文科立体几何知识点、方法总结高三复习

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立体几何知识点整理(文

科)

一.

直线和平面的三种位置关系:

1. 线面平行

l

符号表示:

2. 线面相交

符号表示:

3. 线在面内

符号表示:

二.平行关系: 1.

线线平行:

方法一:用线面平行

实现。

m l m l l ////⇒⎪⎭

⎬⎫

=⋂⊂βαβα

方法二:用面面平行

实现。

m l m l ////⇒⎪⎭

⎬⎫

=⋂=⋂βγαβ 方法三:用线面垂直实现。

若αα⊥⊥m l ,,则m l //。

方法四:用向量方法:

若向量l 和向量m 共线且l 、

m 不重合,则

m //。

2.

线面平行:

方法一:用线线平行实现。

ααα////l l m m l

⇒⎪⎭

⎬⎫

⊄⊂ 方法二:用面面平行实现。

αββα////l l ⇒⎭

⎬⎫

⊂ 方法三:用平面法向量实现。

若n 为平面α的一个法向量,l n ⊥且

α⊄l ,则α//l 。

3.

面面平行:

方法一:用线线平行实现。

l

βααβ//',','

//'//⇒⎪⎪⎭

⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二:用线面

平行实现。

βαβαα

//,////⇒⎪⎭

⎬⎫⊂且相交m l m l 三.垂直关系: 1. 线面垂直:

方法一:用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭

⎪⎬⎫

⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC

l ,

方法二:用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭

⎬⎫

⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,

2. 面面垂直:

方法一:用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥l l

方法二:计算所成二面角为直角。

3.

线线垂直:

方法一:用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥αα

方法二:三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫

⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭

方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为0,则

m l ⊥。

三.夹角问题。

(一) 异面直线所成的角:

(1) 范围:]90,0(︒︒ (2)求法:

方法一:定义法。

步骤1:平移,使它们相交,

找到夹角。

步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)

余弦定理:

ab

c b a 2cos 2

22-+=θ

(计算结果可能是其补角)

方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):

=

θcos (二) 线面角

(1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

(2)范围:]90,0[︒︒ 当︒=0θ时,α⊂l 或α//l

当︒=90θ时,α⊥l

(3)求法:

方法一:定义法。

步骤1:作出线面角,并证明。 步骤2:解三角形,求出线面角。

(三) 二面角及其平面角

(1)定义:在棱l 上取一点P ,两个半平

面内分别作l 的垂线(射线)m 、n ,则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

(2)范围:]180,0[︒︒ (3)求法:

方法一:定义法。

步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。

步骤2:解三角形,求出二面角的平面

角。

方法二:截面法。

步骤1:如图,若平面POA 同时垂直

于平面βα和,则交线(射线)AP 和AO

的夹角就是二面角。

步骤2:解三角形,求出二面角。

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一:计算121212

cos n n n n n n ⋅<⋅>=

步骤二:判断θ与12n n <⋅>

的关系,可能相等或者互补。

四.距离问题。

1.点面距。

方法一:几何法。

步骤1:过点P 作PO ⊥α于O ,线段PO 即为所求。

步骤2:计算线段PO 的长度。(直接解

三角形;等体积法和等面积法;换点法)

2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离

方法一:转化为线面距离。

m

如图,m 和n 为两条异面直线,

α⊂n 且α//m ,则异面直线m 和n 之间

的距离可转化为直线m 与平面α之间

的距离。

方法二:直接计算公垂线段的长度。

方法三:公式法。

如图,AD 是异面直线m 和n 的公垂线段,'//m m ,则异面直线m 和n 之间的距离为:

θcos 2222ab b a c d ±--=

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