(x , y )| x2+y 2≤4}.解 在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以 9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25.于是 ,,即 .习题9−21. 计算下列二重积分:(1)∫∫, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : −1≤x ≤1, −1≤y ≤1. 于是.(2)∫∫, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2−x . 于是.(3)∫∫, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解.(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,..2. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1), 其中D是由两条抛物线 ,所围成的闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤x≤1, }. 于是.(2)∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| −2≤y≤2, }. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1};解积分区域图如,并且D={(x, y)| −1≤x≤0, −x−1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x−1≤y≤−x+1}. 于是=e−e−1.(4)∫∫, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, }. 于是.3. 如果二重积分的被积函数f (x , y )是两个函数f1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x ,y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即证明 ,而 ,故 .由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| }, 或D ={(x , y )| },所以或.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )| },或D ={(x , y )|},所以 , 或 .(3)由直线y =x , x =2及双曲线(x >0)所围成的闭区域;解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| },或D ={(x , y )| }∪{(x , y )| },所以 , 或.(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解 如图所示, 用直线x =−1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3,D 4. 于是用直线y =1, 和y =−1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4, 如图所示. 于是5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域,证明:.证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }.于是 , 或.因此 .6. 改换下列二次积分的积分次序:(1);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以.(2);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, }, 所以.(3) ; 解由根据积分限可得积分区域如图.因为积分区域还可以表示为 , 所以(4);解 由根据积分限可得积分区域, 如图.因为积分区域还可以表示为所以.(5)∫∫;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y≤x ≤ e }, 所以(6)(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域 , 如图.因为积分区域还可以表示为,所以 .7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x ,y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为.8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为.9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6−z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1−x }, 所求立体的体积为以曲面z =6−x 2−y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即.10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6−2x 2−y 2所围成的立体的体积.解 由消去z , 得x2+2y 2=6−2x 2−y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以.11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x }; 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以.(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.(4){(x , y )| 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1}. 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1);解 积分区域D 如图所示. 因为,所以.(2) ; 解 积分区域D 如图所示, 并且,所示.(3);解积分区域D如图所示,并且,所以(4).解积分区域D如图所示,并且,所以13. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(2);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(3);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(4).解积分区域D如图所示.因为 ,所以.14. 利用极坐标计算下列各题:(1)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以.(2)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下 ,所以.(3), 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域. 解 在极坐标下 , 所以. 15. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.解 因为积分区域可表示为 , 所以.(2) , 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下 , 所以.(3)∫∫, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y −a ≤x ≤y }, 所以.(4) , 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}. 解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧( )与直线所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量. 17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }..18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下 , 所以.习题9−21. 计算下列二重积分:(1)∫∫, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : −1≤x ≤1, −1≤y ≤1. 于是.(2)∫∫, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2−x. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1};解.(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,..2. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1), 其中D是由两条抛物线 ,所围成的闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤x≤1, }. 于是.(2)∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| −2≤y≤2, }. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1};解积分区域图如,并且D={(x, y)| −1≤x≤0, −x−1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x−1≤y≤−x+1}. 于是=e−e−1.(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域.解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤y≤2, }. 于是.3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积,即f(x,y)=f1(x)⋅f2(y), 积分区域D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即证明,而,故.由于的值是一常数,因而可提到积分号的外面,于是得4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| }, 或D ={(x , y )| },所以或.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )| },或D ={(x , y )|},所以 , 或 .(3)由直线y =x , x =2及双曲线(x >0)所围成的闭区域;解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| },或D ={(x , y )| }∪{(x , y )| },所以 , 或.(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解如图所示,用直线x=−1和x=1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1, D2, D3,D4. 于是用直线y=1, 和y=−1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1, D2, D3, D4,如图所示.于是5. 设f(x, y)在D上连续,其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域,证明:.证明积分区域如图所示,并且积分区域可表示为D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}.于是, 或.因此.6. 改换下列二次积分的积分次序:(1);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以.(2);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, }, 所以.(3) ; 解由根据积分限可得积分区域如图.因为积分区域还可以表示为 , 所以(4);解 由根据积分限可得积分区域, 如图.因为积分区域还可以表示为所以.(5)∫∫;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y≤x ≤ e }, 所以(6)(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域 , 如图.因为积分区域还可以表示为,所以 .7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为.8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为.9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6−z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1−x }, 所求立体的体积为以曲面z =6−x 2−y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即.10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6−2x 2−y 2所围成的立体的体积.解 由消去z , 得x2+2y 2=6−2x 2−y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以.11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x }; 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以.(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.(4){(x , y )| 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1}. 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1);解 积分区域D 如图所示. 因为,所以.(2);解积分区域D如图所示,并且,所示.(3);解积分区域D如图所示,并且,所以(4).解积分区域D如图所示,并且,所以13. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(2);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(3);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(4).解积分区域D如图所示.因为 ,所以.14. 利用极坐标计算下列各题:(1)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以.(2)∫∫，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下 , 所以.(3), 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域. 解 在极坐标下 , 所以. 15. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.解 因为积分区域可表示为 , 所以.(2) , 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下 , 所以.(3)∫∫, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y −a ≤x ≤y }, 所以.(4) , 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}. 解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧( )与直线所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量. 17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }..18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下 , 所以.9−31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y −1=0, z =0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是 .(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为,于是.(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2−x 2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为,于是.提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2−x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0),, z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为,于是 .提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z=xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解.3. 如果三重积分的被积函数f (x , y , z )是三个函数f1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )⋅f 2(y )⋅f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即.证明.4. 计算,其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},于是.5. 计算 ,其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤1−x−y, 0≤y≤1−x, 0≤x≤1},于是.提示:.6. 计算, 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 积分区域可表示为于是.7. 计算, 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1},于是.8. 计算, 其中Ω是由锥面 与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z:, 故D z的半径为, 面积为 , 于是=.9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1,,于是.(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ,于是.10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r≤1,于是.(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式x2+y2+(z−a)2≤a2, x2+y2≤z2所确定.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.别解: 用直角坐标计算.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域; 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域; 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6−x 2−y 2及 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6−ρ2,于是.(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是.(4)及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解 密度函数为 . 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 .9−31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y −1=0, z =0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是 .(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为,于是.(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2−x 2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为,于是.提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2−x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0),, z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为,于是.提示:区域Ω的上边界曲面为曲面c z=xy , 下边界曲面为平面z=0.2. 设有一物体,占有空间闭区域Ω={(x, y, z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}, 在点(x, y, z)处的密度为ρ(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体的质量.解.3. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积,即f(x, y, z)=f1(x)⋅f2(y)⋅f3(z), 积分区域Ω={(x, y, z)|a≤x≤b, c≤y≤d, l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即.证明.4. 计算,其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},于是.5. 计算 ,其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1−x −y , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是.提示:.6. 计算, 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 积分区域可表示为于是.7. 计算, 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1},于是.8. 计算, 其中Ω是由锥面 与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z:, 故D z的半径为, 面积为 , 于是=.9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ,于是.(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域. 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ,于是.10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域. 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1,于是.(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z −a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2所确定. 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.别解: 用直角坐标计算.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域; 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域; 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6−x 2−y 2及 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6−ρ2,于是.(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是.(4)及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解 密度函数为 . 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 .习题9−41. 求球面x 2+y 2+z 2=a 2含在圆柱面x 2+y 2=ax 内部的那部分面积. 解 位于柱面内的部分球面有两块, 其面积是相同的.由曲面方程z =得 ,,于是.2. 求锥面z =被柱面z 2=2x 所割下的部分的曲面的面积.解 由z =和z 2=2x 两式消z 得x 2+y 2=2x , 于是所求曲面在xOy 面上的投影区域D为x 2+y 2≤2x .由曲面方程 得 , ,于是.3. 求底面半径相同的两个直交柱面x 2+y 2=R 2及x 2+z 2=R 2所围立体的表面积.解 设A 1为曲面相应于区域D : x 2+y 2≤R 2上的面积. 则所求表面积为A =4A 1..4. 设薄片所占的闭区域D 如下, 求均匀薄片的质心:(1)D 由, x =x 0, y =0所围成;解 令密度为μ=1. 因为区域D 可表示为 , 所以,,,所求质心为(2)D 是半椭圆形闭区域;解 令密度为μ=1. 因为闭区域D 对称于y 轴, 所以 .(椭圆的面积),,所求质心为 .(3)D 是介于两个圆r =a cos θ, r =b cos θ(0<a <b )之间的闭区域. 解 令密度为μ=1. 由对称性可知 .(两圆面积的差),,所求质心是.5. 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y =x 2及直线y =x 所围成, 它在点(x , y )处的面密度μ(x , y )=x 2y , 求该薄片的质心.解,,质心坐标为 .6. 设有一等腰直角三角形薄片, 腰长为a , 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, 求这薄片的质心.解 建立坐标系, 使薄片在第一象限, 且直角边在坐标轴上. 薄片上点(x , y )处的函数为μ=x 2+y 2. 由对称性可知 .,,薄片的质心坐标为 .7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度ρ=1):(1)z 2=x 2+y 2, z =1;解 由对称性可知, 重心在z 轴上, 故 .(圆锥的体积),,所求立体的质心为 .(2)(A >a >0), z =0; 解 由对称性可知, 重心在z 轴上, 故 .(两个半球体体积的差),,所求立体的质心为.(3)z =x 2+y 2, x +y =a , x =0, y =0, z =0.解,,,,所以立体的重心为 .8. 设球体占有闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤2Rz }, 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心.解 球体密度为ρ=x 2+y 2+z 2. 由对称性可知质心在z 轴上, 即 .在球面坐标下Ω可表示为: , 于是,,故球体的质心为.9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D 如下, 求指定的转动惯量:(1), 求I y;解 积分区域D 可表示为,于是 .提示: .(2)D 由抛物线 与直线x =2所围成, 求I x和I y;解 积分区域可表示为,于是,. (3)D 为矩形闭区域{(x , y )|0≤x ≤a , 0≤y ≤b }, 求I x和I y.解 ,.10. 已知均匀矩形板(面密度为常量μ)的长和宽分别为b 和h , 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解 取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系.,.11. 一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω由曲面z =x 2+y 2和平面z =0, |x |=a , |y |=a 所围成,(1)求物体的体积; 解 由对称可知.(2)求物体的质心; 解 由对称性知 .. (3)求物体关于z 轴的转动惯量.解.12. 求半径为a 、高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度ρ=1).解 建立坐标系, 使圆柱体的底面在xOy 面上, z 轴通过圆柱体的轴心. 用柱面坐标计算..13. 设面密度为常量μ的匀质半圆环形薄片占有闭区域, 求它对位于z 轴上点M 0(0, 0, a )(a >0)处单位质量的质点的引力F .解 引力F =(F x, F y, F z), 由对称性, F y=0, 而,.14. 设均匀柱体密度为ρ, 占有闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2≤R 2, 0≤z ≤h }, 求它对于位于点M 0(0, 0, a )(a >h )处单位质量的质点的引力.解 由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故F x=F y=0, 而.总习题九1. 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论: (1)设有空间闭区域Ω1={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, z ≥0},Ω2={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, x ≥0, y ≥0, z ≥0}, 则有________.(A ); (B );(C ); (D ). 解 (C ).提示: f (x , y , z )=x 是关于x 的奇函数, 它在关于yOz 平面对称的区域Ω1上的三重积分为零, 而在Ω2上的三重积分不为零, 所以(A )是错的. 类似地, (B )和(D )也是错的.f (x , y , z )=z 是关于x 和y 的偶函数, 它关于yOz 平面和zOx 面都对称的区域Ω1上的三重积分可以化为Ω1在第一卦部分Ω2上的三重积分的四倍.(2)设有平面闭区域D ={(x , y )|−a ≤x ≤a , x ≤y ≤a }, D 1={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a }, 则=________.(A ); (B ); (C ); (D )0.解 (A ).2. 计算下列二重积分:(1), 其中D 是顶点分别为(0, 0), (1, 0), (1, 2)和(0, 1)的梯形闭区域;解 积分区域可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x +1}, 于是.(2), 其中D ={(x , y )|0≤y ≤sin x , 0≤x ≤π};解.(3) , 其中D 是圆周x 2+y 2=Rx 所围成的闭区域; 解 在极坐标下积分区域D 可表示为,于是.(4), 其中D ={(x , y )|x 2+y 2≤R 2}. 解 因为积分区域D 关于x 轴、y 轴对称, 所以..因为,所以.3. 交换下列二次积分的次序: (1);解 积分区域为,并且D 又可表示为D ={(x , y )|−2≤x ≤0, 2x +4≤y ≤−x 2+4},所以.(2); 解 积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤2y }∪{(x , y )|1≤y ≤3, 0≤x ≤3−y }, 并且D 又可表示为,所以.(3).解 积分区域为,并且D 又可表示为,所以.4. 证明:.证明 积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤a , 0≤x ≤y }, 并且D 又可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a },所以 .5. 把积分表为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D ={(x , y )|x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1}.解 在极坐标下积分区域可表示为D =D 1+D 2+D 3,其中 ,,,所以.6. 把积分化为三次积分, 其中积分区域Ω是由曲面z =x 2+y 2, y =x 2及平面y =1,z =0所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω: 0≤z ≤x 2+y 2, x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1,所以 .7. 计算下列三重积分: (1), 其中Ω是两个球x2+y 2+z 2≤R 2和x 2+y 2+z 2≤2Rz (R >0)的公共部分;解 两球面的公共部分在xOy 面上的投影 ,在柱面坐标下积分区域可表示为,所以.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域; 解 因为积分区域Ω关于xOy 面对称, 而被积函数为关于z 的奇函数,所以 .(3), 其中Ω是由xOy 面上曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面与平面x =5所围成的闭区域.解 曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面的方程为y 2+z 2=2x . 由曲面y 2+z 2=2x 和平面x =5所围成的闭区域Ω在yOz 面上的投影区域为, 在柱面坐标下此区域又可表示为,所以.8. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积.解 平面的方程可写为 , 所割部分在xOy 面上的投影区域为,于是.9. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解 设所求矩形另一边的长度为H , 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为ρ=1g/cm 3.由对称性及已知条件可知 , 即,从而 ,即,。

高数第五版答案（同济）12-9

高数第五版答案（同济）12-9习题12-91. 求下列各微分方程的通解:(1)2y ''+y '-y =2e x ;解微分方程的特征方程为2r 2+r -1=0, 其根为211=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,解得A =1, 从而y *=e x .因此, 原方程的通解为x x x e e C e C y ++=-2211.(2)y ''+a 2y =e x ;解微分方程的特征方程为r 2+a 2=0,其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos ax +C 2sin ax .因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得Ae x +a 2Ae x =e x , 解得211a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为2211sin cos a e ax C ax C y x +++=.(3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1;解微分方程的特征方程为2r 2+5r =0,其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为x e C C Y 2521-+=.因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax 2+Bx +C ),代入原方程并整理得15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 2575331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 257533123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ;解微分方程的特征方程为r 2+3r +2=0,其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x .因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x ,代入原方程并整理得2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)323(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323(2221x x e e C e C y x x x -++=---.(5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ;解微分方程的特征方程为r 2-2r +5=0,其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ).因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=xe x (A cos2x +B sin2x ),代入原方程得e x [4B cos2x -4A sin2x ]=e x sin2x , 比较系数得41-=A , B =0, 从而x xe y x 2cos 41*-=.因此, 原方程的通解为x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.(6)y ''-6y '+9y =(x +1)e 3x ;解微分方程的特征方程为r 2-6r +9=0,其根为r 1=r 2=3, 故对应的齐次方程的通解为Y =e 3x (C 1+C 2x ).因为f (x )=(x +1)e 3x , λ=3是特征方程的重根,故原方程的特解设为y *=x 2e 3x (Ax +B ),代入原方程得e 3x (6Ax +2B )=e 3x (x +1), 比较系数得61=A , 21=B , 从而)2161(*233x x e y x +=. 因此, 原方程的通解为 )2161()(233213x x e x C C e y x x +++=.(7)y ''+5y '+4y =3-2x ;解微分方程的特征方程为r 2+5r +4=0,其根为r 1=-1, r 2=-4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -4x .因为f (x )=3-2x =(3-2x )e 0x , λ=0不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ax +B ,代入原方程得4Ax +(5A +4B )=-2x +3, 比较系数得21-=A , 811=B , 从而81121*+-=x y . 因此, 原方程的通解为 81121421+-+=--x e C e C y x x . (8)y ''+4y =x cos x ;解微分方程的特征方程为r 2+4=0,其根为r =±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos2x +C 2sin2x .因为f (x )= x cos x =e 0x (x ?cos x +0?sin x ), λ+i ω=i 不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=(Ax +B )cos x +(Cx +D )sin x ,代入原方程得(3Ax +3B +2C )cos x +(3Cx -2A +3D )sin x =x cos x , 比较系数得31=A , B =0, C =0,92=D , 从而x x x y sin 92cos 31*+=. 因此, 原方程的通解为 x x x x C x C y sin 92cos 31sin 2cos 21+++=.(9)y ''+y =e x +cos x ;解微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=e x , f 2(x )=cos x , 而方程y ''+y =e x 具有Ae x 形式的特解;方程y ''+y =cos x 具有x (B cos x +C sin x )形式的特解,故原方程的特解设为y *=Ae x +x (B cos x +C sin x ),代入原方程得2Ae x +2C cos x -2B sin x =e x +cos x , 比较系数得21=A , B =0,21=C , 从而x x e y x sin 221*+=. 因此, 原方程的通解为 x x e x C x C y x sin 221sin cos 21+++=.(10)y ''-y =sin 2x .解微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为x x x f 2cos 2121sin )(2-==, 而方程21=-''y y 的特解为常数A ;方程x y y 2cos 21-=-''具有B cos2x +C sin2x 形式的特解,故原方程的特解设为y *=A +B cos2x +C sin2x ,代入原方程得x x C x B A 2cos 21212sin 52cos 5-=---, 比较系数得21-=A ,101=B , C =0, 从而x y 2cos 10121*+-=. 因此, 原方程的通解为 212cos 10121-++=-x e C e C y x x . 2. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:(1)y ''+y +sin x =0, y |x =π=1, y '|x =π=1;解微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=-sin2x =e 0x (0?cos2x -sin2x ), λ+i ω=i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=A cos2x +B sin2x ,代入原方程得-3A cos 2x -3B sin2x =-sin2x ,解得A =0, 31=B , 从而x y 2sin 31*=. 因此, 原方程的通解为 x x C x C y 2sin 31sin cos 21++=.由y |x =π=1, y '|x =π=1得C 1=-1, 312-=C ,故满足初始条件的特解为x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-=.(2)y ''-3y '+2y =5, y |x =0=1, y '|x =0=2;解微分方程的特征方程为r 2-3r +2=0,其根为r 1=1, r 2=2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 2x .容易看出25*=y 为非齐次方程的一个特解, 故原方程的通解为 25221++=x x e C e C y .由y |x =0=1, y '|x =0=2得=+=++221252121C C C C , 解之得C 1=-5, 272=C . 因此满足初始条件的特解为 2527521++-=x x e e y . (3)y ''-10y '+9y =e 2x , 76|0==x y , 7 33|0='=x y ; 解微分方程的特征方程为r 2-10r +9=0,其根为r 1=1, r 2=9, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 9x .因为f (x )=e 2x , λ=2不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae 2x ,代入原方程得(4A -20A +9A )e 2x =e 2x , 解得71-=A , 从而x e y 271*-=.因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y 292171-+=.由76|0==x y , 733|0='=x y 得2121==C C . 因此满足初始条件的特解为x x x e e e y 29712121-+=.(4)y ''-y =4xe x , y |x =0=0, y '|x =0=1;解微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为f (x )=4xe x , λ=1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=xe x (Ax +B ),代入原方程得(4Ax +2A +2B )e x =4xe x ,比较系数得A =1, B =-1, 从而y *=xe x (x -1).因此, 原方程的通解为y *=C 1e -x +C 2e x +xe x (x -1).由y |x =0=0, y '|x =0=1得=--=+1102121C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此满足初始条件的特解为y =e -x -e x +xe x (x -1).(5)y ''-4y '=5, y |x =0=1, y '|x =0=0.解微分方程的特征方程为r 2-4r =0,其根为r 1=0, r 2=4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1+C 2e 4x .因为f (x )=5=5e 0?x , λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=Ax ,代入原方程得-4A =5, 45-=A , 从而x y 45*-=.因此, 原方程的通解为x e C C y x 45421-+=.由y |x =0=1, y '|x =0=0得16111=C , 1652=C . 因此满足初始条件的特解为x e y x 4516516114-+=. 3. 大炮以仰角α、初速度v 0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线.解取炮口为原点, 炮弹前进的水平方向为x 轴, 铅直向上为y 轴, 弹道运动的微分方程为=-=02dtdx g dt y d , 且满足初始条件='=='=====ααcos | ,0|sin | ,0|000000v x x v y y t t t t . 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为-?=?=20021sin cos gt t v y tv x αα. 4. 在R 、L 、C 含源串联电路中, 电动势为E 的电源对电容器C 充电. 已知E =20V , C =0.2μF(微法), L =0.1H(亨), R =1000Ω, 试求合上开关K 后电流i (t )及电压u c (t ). 解 (1)列方程. 由回路定律可知E u u C R u C L c c c=+'??+''??, 即 LCE u LC u L R u c c c =+'+''1, 且当t =0时, u c =0, u c '=0.已知R =1000Ω, L =0.1H , C =0.2μF , 故4101.01000==L R , 76105102.01.011?=??=-LC , 9771020105105=??=?=E LC E . 因此微分方程为9741010510=?+'+''c c cu u u . (2)解方程. 微分方程的特征方程为r 2+104r +5?107=0, 其根为r 1, 2=-5?103±5?103i . 因此对应的齐次方程的通解为])105sin()105cos([32311053t C t C e u t c ?+?=?-.由观察法易知y *=20为非齐次方程的一个特解.因此非齐次方程的通解为20])105sin()105cos([32311053+?+?=?-t C t C e u t c .由t =0时, u c =0, u c '=0, 得C 1=-20, C 2=-20. 因此])105sin()105[cos(2020331053t t e u t c ?+?-=?-(V),)]105sin(104102.0)(3105263t e u u C t i t c c='?='=?---(A).5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m , 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间:(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力;解设在时刻t 时, 链条上较长的一段垂下x m , 且设链条的密度为ρ, 则向下拉链条下滑的作用力F =x ρg -(20-x )ρg =2ρg (x -10).由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρg (x -10), 即g x g x -=-''10. 微分方程的特征方程为 0102=-g r , 其根为101g r -=,102g r =, 故对应的齐次方程的通解为 t g t g e C e C x 102101+=-.由观察法易知x *=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为10102101++=-t g t g e C e C x .由x (0)=12及x '(0)=0得C 1=C 2=1. 因此特解为101010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有101010=+-t g t g e e, 解之得所需时间)625ln(10+=gt s. (2)若摩擦力为1m 长的链条的重量.解此时向下拉链条的作用力变为F =x ρg -(20-x )ρg -1ρg =2ρgx -21ρg由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρgx -21ρg , 即g x g x 05.110-=-''. 微分方程的通解为5.10102101++=-t g t g e C e C x . 由x (0)=12及x '(0)=0得4321==C C . 因此特解为 5.10)(431010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有5.9)(431010=+-t g t g e e ,解之得所需时间)3224319ln(10+=g t s. 6. 设函数?(x )连续, 且满足 ??-+=x x xdt t x dt t t e x 00)()()(, 求?(x ).解等式两边对x 求导得-='xx dt t e x 0)()(??, 再求导得微分方程''(x )=e x -?(x ), 即?''(x )+?(x )=e x . 微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r 1, 2=±i , 故对应的齐次方程的通解为?=C 1cos x +C 2sin x .易知x e 21*=?是非齐次方程的一个特解, 故非齐次方程的通解为x e x C x C 21sin cos 21++=?. 由所给等式知?(0)=1, ?'(0)=1, 由此得2121= =C C . 因此)sin (cos 21x e x x ++=?.。

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高等数学教材第五版答案
首先，我将按照教材的章节顺序，为你提供高等数学教材第五版的答案。

请注意，由于篇幅限制，我无法提供完整的答案，但会尽量为你提供一些重要的问题和答案示例。

第一章：函数与极限
1.1 函数概念与基本性质
- 问题：给出函数f(x) = 3x + 2，求f(2)的值。

- 答案：将x = 2代入函数中，得到f(2) = 3(2) + 2 = 8。

1.2 一元函数的极限
- 问题：求函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的极限。

- 答案：由于在x = 1时，分母为0，可以通过简单的化简来求解。

将x = 1代入函数中，得到f(1) = (1^2 - 1)/(1 - 1) = 0/0。

通过因式分解或洛必达法则等方法，最终可以得到极限的结果。

第二章：导数与微分
2.1 导数的概念与计算
- 问题：求函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x - 2的导数。

- 答案：根据导数的定义，对每一项进行求导，最终得到f'(x) =
3x^2 - 8x + 3。

2.2 函数的微分
- 问题：求函数f(x) = sin(x) + cos(x)在x = π/4处的微分。

- 答案：首先求出函数在x = π/4处的导数，然后代入函数和导数的值，得到微分的结果。

第三章：积分与定积分
3.1 不定积分与定积分的概念
- 问题：求函数f(x) = 3x^2的不定积分和定积分。

- 答案：对于不定积分，求出每一项的积分，得到F(x) = x^3 + C；对于定积分，根据积分的性质和定理，求出积分的结果。

3.2 定积分的计算
- 问题：计算函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分。

- 答案：将函数代入积分公式中，并进行积分计算，最终得到定积分的结果。

第四章：常微分方程
4.1 一阶常微分方程
- 问题：求解微分方程dy/dx = 2x。

- 答案：对方程进行分离变量和积分处理，最终得到y = x^2 + C。

4.2 高阶线性微分方程
- 问题：求解微分方程y'' - 4y = 0。

- 答案：通过特征方程求出方程的通解，然后根据初始条件求解出特解，得到完整的微分方程解。

以上仅是高等数学教材第五版中部分章节的答案示例，具体的题目和求解方法仍需根据教材的章节内容进行参考。

希望这些示例能够帮助你更好地理解和掌握高等数学知识。

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