2021届上海普陀区高三一模数学试卷含官方标准答案

普陀区2020学年第一学期高三数学质量调研

2020.12

考生注意:

1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上或试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分.

4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1. 若集合}10|{≤<=x x A ，}R ,0)2)(1(|{∈≤--=x x x x B ，则=B A .

2. 函数2

x y =（0≥x ）的反函数为 . 3. 若

παπ

<<2且3

1

cos -=α，则=αtan . 4. 设无穷等比数列}{n a 的各项和为2，若该数列的公比为

2

1

，则=3a . 5. 在8

1??

? ?

?-

x x 的二项展开式中4

x 项的系数为 . 6. 若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为 .

7. 若圆C 以椭圆

112

162

2=+y x 的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为 . 8. 一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色.经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为 . 9. 设x x x f lg 1)(-=

，则不等式1)11

(<-x

f 的解集为 . 10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m ），

且该区域的租金为每天4元/2

m .若租用上述区域5天，

则仅场地的租用费约需 元.（结果保留整数）

11.如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知BC AD //，2

π

=

∠ABC ，1==AD AB ，2=BC ，M

为BD 的中点.设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、 Q 三点共线，则CP AQ ? 的最大值为 .

12.设b 、c 均为实数，若函数c x

b

x x f ++

=)(在区间 ),1[+∞上有零点，则22c b +的取值范围是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.曲线x y 82

=的准线方程是（ ）.

)A (4=x )B (2=x )C (2-=x )D (4-=x

14.设x 、y 均为实数，且

75412

63=-

y

x ，则在以下各项中),(y x 的可能取值只能是（ ）.

)A ()1,2( )B ( )1,2(- )C ()2,1(- )D ()2,1(--

15. 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长2=AB ，高41=A A ，E 为棱A A 1的中点.设α=∠BAD 、θ=∠BED 、γ=∠ED B 1，则α、β、γ之间的关系正确的是（ ）.

)A (θγα>= )B (θαγ>> )C ( αγθ>> )D (γθα>>

16.设b 、c 均为实数，关于x 的方程0||2

=++c x b x

在复数集C 上给出下列两个结论：

①存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根； ②存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根. 其中正确的是（ ）.

)A (①与②均正确 )B (①正确，②

不正确

)C (①不正确，②正确 )D (①与②均不正确

D M

Q

（第11题图）

B 1

A 1 C C 1 D 1 D

（第15题图）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设a 为常数，函数1)22cos(2sin )(+-+=x x a x f π（R ∈x ） （1）设3=

a ，求函数)(x f y =的单调递增区间及频率f ；

（2）若函数)(x f y =为偶函数，求此函数的值域.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

双曲线Γ：

19

162

2=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.

（1）设P 为Γ右支上的任意一点，求||1PF 的最小值；

（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标.

19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用. 如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼面上的圆弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧

BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处.设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、1O 、2O ，半

径为8米，相邻楼层的间距4=AM 米，两部电梯与楼面所成角的大小均为3

1arcsin . （1）求此顾客在二楼面上步行的路程；

（2）求异面直线AB 和CD 所成角的大小（结果用

反三角函数值表示）.

（第19题图）

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知无穷数列}{n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且d a a n n =-+1（*

N ∈n ），其中d 为

常数且0≠d .

（1）设11==d a ，求数列}{n a 的通项公式，并求)1

1(lim n

n a -

∞

→的值； （2）设2=d ，77-=S ，是否存在正整数k 使得数列}{n S n ?中的项2

（3）求证：数列}{n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且

1-≥m ，使得md a =1.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数)(x f ???>≤=0

,log 0

,22x x x x

（1）解不等式0)(≤?x f x ；

（2）设k 、m 均为实数，当],(m x -∞∈时，)(x f 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式103)2()(2

-+--≤k m k m x f 恒成立，求k 的取值范围；

（3）设t 为实数，若关于x 的方程[]0)(log )(2=--x t x f f 恰有两个不相等的实数根1x 、2x 且

21x x <，试将|

1||1|21

log 221221-+--+

+x x x x

表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域.

普陀区2020学年第一学期高三数学质量调研评分细则

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1--6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.(]2,0

2.21

x y =（0≥x ） 3.22- 4.

4

1

5.28

6.π23

7.16)2(2

2

=+-y x 8.

21 9.??? ??21,0 10.520 11.2- 12.??

?

???+∞,21. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.

17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【解】（1）当3=

a 时，1)6

2sin(212cos 2sin 3)(++

=++=π

x x x x f ……2分

由2

26

22

2π

ππ

π

π+

≤+

≤-

k x k ，得6

3

π

ππ

π+

≤≤-

k x k ，所以此函数的单调递增区间为

?????

?

+-6,3ππππk k ，Z k ∈. ……4分 频率f ππ122==.……6分 （2）定义域R =D ，因为函数)(x f y =为偶函数，所以对于任意的R ∈x ，均有)()(x f x f =-成立.……7分即=+-+-1)2cos()2sin(x x a 12cos 2sin ++x x a ……9分 也即02sin 2=x a 对于任意实数x 均成立，只有0=a .……11分 此时12cos )(+=x x f ，因为12cos 1≤≤-x ，……12分 所以22cos 10≤+≤x ，故此函数的值域为]2,0[.……14分

18.（1）根据题设条件，可得)0,5(1-F .设),(00y x P ，其中40≥x ,且916

92

02

0-=x y ……2分 ||1PF 2

2

0)5(y x ++=|44

5

|

0+=x ，40≥x ……4分 所以当40=x 时，9||min 1=PF .…………6分

（2）)0,5(2F ，Γ的两条渐近线方程为x y 4

3

±

=，……8分 根据题设条件，可得l ：01543=-+y x .……9分 O 到l 的距离34

3|

150403|2

2

=+-?+?=

d .……10分

将l 与Γ的方程联立，得??

?=-=-+144

169015432

2

y x y x ……11分，消去y 得，4110=x ，……12分

解得1.4=x ，代入得675.0=y ，所以l 与Γ的交点坐标为)675.0,1.4(.……14分 19.（1）过点B 作1楼面的垂线，垂足为'

B ,则'

B 落在圆柱底面圆上，连接A B '

，则A B '

即为BA

在圆柱下底面上的射影，所以'BAB ∠即为BA 与楼面所成的角，即'

BAB ∠3

1arcsin =.……2分

='BB 4=AM ，可得28=AB ……3分.△'AOB 中，8'==OB OA ,所以△'AOB 是等腰直角

三角形.故=∠M BO 1∠'

AOB 2

π

=

.……5分

又因为CD AB =，所以弧BC 的长为ππ

24

8=?

，所以此顾客在二楼面上步行的路程为π2米 (7)

分

（2）由（1）可知2'

,,OO OB OA 两两互相垂直相交，于是以O 为坐标原点，以射线

2',,OO OA OB 分别为z y x ,,轴建立空间

直角坐标系，如图所示.……8分

易得)4,0,8(B ,)0,8,0(A ,)4,24,24(C ,

)8,24,24(-D ,向量)4,8,8(-=AB ,

)4,0,28(-=CD ……10分 设异面直线AB 和CD 所成角的大小为θ，则||421

cos 09||||

AB CD AB CD θ?-=

=>，……12分

即421arccos θ-=，所以异面直线AB 和CD 所成角的大小为421

arccos -.…………14分

'B

x

z

20. 解（1）由11=-+n n a a ，得数列}{n a 是以1为首项、1为公差的等差数列

.

故n a n =（*

N ∈n ）.……2分；)11(lim n n a -

∞

→=1)1

1(lim =-∞→n

n ……4分.

（2）}{n a 是等差数列，7747-==a S ，得14-=a ，又因为2=d ，所以71-=a . 故n n n d

a n d S n 8)2

(2212-=-+=

，所以238n n S n n -=?（*N ∈n ）……6分 3228(8)2k k S k k k k ?=-=-< 当k =8,7,6,5,4,3,2,1时，02k k S ?≤<,不等式成立…………8分； 当29,2k k k S k ≥?≥> 所以满足条件的所有的k 的值为8,7,6,5,4,3,2,1.……10分

（3）①先证必要性：任取等差数列}{n a 中不同的两项s a 和t a （t s ≠），存在k ，使得k t s a a a =+，则d k a d t s a )1()2(211-+=-++，得d t s k a )1(1+--=，故存在m ，使得1+--=t s k m ，使得md a =1，m Z ∈.……12分

再证1-≥m ：运用反证法.假设当0≠d 时，1-≥m 不成立，则1-

②再证充分性：当md a =1，1-≥m ，m Z ∈，任取等差数列}{n a 中不同的两项s a 和t a （t s ≠）

s t a a +=112(2)(2)a s t d a s t m d ++-=+++-

因为20s t m ++-≥且2s t m Z ++-∈ 所以11(2)s t m a s t m d a ++-+++-=

综上①②可得，等差数列}{n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1-≥m ，使得md a =1得证.……16分

21.【解】（1）当0≤x 时，x

x f 2)(=，代入0)(≤?x f x ，得02≤?x x ，因为02>x

，所以0≤x ；……

1分 当0>x 时，x x f 2log )(=，代入0)(≤?x f x ，得0log 2≤?x x ，所以0log 2≤x ，解得

10≤

（2）当],(m x -∞∈时，=max )(x f 1，故20≤≤m .…………6分

要使得不等式103)2()(2

-+--≤k m k m x f 恒成立，需使103)2(2

-+--k m k m 1≥，即

0113)2(2≥-+--k m k m 对于任意的]2,0[∈m 都成立.

因为331≤-≤m ，所以4

(3)83

k m m ≥-++-.…………7分 由03>-m ，034<-m

得4

(3)84843m m -++≤-+=-（当且仅当1=m 时，等号成立）

……9分 所以4k ≥…………10分

（3）由函数)(x f ???>≤=0

,log 0,22x x x x ，得()()???>≤=1,log log 1

,)(22x x x x x f f ……12分

①若1≤x ，则方程[]0)(log )(2=--x t x f f 变为=x )(log 2x t -，即x t x

-=2，且

31≤

②若1>x ，则方程[]0)(log )(2=--x t x f f 变为())(log log log 222x t x -=，即

x t x -=2log ，且1>t ……14分

于是1x 、2x 分别是方程x t x

-=2、x t x -=2log 的两个根且t x x <<≤211 由于函数x y 2log =与x

y 2=的图像关于直线x y =对称，故t x x =+21 ……16分

t x x t x x =+-=+)(2log 221221，

|1||1|2121-+--x x t

1

=

故|1||1|21log 221221

-+--+

+x x x x t

t 1

+

=此函数的定义域为(]3,1……18分