(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(50)
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1、设()f x 是以2π为周期的函数，它在[],ππ-上的表达式为
()22
22
22
x f x x
x x ππ
ππ
π
ππ
π
⎧--≤<-⎪⎪⎪=-
≤<
⎨⎪⎪≤<⎪⎩
将()f x 展开成傅里叶级数。 解：注意在一个周期内()f x 是奇函数
()220221
1022a f x dx dx xdx dx ππ
π
ππππ
ππ
ππ
π--
--⎛⎫==-++= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
()1
cos 0n a f x nxdx π
ππ
-
=
=⎰ 1,2,n =L
()22
221
1sin sin sin sin 22n b f x nxdx nxdx x nxdx nxdx ππ
π
ππππ
ππππ
π--
--⎛⎫=
=-++ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
22022cos sin cos 2x nx nx nx n n n π
ππππ⎛
⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪
=-++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦
⎝
⎭ ()122
sin
12sin 2cos 221,2,2n n n n n n n n n πππππππ+⎛
⎫
-+ ⎪=-+== ⎪ ⎪
⎝
⎭
L
()()1
2
112sin
2sin n n n n f x nx
n
πππ+∞
=-+=∑
(),3,,21,x x k πππ-∞<<+∞
≠±±±+L L
2、将函数()()cos
2
x
f x x ππ=-≤≤展成傅里叶级数。 解：注意在一个周期内()f x 是偶函数
()01
1
14
cos 2sin 22x x a f x dx dx π
π
π
π
πππ
πππ
-
--⎡⎤=
===⎢⎥⎣⎦⎰⎰
()0
1
2
cos cos cos 2
n x
a f x nxdx nxdx π
π
π
π
π
-
=
=
⎰⎰
2
12121cos cos 222n n x x dx π
π
-+⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
⎰
02121121sin sin 212212n n x x n n π
π⎛⎫-+⎡⎤=+ ⎪⎢⎥ ⎪-+⎣⎦⎝⎭
()()()()
1
214221221sin sin 1,2,21221241n n n n n n n πππππ+--+=+==-+-L
()1
1
sin cos sin 2
n x
b f x nxdx nxdx π
π
π
ππ
π-
-=
=
⎰⎰ 0
1,2,n ==L ()()
()
1
2
114
2cos 41n n f x nx n π
π+∞
=-=
+-∑
x ππ-≤≤
3、将函数()()2
0f x x
x π=≤≤分别展成正弦级数和余弦级数。
解：1）展成余弦级数 ()2
2
00
1
2
23
π
a f x dx x dx π
ππππ
-
=
==⎰⎰
()()20
22320
1
2
cos cos 412sin 2cos 2sin k π
k
a f x kxdx x kxdx
x kx x kx kx k k k k π
π
π
π
π
π-
=
=
-⎡⎤
=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
()22
2
141cos 3n
n πx nx n
∞=-=+∑ ()0x π≤≤
2）展成正弦级数
()()()20
2222330
1
2
sin sin 212122cos 2sin cos k π
k
k
b f x kxdx x kxdx
k x kx x kx kx πk k k πk π
π
π
π
π
π-
=
=
--+--⎡⎤
=-++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰
()()222
3
1
21212sin n n
n n x nx πn π∞
=--+--=∑ ()0x π≤<
4、