算法分析与设计实验报告之01背包问题

算法分析与设计实验报告[0/1背包问题]

0/1背包问题的不同算法解决方案

组员02黄希龙 09455321张育强05周麒

目录

一.问题描述 (1)

二.算法分析 (2)

1.穷举法： (2)

2.递归法： (4)

3.贪心法： (5)

4.动态规划法分析： (6)

5.回溯法分析： (7)

6.分支限界法： (9)

三.时空效率分析 (10)

1.穷举法： (10)

2.递归法： (11)

3.动态规划法： (11)

4.回溯法： (11)

5分支限界法： (11)

四.运行结果 (12)

1.穷举法输出结果： (12)

2.递归法输出结果： (13)

3.动态规划法输出结果： (14)

4.回溯法输出结果： (15)

5.分支限界法输出结果： (16)

五.分析输出结果 (17)

六.总结与反思 (18)

一.问题描述

0/1背包问题:

现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）

二.算法分析

根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：

)

2(max )1()1}(1,0{11

∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤n

i i i i

n

i i i x v n i x W

x w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。

首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。

假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的

一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤n

i i i i

n

i i i x v n i x x w W x w 22

1

1max )

2}(1,0{。如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则

∑∑==>n i n

i i

i i

i x

v y v 2

2

，且∑=≤+

n

i i

i

W y

w x w 2

11。因此，

∑∑∑====+>+n

i i i n i n

i i i i i x v x v x v y v x v 1

2

2

1111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问

题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。

1.穷举法：

用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包重量的子集），计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。由于程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。

背包

物品1

物品2

物品3物品4

（a ） 四个物品和一个容量为10的背包

穷举法代码如下:

2.递归法：

在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n 个物品看起。每次的递归调用都会判断两种情况：

（1） 背包可以放下第n 个物品，则x[n]=1，并继续递归调用物品重量为W-w[n],物

品数目为n-1的递归函数，并返回此递归函数值与v[n]的和作为背包问题的最优解；

（2） 背包放不下第n 个物品，则x[n]=0，并继续递归调用背包容量为W ，物品数目

为n-1的递归函数，并返回此递归函数值最为背包问题的最优解。

递归调用的终结条件是背包的容量为0或物品的数量为0.此时就得到了0-1背包问题的最优解。

用递归法解0-1背包问题可以归结为下函数：

⎩⎨

⎧+---=][])[,1()

,1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack n

n 选择了物品没有选择物品

第一个式子表示选择物品n 后得到价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--比不选择物品n 情况下得到的价值),1(m n KnapSack -小，所以最终还是不选择物品n;第二个式子刚好相反，选择物品n 后的价值][])[,1(n v n w m n KnapSack +--不小于不选择物品n 情况下得到了价值),1(m n KnapSack -，所以最终选择物品n 。

在递归调用的过程中可以顺便求出所选择的物品。下面是标记物品被选情况的数组x[n]求解的具体函数表示：

⎩

⎨⎧=10

][n x

][])[,1(),(),1(),(n v n w m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack m n KnapSack +--=-= 在函数中，递归调用的主体函数为KnapSack ，m 表示背包的容量，n 表示物品的数量，x[n]表示是否选择了第n 个物品（1—选，0—不选）。每个物品的重量和价值信息分别存放在数组w[n]和v[n]中。代码如下:

3.贪心法：

0-1背包问题与背包问题类似，所不同的是在选择物品)1(n i i ≤≤装入背包时，可以选择一部分，而不一定要全部装入背包。这两类问题都具有最优子结构性质，相当相似。但是背包问题可以用贪心法求解，而0-1背包问题却不能用贪心法求解。贪心法之所以得不到最优解，是由于物品不允许分割，因此，无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包容量使背包单位重量的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择物品和不选择物品所导致的方案，然后做出最优解。由此导出了许多相互重叠的子问题，所以，0-1背包问题可以用动态规划法得到最优解。在这里就不再用贪心法解0-1背包问题了。

4.动态规划法分析：