华南理工大学微积分复习题参考答案

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华南理工大学广州学院微积分第二章 1-3节

由函数的极限定义直接求极限是不行的。对于这一类型的极限怎样求？
为求此极限，我们引入下面定义、定理：
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微积分教案
定义设函数 y f (x) 在点 x0 右侧的某个空心邻域内有定义，如果当 x > x0 且 x x0时，函数 f (x) 趋于一个常数 A，则称当 x x0 时，f (x)的右极限是 A，记作
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lim f ( x ) A 或 f ( x ) A( x x0 )
x x0
称当 x x0 时，f (x) 的极限存在，否则称当x x0时， f (x) 的极限不存在。
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例求(1)
微积分教案
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(2)
(3)
lim x 2
x3
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微积分教案
例设
x2 1 , f ( x) x 1 3,
x1 x 1
求
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lim f ( x )
x 1
1, 例设 f ( x ) 2,
A、0 B、1
x 1 f ( x ) =（ B）则 lim x 1 x 1
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微积分教案
二、数列的定义
按一定规则排列的无穷多个数
x1 , x2 , x3 ,, xn ,
称作数列，简记作 {xn} ，其中 x1 叫做数列的第一项， x2叫做数列的第二项，∙∙∙， xn叫做数列的第n 项，又称通项或一般项。例如数列 2,4,8, ,2 ,;

华南理工大学高数习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----；（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(33)

1、试将三重积分(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：1）由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。

(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()110,,xxydx dy f x y z dz-⎰⎰⎰。

2）由曲面2222,2z x y z x =+=-所围成的区域(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()2221212,,x x y dx f x y z dz --+⎰⎰。

2、计算下列三重积分 1）23xy z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。

解：原式111235612000000111428364x xy xdx dy xy z dz dx x y dy x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2）xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

解：原式()221111127101111026yx x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的区域。

解：原式22546222233000201622222123r r r r d dr r dz r dr πθπππ⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰4、利用球面坐标计算()222xy z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域。

解：原式214024sin sin 55d d d d πππππθϕρϕρϕϕ===⎰⎰⎰⎰5、选用适当坐标计算Ω，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。

解：原式522cos 3422001cos sin 2cos sin 42510d d d d ππππϕπϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

华南理工大学微积分统考试卷上2015Aa(1)

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学2015级期末考试《微积分（上）》试卷A（试卷号：2016.1.18 时间120分钟，总分100）1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)；．考试形式：闭卷；．设()()3sin 1,111,1ax x x f x x e x ⎧-<⎪=-⎨⎪+≥⎩在(),-∞+∞连续，则a ln 2 要在(),-∞+∞连续，关键是分段点，其它地方由初等函数在有定义的区间连续的性质1x =处连续，由定义必须()()()11+1f f f ==-，而由函数定义，()()()()()10103sin 111,1+lim 11,1lim31a ax a x x x f e f e e f x →+→--=+=+=+-==-，即要有13,2,ln 2a a e a +===。

．设4arctan y x x =，在1x =处对应的微分dy =12dx π⎛⎫+⎪⎝⎭()4432arctan 4arctan 1x dy x x dx x x dx x ⎛⎫'==+ ⎪+⎝⎭，在1x =处对应的微分 =43211141arctan1411422dx dx dx ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

．设()f x 在[0,)+∞上可导，()00f =，且其反函数为()g x ，若()()3f xg t dt x=⎰，则()f x =232x解由已知，()()()(),y f x x g y x g f x =⇔==，对()()30f xg t dt x =⎰两边对x 求导可得()()()()23g f x f x xf x x ''⋅==，进而()()233,2f x x f x x c x '==+，>0，结合连续及()00f =得()230,2c f x x ==。

华南理工大学线代微积分答案课后题第三章(2)

28、12721125:,:322234x y z x y z l l −−−−+−====−− 1l 过点()17,2,1p 且方向向量为()13,2,2s − ，2l 过点()21,2,5p −且方向向量为()22,3,4s − ()126,4,4p p =−− 直线1l 与2l 共面1212,,s s p p ⇔ 共面⇔3262340244−−−=−设(),,n A B C ,则()1202,16,130n s n n s = ⇒−− = 又因平面过()17,2,1p故()()()2716213121613310x y z x y z −−−−−=−−+=27、（1）点()()()1,2,1,2,2,1,1,1,1−−−在所求平面上，设(),,P x y z 是平面上任一点，则 1111022450210x y z x y z +−+=−++−= （3）设1λ与2λ是两个不同时为零的实参数，过直线3010x y z x y z +−= −++=的平面束方程()()()()()1212121223130x y z x y z x y z λλλλλλλλλ+−+−++=++−+−++= 又因与平面21x z +=垂直则所求平面的法向量()1121212,3,n λλλλλλ+−−+ 与()21,0,2n 垂直故()121221122303λλλλλλλλ++−+=−=⇒=所以所求平面48210x y z +−+=25、（2）()0,1,4AB = 是该直线的方向向量，所以对称式方程为：11014x y z −+== （4）平面30x y z +++=与10y z −+=的法向量分别是()()121,1,1,0,1,1n n ==−则直线的方向向量121112011i j k s n n i j k =×==−++−因又过点()03,1,2P ，故直线的对称式方程为：312211x y z −−−==− 22、（1）两面平行，则11112222AB C D A B C D ==≠ 即1236246D C C −==≠⇒=−,且3D ≠− （2）两面重合，则11112222AB C D A B C D === 即1236246D C C −===⇒=−,且3D =− 20、因平面平行于x 轴，所以可设平面方程为0By Cz D ++= 又因过点()()4,0,2,5,1,7−，代入得：209702C D B C B C D D C−+==− ⇒ ++== 故平面方程方程为920y z −++=18、与平面375120x y z −+−=平行的平面方程设为3750x y z D −++=又因过点()3,0,1−，代入求得：4D =− 所以所求的平面为：37540x y z −+−= 16、()02,9,6OM =− ,由题意可知，0OM 是该平面的法向量所以平面方程为：()()()2299660x y z −+−−+= 即2961210x y z +−−=。

华南理工大学线代微积分课后题答案第二章(2)

14、（2）25141-31-30525141070524323043230016812106-1-50-7615071731325141313050622225141251415201052770107721900408465770173121315037---→→---- ------→→---25141520107711900114287128500071428→（此题答案不唯一，但是不管怎样非零行的数目为4）15（1）()10020010022001001001151,021010010001002213130350010011333200010221313A E=- →- →--22、设12134A A DA A - =,则 12341341324000A A AA AA A E DD A A BA CA BA CA B C E - ===++所以13344111311242000A A AA EA AA BA CA AB CABA CA E A B ---- == == ⇒ +==- +== ,故111110B CA B D A ------=23、因()()21k k E A E A E A A A E --=-++++=所以()121k E A E A A A ---=++++25、证明：(1) 当()r A n =时，0A ≠,所以()()0A r A n ∗∗≠⇒=(2) 当()1r A n =-时，由矩阵秩的定义，A 中至少有一个1n -阶子式不为零，则()1r A ∗≥。

因A 不是满秩，且()1r A n =-，则存在n 阶可逆矩阵,P Q ，使1000n E PAQ - =。

又1||0PAQ Q A PAA P A E -∗∗•==•=（因为||0A =）所以110000n E Q A --∗•=可知1Q A -∗前1n -行均为全零行，因此()*1()1r A r Q A -∗=≤，所以()1r A ∗=(3) 当()1r A n <-时，由矩阵秩的定义，A 的所有1n -阶子式都为零，则()0r A ∗=。

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数f(x,y) 2x2 ax xy2 2y在点(1, 1)处取得极值，则常数a 5． 2．设f(x)1xedy，则 f(x)dxxy1e 1． 23．设S是立方体0 x,y,z 1的边界外侧，则曲面积分sx5dydz y6dzdx z7dxdy 3 ．4．设幂级数n 0n 13na(x 1)ax的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为 n nn 12,4 ．5．微分方程y 3y 4y x2e 4x用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形2 4x式为y xax bx ce．二、选择题sin2(x2 y2), 221．函数f(x,y) x y2,x2 y2 0,x2 y2 0,在点(0,0)处（ D ）．（A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续． 2．设z sec(xy 1)，则z（ B ）． x（A）sec(xy 1)tan(xy 1)；（B）ysec(xy 1)tan(xy 1)；（C）ytan(xy 1)；（D） ytan(xy 1)．2222223．两个圆柱体x y R，x z R公共部分的体积V为（ B ）．22（A）2 （C）Rdx （B）y；8 dx0R RRy；y．RRdxy；4 dx （D）k4．若an 0，Snak 1n，则数列 Sn 有界是级数收敛的（ A ）． 1。

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(1)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、写出下列条件所确定的微分方程：1）曲线在点(),M x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段QM 被y 轴平分。

解：设此曲线方程为()y y x =，由已知Q 点坐标为(),0x -，曲线在点(),M x y 处的法线方程为()1Y y X x y -=--'，其与y 轴交点为0,x y y ⎛⎫+ ⎪'⎝⎭，因此 202y x y yy x y '=+⇒+='2）曲线上任意点(),M x y 处的切线与线段OM 垂直。

解：设此曲线方程为()y y x =，线段OM 的斜率为y x，因此 10y y y y x x ''⋅=-⇒+= 3）曲线上任意点(),M x y 处切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的面积为常数2a 。

解：曲线过点(),M x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-此切线与x 的交点为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭所求微分方程为 212y y x a y ⎛⎫-= ⎪'⎝⎭()2220a xy y y '-+=2、求曲线族12x x xy C e C e -=+（12,C C 为任意常数）所满足的微分方程。

解：方程两边关于x 求导得12x x y xy C e C e -'+=-两边再关于x 求导得122x x y xy C e C e -'''+=+所求微分方程为2y xy xy '''+=3、潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉速度成正比例，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件。

解：设潜水艇下沉所遇阻力为F ，下沉速度为v ，由牛顿第二运动定理有mg F ma mv '-==而由已知F kv =，其中k 为常数，所以mv kv mg '+=因此此问题满足的初值问题为()00mv kv mg v '+=⎧⎪⎨=⎪⎩。

(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(28)

1、选择题1）对于级数1n n a ∞=∑，"lim 0"n n a →∞=使它收敛的( B )条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 2）“部分和数列{}n S 有界”，是正项级数1nn a∞=∑收敛的（ C ）条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 3）若级数1nn a∞=∑绝对收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ A ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛 4）若级数1nn a∞=∑条件收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ B ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛2、用适当的方法判别下列级数的敛散性 1）()11ln 1n n ∞=+∑解：用比较判别法，和调和级数11n n∞=∑比较因为()11ln 1n n >+，级数()11ln 1n n ∞=+∑发散。

2）n ∞= 解：用比较判别法，因为431n n n →∞==，而级数4131n n ∞=∑收敛，级数1n ∞=3）2n n n ∞=+解：用比较判别法，因为2322lim 12n n n n n→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭级数3121n n∞=∑收敛，由比较判别法极限形式可得12n n n ∞=+收敛。

4）411!n n n ∞=+∑解：用比值判别法，因为()()()4444111!111limlim 01111!n n n n n n n n n →∞→∞+++++=⋅=<+++，级数411!n n n ∞=+∑收敛 5）()112n n n n ∞=++∑解：用比较判别法，因为()121lim lim 112n n n n n n n n →∞→∞+++==+，级数()112n n n n ∞=++∑发散。

6）()11,,0n a b na b∞=>+∑解：用比较判别法，因为11lim lim 1n n na b a b a n n →∞→∞+==+，级数11n na b ∞=+∑发散。

华南理工大学微积分下21-推荐下载

L
xoy 面上与积分路径无关，并计算 3 , 4 axy2 y3 dx 6x2 y bxy2 dy 。
1 , 2
解： P axy2 y3 , Q 6x2 y bxy2
所以 a 6 , b 3

P 2axy 3y2 , Q 12xy by2

例 2：交换下列二次积分的次序
0
1
dx
0
x2 f x , ydy
Rx y x2 dy

2 1 sin 2 d
0
R4 8
1
3
dx
二、三重积分（引例：求空间立体的质量）
0
1 3 x
2
基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）
基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算
段。
解：原式
3x4

sin
x2

1
0 12x3 ex2 2x cos x2 2x2ex2
xe x2
0
0 1

2

3

sin 1
e
其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件）、势函数、
两类曲线积分的联系
例 6：求 a , b ，使得曲线积分 axy2 y3 dx 6x2 y bxy2 dy 在整个
R r3 sin cos 2 dr

为由
0
1
dy
z
D
32 y
f x ,
y

1 z 2
1
f
2 x

y dx
f
2 y
dxdy
x2 y2 所确定的圆台体。

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b
a
a b 时， a f (x)dx b f (x)dx ）。理解定积分的几何意义与定积分的基本性
质。掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。掌握牛顿—莱布尼
茨公式。掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。会用定积分求平面
图形的面积与旋转体的体积。会求无限区间上的广义积分。
2、无穷级数
利用函数 1 、 ex 、 ln(1 x) 等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成
1 x
x 的幂级数。
注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。还应注意
知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是
前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。
3、多元函数微积分
理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数

收敛的必要条件）。熟悉几何级数（即等比级数） aqn （ a 0, q 叫公比）、 n0
调和级数

n1
1
与
p

级数

n1
1 np
(
p

0)
的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及
比值判别法。了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛
F x, y 0 确定 y y(x) ，求 dy ；由方程 F x, y, z 0 确定 z z(x, y) ，求
dx
z , z 等等。 x y
（3）理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了
解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的
与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

了解幂级数 anxn 及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、 n0
收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
华南理工大学基础部
关于 10 级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知
通知要点
★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案
一、考试的重点内容与要求
考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，
以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求：
1、定积分及其应用
b
理解定积分的定义（含两点补充规定：当 a b 时， a f (x)dx 0 ；当
应用问题。
复习这部分内容要与上学期的求导公式与求导法则联系起来，特别是复
合函数的求导法则要十分熟练，经验表明，学好这部分内容“基础是一阶、
矛盾是高阶、关键是动手”。
（4）二重积分
第2页共9页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
（1）了解空间解析几何的一些有关知识，如空间直角坐标系、曲面方程
概念，平面、球面、圆柱
面、旋转抛物面、马鞍面等的方程及其图形等。
（2）了解多元函数的概念，二元函数的定义域、几何意义及极限与连续
概念。掌握二元函数的偏导数、全微分的求法，会求简单函数的二阶偏导数。
会求复合函数和隐函数的一阶偏导数，如设 z f (u,v) ，而 u x, y， v x, y求偏导数；设 z f (u,v) ，而 u x， v x求全导数；由方程