文科立体几何知识点、方法总结高三复习
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立体几何知识点整理(文
科)
一.
直线和平面的三种位置关系:
1. 线面平行
l
符号表示:
2. 线面相交
符号表示:
3. 线在面内
符号表示:
二.平行关系: 1.
线线平行:
方法一:用线面平行
实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
=⋂⊂βαβα
方法二:用面面平行
实现。
m l m l ////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
=⋂=⋂βγαβ 方法三:用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l ,,则m l //。
方法四:用向量方法:
若向量l 和向量m 共线且l 、
m 不重合,则
m //。
2.
线面平行:
方法一:用线线平行实现。
ααα////l l m m l
⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊄⊂ 方法二:用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭
⎬⎫
⊂ 方法三:用平面法向量实现。
若n 为平面α的一个法向量,l n ⊥且
α⊄l ,则α//l 。
3.
面面平行:
方法一:用线线平行实现。
l
βααβ//',','
//'//⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二:用线面
平行实现。
βαβαα
//,////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊂且相交m l m l 三.垂直关系: 1. 线面垂直:
方法一:用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
方法二:用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直:
方法一:用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
方法二:计算所成二面角为直角。
3.
线线垂直:
方法一:用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
方法二:三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
方法三:用向量方法: 若向量和向量的数量积为0,则
m l ⊥。
三.夹角问题。
(一) 异面直线所成的角:
(1) 范围:]90,0(︒︒ (2)求法:
方法一:定义法。
步骤1:平移,使它们相交,
找到夹角。
步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理:
ab
c b a 2cos 2
22-+=θ
(计算结果可能是其补角)
方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):
=
θcos (二) 线面角
(1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
(2)范围:]90,0[︒︒ 当︒=0θ时,α⊂l 或α//l
当︒=90θ时,α⊥l
(3)求法:
方法一:定义法。
步骤1:作出线面角,并证明。 步骤2:解三角形,求出线面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定义:在棱l 上取一点P ,两个半平
面内分别作l 的垂线(射线)m 、n ,则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
(2)范围:]180,0[︒︒ (3)求法:
方法一:定义法。
步骤1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
步骤2:解三角形,求出二面角的平面
角。
方法二:截面法。
步骤1:如图,若平面POA 同时垂直
于平面βα和,则交线(射线)AP 和AO
的夹角就是二面角。
步骤2:解三角形,求出二面角。
方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一:计算121212
cos n n n n n n ⋅<⋅>=
⋅
步骤二:判断θ与12n n <⋅>
的关系,可能相等或者互补。
四.距离问题。
1.点面距。
方法一:几何法。
步骤1:过点P 作PO ⊥α于O ,线段PO 即为所求。
步骤2:计算线段PO 的长度。(直接解
三角形;等体积法和等面积法;换点法)
2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离
方法一:转化为线面距离。
m
如图,m 和n 为两条异面直线,
α⊂n 且α//m ,则异面直线m 和n 之间
的距离可转化为直线m 与平面α之间
的距离。
方法二:直接计算公垂线段的长度。
方法三:公式法。
如图,AD 是异面直线m 和n 的公垂线段,'//m m ,则异面直线m 和n 之间的距离为:
θcos 2222ab b a c d ±--=
高考题典例