对一道高考试题的思考与探究
对一道高考试题的反思与探究
焦点作 圆 ＋ ＝ａ的两条切线 ， 切点分别为 Ａ， 则 Ａ， Ｂ， 日点在该焦点对应 的准线上． 同样地 ， 比椭 圆 ， 类 我们可 以得 到以下 结论 ：
结论 ４ 已知椭圆 ｃ ＋ ＝Ｉ 口＞ｂ ） ： （ ＞０ 的离 心
２
不妨设切线方程 为 Ｙ＝ （ 一 ， 由圆心到切线 的 尼 ＿ ） 则 ｃ
又 ａ× ＝一 孚×— １ ０ （ ） 一， ＝ １则圆
ａ ０ 口
别为 Ｂ 线段仙 经 ， 过椭圆ｃ ＋ ＝ （＞ ＞ ） ： 告 ｌ ６０ ｎ ＋ ＝ 分 ， 则 ｎ的
的焦点（ ，） ｃ０ ． 限于篇幅 ， 以上结论的证明请读者 完成，
（ 收稿 日期 ：０ ９７ ６ ２０ ０ ０ ）
２
焦距 为 ２ 以 ０为圆心 ， ， ｎ为半 径 的圆 ， 过点 （ ， ） 圆 ｏ作
程ｙ 口而心ｅ ／ａ 为＝ 离率＝：ｌ ， ， 音√ ０＼ ＋
故 由反思 １ 可知切线 的斜率 Ｉ＝ ｉ ｝
，
的两 切线互 相垂直 ， 离心率 ｅ 则 ＝
—
．
—
，
结论 ５ 过点（ ， ） 圆 ＋ ＝ｏ 的切线 ， 一 ０作 ａ 切点
因为双 曲线 ｃ ： ＝１ ｏ＞ ， ＞０ 的渐近线 方 （ ０ｂ ）
的 斜率分别为±／ ＿ ． ｌ Ｖ ．
—
广
ｅ
利用 此结 论 ， 我们 可 以快 速解 决 ２ ０ ０ ８年高考 江苏 卷第 １ ２题 ：
在平面直角坐标系中， ＋ １ｏ ｂ ０的 椭圆 鲁＝ （＞ ＞ ）
距离等于半径可知
： ， 后 ：ｖ ＿， 。即ＩＩ ／ ０
、 １＋ ／ ‘
率为 ｅ过点 （ ，） 圆 ＋ ， ０作 Ｙ ＝口 的两条 切线 ， 则切线
对一道高考实验题的评析与思考
纯度
…
．
那么能否在上层清液 中加入稀Ｈ Ｓ ４ Ｏ ，有沉 淀说
～ ： —（４ ×—１ ３ １ ６口 “ ０ ” 。 １ ７ ２ × ２ ） ２ ２ ３ ×～
一
１２ ２ｂ（２ ×２ ３ａ ４ ×１ ６一１ ６ ３ ）
但在加 热干燥 过程 中亚硫酸 钡会被 空气 中的氧 气氧 化 成Ｂ Ｓ ４ ａ Ｏ ，故 上述 方 法就 有误 差 。那 么 ，是
《 普通 高中化 学课程 标准 》提 出要求 培养学生
（） 骤⑧ 中加 稀 盐 酸使 溶液 呈 强酸性 的 目的 ２步
是 ：— — 。
“ 具有较 强的 问题 意识 ，能够发 现和 提 出有探究价 值 的化学 问题 ，敢 于质疑 ，勤 于思考 ，逐渐形 成独
（） ４实验 测得 样 品 中无 水亚 硫 酸钠 的质 量分数 是：（ 出算式 ，不 需化简） 列
这 是一个定量 化学 实验 ，要 求实验操作 准确无 误 、数据要尽可能地减少误差 。
本实验 的原理 是：将样 品中因部分氧化而存在
的ｓ ７转 化 为难 溶 的Ｂ Ｓ 淀 ，通 过 测 出 ｏ ａＯ沉
ＢＳ４ ａ Ｏ 沉淀 的质 量 求 出Ｎ ２Ｏ 的质量 ，进 一 步求 出 ａＳ ４ 样品 Ｎ ２Ｏ 的纯度 。 ａＳ ａ
红吗？ 瓣 上 ．观 察 现 象
对 一道 高考 实验题 的评析与思考
黄正兵
（ 师范大学附属 中学江 宁分校 ，江苏江宁 ２１０） 南京 １１２
文章编号 ：１０ －６ ２ （０ ６ Ｏ —０ ５ —０ ０５ ６９２０）７ ０７ ３ 中图分类号 ：６ ２ ． ４ ４ ４ ７ 文献标 识码：Ｂ
一道高考试题研究课的教学设计
一道高考试题研究课的教学设计引言：高考对于每位学生来说都意味着人生的分水岭，而高考试题对于学生来说非常关键。
通过对一道高考试题的研究，不仅可以帮助学生提升解题能力，还能了解考试命题的思路。
本教学设计旨在通过一道高考试题研究课，帮助学生掌握解题方法和考点，并培养学生的综合分析能力和思考能力。
一、引入（10分钟）1. 通过给学生出示一道高考试题，激发学生对高考试题研究的兴趣；2. 引导学生思考该试题可能涉及到的知识点和解题方法。
二、知识点讲解（20分钟）1. 围绕该试题的知识点进行讲解，解释相关概念和原理；2. 强调该知识点在高考中的重要性和应用。
三、研究案例分析（20分钟）1. 分小组讨论，每组选取该试题的一个解题角度进行深入研究；2. 学生们在小组内相互交流和讨论，共同探讨解题思路。
四、解题过程指导（30分钟）1. 教师以步骤为导向，引导学生分析解题过程，并给出解题思路；2. 学生们跟随教师的指导，一起完成试题的解答。
五、问题讨论（20分钟）1. 学生们分享自己的解题思路和答案，进行解答过程的对比和讨论；2. 教师积极引导学生思考，提出问题并组织学生进行讨论。
六、拓展延伸（20分钟）1. 教师以更高难度的相关试题进行延伸训练，巩固学生对知识点的掌握；2. 学生们分组合作，共同完成延伸训练。
教师在小组内指导学生进行讨论。
七、总结反思（10分钟）1. 教师给予学生积极的反馈，表扬他们在课堂上展现的学习积极性和解题能力；2. 学生们对本节课的学习进行总结和反思，指出自己的不足并提出改进意见。
八、课后作业（5分钟）1. 布置课后作业，要求学生继续研究该试题，争取找到更多解题方法；2. 鼓励学生们积极参与练习，深化对知识点的理解。
教学设计的目标：1. 掌握一道高考试题的解题方法和考点；2. 培养学生的综合分析能力和思考能力；3. 提高学生解题的效率和准确性。
结语：通过一道高考试题的研究课，学生们不仅能够提升解题能力，还能更好地理解考试命题的思路。
平面方程在高中数学解题中的应用——由两道高考试题引发的思考与探究
解题过程中，如果我们的思维不局限于怎么解，结果是什么；而在纵深挖掘上，除了思考怎么解，再想想为什么这样解，还可以怎么解，为什么会有这样的问题，把问题的背景挖深、想透；在横向拓展上，思考还可以有什么样的问题，实现一题多解，多题一解，以期达到由点及面，解一题懂一类．由此实现教师个人专业素养的完善与提升．在教学实践中，依据不同时期，学生数学思维处于不同发展水平的特点，实施不同的教学方法与策略，以期有效培养学生的数学核心素养．以解析几何为例，在学生学习解析几何的初期，在教学实践中强化解析几何的核心思想，即用代数方法解决几何问题的基本思路，在解题教学中强调通性通法，强化代数运算、理清算理算法，培养学生数学运算、逻辑推理等数学核心素养．随着学习的深入，当学生对解析几何相关问题的处理方式已熟悉，并对相应的数学运算已经熟练掌握，甚至产生运算机械化的趋势时，解题教学可在运用代数法解决问题的同时，引导学生在相关条件的几何化上做积极的尝试，在知识的交汇点处寻求新生成．在回避复杂代数运算的同时，体会几何运动变化过程中的不变性，体会数学证明的简洁美，使学生的数学思维更贴近问题的本质，直面问题的本源，那是单纯的代数运算所无法获得的另一种成就感．在这样的引导过程中，培养学生多角度、多方向思考问题的能力，增强学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．在这样的教学实践中不断培养学生直观想象、数学抽象等核心素养，以期达到师生在数学核心素养层面的互相成就，共同成长．参考文献[1]卫小国，韩长峰．简约问题中的不凡伴生圆-探究2017年全国Ⅱ卷解析几何问题[J]．数学通讯：上半朋，2017（9）：25-26[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-2）[M]．北京：人民教育出版社，2008（本文系2018年度福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）《基于新高考的数学学科核心素养评价研究》（项目编号：JZ180231（福建教育学院资助））阶段性研究成果）平面方程在高中数学解题中的应用——由两道高考试题引发的思考与探究陈 言 福建省福州格致中学（350001）平面方程是“高观点”内容，在高考试题或日常习题中总能发现它的“踪影”，学习平面方程，可以从“高观点”角度分析试题与习题的背景，拓展解题思路，使问题的解决更加简便． 1 试题呈现 试题1 （2019年高考全国Ⅲ卷·理23）设x y z ，， ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a ≤−或1a ≥−．试题2 （2018年高考江苏卷·21D ）若x y z ，，为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．这两道都是选考题，都涉及研究在给定线性方程条件下的最值问题，其中试题1还涉及对恒成立问题的考查，试题难度都不大，属于基础题，旨在考查柯西不等式或基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、分析问题和解决问题能力，试题1还考查解决恒成立问题的一般方法． 2 解法探究本文以试题1的第1问为例，解法如下．解法1 利用柯西不等式222222[(1)(1)(1)](111)x y z −++++++ 2[(1)(1)(1)]x y z ≥−++++ 2(1)4x y z =+++=，∴2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥， 等号成立当且仅当111x y z −=+=+，又已知1x y z ++=， 故解得当53x =，13y =−，13z =−时等号成立， 所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43．解法2 利用基本不等式 由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++ 222(1)(1)(1)x y z =−++++2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y y z z x +−++++++−2223[(1)(1)(1)]x y z ≤−++++又 1x y z ++=， ∴2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥（以下同解法1）．解法3 利用向量的数量积设1(111)=，，z ，2(111)x y z =−++，，z ，则1||=z2||=z121112x y z ⋅=−++++=z z ．1212cos ⋅=<>，z z z z ，2≥，2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当21λ=z z ，0λ>时取等号（以下同解法1）． 思考与探究1 以上三种解法均源于教材，均是利用高中数学知识和方法解决问题，但从“源于教材、高于教材、活于教材”这一要求出发，从“高观点”的角度来分析试题，不难发现这是两道带有“高观点”背景的数学试题．我们知道，在空间解析几何中，平面α的一般式方程是220(Ax By Cz D A B +++=++20)C ≠，若点000()P x y z ，，为平面α外一点，则点P 到该平面α的距离d =．根据空间解析几何的上述知识，从数形结合的角度来审视这两道试题，就能发现题干中分别给出的条件1x y z ++=和226x y z ++=都可以看成是平面方程，而222(1)(1)(1)x y z −++++和222x y z ++可以分别看成是点(111)−−，，到平面1x y z ++=距离的平方，以及点(000)，，到平面226x y z ++=距离的平方，于是可以采用下列解法．解法4 利用平面方程设()P x y z ，，是方程1()x y z x y z ++=∈R ，，所表示的平面上任意一点，点(111)Q −−，，，则2||(PQ x =−2221)(1)(1)y z ++++，||PQ 的最小值就是定点Q 到平面1x y z ++=的距离，由距离公式得：min ||PQ==． ∴222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43．试题1的第（2）问同样可以利用平面方程证明如下：证明 设点()P x y z ，，是平面1x y z ++=上的动点，点Q (21)a ，，， 2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥， 2min 1||3PQ ∴≥，又min ||PQ =， 22min (2)1||33a PQ +∴=≥，2(2)1a +≥．解得3a ≤−或1a ≥−．思考与探究2 观察试题1与试题2中的几个平方和式子，联想到圆的标准方程222()()x a y b r −+−=左边的式子也是平方和形式，它们结构相同，仅是项数不同，运用类比推理可以得到球面方程2()x a −222()()y b z c r +−+−=，这时方程的左边也是三个平方和式子，由此获得启发并加深了对问题背景的认识．还是以试题1为例，若设222(1)(1)(1)x y z −++++2r =，则问题的几何意义就是当平面1x y z ++=与球面2222(1)(1)(1)x y z r −++++=有公共点时球心到平面的距离d r ≤，经计算不难得到答案．解法5 利用平面方程与球面方程设球面方程2222(1)(1)(1)x y z r −++++=， 球心到平面1x y z ++=的距离为d ， 由问题的几何意义可知d r ≤．r d ∴≥=， 222(1)(1)(1)x y z ∴−++++的最小值为43． 评注 解法1至解法3突出逻辑思维和数学运算，但不关注问题的背景知识，解法4和解法5则通过观察，发现问题的几何特征，并借助图形，形成解决问题的思路．笔者注意到多数以“高考试题汇编”为名的书籍中，这两道试题的解答几乎都采用解法1，解法2少见，其它解法未见．造成解法单一的主要原因是人们在解题中没有深入挖掘试题的背景知识，没有把握问题的本质，没有整合知识间的联系，因此就无法进行发散思维和创新思维．基于这一分析，笔者建议教师在日常解题教学中，应加强对审题能力的培养，认真研究试题背景，领悟试题内涵，还应学习掌握一些“高观点”知识和方法，通过一题多解和一题多变，提高分析与解决问题的能力．3 空间平面方程在解题中的应用举例 3.1 不等式证明问题例1 已知实数a b c d ，，，满足3a b c d +++=，2a 2222365b c d +++=，求证：12a ≤≤．分析 本题是湘教版教科书选修4-5不等式选讲第5章习题13第6题，解题的思路是先构造两组数，再运用柯西不等式进行证明．但若能挖掘习题的几何背景，利用平面方程和球面方程知识，从数形结合的角度去寻找证明思路，则可以培养学生直观想象与数学建模等核心素养．解 由已知得3b c d a ++=−， 22222365b c d a ++=−，3a =−，球面方程2222x y z r ++=，其中225r a =−．则所构造平面与球面有公共点)， 故球心到平面的距离d r ≤．|3|a r ∴−≤，222(3)5a r a −≤=−， 化简的2320a a −+≤， ∴12a ≤≤．3.2 球与几何体切接问题例2（2015年高考全国Ⅱ卷·理9改编）已知A B ，是球O 的球面上两点，90AOB ∠= ，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC −体积的最大值为36，则三棱锥O ABC −内切球的表面积为 ．分析 本题以球为背景，构造出一个动态的三棱锥模型，需要通过直观想象和逻辑推理来确定使三棱锥体积最大时顶点C 的位置，再通过数学运算得出球O 的半径以及三棱锥内切球的半径和表面积．若用高中数学知识和方法解答，则可以在求出球O 的半径R 之后运用等体积法求出三棱锥的内切球半径，若从“高观点”的角度分析问题，则本题可以用平面方程解答如下：解 如图1所示，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC −的体积最大，设球O 的半径为R ，此时23111326O ABC C AOB V V R R R −−==××== 36，故6R =，现以O 为坐标原点，分别以OA OB OC，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则平面ABC 的方程是6x y z ++=，设三棱锥内切球的球心为000()O x y z ′，，，内切球半径为r ，则O ′000x y z r ===． 0006x y z ++≤，0063x ∴−，从而03r x ==， 三棱锥O ABC −内切球的表面积为：2244π(3(48πS r =π==−．图1 图23.3 空间的平行与垂直问题例3 （2019年高考天津卷·理17改编）如图2，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AEBC ==．若平面BDF ⊥平面 BDE ，求线段CF 的长．分析 本题经过改编后，平面BDF 与平面BDE 成垂直关系，若采用高中的常规方法来解答，其解题思路是先根据条件建立空间直角坐标系，然后求出平面BDE 的法向量，再设点F 的坐标并用点F 的坐标表示平面BDF 的法向量，最后通过两个法向量数量积的计算得出答案．现尝试利用平面方程解答，平面的点法式方程是000)()()A x x B y y C z z −+−+−=（ 0，其中000()M x y z ，，是平面上的点，()A B C =，，n 是该平面的法向量．解 依题意，建立以A 为原点，分别以AB AD，，AE的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图2），可得(000)A ，，，(100)B ，，，(120)C ，，， (010)D ，，，(002)E ，，．(110)BD −，，，先求出平面BDE 的法向量(221)=，，n ， 设平面BDF 的法向量为()x y z =，，m ， 由00BD ⋅=⋅=，，m m n 得0220x y x y z −+= ++= ，， 令1x =，得(114)=−，，m ， A BC O ••••又点B 在平面BDF 内，故平面BDF 的点法式方程是： 1(1)1(0)4(0)0x y z ⋅−+⋅−−⋅−=， 化简得410()x y z +−−=∗，将(12)F h ，，的坐标代入方程（*）得12h =， 故12CF =． 3.4 点共面或线在面内的判定问题例4 （2019年高考北京卷·理16）如图3，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PAAD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．图3分析 本题第3问若用高中的数学知识和方法解答，则是先求出平面AEF 的一个法向量m ，再由计算得0AG ⋅=m ，最后作出“直线AG 在平面AEF 内”的判断．若从“高观点”的角度分析，则是先建立空间直角坐标系，再求出平面AEF 的方程以及点G 的坐标，最后通过检验点G 的坐标是否满足平面AEF 的方程做出判断．解 以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD AP ，方向为y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz −（如图3），易知：(00A ，， 0)，(210)B −，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(011)E ，，，(000)A ，，，(210)B −，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(0E ，11)，，由13PF PC =可得点F 的坐标为224()333F ，，，由23PG PB =可得422()333G −，，，平面AEF 的一个法向量为：(111)=−，，n ，则平面AEF 的方程为0x y z +−=，由于点G 的坐标满足0x y z +−=，且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内．3.5 实际应用问题例5 在空间直角坐标系中，已知(2800)A ，，，平面ABC 的法向量是(113)=−，，n ，一质点自点(111)P ，，沿着方向(122)=，，a 做等速直线运动，进过5秒后到达平面ABC ，然后立即又沿着方向(221)=−−，，b 以同样的速度等速直线前进，求再经过多少秒质点到达平面YOZ ．分析 本题以实际问题为背景，考查学生对物体运动方程、平面方程、向量、空间直角坐标系等相关知识的综合运用能力，考查数学建模与数学运算等核心素养．若质点沿规定的方向作直线运动，则其直线方程可以用参数形式表示，而质点的运动速度可以由质点到达平面ABC 所用的时间计算得到．解 质点由点(111)P ，，沿着方向(122)=，，a 做等速直线运动，经过5秒后质点的坐标是(15110v v ++，， 110)v +，其中v 表示质点沿a 方向运动的速度，此时质点到达平面ABC ，由已知得平面ABC 的点法式方程是(28)30x y z −−+=，化简得328x y z −+=，故有(15)(110)3(110)28v v v +−+++=，解得1v =，质点的运动轨迹与平面ABC 的交点是(61111)Q ，，，质点再沿着方向(221)=−−，，b 以同样的速度等速直线前进，轨迹方程为6211211x t y t z t =−=+ =− ，，，其中参数t 表示时间，令0x =， 得3t =，故再经过3秒质点到达平面YOZ ．4 教学启示空间平面方程还有许多其它运用，如求空间的角和距离、研究动态几何问题等，限于篇幅不在此赘述．从以上所列举的若干例子中可以看出，空间平面方程为我们研究和解决高中数学中的某些问题提供了新的思路和方法．比如在解证某些不等式问题时，借助平面方程，建立数与形之间的联系，使问题变得简明、形象，同时还能够由直观感知，获得解题思路，通过逻辑推理和数学运算获得结论，并作出几何解释．在解证某些立体几何问题时，运用平面方程，可以帮助我们正确判断空间点、线、面之间的位置关系，可以方便快捷地解决空间点、线、面之间的度量问题，可以化“定性”研究为“定量”分析，优化解题方案，降低解题难度．平面方程还为解决实际问题提供更多、更好的思路．根据2017年版数学课程标准的介绍，数学选修课程E 类中包括了大学数学先修课程，该课程有三个专题，其中的一个专题是“解析几何与线性代数”，平面方程是空间解析几何中的“高观点”内容．笔者认为应当为学生的发展适当开设一些“高观点”课程，指导学生学会运用“高观点”的思想方法，从“高观点”的角度研究问题，这样能使学生看清问题的背景，理解问题的本质，使问题的解决更加简便．教师也可以在日常教学中利用研究性学习活动，渗透“高观点”的数学知识和方法，化解学习难点、突破解题瓶颈，引领学生将数学思维向更高、更深的层次发展．（本文系福州市教育科学研究“十三五”规划2018年度课题“基于新课标学习主题，培养数学核心素养的实践研究”（课题立项编号：FZ2018ZX006）的阶段性研究成果）例谈核心素养理念下的“一题多解”连信榕 福建省福州时代中学（350007）高中数学课程标准定义数学核心素养为：具有数学基本特征思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现．笔者认为，一个具备数学核心素养的人能够独立思考，敢于创新，善于批判，是一个能够用数学的眼光对待生活、丰富生活的人．而高中数学教学更是肩负着培养提升学生综合素质的使命．进行有效的一题多解训练，不但能够带出多种数学知识与方法，而且能通过不同方法之间的比较，让学生感悟知识的内涵，方法的通用性与局限性，对提高学生的思维能力有极大的帮助．本文从两个经典例题出发，进行多角度思考与挖掘，渗透数学思想方法，进而达到培养提升学生的数学核心素养的目的． 案例1 已知圆的方程为222x y +=，点P 在直线122yx =−上运动，过点P 作圆的两条切线，切点为M N ，，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解法1 如图1，连接OM ON ，，因为90OMP ONP ∠=∠=，所以O M P N ，，，四点共圆． 因为点P 在直线122yx =−上运动， 设(2)2aP a −，，则以OP 为直径的圆为： 2222(2)2()[(1)]244aa a ax y +−−+−−=①，又因为直线MN 为圆①与圆222x y +=的公共弦，联立两圆得直线MN 方程2(4)40ax a y +−−=，从而过定点1(1)2−，．解法1将所求直线理解为两圆的公共弦，一切的出发点源自含参数的动点P ，通过运算，得到含参数的直线，从而找到定点．该法运用了转化与化归的数学思想方法，锻炼了学生逻辑推理与数学运算等数学核心素养． 解法2 如图2，以点P 为圆心，以PM 长为半径作圆，因为点P 在直线122y x =−上运动，设(2a P a ，2)−，该圆方程为2222()[(2)](2)22a a x a y a −+−−=+− 2−①．又因为直线MN 为圆①与圆222x y +=的公共弦，联立两圆得直线MN 方程：2(4)40ax a y +−−=，从而过定点1(1)2−，． 解法2与解法1思维类似，让学生感悟构造不同的圆，得到统一的结果．这不正是数学的发散思维的体现，不正是一题多解的魅力所在吗？图3解法3 如图3，设11()M x y ，，22()N x y ，， 则过M 点的切线方程为：112x x y y +=， 又因为点P 在直线122y x =−上运动， 设(2)2a P a −，，且点P 在切线上，代入有11(2)22a x a y +−=， 同理可得22(222a x a y +−=），所以过M N ，的直线为(2)22axa y +−=，。
一道高考应用题的思考与探究——研究性学习一例
叉 ｎ ＋ （ ＋ １ ≥ ２ ，￣ － ｎ ） ， ＴＳ ・ ｑ
＋２
’ ． ．
霄 ， ．
＿ ・ １
≤３， ０
淀后 流 出的 水 中该 杂 质 的 质 量 分 数 最 小 （ Ａ，
Ｂ孔 的面积忽略不 计） ．
经沉 淀 后 从 Ｂ 孔 流 出 ， 箱 体 的 长 度 为 “ 设
米 ， 度 为 ６米 ， 高 已知 流 出 的 水 中 该 杂质 的 质
令 ｄ 一日 ＋ … ＋ ／ ， 孙 ２ （ １ ． 则 ／ ＋ ａｂ 一 ２
＋ １１ 一 ６ ． ６ ０
量 分 数 与 ａ， 乘 积 曲 成 反 比 有 制 箱 材 ６的 现
当 ＝ ６时 ， ０ ０ ６ ７ 皿 ≈ ． ４ ：
（１ 一）取 号 ％－ Ｕ １ 等 一 ／－ ＿ 时
下 面进行估 算 ，
当 ｎ一 １时 ≈ Ｏ ６ Ｙ ．１ ７；
一逐 渐 增 大 ， ｎ １ 当 ≥ ０时 ， ≥ １ 效 果 越 ｙ ， 来 越 差． 因 此 ， ｎ ４ 即 分 为 四个 等 体 积 的 箱 当 一 ， 体 时 质 量 分 数 晟 小 为 ０ ０ ５６ 此 时 底 宽 为 ２ ． ２ ， 米 ， 长 与高 的 乘 积 为 ７ 米 底 ． ．
计 成几个时 效果最理想 ．
下 面 以 一 道 高 考 应 用 题 为 背 景 ， 谈 启 谈 发 学生进行研究 性学 习的体会．
１ ９ 年 全 国 ９８ 高 考 试 题 ： 图 ｌ 如 。 为 处 理 含 有 某 种 杂 质 的 污 水 ， 制 造 要
一
分析
设从 左 到右 流 过 这 一个 沉 淀 箱 后
揭开高考试题的神秘面纱——对一道高考试题的探究
１
致 轻杆 向右 移动 ．轻杆 与槽 间的最 大静摩
４
当 ＜ 、 ／ ６ 一 — 时， Ｖ ｔ ＝ ；
擦 力等 于滑 动摩擦 力 ，且 不计 小车与地 面的 摩擦 ． （ １ ）若 弹簧 的劲度 系数 为ｋ ， 求轻杆 开 始
０
解法二： （ 图象法 ） 因为 阻力Ｆ ＝ ｋ ｘ ， 以 Ｆ为 纵 坐 标 ， Ｆ 方 向 上 的位 移 为横 坐标 ， 作 出Ｆ ＿ 图 象 ，如 图３ 所
辨川 １
一
示， 曲线上 面积 的值 等 于耐 铁 钉做 的功． 由于两 次做 功相 等 ， 故有 ： ． ｓ ｌ ＝ Ｓ ： （ 面积） ， 即：
， ｎ ， ，
模型链 ） ． 构建复合 物理模型能将复杂 问题 转化为简单 问题的组合 ， 使 问题得到顺利解 图１ 答 ．除此 以外 ，试题 的另一 个难 点 在 于考 查 解析 （ １ ）轻 杆 开始 移 动时 ， 弹簧 了 多过程 的运 动 问题 ， 使学 生往 往很 难下 手． 的弹 力 且 ， １ ． 对 试题题 干做进一 步的分析讨 论 解得 ＝ ＿ Ｊ 试题 考查 连接 体 问题 的 同时 ，考 查 了多
．
轻杆
想 旧模 型 、 创造新 模 型来构 建复合 模 型 （ 或称
物理 － 精题拓辰
过程的运动问题 ，解决本题的关键点在于如 何抓住 多 过程 的临界 点— —本题 的临界 点为 轻杆 恰好 移 动．除此 以外 ，本 题 还有 一个 易 错点— — 关于对 “ 轻 杆可 在 固定 的槽 内移动 ， 与槽 间的滑 动摩 擦 力恒 为 厂 ” 这 句 话 的理 解 ， 很 多 学 生 在 答 题 时考 虑 轻 杆 和 槽 上 下 都 接 触 ，误认 为轻 杆在 移动过 程 中受 到两个 摩擦 力厂 ， 从而导致 解题错误 ． 试题乍 看上去平 常 ，题 图在复 习 中较为 常见 ，比如 打桩 机情 景， 但考查点却悄然发生 了变化 ， 题 目涉及碰 撞过程 ， 貌似考查动量方面的内容 ， 实则解题 过 程 却未 涉及 动 量 ．试 题 貌 似 常 规 题 型 ， 但 考 查落 点却 发生 了实质 性变 化 ， 与下 面的例 ２ 貌似相同 ， 实则大相径庭．
对一道高考最值题的思考
３ １
＋
≥ 。 十４ ２
＝ 。
巧添“ ” 识 得庐山真面貌 ， １， 为利用 术几何平 均不 等式提供方便 ， 是一个美 妙的解法．
３－ ａ ２＞ ， 。＋ ． ￣ ＞ ６ ０求 ２ （ 。＋ ＋ 或 ２ ）
思 考 ６ 令 ｎ ｂ 以简 化 问题 结 构 ， 样 ， 们 有 —： 这 我
Ｓ
口
２
＋— ２
ａ
．
ｃｏｓ ｏ ￣
４ ｓｎ ２ ｔ ｉ Ｓ ｏ —
第一步 ： 改变常数 ， 得到 。＋ １ ；
≥Ⅱ ＋ ≥ ４ ．
第二步： 分式裂项， 即
１
＝
，
： ａ ＝ ａｂ＋ 丽 ） ｂ （－
Ⅱ ＋１ １ ； ２ ＋
思考 ４ 由 ８ 口 ６ ＋ 想 到整体换元 ， ＝（ 一 ） ６ 即令 ａ ｂ －＝
３ ０
中。擞 ・ （ １年 ２ 高 版 ７ ？ ２１ 第 期・ 中 ） ０
． 解题研究 ．
对 一 道 离 考 最 值 题 的 恩 考
２ ５ １ 江 苏省 兴化 市周庄 高级 中学 ２７ １ 张 乃贵 俊 ２ ５ ０ 江 苏 省 兴 化 市 第 一 中 学 张 ２ ７０
自从 高考分省命题 以来 ， 每年高考试 卷都 会 出现新 颖别致 、 个性鲜明 、 有一定 的难度 的最值 问题．０ ０年高 ２１
２＋
。
１
＝
（ ≥６ ＞ ） ４ 去 ４ ＋ ￡ ． 去 ＋
变形为 （ 一 ｂ ２ ４ （ 。 ２ ）＋ ｂ ｎ
思 考 ７ 将 ０ 变 成 ａ ＝ Ⅱ ２ ）＋ ｂ ａ ｂ ， （ 一 ｂ ４ （ － ）
对一道高考理综物理压轴题的探索和思考
文章编号 ： １ ０ ０ ３ — ６ １ ４ ８ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ （ ｓ ） 一 ０ ０ ６ ７ — ３
一 Ｔ
１ 问题 的提 出
解 法 ２ 由功和 能 的关 系求 解 两球 下落 过程 中空气 阻力 不计 ， 下落 过程 机 械 能 守恒 ， 设 球 落 地 时 速 度 为 ， 由机 械 能 守
恒有 ：
演 中， 让 同一 竖 直线 上 的小 球
Ａ 和小 球 日， 从 距 水 平 地 面高
Ａ ｏ
争 删 ２ ： ， ；
第３ １卷 总第 ４ ６ ０期 ２ ０ １ ３年 第 １ ０期 （ 上半 月）
物 理 教 学 探 讨 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ
Ｖｏ １ ． ３１ Ｎｏ． ４ ６ ０
（ Ｓ ） １ ０ ． ２ ０ １ ３ ． ６ ７
对一 道高考理综物理压轴题的 探索 和思考
王 晓斌 ． 周智 良
１ ． 重 庆 第 二 外 国语 学 校 ， 重庆 ２ ． 重 庆 市 教 育科 学 研 究 院 ， 重庆 ４ ０ ０ ０ ６ ５ ４ ０ ０ ０ １ ５
摘 要 ： 本文通过对 ２ ０ １ ３年 重 庆 高考 理 综 物 理 压 轴 题 的 多种 解 法 的探 讨 ， 加 深 了对 物 理 知 识 的 理 解 ， 拓 展 了学 生 思 维， 优 化 了解 决 问题 的 方 法 ， 并 对 试 题 进 行 了评 价 以及 对 物 理 教 学提 出 了 建议 。
以上两式 联立 求解有 ：
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如图 ｌ 设圆心Ｏ到 、Ｂ ， Ｄ的距离分别为
ｒ ＣＳ 时， Ｏ ０ Ｓ取得最小值 ２ ｒ
＝ ｓ ． ＝ ｉ ０ ． ｎ
ｄ、 ２Ｎｄ ＋ｄ ＝Ｏ ＝３ １ ｄ， ｝ ； Ｍ ．
，一 一
证 明： ＩＭ ｆ ｄ 圆心 ０到 Ａ 设 Ｏ ＝ ， Ｃ、ＢＤ的
ｄ２ 昙即１ ｄ： 时 ｓ ５我 ｌ ： ， ｄ： ２ ， ： ． ｄ ｍ
们同时得到当ｄ ｄ ＝ ０ 即 ｉ２ ， 圆（的直径时， ｍ ＝４ ＝ ） Ｓｉ ． 或 ＢＤ有一条是
二、 问题的进一步探究 问题 １ 将原问题 推广， 若 、ＢＤ过 圆（ 二 ） 内的定点 Ｍ ， 且其 夹角保持定角 不变， 结论如 何呢？ 定理 １ 已知 Ｍ 是半 径为 ７的圆 （ 内一定 ’ ＝ ） 点， Ｃ、 Ａ ＢＤ为过点Ｍ 的两条弦， 且它们的夹角
ｄ ＋ｃ 一２ｌ２ｏ０ ２ｉ ０ ； ｆ ｄｄ ｓ ＝ｄｓ ． ； ｃ ｎ
此时， 可得
显然， 这时 Ｓ 无最小值， 但有最大值． 定理 ２ 已知 吖 是半径 为 ｒ 圆 Ｏ内一定 的
Ｓ ２ｎ￣ｄ２ ２ｓ２，＇ｄｓ ０ ２ （ｄ ｒｏ ）７７ ２ｉ ＝ｓＯ １－ ＋ （一 ） ｉ ｃ０ ２２ ｎ
点， ＡＣ、Ｂ Ｄ为过点 的两条弦， Ｏ ＝ 设ＩＭＩ ｌ ｆ ｃ 其中 ｏ Ｏ ｓ
ｄ 则 当 Ａ 、 ＢＤ的夹角为 ， Ｃ ０
一
（ ≤ｃ曼 ０ ｄｓ） ｄ ￣２． ｏ
ｏ
ｌ
由 ≤Ｓ， 的 值 我 只 求 于 １ 要求 最 ， 们 要
Ｓ 的最大值和 的最小值即可． ｌ
（丢 ） 一＋
２
＝
ｄ／时， ）
２｛
ｘ ：ｌ ｄ ２ ｄｓ ， ￣ Ｓ， ｉ ＝ ｎ昙 ｆ 当 ｄ ｉ
即当ｄ ＝如 ＝ｄ ｉ 时， ｌ ｓ ｎ
四边形Ａ ＢＣＤ的面积 Ｓ取得最大 【 。 １ 值 ２ 一（ 一 ｒ
ＣＳ ｏ ｓ ． Ｏ Ｏ） 】 ｎ ｏ ｄ ｉＯ
由基本不等式得 ０≤ｄｃ ｌ２≤ｄ ｎ ． ｆ ２ｉ ｓ
此 日 ！ 三
２ｉ ／ ｌ２ ＇ｃｓ ） ２ 一ｄ）ｉ ０ ｎ ￣（ ｄ ＋７ ｏ ＋Ｔ（ ｓＯ ｄ Ｏ ｓ ｎ
（ ≤ ｎ） 。 ｉ ． ≤ 曼
５２ —２
数 学 学教
即 ０＜ ０＜ ａｃ ｏ ｒ ｓ ｃ
（） ２当０＜０＜ａｃｏ ｒ ｓ ｃ ， ｌ ｄ ｄ ２
步的思考和探究， 下面将探究过程介绍如下．
一
、
问题的解答
本题有多种解法， 下面我们利用图形 的几何 性质给出一种 比较 简捷 的解法．
ｄｓ ， 得小２２２２ ｓ； ｃ 时５ 最值（－ｃ鲁ｉ，
（） ｆ ｄ １ 当（ １＝ ２＝ ｄ ｉ 时， ｓ ｎ ｓ取得最大值
直的弦， 垂足为 Ｍ （， ） 则 四边形 ＡＢＣ １ ， Ｄ的
面积的最大值为
本题小巧精致， 表述简洁， 解法灵活， 立意于
考查学生的能力． 问题吸引我们对其进行了进 该
一
２２ ｓ ） （ ｉ ｓ； ｒ ｎ ｉ ｎ
Ｇ ｆ Ｈ（ Ｑｆ Ｐ
Ｆ
下面我们只要求 出当０ 变化时，ｆｏ ＝ （）
２ ＿ ｓ的大即・厂 ｄｎ） 最值可 ． ｒ ２２ ｉ ｓ ｎ ｉ 将 （ ）
Ａ Ｂ Ｅ
￣ｒｏ ｐｃｓ ｃ ａ
ｉ ＝ ２ ｎ ｒ
当 ｄｄ ｌ２＝ ｒ Ｓ 时 ， ２Ｏ ０ Ｃ
＼ ｔ
．
此 时， ＯＨ 上 ＡＣ于 Ｈ， Ｇ 上 ＢＤ于 设 Ｏ Ｇ．如果延长 Ｏ Ｇ交 圆０于 Ｐ， Ｊ作 Ｐ 过Ｆ ） Ｑ垂直
Ｏ ｔ ， ｆ ２ ＴＣＳ得丽 ＝ Ｏ 此时 Ｈ＝Ｑ 由（ｄ￣ ２Ｏ Ｏ Ｐ， ： １ － Ｈ
证 明： 如图 ５ 设 Ａ ， Ｃ、ＢＤ的夹角为 ０ ０∈ ，
此 ，《 分 Ａ ． 时 Ｍ＝ Ｄ ） 平 对于 若０ 。ｏ０ ｏ 昙 ， ≤ｒｃ ≤ｄｃ ， ｓ ｓ
＝（一 ｎ） ２ ｉ ｓ． ｉ ｎ
≤≤ ・ 吾
ｓｎ ． ｉ ０
（］ 定由 １ －２ｓ 。， 时定 知 ＝＝ｉ ， 固 ，理 ， ｄｄ 吾 ｎ 时得 最值ｒｄ２ｓ ， ｓ 大２ ＿ｓ ） 可 的 （ ２曼ｎ ２ ｉ ｉ ｎ
２１ 年第 ５ ００ 期
数 学教 学
５２ —１
对 一道 高考试 题 的思考 与探 究
２１ ０ 上海市松江二中 张忠旺 ００ ６
２ ０ 年 全 国高考 试题 Ⅱ卷 第 １ 题：已知 ０９ ６
ＡＣ、 ＢＤ 为 圆 ０ ： ＋Ｙ ＝ ４的 两 条 相 互 垂
为 （ 吾，Ｉ Ｉｃ 边 Ａ ０ ≤） Ｏ ＝， 形 ＢＤ ＜ ￣Ｍ ｆ 四
ｃ
ｄ ＋ｄ ＋２１２Ｏ０ ｉ ０ ｉ ； ｄｄ Ｓ ＝ｄｓ 。 ． Ｃ ｎ
图 １
四边形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积Ｓ＝去Ａ ＩｌＤｌ ｌＣ ・ Ｂ ：
２／４ ￣（－ｄ） Ｖ４ ｄｄ）． Ｘ（－ｄ） — — ２＝２／＋（ｉ２ ４ — — ２
由ｄ＋ｄ ＝３ ≤ｄｄ ≤昙 当 仅当 ｛ ； 得０ ｌ ２ ． 且
２１年第 ５ ００ 期
，
ｄ ＝ｄ ＝ｄ ｏ 时Ｉ ｌ ２ ｃｓ
＝
２２ ｓ） ． （一 ｓ ｒ 。 ｉ 鲁１
此时， ＭＯ平分 ／ ＡＭＤ的补角，
至此 ， 理 得证 ． 定
问题 ２ 如果 Ａ ＢＤ绕点 任意转动， Ｃ、 这
图３
时 四边形 Ａ Ｄ的面积 Ｓ如何变化？ ＢＣ
距离分别为 ｄ 、ｄ ， ｌ ２ 不妨设 Ｚ Ｍ Ｄ ＝０ Ａ ．
ｓ＝ ＩＣＩＩ ｎ Ａ ・ ＢＤＩ ｓ ｉ
／
＼
＝
＝
２ｉＯ ／ ２ ｎ ｖ（ 一田）’一 ） ｓ ｒ （ ７ 。 ２ｉＯ ／ ｌ２ 一ｒ（； ；＋ｒ． ｎ ｖ（ ｄ） ２ｆ＋ｄ） ｓ ｄ ２ ｃ
如 图２ 当０在 Ｚ Ｍ Ｄ 内时， ， Ａ