结构动力学习题解答(一二章)

第一章 单自由度系统

1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、 牛顿第二定律法

适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；

（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m &&

,得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法

适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；

（2） 利用动量距定理J ∑=M θ

&&,得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法：

适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程

θθ

∂∂-

∂∂∂L

L dt )(&=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、 能量守恒定理法

适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即

0)

(=+dt

U T d ，进一步得到系统的运动微分方程；

（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

（2）由对数衰减率定义 )ln(

1

+=i i

A A δ， 进一步推导有 2

12ζ

πζδ-=

，

因为ζ较小， 所以有

π

δζ2=

。 方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：

单自由度系统的幅频曲线

（2）分析以上幅频曲线图，得到：

4/22/max 2,1ζββ==；

于是

2

21)21(n ωζω-=；

进一步

222)21(n ωζω+=；

最后

()n n ωωωωωζ2/2/12∆=-=；

1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。

方法一：幅频（相频）曲线法 当单自由度系统在正弦激励t F ωsin 0作用下其稳态响应为：

)sin(αω-=t A x ,

其中： (

)()2

2

2

2

2

20

20

414ω

ζ

ωω

ωω+-=

+-=

st

n

x n m

F A ； (1)

()()21/2arctan ωωζα-= (2)

从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比ζ。 方法二：功率法：

（1） 单自由度系统在t F ωsin 0作用下的振动过程中，在一个周期内， 弹性力作功为 0=c W 、 阻尼力做功为 2A W c d πω-=、 激振力做作功为 απsin 0F W f -=；

（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零， 即： c W +d W +0=f W ；

于是 παsin 0F -02=A c πω 进一步得： ωαc F A sin 0=； （3） 当ωω=n 时，1sin =α，

则 ζ2max st x A =，

得 ζβ21max =, max 2βζ=。

1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 （1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k 1

刚度为 3248L EI

k =； 等效刚度为k;有1k 3

1214848111l k EI EIk k k k +=

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

则固有频率为：(

)

m

l k EI EIl m

k 3

13

4848+==

ω； 图1-33（a ） （2）此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为: 3148l

EI

k k +=则固有频率为: 3

3148ml EI

l k m

k +==

ω 图1-33（b ）

(3)系统的等效刚度为

11

33

33

EI EI

k k k

l l

=+=+

则系统的固有频率为

ω==图1-33（c）

（4）

由动量距定理()θ&&0

I

F

m=

∑得：

（l

k

l

l

k

l

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

⋅

⋅

+

⋅

⋅θ

θ）=θ&&

2

2

1

ml

得：0

2

1=

+θ

θ

m

k

&&，

则

m

k

2

1

=

ω。

图1-33（d）

1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.

解：以θ为广义坐标，则

系统的动能为

()2

2

2

1

2

1

θ&

&I

x

m

T

T

T+

=

+

=）

（

轮子

重物

()2

2

2

2

2

4

4

)

2

1

(

2

1

2

2

1

x

g

P

x

g

P

R

x

R

g

P

x

g

P

&

&

&

&+

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

=）

（

2

2

x

g

P

&

=

系统的势能能为：

2

2

1

kx

Px

U

U

U+

=

+

=

弹簧

重物

；

拉格朗日函数为

L=T-U ;

由拉格朗日方程0

)

(=

∂

∂

-

∂

∂

∂

x

L

x

L

dt&

得

=

+kx

x

g

P

&&