人教版数学八年级上册11.2+与三角形有关的角+课件(共43张PPT)

B
）
B、两个锐角 D、一个直角
5. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数. 解: ∵DE//BC ∴∠B=∠ADE＝50° A ∵∠A＝70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B D =180°-70°-50° =60° B ∵ CD平分∠ACB 1 1 DCB ACB 60 30 2 2 BDC 180 B DCB 180 50 30 100 E C
E C
1
北
N 2 40 °
解：过点C画MN⊥AD分别交 AD、BE于点M、N
50°
B
在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50° ∴∠1=180 °-90°-50° =40°
A
∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90° 同理得∠2 =50° ∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2 =180 °-40°-50° =90°例题讲解3
F
B
C
证法二
三角形的内角和等于1800.
延长BC到D， 过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
∠B=∠2
(两直线平行，内错角相等)
(两直线平行，同位角相等) E 1 2
∵∠1+∠2+∠ACB=180° A
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
B
C
D
证法三
三角形的内角和等于1800.
过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点, 太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼 上,那么两楼的距离应是多少？ 解:由题意知
ABC 90, ACB 45
BAC 180 ABC ACB
A
180 90 45 ？ 甲 45 450 16米
解：∵ AD∥BE ∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180° ∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB ＝ 180° － 80° ＝100° ∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE ＝100°﹣40°＝60° 在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC ＝ 180°－30 °－60 °＝90°
例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，北 D B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B M 岛的北偏西40°方向。
练一练 判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（
）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。 （ ）
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
G 解：因为
∠A+ ∠C= ∠EFG
B
E ∠B+ ∠D= ∠EGF
∠EGF + ∠EFG + ∠E = 180° 所以 F ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°
D
C
练一练
已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°， 20° ， 30° ，求∠1的度数
E A
125° 55°
看一看：
图中哪些角是三角形的内角， 哪些角是三角形的外角？
算一算：
若∠ A＝ 55º ， ∠ B=60º , 试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE 的度数．并说出你的理由．
115°
60°
65°
B
C
D
想一想：
通过上题的计算，你发现∠ACD， ∠ CAE 与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？ 请你试着用自己的语言说一说．
三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
求下列各图中∠1的度数。
1
60° 30° 35°
1
120°
1
45°
50°
∠1= 90º
∠1= 85º
∠1= 95º
A
你选什么 ？
B C D
∠ACD
>
∠A (<、>)； ∠ACD
>
∠B (<、>)
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B 岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛 的北偏西40°方向。求下面各题.
例题讲解3
北 D C E 北
80° 50°∠DAB＝______ （1）∠DAC＝_____ ∠EBC＝_______ 30 ° 40° ∠CAB ＝ ______
B
(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少? A
巩固练习
拓展与思考1 1 1 2、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= ∠B= ∠ C，那 2 3 么△ＡＢＣ是什么三角形？ 解:设∠A=x°, 那么∠B=2x°,∠C=3x°
根据题意得:
x 2x 3x 180
解得
x 30
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° 所以△ＡＢＣ是直角三角形
拓展与思考2
A
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0
（三角形内角和定理） ∴x＋2x＋2x＝180 解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720 D ?
B
在△BDC中，∵∠BDC＝900
(三角形高的定义）
C ∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理） ∴∠DBC＝180
练一练
如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D 30º
110°
20º
B
O
C
练一练
如图，在直角△ABC中，CD是斜 边AB上的高，∠BCD＝35°， 求∠A与∠EBC的度数.
E B
D
35°
A
C
1、三角形外角的两条性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。 2、三角形的外角和是360
三角形的三个内角和是多少?
你有什么办法可以验证呢?
180° 实践操作
把三个角拼在一起试试看？
从刚才拼角的过程你能 想出证明的办法吗?
证法一
三角形的内角和等于1800.
过A作EF∥BC， ∴∠B=∠2 ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等)
E
2
A
1
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
E A ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
B
C
在这里，为了证明的需要，在原来 的图形上添画的线叫做辅助线。在平面 几何里，辅助线通常画成虚线。
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转 化为一个平角或同旁内角互补,这 种转化思想是数学中的常用方法.
学一学
例1:如图，D是△ABC的BC边上一点， 求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数.
B
40º
70° A
∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°. 40º
80°
D
C
问：（1）中为什么∠ADC＝∠B+∠BAD？
（2）中求∠C的度数还有其他方法吗？
练一练
B A
1
P
N
3
F
C
2 M E
D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360° .
∠A +∠B+ ∠C=180°
A
即
∠A +∠B+ 90°=180°，
所以
∠A +∠B= 90°.
B
C 也就是说， 直角三角形的两个锐角互余.
由三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直 角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.
例题讲解2 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,
则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 ° .
（3）一个三角形中最多有 （4）一个三角形中最多有 1 个直角？为什么？ 1 个钝角？为什么？ 2 个锐角？为什么？
（5）一个三角形中至少有
（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少 为 60° .
例题讲解1
在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由 三角形内角和定力，得,
∴BC=AB=16 答:两楼的距离是16米.
乙
B
450
16米
C
小结
1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180°
2、由三角形内角和等于180°，可得出
(1)直角三角形两锐角互余；
(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；
(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少 有两个锐角； (4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的 顺序排列
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3
议一议
A
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ? 从哪些途径探究这个结果
1
3
B
2 C
方法1
三角形的外角和等于 360°
方法2
Fra Baidu bibliotek
A 1
解： ∠1＋ ∠BAC=180°
3
B 2
∠2＋ ∠ABC=180°
∠3＋ ∠ACB=180°
C
三个式子相加得到
再见
北 D
50°
C
1
E
2 40°
B F
A
解： 过点C画CF∥AD
∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2＝∠CBE ＝40 °
∴ ∠1＝∠DAC＝50 °,
∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 ° 例题讲解3
巩固练习
C D E B 如图，∠C= ∠D=90°， AD与BC相交于点E， ∠CAE和∠DBE什么关系。
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
三角形的内角 三角形两边的夹角叫做三角形的内角
三角形兄弟之争
红色的大三角形对蓝色的小三角形说：“我比你 大，所以我的内角和肯定比你大。”
小三角形不服气地说：“不对不对，我的内角和 和你的一样大！”
巩固练习 (口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（2）60°， 40°， 90°（ 不是）
（3）30°， 60°， 50° （ 不是）
应用新知 （1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 ° 则∠ C= 102 ° .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
1
B 2
A
4
D
3 C
解：过A作AD平行于BC
∴ ∠ 3＝ ∠ 4 ∴ ∠2＝ ∠BAD
两直线平行， 同位角相等
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAD＋ ∠4=360°
A
在Rt△ACE中， ∠CAE=90°- ∠AEC
在Rt△BDE中， ∠DBE=90°- ∠BED ∵ ∠AEC= ∠BED（对顶角相等） ∴ ∠CAE= ∠DBE
巩固练习
3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( A、锐角三角形 C、钝角三角形 B、直角三角形 D、等腰三角形
B
)
4. 一个三角形至少有（ A、一个锐角 C、一个钝角
复习旧知
• 一个三角形最多有 直角； • 一个三角形最多有 钝角； • 一个三角形中，最多有 锐角， 最少有 锐角； • 一个三角形中至少有一个角 小于或等于（ ） • 一个三角形中最大角至少是（ ）
11.2.2 三角形的外角
三角形的外角：
A
三角形的一边与 另一边的反向延长 线组成的角．
B
C
D