高三数学(理)单元测试函数

成都龙泉一中2013届高考数学（理）单元测试 （第二章函数）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)

1 ．【2012唐山市高三上学期期末统考】函数1lg(2)y x =

-+的定义域为 （ ）

A ．(]0,8

B ．(]2,8-

C ．(]2,8

D ．[)8,+∞

2 ．（ 2012江西理））若函数21(1)()lg (1)

x x f x x x ?+≤=?>?,则f(f(10)=（ ）

A ．lg101

B ．2

C ．1

D ．0

3 ．（2012陕西理）下列函数中,既是奇函数又是增函数的为

（ ）

A ．1y x =+

B ．2

y x =-

C ．1

y x

=

D ．||y x x =

4．（2012天津理）函数3

()=2+2x

f x x -在区间(0,1)内的零点个数是

（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．（2012山东济南三模）函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是( )

6、（2012唐山市高三上学期期末）设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间（ ）

A ．（-1，0）

B ．（0，1）

C ．（1，2）

D ．（2，3）

7、（2012安徽理）下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是

（ ）

A ．()f x x =

B ．()f x x x =-

C ．()f x x =+1

D ．()f x x =-

8．【2012吉林市期末质检】设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当

)02(，-∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为（ ）

A.2

1

-

B.

2

1

C. 2

D.2-

9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( )

A ．5 B.15 C ．4 D.1

4

10. 【2012三明市普通高中高三上学期联考】已知函数()y f x =是奇函数， 当0x >时，()f x =lg x ，则

1

((

))100

f f 的值等于 A.

1lg 2 B.1lg 2

- C.lg 2 D.lg 2- 11．已知函数f (x )＝2x ＋ln x ，若a n ＝0.1n (其中n ∈N *)，则使得|f (a n )－2012|取得最小值的n 的值是( ) A ．100 B ．110 C ．11 D ．10

12．（2012福建理）函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121

(

)[()()]22

x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:

①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②2

()f x 在上具有性质P ;

③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341

()[()()()()]44

x x x x f f x f x f x f x +++≤+++

其中真命题的序号是 （ ）

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

13、（2012江苏）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.

14、【2012武昌区高三年级元月调研】若24log 3,(22)x x x -=-=则＿＿＿

15．（2012上海理）已知2

)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g _______ . 16．（2012北京理）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x

g x =-.若同时满足条件:

①,()0x R f x ?∈<或()0g x <;②(,4)x ?∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.

成都龙泉一中2013届高考数学（理）单元测试

答题卷

一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）

13、 . 14、 . 15、 16、 .

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分) 计算：（1）00

2

1

)51(1

212

)4(2

---+

-+

-

（2）9

1log 161log 25log 532??

18．(本小题满分12分) （山东聊城一中2012届高三第一次阶段性考试） 已知定义域为R 的函数

a

b x f x x

+-=22)(是奇函数.(1)求b a ,的值; (2)用定义证明)(x f 在()+∞∞-,上为减函数.

(3)若对于任意R t ∈,不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立,求k 的范围.

19．(本小题满分12分) 设函数x

x

x f 424)(+=，(1)用定义证明：函数)(x f 是R 上的增函数；(2)证明：对任

意的实数t ，都有1)1()(=-+t f t f ；(3)求值：)2012

2011()20123()20122()20121(f f f f ++++ 。

20、(本小题满分12分)已知函数2

() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数)，x R ∈， () (0)

() () (0)

f x x F x f x x >?=?-

（1）若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求)(x F 的表达式；

（2）在(1)的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设0m n ?<，0,m n +>0a >且()f x 为偶函数，判断()F m ＋()F n 能否大于零.

21．(本小题满分13分) 【广东省广州市金山中学2012届高三下学期综合测试理】

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间x(小时)的关系为()[]212,0,2413x f x a a x x =

+-+∈+，其中a 是与气象有关的参数，且30,4a ??

∈????

，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a . (1)令[]2

,0,241

x

t x x =

∈+，求t 的取值范围； (2)求函数()M a ； (3)市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染是否超标？请说明理由。

22．(本小题满分13分) 【湖南炎陵一中2012届高三第六次月考数学试题（2月）】

已知函数2

(1)

()a x f x x -=

，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；

（Ⅲ）设2

()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）

祥细答案

一、选择题 1、【答案】 B

【解析】本题主要考查函数的定义域、对数不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

由202

281lg(2)08

x x x x x +>>-????-<≤??

-+≥≤?? 2. 【答案】B

因为101>,所以()10lg101f ==.所以2

((10))(1)112f f f ==+=.

3. 【答案】D

解析:运用排除法,奇函数有1

y x

=

和|

y x =4. 【答案】B

【解析】解法1:因为(0)=1+02=1f --,f

()f x 在(0,1)内连续不断,故()f x 在(0,1)内的零点个数是1.

解法2:设1=2x

y ,3

2=2y x -,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B 正确.

5、【答案】 C

解析：因为函数)(),(x g x f 都为偶函数，所以)()(x g x f ?也为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A,D,

x x x g x f 22log )2()()(+-=，当10<

6、【答案】 C

【解析】本题主要考查函数的零点的判断方法. 属于基础知识、基本运算的考查.

(1)30f e =-<，2(2)20f e =-> 故函数()f x 的零点位于区间（1，2）

7、【答案】 C

【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足:(2)2()f x f x =得:,,A B D 满足条件 8、【答案】A

【解析】，f(0)=0，f （1）＝f （－1）＝2

1

，由题可知函数的周期为4 故)2011()2012(f f -＝1

1(0)(1)022

f f ---=-=-。

9、【答案】B

解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b －3的图象恒过点(2,0)，∴4＋2a ＋b －3＝0，即2a ＋b ＋1＝0，则a 2＋b 2＝a 2＋(1＋2a )2＝5a 2＋4a ＋1

＝5(a ＋25)2＋15，∴a 2＋b 2的最小值为1

5

.

10、【答案】D

【解析】本题主要考查函数的奇偶性、分段函数以及分段函数值的求法计算，属于基础知识、基本计算的考查.

当0x >时，()f x =lg x ，∴11(

)lg 2100100f ==-，1(())(2)100

f f f =- ()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-

(2)(2)lg 2f f -=-=-

11、【答案】：B

解析 分析|f (a n )－2010|的含意，估算2x ＋ln x 与2012最接近的整数．注意到210＝1024,211＝2048>2012，∵ln11∈(2,3)，∴x ＝11时，2x ＋ln x 与2012最接近，于是，0.1n ＝11，∴n ＝110.

12. 【答案】D

【解析】A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的。

B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，2

2

)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P 。 C 中，在]3,1[上，)]4()([2

1

)2)4((

)2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1

)2()()4(1

)2()()(2

)4()(max max =???

?

??==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x 。

D 中，=+++)2(

4321x x x x f )2

)()((4321x x x x f +++

)]()()()([41

))]()((21

))()((21[21)]2()2([21

432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤

。

二、填空题

13、

【答案】(

0.

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

1266000112log 0log 620x >x >x x x x ≤-≥≤≤?????

?????

?????

14、【答案】

4

3

【解析】由4log 3432x x x =?=?=

2x -=

224(22)3

x x --== 15.【答案】－

1

[解析] 2

)(x

x f y +=是奇函数,则4]1)1([)1()1(2

2-=+-=-+-f f ,所以3)1(-=-f ，

(1)1g -=-。

16. 【答案】(4,2)--

【解析】根据()2201x

g x x =-

()0f x <,当0m =时,()0f x =,不能做到()f x 在1x ≥时,()0f x <,所以舍去,因此()f x 作为二次函

数开口只能向下,故0m <,且此时2个根为122,3x m x m ==--,为保证条件成立,只需

121212314x m m x m m ?=<

?=--

>-?

,和大前提0m <取交集结果为40m -<<,又由于条件2的限制,可分析得出(,4),()x f x ?∈-∞-恒负,因此就需要在这个范围内()g x 有取得正数的可能,即4-应该比12,x x 两个根中较小的来提大,当(1,0)m ∈-时,34m --<-,解得交集为空,舍去.当1m =-时,两个根同为

24->-,也舍去,当(4,1)m ∈--时,242m m <-?<-,综上所述(4,2)m ∈--

三、解答题

17．解： （Ⅰ）原式=11

212

12

2

1--+

+

-=1122

2

2

12

1-+++-

-

=22

22

1+?-

=2222=+

（Ⅱ）原式=2

543223log 2log 5log --??=

165

lg 3

lg )2(3lg 2lg )4(2lg 5lg 2=-?-? 18、解：（1）.1,0)0(,R )(==∴b f x f 上的奇函数为

.1),1()1(=-=-a f f 得又 经检验1,1==b a 符合题意. (2)任取2121,,x x R x x <∈且

则)

12)(12()12)(21()12)(21(12211221)()(211221221

121-------=-----=-x x x x x x x x x x x f x f =)12)(12()

22(22112++-x x x x .

R )(,0)()(0)12)(12(,022,21212121上的减函数为又x f x f x f x x x x x x ∴>-∴>++∴>-∴<

(3) R t ∈,不等式0)2()2(2

2

<-+-k t f t t f 恒成立, )2()2(2

2k t f t t f --<-∴

)(x f ∴为奇函数, )2()2(2

2t k f t t f -<-∴)(x f ∴为减函数, .222

2t k t t ->-∴

即t t k 232-<恒成立,而

.3131)31

(32322

-≥--=-t t t .3

1-<∴k 19、解：（1）证明：设任意12x x <，

则

121212

1212121212121212442(44)

()()2424(24)(24)

,44440240,240

()()0,()()

x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x f x f x f x f x --=-=++++<∴<∴-<+>+>∴-<<又∴)(x f 在R 上是增函数

（2）对任意t, 11444424()(1)124242424424t t t t

t t t t t

f t f t --++-=

+=+==+++?++ ∴对于任意t,f(t)+f(1-t)=1

20、解：(1)∵0)1(f =-，∴10a b -+=，又0)x (f ,R x ≥∈ 恒成立，

∴???=-=?>0

402

a b a -------（2分），∴0)1b (4b 2≤--，∴1a ,2b == ∴2

2

()21(1)f x x x x =++=+. ∴2

2

(1) (0)

()(1) (0)

x x F x x x ?+>?=?-+

()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+

4)k 2(1)2k 2x (22--+-+=，当222k ≥-或22

2

k -≤-时，

即6k ≥或2k -≤时，)x (g 是单调函数.

21、解（1）∵[]2,0,241

x

t x x =

∈+,0x =时，0t =. 024x <≤时，1,21x t x x x x

=

+

≥+，∴102t <≤.∴10,2t ??

∈????

。---------3分

（2）令??

?

???∈+-+

=21,0,231)(t a a t t g --------------------4分 当1134a -

<，即7012a ≤<时，()max

15

52266g x g a a a ??==-+=+?? ?????.--7分 当1134

a -

≥，即73

124a ≤<时，()()max

1102333g x g a a a ==-+=-????.-10分 所以()5

7,0,6121733,.3124a a M a a a ?+≤

?-≤

--------------------10分

（3）当70,

12a ??∈????时，()M a 是增函数，()717

21212

M a M ??<=

< ???.------11分 当73,124a ??∈?

???时，()M a 是增函数，()3232412M a M ??≤=< ???

. ----------12分 综上所述，市中心污染没有超标. --------------------13分

22、【答案】 解：（Ⅰ）3

(2)

()a x f x x

-'=

，（0x ≠）， ……………2分 在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.

所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………3分

Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则00

2

0000

30

(1)10(2)

1a x y x x y a x x -?=???

--=??-?=?? ……………6分（1个方程1分）

解得01x =，1a =. ……………7分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，

则()ln 1g x x a '=+-， …………………8分 解()0g x '=，得1

e a x -=，

所以，在区间1

(0,e

)a -上，()g x 为递减函数，

在区间1

(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ……………9分

当1

e

1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，

所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………10分

当1

e

e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，

所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………11分

当1

1

(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得e

e 1

a <

-， 所以，e

1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………12分

e

2e 1

a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………13分 综上所述，当e 0e 1

a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当e

e 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.