2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
A
B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编
（2008年第16题）
在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD
（2）平面EFC ⊥平面BCD
证明：（1）
???
E ，
F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD
（2）?
?????CB ＝CD
F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD
?
??
AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC
又BD ?平面BCD ，
所以平面EFC ⊥平面BCD
B C?
（2009年第16题）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C .
求证：（1）EF∥平面ABC
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C
证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC
（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B
C D
D P A
B C
F E （2010年第16题）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；
（2）求点A 到平面PBC 的距离．
证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，
BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．
由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ．
解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝
2
2
，故点A 到平面PBC 的距离等于2．
（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．
由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1
3 ．
因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．
又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝
2 2
． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1
3 ，得h ＝2，
故点A 到平面PBC 的距离等于2．
（2011年第16题）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，
E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面P AD
证明：（1）在△P AD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，
又∵EF ?平面PCD，PD?平面PCD，∴直线EF∥平面PCD
（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△P AD为正三角形
∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，
∵平面P AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，
∴BF⊥平面P AD
又∵BF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面P AD
（2012年第16题）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．
证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC
又∵AD?平面ABC，∴CC1⊥AD
又∵AD⊥DE，CC1，DE?平面ADE，CC1∩DE＝E
∴平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1
∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1
∴CC1⊥A1F
又∵CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1
∴A1F⊥平面BCC1B1，
由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD
又∵AD?平面ADE，A1F ?平面ADE，
∴A1F∥平面ADE
S G A B C E F （2013年第16题） 如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AB ＝AS ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点． 求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；
（2）BC ⊥SA ．
证：（1）∵SA ＝AB 且AF ⊥SB ，
∴F 为SB 的中点．
又∵E ，G 分别为SA ，SC 的中点， ∴EF ∥AB ，EG ∥AC ．
又∵AB ∩AC ＝A ，AB 面SBC ，AC ?面ABC ， ∴平面EFG ∥平面ABC ．
（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，
AF ?平面ASB ，AF ⊥SB ． ∴AF ⊥平面SBC ． 又∵BC ?平面SBC ， ∴AF ⊥BC ．
又∵AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵SA ?平面SAB ， ∴BC ⊥SA ．
（2014年第16题）
如图，在三棱锥P －ABC 中，D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点． 已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5． 求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；
（2）平面BDE ⊥平面ABC ．
证明：
（1）∵D ,E 为PC ,AC 中点
∴DE ∥P A
∵P A ?平面DEF ，DE ?平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D ,E 为PC ,AC 中点
∴ DE ＝
P A 2
＝3 ∵E ,F 为AC ,AB 中点 ∴EF ＝BC
2
＝4
∴DE 2＋EF 2＝DF 2 ∴∠DEF ＝90°，∴DE ⊥EF ∵DE ∥P A ，P A ⊥AC ∴DE ⊥AC ∵AC ∩EF ＝E ∴DE ⊥平面ABC ∵DE ?平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．
A B C 1 D E A 1 B 1 C （2015年第16题）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ， B 1C ∩BC 1＝E 求证：（1）DE ∥平面A A 1CC 1
(2) BC 1⊥AB 1
证明：（1）由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .
又因为DE ?平面A A 1C 1C ，AC ?平面A A 1C 1C ，所以DE ∥平面A A 1C 1C
（2）因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC 因为AC ?平面ABC ，所以AC ⊥CC 1，
又因为AC ⊥BC ，CC 1?平面BCC 1B 1，BC ?平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，
所以AC ⊥平面BCC 1B 1，
又因为BC 1?平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC
因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C
因为AC ，B 1C ?平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ，
又因为AB 1 ?平面B 1AC ，所以BC 1⊥A B 1
A 1
B 1
D F A （2016年第16题）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1． 求证：
（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．
证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC
在△ABC 中，因为D 、E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1
又∵DE ?平面A 1C 1F ，A 1C 1?平面A 1C 1F ， ∴直线DE ∥平面A 1C 1F
（2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1， ∵A 1C 1?平面A 1B 1C 1， ∴A 1A ⊥A 1C 1
又∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ?平面ABB 1A 1，A 1B 1?平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1 ∵B 1D ?平面ABB 1A 1， ∴A 1C 1⊥B 1D
又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1?平面A 1C 1F ，A 1F ?平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1， ∴B 1D ⊥平面A 1C 1F ∵B 1D ?平面B 1DE
∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F
A
B
C
D
E
F
（2017年第15题）
如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC
证明：（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD
∴EF∥AB
又∵EF ?平面ABC，AB?平面ABC
∴EF∥平面ABC
（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD
BC?平面BCD，BC⊥BD
∴BC⊥平面ABD
∵AD?平面ABD
∴BC⊥AD
又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B ，AB?平面ABC，BC?平面ABC
∴AD⊥平面ABC
又∵AC?平面ABC，
∴AD⊥AC
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
（2018年第15题）
在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；
（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC
证明：（1）平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AB ∥A 1B 1 ????
?AB ∥A 1B 1 A 1B 1?平面A 1B 1C AB ?平面A 1B 1C ? AB ∥平面A 1B 1C
（2）
?
??
平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 AB ∥A 1B 1 ?四边形A 1B 1BA 为菱形?AB 1⊥A 1B
?
??
平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 ?BC ∥B 1C 1 AB 1⊥B 1C 1 ? AB 1⊥BC
?
????AB 1⊥A 1B AB 1⊥BC A 1B ∩BC ＝B AB 1?平面A 1BC BC ?平面A 1BC
? AB 1⊥平面A 1BC
?
??
AB 1⊥平面A 1BC AB 1?平面A 1B 1BA ?平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC