(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式
4.计算下列各行列式：
（1）⎥⎥⎥⎥
⎦⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢71
10
025*********
4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-26
52321121314
1
2； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦
⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢---d c b a
1
00
110011001
解
(1)
71100251020214
214
34327c c c c --0
10014
2310202110
214---=3
4)1(1431022
11014+-⨯---=14
31022110
14-- 3
21132c c c c ++14
171720010
99-=0
(2)
260
5232112131
412-24c c -2605032122130
412-24r r -0412032122130
412- 14r r -0
000032122130412-=0
(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e
c b e c b e
c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4
(4)
d c b a 100
110011001---21ar r +d
c b a ab 1
001
100
110
10---+=12)1)(1(+--d
c a ab 1011
1--+
2
3dc c +0
10111-+-+cd c ad
a a
b =23)1)(1(+--cd
ad
ab +-+111=1++++ad cd ab abcd
5.证明: (1)1
11222
2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3
3+;
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2222222
2
2222222
=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;
(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;
(5)1
22
110000
0100001a x a a a a x x x n n n +-----
n n n n a x a x a x ++++=--11
1 . 证明
(1)0
0122222221
312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=
右边=-=3)(b a
(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开
按第一列
左边
bz
ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分
bz
ay y x by ax x z bx
az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分
右边=-+=233)1(y
x z x z y z
y x b y x z x z y z y x a
(3) 22
2
22222
2222
2
222
)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9
644129644129
644129644122
2221
41312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 96449644964496442
22
2
2
++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列9
64
41964419
644196441222
2+++++++++d d d c c c b b b a a a 94
94949494642
2
22
24232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项
第一项
06416416416412
22
2=+d
d
d c c c b
b b a a a (4) 4
44444422222220
001a
d a c a b a a
d a c a b a a
d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a
d a c a b --------- =)
()()(1
11))()((222a d d a c c a b b a d a c a
b a d a
c a b ++++++--- =⨯---))()((a
d a c a b )
()()()()(0
0122222a b b a d d a b b a c c a b b b
d b c a b +-++-++--+ =⨯
-----))()()()((b d b c a d a c a b )
()()()(1
12222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++
=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-
(5) 用数学归纳法证明
.,1
,22121
22命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-=
=
假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D
:1列展开按第则n D
1
110
010001)1(1
1----+=+-x x
a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.
6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得
n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11
113a a a a D n n
nn =，
证明D D D D D n n =-==-32
)1(21,)1(.
证明 )det(ij a D =
n
nn n n
n n nn n a a a a a a a a a a D 22111111111
1
1)1(
--==∴ =--=--n
nn n n
n
n n a a a a a a a a 3311
2211112
1)1()1( nn
n n n n a a a a 11112
1
)1()
1()
1(---=--D D n n n n 2)
1()
1()2(21)1()1(--+-+++-=-=
同理可证nn
n n n n a a a a D 11112
)1(2)
1(--=D D n n T n n 2)
1(2
)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22
)1(3)1()
1()
1()1(
7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：
(1)a a
D n 1
1
=
,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；
(2)x
a
a
a
x a
a a x D n
=
; (3) 1
1
11)()1()()1(1
1
11
n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n
n
n
n
n d c d c b a b a D
000
01
1112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;
(6)n
n a a a D +++=
11
11
111
112
1 ,021≠n a a a 其中.
解
(1) a
a a a a D n 000100000000
00001000 =
按最后一行展开)
1()1(1
0000
0000
000010000)1(-⨯-+-n n n a
a a
)1)(1(2)1(--⋅-+n n n
a a
a
(再按第一行展开)
n n n n
n a a a
+-⋅-=--+)
2)(2(1)1()1(
2--=n n a a )1(22-=-a a n
(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得
a
x x a a
x x a a x x a a
a a x D n ------=00
00000 再将各列都加到第一列上，得
a
x a
x a x a
a
a a n x D n ----+=00000000
0)1( )(])1([1
a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，
经2
)
1(1)1(+=
++-+n n n n 次行交换，得 n
n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )()1()()1(111
1)1(1112)1(1
-------=---++
此行列式为范德蒙德行列式
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()
1(j i n n n n j a i a D
∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•
-•-=---=1
11
)1(2
)1(112
)1()][()
1()
1()]([)
1(j i n n n n n j i n n n j i j i
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i
(4) n
n n
n
n d c d c b a b a D 0
1
1112
=
n
n n n n n
d d c d c b a b a a 0000
0000
11111111
----
展开
按第一行0
00
0)
1(111
11111
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+-+
2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开
由此得递推公式：
222)(--=n n n n n n D c b d a D
即 ∏=-=
n
i i i i
i
n D c b d
a D 2
22)(
而 11111
11
12c b d a d c b a D -==
得 ∏=-=n
i i i i i n c b d a D 1
2)(
(5)j i a ij -=
4
3214012331
0122
210113210)det( --------=
=n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0
432111111111111111111111 --------------n n n n
,,141312c c c c c c +++1
5242321022210
22100
02100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n
(6)n
n a a D a +++=
11
11111
1
12
1
,,433
221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100
001000100001000100010000114
3
3221 展开（由下往上）
按最后一列
))(1(121-+n n a a a a n
n n a a a a a a a a a --------000
000000000000000000000000224
3
3221 n
n n a a a a a a a a ----+
--00
000000000000
00
01133221 +
+ n
n n a a a a a a a a -------00
000000
0000000
00
1143322
n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---
)1
1)((1
21∑
=+=n
i i
n a a a a
8.用克莱姆法则解下列方程组：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321
43214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212
1x x x x x x x x x x x x x
解 (1)1121
35132412
11111----=
D 8120735032101111------=145008130032
101111---=
142142
0005410032101
111-=---= 1121
05132412211151------=
D 1121
05132905
01115----=
1121023313090509151------=23
3130905011
2109151------=
120
2300461000112109151-----=14200038
100112109
151----=142-=
112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139
0112300231011
5
1-=
284284
00
0191002
3101151-=----=
426110135232422115113-=----=D ; 1420
21321322
1215
1114=-----=
D
1,3,2,144332211-========
∴
D
D
x D D x D D x D D x (2) 5
1000651000
6510
00651
0065=D 展开按最后一行
6
10005100
65100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=
(,11的余子式中为行列式a D D ',11
的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5
1001
651000
6510
006500
0061
1=D 展开按第一列
6
51
006510
0650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=
5
10106
51000
6500
006010
00152=D 展开
按第二列
510
065100650006
1-6
5100
6500
0610
005-
365510651065⨯-= 1145108065-=--=
5
1100
6500006010
00051001653=D 展开
按第三列51006500061000516
5000
6100
0510
065+
6100510656510650061+= 703114619=⨯+=
510006010000510
00651010654=D 展开
按第四列6
1000
5100
6510
0655000610005100651-
-5
106510
6565--=395-= 1
1
00510006510
00651100655=D 展开
按最后一列
D '+1
00051006
51006512122111=+= 665
212
;665
395
;665
703
;665
1145
;665
1507
44321=
-=
=
-
==
∴
x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？
解 μλμμμλ
-==1
21111
13D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D
即 0=-μλμ 得 10==λμ或
不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.
10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321
321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？
解
λλλ----=111132421D λ
λλλ--+--=1011124
31
)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D
得 32,0===λλλ或
不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3
213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,
求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.
解 由已知:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211
221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y .
2. 已知两个线性变换
⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=3
21332123
11542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.
解 由已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x .
3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3))21(312-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=632142. (4)⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-204131
21013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20
413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛321x x x
322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.
5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?
解 AB ≠BA .
因为
⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .
(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?
解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.
因为⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.
(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?
解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.
因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.
6. 举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A 2=0, 则A =0;
解 取⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;
解 取⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .
解 取
⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .
7. 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,
⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(1
21----⎪⎪⎪⎭
⎫ . 用数学归纳法证明:
当k =2时, 显然成立.
假设k 时成立，则k +1时，
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以
(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,
从而B T AB 是对称矩阵.
10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以
(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,
即AB 是对称矩阵.
必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以
AB =(AB)T =B T A T =BA .
11. 求下列矩阵的逆矩阵:
(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故
*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以
*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----=1716213213012.
(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 002
1(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n
≠0) .
解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:
(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3253
8122. (3)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;
解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3
532522132321321321
x x x x x x x x x ;
解 方程组可表示为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211
321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321
x x x .
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
最全线性代数习题及参考答案
第一章： 一、填空题： 1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ； 解：a a a a a D a a a a a D n nn n n nn n n n )1(11111111-=----= ∴== 2、设321,,x x x 是方程03 =++q px x 的三个根，则行列式1 3 2 213 3 21 x x x x x x x x x = ； 解：方程02 3 =+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为： a d x x x a c x x x x x x a b x x x ///321133221321-==++-=++ 所以方程03 =++q px x 的三个根与系数之间的关系为： q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210 033)(33212213213 332311 3 2 2133 21=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x 3、行列式 1 000 0000199800019970 020 01000 = ； 解：原式按第1999行展开：
原式=!19981998199721)1(0 00199800199700 200 1 000 219981999-=⨯⨯⨯-=+++ 4、四阶行列式 4 4 332211 000 00a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开： 原式= ) )(()()(0 00 0041413232432432143243214 332 214 33 22 1b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=- 5、设四阶行列式c d b a a c b d a d b c d c b a D =4，则44342414A A A A +++= ； 解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式， 44342414A A A A +++= 01 11111111 1 11==d a c d d c c a b d b a c b d d b c c b a 6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；
线性代数第五版答案(全)
线性代数课后习题答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2
=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然 数 从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
线性代数课后习题1答案(谭琼华版)
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=
2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.
北大版-线性代数第一章部分课后标准答案详解
北大版-线性代数第一章部分课后答案详解
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习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数课后习题答案
习题答案 习题1（参考答案） 1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？ 程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。 算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。 算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。 2．简述程序设计语言发展的过程 程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。 3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。 “面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。 “面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。 面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。 4．C语言程序的特点是什么？ （1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。 （2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。 （3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。 （4）用C语言可直接访问物理地址，能进行二进制位运算等操作，即可直接同机器硬件打交道。它具有“高级语言”和“低级语言”的双重特征，既能用于系统软件程序设计，又能用于通用软件程序设计。 （5）C语言生成的目标代码质量高、程序执行速度快。一般只比用汇编语言生成的目标代码的效率低20％左右。 （6）可移植性好。 5．源程序执行过程中，有哪些步骤？
线性代数第一章到五章(答案)
第一章 行列式 一 填空题 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！ 2.行列式 1 2 n λλλ= (1) 2 12(1) n n n λλλ-- 3. 行列式11121314222324 333444 00 a a a a a a a a a a 的值11223344 a a a a 4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nn a a a 解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10 6. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10 7. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 34 8.在函数x x x x x x f 2 1 1 12)(---=中,3x 的系数为 -2 解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项. 9. 行 列 式x x x x x 2213212 113215 含 4x 的项 410x
解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =???=. 10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变 11. =5 6789012011400 10 3 0200 1000 120 . 解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式 12.行列式c c b b a a ------1111111的值是 1 。 解c c b b a a ------1111111= 10 11111a b b c c ----=101 111a b c c --=1010101a b c =1 13. 行 列 式 2100001210000021000012000001210 1 2 -------- 的 值是 27 。 解D =-------21122100 1200 0121 0012 =? --? --32 11221 12 ==3273 14.行列式n 222223222 2222 2 2 1 的值是 （-2）（n-2）！ 。
线性代数第五章答案
线性代数第五章答案 第五章相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1) =931421111) , ,(321a a a ; 解根据施密特正交化方法, ==11111a b , -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , -=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2) ---=011101110111) , ,(321a a a . 解根据施密特正交化方法, -==110111a b , -=- =123131],[],[1112122b b b a b a b , ? -=-- =433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1) ---1 21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2) ------979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E , 故AB 也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) ----201335212; 解 3)1(2013352 12||+-=-------=-λλ λλλE A , 故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由 ----=+000110101101325213~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量. (2)
线性代数课后习题答案第1――5章习题详解
第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 111111 11---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100110011001---21ar r +d c b a ab 1001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+
2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分
线性代数课后答案(高等教育出版社)
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - ; 解 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (3) 2 2 2 1 1 1 c b a c b a ; 解 2 2 2 1 1 1 c b a c b a =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a). 4.计算下列各行列式: (1) 7 1 1 2 5 10 2 2 1 4 2 1 4 ; 解 7 1 1 2 5 10 2 2 1 4 2 1 4 1 14 2 3 10 2 2 1 10 2 1 4 7 3 2 3 4 - - - - - ====== c c c c 3 4 )1 ( 14 3 10 2 2 1 10 1 4 + - ⨯ - - - = 14 3 10 2 2 1 10 1 4 - - =0 14 17 17 2 10 9 9 3 2 3 2 1 1 = - + + ====== c c c c . (2) 2 6 5 2 3 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2 - ;
解 2 6 5 2 3 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2 - 2 6 5 3 2 1 2 2 1 3 4 1 2 2 4- - = = = = = c c 4 1 2 3 2 1 2 2 1 3 4 1 2 2 4- - = = = = = r r 3 2 1 2 2 1 3 4 1 2 1 4 = - - = = = = = r r . (3) ef cf bf de cd bd ae ac ab - - - ; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab - - - e c b e c b e c b a d f - - - = a b c d e f a d f b c e4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = - - - = . (4) d c b a 1 1 1 1 1 1 - - - . 解 d c b a 1 1 1 1 1 1 - - - d c b a ab ar r 1 1 1 1 1 1 2 1 - - - + + = = = = = d c a ab 1 1 1 1 )1 )( 1 (12 - - + - - =+ 1 1 1 12 3 - + - + + = = = = =cd c ad a ab dc c cd ad ab + - + - - =+1 1 1 )1 )( 1 (23 =abcd+ab+cd+ad+1. 6. 证明: (1) 1 1 1 2 2 2 2 b b a a b ab a + =(a-b)3;
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。 （反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒ ∈∃,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数第一章习题答案
习 题 1-1 1．计算下列二阶行列式： （1） x x 1 1； （2） α αα αsin cos cos sin -． 解 （1） () 111 12 -=-= x x x x ． （2） 1)cos (sin sin cos cos sin 22=--=-ααα α α α． 2．计算下列三阶行列式： （1）121223 1 12 --； （2）0 000 0d c b a ； （3）22 2 111 c b a c b a ； （4）c b a b a a c b a b a a c b a ++++++232． 解 （1）原式5)2(2213)1(12112)1()2(31122=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯=． （2）原式00000000000=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ． （3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc ---=---++=． （4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +-++++++++= 3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++-+++-． 3．证明下列等式： =33 3231 232221 13 1211a a a a a a a a a 33 32 2322 11a a a a a 33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 证明 33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= )()()(312232211331233321123223332211a a a a a a a a a a a a a a a -+---= 33 32 232211 a a a a a =33 31 232112 a a a a a -32 31 222113 a a a a a +． 4．用行列式解下列方程组： （1）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=+-1 2361 32321 321321x x x x x x x x x ． 解 （1）74334== D ，246351==D ，96 35 42==D ，
线性代数课本第一章详细答案
第一章课后习题及解答 计算下列二、三阶行列式（用沙路法和定义）： 1. .02 22 2 =-=abab b a b ab ab a 2. .1)sin sin (cos cos cos sin sin cos =--=-ααααα α αα 3. .)(222))((22 22222b a ab b a ab i b a ab bi a bi a bi a a b bi a -=-+=--=--+=-+ 4. .5)3(422)2(351)4(24)4(5)2(2)3(133 2 5 2144 23-=-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=--- 5. .09428617538437629519 8 7 6543 21 =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 6. . 1810142199)1(22021119941202)1(210112101 199 202 1141 22 -=⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯=- 7. 1 11 2 2 2 ω ωωωω ω ，其中.2 32 1i +- =ω =3 6331ωωω-++
=0. 8. .662323213 21 2 3 2 2 2 3 3 +-=---++⨯⨯=x x x x x x x x x x x x x 计算下列数字元素行列式（利用行列式性质展开）： 9. . 2564)1(1 2 3 4 2340 3400 40004 6 =-= 10. !.10!10) 1(10 000090008000200 01000) 09876543211 (=-=ι
11. 1 1 1 1 11111111--- )4,3,2,(1=-i r r i = .8)2(2 0200002011113 -=-=--- 12. 3 2 1 4 214314324321 （将2,3,4行加到第1行，提取公因子10） =10 3 2 1 4 214314321111 （122334,,r r r r r r ---）
线性代数课后习题解答第五章习题详解
第五章 相似矩阵及二次型 1．试用施密特法把以下向量组正交化： (1) ⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=931421111),,(321a a a ； (2) ⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛---=01 1101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11111a b ， [][]⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛-=-=101,,1112122b b b a b a b ， [][][][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=12131,,,,22 2321113133b b b a b b b b a b a b ， 故正交化后得: ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛ --=311132013111),,(321b b b ． (2) 根据施密特正交化方法: 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110111a b ; [][]⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=123131,,1112122b b b a b a b , [][][][]⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-=--=433151,,,,22232111313 3b b b a b b b b a b a b 故正交化后得 ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ ---=5431153321531051311),,(321b b b 2．以下矩阵是不是正交矩阵？并说明理由: (1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛ ---121312112131211; (2) ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97949 4949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T ,
线性代数习题册(答案) 南林
线性代数习题册答案 第一章 行列式 练习 一 班级 学号 姓名 1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ; （3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）. 2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 . 3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 . 4．0 03 422 1 5 = －24 . 5．计算下列行列式： （1）1 22 2 122 2 1 -----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 或 （2）11 1 11 1 λ λλ ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2 (2)(1)λλ-+
练习 二 班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=- 2． 1 11 2 344 9 16 = 2 . 3．已知D= 1 012110311101 2 5 4 --,则41424344A A A A +++= —1 . 用1，1，1，1替换第4行 4． 计算下列行列式： (1)111a b c a b c a b c +++ = 1323311 01 1 0011,0 110111111r r r r c c a b c b c a b c a b c -----+-==++++++ (2) x y x y y x y x x y x y +++
线性代数习题参考答案
第一章行列式 §1 行列式的概念 1．填空 (1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。 (3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列 的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。 (4) 在6阶行列式中，含 152332445166 a a a a a a的项的符号为，含 324314516625 a a a a a a的项的符号为。 2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 2223 3233 00 0 a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为。 (2) 1 2,12 1,21,11, 12,1 000 00 n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a - ---- - 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。 4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
线性代数习题参考题答案
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 <1> 排列6427531的逆序数为,该排列为排列。 <2> i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 <3> n 阶行列式由项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为号；若为偶排列,该项的符号为号。 <4> 在6阶行列式中,含152332445166a a a a a a 的项的符号为,含324314516625a a a a a a 的项的 符号为。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 <1> 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中,有项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为。 <2> 12,121,21,11,12 ,1 0000 00n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ----- - 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是,而它的逆序数是,故行列式值为。 3． 证明：在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排列, 交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。 4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么？ 5． n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少？