(完整版)平行四边形经典题型(培优提高)

1.平行四边形的性质：

①平行四边形两组对边相等。

②平行四边形两组对角相等。

③平行四边形对角线互分平分。

2.平行四边形判定：

定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

4.逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是

三角形的中位线。

逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

第四节：中心对称图形

课堂练习

1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A．正三角形B．平行四边形C．等腰直角三角形D．正六边形

2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．

4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，

使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图．

（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；

（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；

（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形．

第五节：平行四边形的判定

例题讲解

例1：判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。( )

②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( )

③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．( )

④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．( )

⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( )

⑥ 相邻两个角都互补的四边形是平行四边形。 ( ) ⑦ 对角互补的四边形是平行四边形 ( ) ⑧ 一条对角线分四边形为两个全等三角形，这个四边形是平行四边形 ( ) ⑨ 两条对角线相等的四边形是平行四边形 ( ) 例2：如图所示，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？

变式1：□ABCD 中，E 在AB 上，F 在CD 上，且AE=CF,求证：FM=NE ME=NF

N M

E F

C

D B A

课堂练习：

1. 点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从四个条件中（1）AB=CD ，（2）AB ∥CD ，（3）BC=AD ，

（4）BC ∥AD 中任选两个，使四边形ABCD 是平行四边形，这样的选法有（ ）

A ．3种

B ．4种

C ．5种

D ．6种

2. 如图所示，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G

是OA 的中点，H 是OC 的中点，四边形EGFH 是平行四

边形，说明理由.

3.如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别A、

C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，__秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形．

4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将△ABC沿直线BC向右平移2.5

个单位得到△DEF，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论中成立的是____．

①四边形ABED是平行四边形；②△AGD≌△CGE；

③△ADE为等腰三角形；④AC平分∠EAD．

5.在平面直角坐标系XOY中，有A（3，2），B （﹣1，﹣4 ），P是X轴上的一点，Q

是Y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是_________．

6.如图1，图2，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC边上的两个动点（与点A、

B、C不重合），始终保持BD=CE．

（1）当点D、E运动到如图1所示的位置时，求证：CD=AE．

（2）把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到△ABF

的位置（如图2），分别连接DF、EF．

①找出图中所有的等边三角形（△ABC除外），并对其中一个给予证明；

②试判断四边形CDFE的形状，并说明理由．

7.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，

求证：四边形PAQR为平行四边形。

A

B C

P R

Q

8.等边三角形ABC的边长为a，P为△ABC内一点，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，

那么，PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值是多少?请你说出这个定值的来历.

9.如图所示，M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点，且MN∥BD，则?AND

的面积?ABM的面积怎样？请说明理由．

10.如图，某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃

树，这村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问这村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．

D

11.如图，四边形ABCD是一块某地示意图，EFG是流经这块菜地的水渠，水渠东边的地

第9题

N

B

C

A

D

M

属张家承包，西边的地属李家承包，现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由．

第六节：三角形的中位线

1.如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中

点，连接DE，则△BDE的周长是（）

A．7+B．10 C．4+2D．12

2.如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的

中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）

A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少

C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关

3.如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：

GD等于（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3

4.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC=20°，

∠ACB=66°，则∠FEG等于（）

A．47°B．46°C．11.5°D．23°

5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，

BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）

A．28 B．32 C．18 D．25

6.如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，

则HE的值为（）

A．20cm B．16cm C．12cm D．8cm

7.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的

中点，且S△ABC=4cm2，则阴影部分的面积为_________cm2．

8. 如下图，已知BE 、CD 分别是△ABC 的角平分线，并且AE ⊥BE 于E 点，AD ⊥DC 于

D 点．求证：（1）D

E ∥BC ；（2）．

9. 如图，已知四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，BD AC =，M 、N 分

别是AB 、CD 的中点，M 、N 分别交BD 、AC 于E 、F 。求证：OEF ?是等腰三角形。

10. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC

的延长线交MN 于E 、F ．

求证：∠DEN=∠F ．

A

D

C B

M

N O

F

E

课下练习

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．平行四边形B．正八边形C．等腰梯形D．等边三角形

2.下面的说法中，正确的是（）

A．对角分别相等的四边形是平行四边形B．两边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．一组对边相等的四边形是平行四边形3.根据下列条件，能作出平行四边形的是（）

A．两组对边的长分别是3和5

B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9

C．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8

D．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5

4.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：

S四边形ANME等于（）

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7

5.如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中

点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）

A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定

6.如图：A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1

的中点…这样延续下去．已知△ABC的周长是1，△A1B1C1的周长是L1，△ABC的周长是L2…A n B n C n的周长是L n，则L n=_________．

7.如图，在△ABC中，AB=AC．M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，

连接DN、EM．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为cm2．

8.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、

BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，

（1）当x为何值时，点P、N重合；

（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

9.如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别

为BC、AE的中点．求证：MN∥AD．

10.（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，

垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？

即：FG=__（AB+BC+AC）（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC

三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是_________．