第8讲数列的通项和求和(讲义)

数列求和

一、高考要求

数列的通项和求和是一节综合性内容，在高考卷中有小题也有大题，其中大题有简单的数列求通项或求和题，也有复杂的数列和不等式、数列和函数、数列和方程等的综合题．数列的通项和求和是高考对数列考查的主要着力点之一．二、两点解读

重点：①等差、等比数列的通项和求和公式；

②利用相关数列}{n S 和}{n a 的关系求数列的通项公式；

③数列求和的几种常用方法；④数列与不等式或函数等结合的综合题．难点：①利用递推关系求数列的通项公式；②数列与不等式或函数等结合的综合题．定义法

在等比数列}{n a 中，12a =，前n 项和为n S ．若数列}1{+n a 也是等比数列，则n S 等于

（）

A 221-+n

B n 3

C n 2

D 13-n

解：∵}{n a 是等比数列，设公比为q ，}1{+n a 是等比数列，

∴12121111+?+?=++-+n n n n q q a a 是一常数，设为k ，则k q q n n =+?+?-1

21对任意的正整数n 都成立，可解得：1=k ，q = 1，∴n na S n 21==，故选C 裂项求和 1．化简)

1(1

431321211++

+?+?+?n n 的结果是（ D ）

12+n n B 1+n n C 12+n n D 1

22+n n

2.若数列{a n }的通项公式为

n a =

n 项和S n 1=

例6 已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n (n ∈N *) 均在函数)(x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

3+=

n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20m

T n <对所有n ∈N *都

成立的最小正整数m ；

解：（Ⅰ）依题设)0()(2≠+=a bx ax x f ，由b ax x f +=2)('又由26)('-=x x f 得

3=a ,2-=b ,∴x x x f 23)(2-=，所以n n S n 232-=，

当2≥n 时=-=-1n n n S S a 56)]1(2)1(3[)23(22-=-----n n n n n ，

当1=n 时，51611213211-?==?-?==S a 也符合，∴)(56*N n n a n ∈-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1

561(21]5)1(6)[56(331+--=-+-==

+n n n n a a b n n n ， ∴)161

1(21)]161561()13171()711[(211

+-=+--++-+-==

∑=n n n b T n

i i n ，

∴要使)(20)1611(2

1*N n m n ∈<+-恒成立，只要20

)]1611(21[max m

n <+-，又∵21)1611(2

1<+-

n ，∴只要20

21m ≤，即10≥m ，∴m 的最小整数为10 例序相加

例2 设1)1()(3+-=x x f ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4(f f f f +++++- 的值为：

解：课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法即为“倒序相加法”．令S f f f f f =+++++-+-)6()5()0()3()4( ① 则也有S f f f f f =-+-+++++)4()3()0()5()6( ② 由21)1(1)1()2()(3

=+-++-=-+x x x f x f

可得：2)5()3()6()4(==+-=+- f f f f ，于是由①②两式相加得2112?=S ，所以11=S

分组求和

已知)12)(1(6

3212222++=

++++n n n n ，则

数列)1(,,43,32,21+???n n 的前n 项和为：解：数列)1(,,43,32,21+???n n 的通项为：n n n n a n +=+=2)1(．所以：=+++++++=+++=)21()21(22221n n a a a S n n

)1(21

)12)(1(61++++n n n n n 3

)2)(1(++=

n n n

错位相减法

对正整数n ，设曲线)1(x x y n

-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1

{

+n na n

的前n 项和的公式是解：1+-=n n x x y ，1112

'2)2(2)22(2---=+-=?+-==n n n x n n n y k ，切点为)2,2(n -，

切线方程点斜式为：)2(2)2(21-+-=+-x n y n n ，令0=x 得n n n a 2)1(+=，令1

n na b n

n ，则n n n b 2?=，令n n b b b S +++= 21，由错位相减法可得：12)1(2++-=n n n S 转化法求和

设数列{}n a 的前n 项和n S =2

14---n n a ，求n a .解：n S =2

214--

-n n a ，得

1+n S =1

14-+-

-n n a ，∴ 1+n a =1+n S －n S =n a －1+n a +（

-2

1n 1

1-n ）．

∴ 1+n a =n a 2

21，两边同乘以12+n ，得12+n 1+n a =n 2n a +2，

∴ {}

n n a 2是首项为1公差为2的等差数列，

∴ n

2n a =2+2)1(?-n =n 2，解得： n a =

-n n