(完整word版)离散数学习题解+代数系统

(完整word版)离散数学习题解+代数系统 1 离散数学习题解

代数系统 习题四 第四章代数系统

1．设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算 a）+=｛（x，y），z|x，y，zI且z=x+y} b）－={（（x，y），z）｜x,y，zI且z=x－y} c）×={（（x,y)，z）｜x，y，zI且z=x×y} d）/={(（x，y)，z)|x，y，zI且z=x/y｝ e）R={（（x,y），z)｜x,y,zI且z=xy｝

f）=｛（（x，y),z）｜x，y，zI且z=yx } g)min = ｛(（x，y），z）|x，y，zI且z=max（x，y)} h）min = {（（x,y），z)|x,y,zI且z=min（x，y）} i）GCD = {（(x，y），z）｜x，y，zI且z= GCD(x，y）} j）LCM={（（x，y）,z）｜x，y，z∈I且z= LCM（x，y）｝ [解］ a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一,故知+：I2→I是I上的一个二元运算. b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一,故知一：I2→I是I上的一个二元运算。 c）是.由于两个整数这积仍为整数,且结果唯一，故知x：I2→I是I上的一个二元运算。 d）不是:例如若x=5，y=6,则z=x/y=5/6I;当y=0时z=x|y=x/0无定义.

e）不是。例如若x=2,y= —2，则z=xy=2 –2=221=I41；若x=y=0，则z=xy=0,则z=I2x; g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2→I是I上的一个二元运算。 h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2→I是I上的一个二元运算。 i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD:I2→I是I上的一个二元运算。 j）是.由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一.故知LCD：I2→I是I上的一个二元运算。 注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个. 2．设X={x | x=2n，n∈N}问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2∈X，x2=22∈X,使x1+x2=2+22=6X. 普通的乘法运算是X上的二元运算,因为对于任意的x1=1n2X，x2=2n2X,这里n1，n2N，都有x1·x2=1n2·2n2=21nn2X(因为n1+n2∈N）。 3．设〈X，* 〉是代数系统，＊是X上的二元运算,若有元素el∈X，使Xx，有el＊x=x，则称el是关于*的左幺元。若有元素erX，使Xx，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。 a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。 b） 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。 c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。 ［解］ ：a) 构造代数系统(完整word版)离散数学习题解+代数系统 2 令X={a,b，c，d｝，*：X×→X→X,其运算表如下：

* a b c d a d a b c b a b c d c a b c c d a b c d

则此代数系统含有左幺元b,d，但不含右幺元。 b） 构造代数系统〈X，＊ >如下： 令X={1，2,3,4} ＊： X×→X→X,其运算表如下:

* 1 2 3 4 1 1 2 4 3 2 2 1 3 4 3 3 4 1 2 4 4 4 2 3

则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。 c） [证］ 因为代数系统〈X，*>关于＊运算存在着左、右幺元，ei，er∈X 则 el = el ＊ er = er∈ 4．设〈X，＊〉是代数系统，*是X上的二元运算.若有元素Ol∈X,使x∈X，有Ol*x=Ol是关于＊的左零元。若有元素Or∈X，使x∈X,有x*Or=Or，则称Or是关于＊的右零元。 a） 试举出公含有左零元的代数系统的例子。 b） 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。 c） 证明:在代数系统中，若关于＊有左零元和右右零元，则左零元等于右零元. [解］ a） 构造代数系统〈X,＊〉如下： 令X=｛a，b，c},*：X×X→X，其运算表如下：

＊ a b c a a a a b b b b c b c a

则a和b都是左零元，但没有右零元。 b) 构造代数系统〈X，*〉如下： (完整word版)离散数学习题解+代数系统 3 令X=｛1，2，3｝，＊：X×→X→X，其运算表如下：

＊ 1 2 3 1 2 3 3 2 3 1 3 3 1 2 3

则3是右零元,但没有左零元。 c) [证] 因为代数系统Ol=Ol*Or=Or

5．当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律,

是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 ［答］ 在一个代数系统〈X,＊〉中， 1） 运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x,y∈X，x行每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。 2） 运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的. 3） 运算＊有幺元,当且仅当存在一元素,它所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致. 4） 运算＊有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。 5） 若运算＊有幺元,X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素y∈Y,使得x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。 6．设y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在z∈X，使得x*z=e,则称z是x的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。

＊ a b c d e a a b c d e b b d a c d

c c a b a b d d a c d c e e d a c e

[解］ a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左 逆元是b;b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c,但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d. 7．设是代数系统，＊是X上的二元运算.x，y∈X，有x*y=x.问*是否满足结合律,是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 [解] a） *运算满足结合律 因为对任何x，y，z∈X，都有 (完整word版)离散数学习题解+代数系统 4 x＊（y*z）=x＊y=x=x＊y=（x＊y）＊z b） *运算不满足交换律 因为对于二个元素x，y∈X，有x*y=x，而y＊x=y。所以当X包含多于一个元素时,能使x≠y，从而x*y≠y ＊ x。 c） 没有幺元 因为若有幺元e∈X存在,则对任何x∈X，应有e * x ＊ e,但是e * x= e,x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x ≠ e,矛盾。 d） 没有零元，仿c） 保证。 e） 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。 并且若存在一个元素a∈X,使得对每个元素x∈X，都有一个元素y∈X，使y ＊ x=x ＊ y=a，则有y=x=a,当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的(只在x=a，且a具有幂等性时才成立) 8．设〈N，＊〉是代数系统，＊是N上的二元运算,x，y∈N，x * y=LCM（x，y）.问*是否满足结合律，是否满足交换律,是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元. [解］ a） *运算满足结合律 因为，对于任何x，y，z∈N, （x＊y)* z =LCM (（x * y），z) = LCM (LCM（x，y），z) = LCM （（x，y，z） = LCM (（x，（y * z） = LCM （（x * y）,z) = x * (y ＊ z) 注:关于LCM（LCM（x，y),z）= LCM（x，y,z)我们可证明如下： 设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y）,从而C1=LCM(d,z）, C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可,为此 由于C2= LCM(x,y，z），故此x ｜ C2，y ｜C2，z | C2，因此由d= LCM（x，y）及x ｜ C2,y ｜C2,从d2

的最小性有d≤C2于是d ｜C2（否则C2=kd+r，0＜r＜d，由于x ｜d，y ｜ d及x | C2,y ｜ C2，故有x ｜ r，

y ｜ r，这与d=LCM(x,y）的最小性矛盾）.即d｜C2且z|C2故此由C1=LCM（d，z)的最小性，可知C1≤C2。 另一方面，由C1= LCM（d,z)知d |C1,z｜C1，又由d=LCM（x，y）知x ｜d,y | d，y | d，因此有x|C1，y｜C1，并且z ｜ C1。因而C2=LCM（x，y,z）的最小性可 知C2≤C1。 所以，C1=C2.同理可证LCM（x，LCM(y，z））=LCM（x，y，z)。 b) ＊运算满足交换律 因为 对于任何x，y∈N， x * y=LCM（x，y） = LCM（y,x） =y * x (c）＊运算有幺元1∈N。 因为，对于任何x∈N， x ＊ 1=LCM（x，1） =x =LCM（1，x）