北京市对外经贸大学附属中学2019-2020学年高一年级下数学期中试卷 (PDF版无答案)
2020年北京对外经济贸易大学附属中学高一数学文月考试卷含解析
2020年北京对外经济贸易大学附属中学高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】E7：循环结构．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．2. 函数y=log a（2x+1）﹣3必过的定点是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣3）D．（1，﹣3）参考答案：C 【考点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质．【分析】根据log a1=0恒成立，可得函数图象所过的定点．【解答】解：当x=0时，log a（2x+1）=log a1=0恒成立，故函数y=log a（2x+1）﹣3必过的定点是（0，﹣3），故选：C3. 在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等可能事件的概率．【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．4. 差数列中，已知前15项的和，则等于（）A． B．12 C．D．6参考答案：D略5. 等比数列中, 则的前项和为（）A． B． C． D．参考答案：B6. 数列{ a n }的通项是a n = ( – 1 ) n( λ +) + 3，若此数列的各项都是正数，则λ的取值范围是（）（A）[ – 3，2 ] （B）[ – 3，) （C）[ – 4，2 ) （D）[ – 2，3 )参考答案：B7. 已知直线：与直线：垂直，则点(1,2)到直线距离为（）A．1 B．2 C．D．参考答案：C8. 已知角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），若则α的值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据特殊三角函数可以算出，根据任意三角函数值即可得出【详解】由题意可得，因此在第四象限，所以排除ACD,选择B【点睛】本题考查特殊三角函数值，任意三角函数值的计算，属于基础题。
学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)_3 2)
学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+ sinx=（cosx+sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错函数的值域是，B对在区间上单调递增，在单调递减，C错函数在上有2个零点，分别是，D对故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.二、填空题（共 4 小题；共 20 分.）13.如图所示，用三类不同的元件接成系统，若元件、、正常工作的概率分别为、、，那么系统正常工作的概率为________________.【答案】【解析】【分析】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】由元件正常工作，元件、至少有一个正常工作，可得出系统正常工作，所以，系统正常工作的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.14.已知样本的平均数与方差分别是1和4，若，且样本的平均数与方差也分别是1和4，则________________.【答案】【解析】【分析】由样本的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4,得到a, b的关系式，由此能求出 .【详解】因为样本的平均数与方差分别是1和4，的平均数与方差也分别是1和4，所以，解得或，，故答案为：1【点睛】本题主要考查代数式求值，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，属于中档题.15.在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】【分析】由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以;所以，当，即时，三角形面积最大.故答案为(1). 1 (2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.16.已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】【分析】取中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分.）17.己知向量是同一平面内的三个向量，其中（Ⅰ）若，且，求向量的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且，求与的夹角.【答案】(Ⅰ)，或;(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）设向量的坐标为,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为，可求得，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.【详解】（Ⅰ）设，由，且可得所以或故，或（Ⅱ）因为，且，所以，即，所以，故，.18.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）时，取最大值；时，取最小值.【解析】(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成,再求周期.(2)按照左加右减，上加下减的原则先确定,再求特定区间上的最值即可.（Ⅰ）,所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）依题意,[]因为，所以.当，即时，取最大值；当，即时，取最小值.19.已知的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将边化角，利用两角和的正弦公式，简单计算即可得结果.（2）根据（1）条件，使用面积公式，可得，然后使用余弦定理可得，进一步可得结果.【详解】(1)由已知及正弦定理得,，即，故.可得，所以.（2）由已知.又，所以.由已知及余弦定理得，故，从而.所以的周长为【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.20.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平均分；（2）用分层抽样的方法，在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）首先可以计算出除了之外的其他分数段的频率，然后计算出分数在内的频率，再用频率除以组距即可，然后用每一分数段的中间数乘以每一分数段的概率再相加即可得出平均分；（2）首先算出在以及两个分数段中抽取的人数，然后列出从中任取2个的所有可能的事件，并找出满足题目要求的事件，即可得出结果．【详解】（1）分数在内的频率为，（直方图略），平均分为：，（2）由题意，分数段的人数为：人，分数段的人数为：人，因为用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，抽样比，所以需在分数段内抽取人，并分别记为；在分数段内抽取人并分别记为；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件A，则基本事件有：共15种．事件A包含的基本事件有：（共种，所以．【点睛】本题考查了频率分布直方图以及概率，在计算频率分布直方图类的题目时要注意图表中所提供的信息，注意纵坐标是“频率除以组距”，考查计算能力与推理能力，是中档题．21.如图，在三棱锥中，平面平面，，．设，分别为，中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点，，的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）点是线段中点【解析】【分析】（1）通过证明，证明平面；（2）通过和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；（3）通过证明两个平面内的两条相交直线分别平行，证明平面平面即可.【详解】（1）因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面平面，所以平面；（2）因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面，所以又因为，所以平面；（3）当点线段中点时，过点的平面内的任一条直线都与平面平行，证明如下：取中点，连.由（1）可知平面.因为点是中点，点为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，所以平面内的任一条直线都与平面平行.考点：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，探索性问题；空间想象能力和逻辑推理能力.22.已知函数，.（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；（2）求函数的单调递增区间：（3）定义：对于任意实数、，设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解【详解】（1），，值域为；（2）令，解得，所以函数的单调递增区间为，;（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，当，即时，，当，即时，，故，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.）(一)单项选择题：1.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数的实部为3B. 复数的模为5C. 复数部虚部为D. 复数的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.【详解】由题可知：复数的实部为，虚部为，模为复数的共轭复数为，所以D正确故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（）A. 24，36，32，8B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 25，25，25，25【答案】A【解析】【分析】计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果.【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为 ,所以人数分别为选A.【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件考点：随机事件4.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得.【详解】由图可知：=+，=，=﹣，=+，=，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知cos(x―)=―，则cosx+cos(x―)的值是A. ―B. ±C. ―1D. ±1【答案】C【解析】∵cos(x―)=cosx+sinx=―，∴cosx+cos(x―)=cosx+sinx=（cosx+ sinx）=×（―）=-1，故选C6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为 ,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多【答案】C【解析】【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．【详解】在中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故正确；在中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；在中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故错误．在中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例，故正确；故选．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知的最小值为，从而可得结论.【详解】，，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，，的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.9.下列说法中，正确的是（）A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；B. 频率是不能脱离次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；C. 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件的概率；D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值.【答案】ABD【解析】【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值故选：ABD【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.10.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（）A. E为的中点B. 平面C. 与所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于【答案】ABD【解析】【分析】采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又//平面，平面，且平面平面所以//，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 的值域是C. 在区间上单调递增D. 在上有2个零点【答案】BD【解析】【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数在的图象，如图所示根据图像可知，函数是以为最小正周期的周期函数，A错。
北校区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
仁寿一中北校区2019级半期数学试题（2020.6.4）第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.在ABC ∆中，点D 满足3BC BD =，则（ ） A. 1233AD AB AC =- B. 1233AD AB AC =+ C. 2133AD AB AC =- D. 2133AD AB AC =+ 【★答案★】D 【解析】【详解】因为3BC BD =，所以3()AC AB AD AB -=-，即2133AD AB AC =+；故选D. 2.已知{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若75a =，则13S =（ ） A. 52 B. 65C. 70D. 75【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质21(21)n n S n a -=-计算．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴1371313565S a ==⨯=． 故选B ．【点睛】本题考查等差数列的性质，即在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+（,,,m n p q 是正整数），则m n p q a a a a +=+，特别地2m n p +=，则2m n p a a a +=，由此可得前n 的性质：21(21)n n S n a -=-．3.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2a =，2b =，30B =，则cos A =( ) A. 22-B.22C. 22±D.12【★答案★】C 【解析】 【分析】由正弦定理得：22sin sin 30A =，解得2sin 2A =，即可求出cos A .【详解】由正弦定理得：22sin sin 30A =，解得2sin 2A =，故45A ︒=或135︒， 当45A ︒=时，2cos 2A =， 当135A ︒=时，2cos 2A =-. 故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题. 4.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S =（ ） A .10B. 20C. 20或-10D. -20或1【★答案★】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，所以（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）可解得★答案★.【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q ∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=-解得20S =20或-10 由()10201011122010100S S a a a S q S =++++=+>所以20S =20 故选：B.【点睛】本题考查等比数列的前项和的性质，,注意值的取舍，属于中档题.5.在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( ) A. 2B. 3C. 4D. 5【★答案★】C 【解析】60,A =︒∴第三边即为a,又()22227,11,2cos 316,4b c bc a b c bc A b c bc a +==∴=+-=+-=∴=,故选C.6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【★答案★】D 【解析】 余弦定理得222222cos ,cos 22c b a c a b A B bc ac+-+-==代入原式得2222222222222222,22222c a b c b a c b a c a b c b a a c bc c ac bc-++-+--++-=-=解得2220a b c a b 或=-+= 则形状为等腰或直角三角形,选D. 点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知574a a +=，682a a +=-，则当n S 取最大值时n 的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【★答案★】B 【解析】 【分析】根据已知条件，求出数列{}n a 的通项公式，表示出n S ，等差数列的前n 项和是不含常数的二次函数，利用二次函数性质求解，要注意*n N ∈； 【详解】解：57624a a a +==，68722a a a +==-62a ∴=，71a =-3d ∴=-，117a =，320n n a =-+∴233722n S n n ∴=-+，*n N ∈223373371369222624n S n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭当6n =时n S 取最大值 故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的和的最值的求解，由于数列是一类特殊的函数，在有关最值的求解中，要善于利用这一性质进行求解，但要注意n 为正整数的限制条件．8.在等差数列{}n a 中，若468101290a a a a a ++++=，则101413a a -的值为 A. 12 B. 14C. 16D. 18【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质化简条件与结论，即得结果.【详解】因为468101285a a a a a a ++++=，所以818a =， 因此101410141488148111132123333a a a a a a a a a -=-=++-==，选A. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查等价转化求解能力，属中档题.9.一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A. 103海里 B. 102海里C. 203海里D. 202海里【★答案★】B 【解析】根据已知条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以120222BC ⨯=＝102.故选B.10.已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *++⋅=∈，则2019a 的值为（ ）A. 2B. 1C.12D.14【★答案★】A 【解析】 【分析】由递推关系，结合11a =，22a =，可求得3a ，4a ，5a 的值，可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，进而可求2019a 的值． 【详解】因为()*21n n n a a a n N ++⋅=∈，由11a=，22a =，得32a =；由22a =，32a =，得41a =；由32a =，41a =，得512a =； 由41a =，512a =，得612a =；由512a =，612a =，得71a =；由612a =，71a =，得82a =由此推理可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，所以201932a a ==，故选A ． 【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题．11.已知点O 是内部ABC 一点，并且满足20OA OB OC ++=，AOC △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S =（ ） A.25 B.14C.13D.12【★答案★】D 【解析】 【分析】利用20OA OB OC →→→++=，确定点O 的位置，结合三角形面积公式求解. 【详解】因为20OA OB OC →→→++=，所以2=2OA OC OB BO +=-,所以()1=2BO OA OC + 取AC 的中点D ,则, 1OD (OA OC)2=+.BOOD →→∴=，即O 为中线BD 的中点,如图所示，则AOC △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，12AOC ABC S S ∆∆=,所以1212S S =. 故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量的应用，利用向量的线性运算及共线定理确定点的位置是求解本题的关键.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n++⋅⋅⋅+=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ） A. 2002 B. 2004C. 2006D. 2008【★答案★】A 【解析】 【分析】 由公式12n n S S S T n+++=…得，数列1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为51002500S S S +++…，从而得12500S S S +++…；所以数列2，1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为：125002(2)(2)(2)501S S S +++++⋯++，得出★答案★．【详解】解：根据题意得，数列1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为500122004500S S S +=++…，即500122004500S S S =+⨯++…；∴数列2，1a ，2a ，⋯，500a 的“理想数”为：12500501202(2)(2)(2)2501()20045002220002002501501501S S S S S S ++++++⋯++⨯+⨯==+=+=++…故选：A【点睛】本题考查了数列前n 项和的公式，即12n n S a a a =++⋯+的灵活应用，解题时要弄清题意，灵活运用所学知识，解出正确★答案★．属于中档题．第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知()()() 12203A B C x -，、，、，，且 A B C 、、三点共线，则x =__________． 【★答案★】52- 【解析】 【分析】由 ,,A B C 三点共线，得 //AB BC ，根据向量共线的坐标表示求x . 【详解】 ,,A B C 三点共线， //AB BC ∴.()()()()(),,, 1,22,0,3,2,33,2AB A B BC x C x ∴=---=，()()533220,2x x ∴⨯---=∴=-.故★答案★为：52-. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知4a =，30A =︒，4b =，则ABC 的面积为____. 【★答案★】43 【解析】 【分析】由已知条件可得30B A ==,120C =，根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】在ABC 中,4a =，30A =︒，4b =，30B A ∴==,120C =113sin 4443222S ab C ∴==⨯⨯⨯=. 故★答案★为：43.【点睛】本题考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题.15.已知数列{}n a 中11a =，24a =，()223n n a a n -=+≥，n S 为{}n a 前n 项和，则2n S =______ 【★答案★】223n n +【解析】 【分析】由()223n n a a n -=+≥得出，{}n a 的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，求得(),(21)2,(2)n n n k a k N n n k *=-⎧=∈⎨+=⎩，然后利用等差数列前n 项和公式进行分组求和即可得出结论. 【详解】解：由()223n n a a n -=+≥得，{}n a 的奇数项构成公差为2的等差数列，偶数项也构成公差为2的等差数列，∴(),(21)2,(2)n n n k a k N n n k *=-⎧=∈⎨+=⎩,21234212n n n S a a a a a a -∴=++++++()()1321242n n a a a a a a -=+++++++()()132146(22)n n =+++-+++++()()12142222n n n n +-⋅++⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+ 223n n =+故★答案★为：223n n +.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，通项公式和前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题.16.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的积为n T ，并且满足()()120192010200920101,10,110a a a a a >⋅->--<，给出下列结论①01q <<；②200920111a a ⋅<；③2010T 是n T 中最大的；④使得1n T >成立的最大的自然数是4018.其中正确结论的序号为___.（将你认为正确的全部填上） 【★答案★】①②④ 【解析】 详解】()()20092010110a a --<， 20091a ∴<或20101a <，如果20091a < ,那么20101a >，如果20090a <,那么0q <,又2009201012010,a a q a =∴应与1a 异号，即20100a < 和前面20101a > 假设矛盾了， 0q ∴> , 又或者20091a > ,20101a <，那么200820091a a q =应该大于1，又矛盾了，因此1q <，综上所述01q <<，故① 正确；22009201120101a a a ⋅=<，故②正确；由结论① 可知数列从2010项开始小于1，所以2009T 为最大项，故③不正确； 由结论① 可知数列从2010项开始小于1，123...n n T a a a a =， 因为数列从2010项开始小于1， 所以当()22009n T a =时，1nT>成立的最大的自然数，求得4018n =，故④正确，故★答案★为①②④.三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）17.在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3acosB ． （1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值 【★答案★】（1）B =60°（2）3,23a c == 【解析】 （1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理18.已知数列{}n a 的前n 项和()14433n n S n N +*=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【★答案★】（1）4nn a =；（2）1314499n n n T +-=⋅+ 【解析】 【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可求出数列的通项公式.（2）4nn b n =⋅，利用错位相减法即可求出数列的和.【详解】（1）因为数列{}n a 的前n 项和14433n n S +=-，当2n ≥时，14433n n S -=-，两式相减得4nn a =，当1n =时，21144433a S ==-=，满足上式，故4nn a =.（2）4nn n b na n ==⋅，则21424...4nn T n =⨯+⨯++⋅，23141424...4n n T n +=⨯+⨯++⋅，两式相减得到：()2111431424 (144)4414n nn n n T n n n ++--=⨯+⨯++-⋅-⋅=-⋅-，化简整理得到：1314499n n n T +-=⋅+. 【点睛】本题考查了求数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AC 的中点，点F 在边CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，试用AB ，AD 表示EF ；（2）若有向量满足BM BC λ=，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，且//AM EF ，求λ的值.【★答案★】（1）1162EF AB AD =+；（2）2λ=. 【解析】【分析】（1）以向量,AB AD 作为基底向量，结合向量的加法运算，得出EF ；（2）建立直角坐标系，利用坐标运算，得出λ的值.【详解】（1）EF EA AD DF =++ 1223AC AD DC =-++ 12()23AB AD AD AB =-+++ 1162AB AD =+ （2）以点A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系 设,AB a AD b ==则3(0,0),(,0),(,),,,,224a b A B a c a b E F a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,0)(0,)(,)AM AB BM AB BC a b a b λλλ=+=+=+=，,42a b EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭//AM EF42b b a a λ∴⋅=⋅，解得2λ=【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知向量共线求参数，属于中档题.20.六安市某棚户区改造，四边形ABPC 为拟定拆迁的棚户区，测得3BPC π∠=,23BAC π∠=，4AC =千米，2AB =千米，工程规划用地近似为图中四边形ABPC 的外接圆内部区域.（Ⅰ）求四边形ABPC 的外接圆半径R ；（Ⅱ）求该棚户区即四边形ABPC 的面积的最大值.【★答案★】（Ⅰ）2213R =（Ⅱ）93 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题得：在2423ABC AC AB BAC 中，，，π∆==∠=，由余弦定理，求得27BC =，再由正弦定理，即可求解R 的值. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，27BC =，由余弦定理得28PB PC ⋅≤， 进而得到323934APBC S PB PC =+⋅≤，即可得到结论. 试题解析： （Ⅰ）由题得：在2πΔABC AC 4AB 2BAC 3∠===中，，， 222πBC AC AB 2AC AB cos 273由余弦定理得=+-⋅⋅=BC 42R 21sin BAC 3由正弦定理得：∠== 所以2R 213= （Ⅱ）由（Ⅰ）得，BC 27=，由余弦定理得：222BC PB PC 2PB PC cos BPC ∠=+-⋅⋅即2228PB PC PB PC 2PB PC +⋅=+≥⋅所以PB PC 28⋅≤(当且仅当PB=PC 时等号成立) 而APBC ΔABC ΔPBC 11S S S AB AC cos BAC PB PC sin BPC 22∠∠=+=⋅⋅+⋅⋅ 故APBC 3S 23PB PC 934=+⋅≤ 21.已知数列{}n a 满足11a =，11n n n na a n a ++-=，n *∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：22321232n a a a a +++⋅⋅⋅+<.【★答案★】（1）1n a n=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 (1) 11n n n na a n a ++-=,变形可得11n n a n a n +=+，利用累乘法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)由(1)可知1n a n =，则221n a n=利用放缩法可知()2111111k k k k k <=---，再利用裂项相消即可求得结果. 【详解】（1）由11n n n na a n a ++-=得()11n n n a na ++=，即11n na n a n +=+， ∴23411232112321(2)2341n n n n a a a a a n n n a a a a a n n-----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯≥- 即11n a a n=，∵11a =，所以1(2)n a n n =≥，又11a =满足，所以1n a n =（2）证明：∵()2111111k k k k k<=---，23,4,k n =⋅⋅⋅,. ∴223212322221111123n a a a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ()1111112231n n <+++⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅1111111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1=22n -<. 故22321232n a a a a +++⋅⋅⋅+<.【点睛】本题考查累乘法求数列通项公式，考查利用放缩法和裂项相消求和证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足.1333244n n n S a +=-- ，n *∈N （1）证明数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式. （2）若不等式()2235n n n a λ--<-，对任意n *∈N 恒成立，求λ的取值范围.【★答案★】（1）证明见解析，133n n n a a -=+；（2）449λ<. 【解析】【分析】（1）由n S 与n a 关系，得出{}n a 的递推关系，再用等差数列的定义，证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求出其通项，即可求得{}n a 的通项公式；（2）不等式()2235n n n a λ--<-，对任意n *∈N 恒成立，分离参数转为()2353n n λ-->对任意n *∈N 恒成立，转为求数列233n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值，即可求出结果；【详解】解：（1）当1n =时，111393244S a a ==--，得16a =， 当2n ≥时，1333244n n n S a +=--，1333244n n n S a -=--， 两式相减得：133n n n a a -=+，∴111211333n n n n n n a a a ---=+=+，即11133n n n n a a ---=， 又1123a =，∴数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知13n n a n =+，即()13n n a n =+⋅ ∵0n a >∴不等式()2235n n n a λ--<-，对任意n *∈N 恒成立，等价于()2353n n λ-->对任意n *∈N 恒成立， 记233n n n b -=,2n ≥时，112121323693n n n n n b n n b n -+--==--, ∴当3n ≥时，11n n b b +<，∴2n =或3n =时，n b 取最大值为19， ∴159λ->，即449λ<, ∴λ的取值范围是：449λ<. 【点睛】本题考查等差数列的证明,数列的通项公式的求法及应用，着重考查学生的运算能力、转化能力和思维能力，注意过程的规范性书写，属中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
北京市师大附中2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2020 学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.若，以下命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】剖析：依据不等式的基天性质，及函数的单一性，判断四个答案的真假，可得结论.详解：，，故 A 错误；，故 B 错误；，故 C正确；，即，故 D错误.应选： C.点睛：此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了不等式的基天性质，属于基础题.2.在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则的大小为（）A. 或B.或C.D.【答案】 D【分析】剖析：利用正弦定理即可得出.详解：由正弦定理可得：，解得，，为锐角，.应选： D.点睛：此题主要考察了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3.在中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：直接利用余弦定理即可计算.详解：，，.应选： B.点睛：此题主要考察了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4.等比数列中，，，的前项和为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：依据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，而后利用等比数列的首项和公比，依据等比数列的前n 项和的公式即可求出的前项和.详解：，解得，又，则等比数列的前项和.应选： B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般能够“知三求二”，经过列方程( 组 ) 可水到渠成．5.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】试题剖析：不等式等价于解得，所以选 A.考点：分式不等式的解法.视频6.等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由题意可知，求得，应选 C.，，解得：，，7.已知变量，知足拘束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】试题剖析：依据题意，拘束条件表示的可行域为以的三角形地区，经过察看可知目标函数在点三点为极点处获得最大值，代入可求得为，应选B．考点：线性规划．8.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：由、、成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，即可用表示出，而后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可获得的值.详解：依据题意，、、成等比数列，则，又，则，则.应选： B.点睛：此题考察了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的重点是求出、、的关系，从而运用余弦定理求解.9.数列是首项为，公差为的等差数列，那么使前项和最大的值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】剖析：由等差数列是首项为，公差为写出通项公式，由通项大于等于 0 求出等差数列前 6 项大于 0，从第 7 项起小于0，则答案可求.详解：在等差数列是首项为，公差为得：，由，得，等差数列中，，当时，前项和最大 .应选： C.点睛：此题考察了数列的函数特征，考察了等差数列的通项公式和前n 项和，是基础的计算题.10. 某公司为节能减排，用万元购进一台新设施用于生产．第一年需运营花费第二年起，每年运营花费均比上一年增添万元，该设施每年生产的收入均为万元，从万元．设该设施使用了年后，年均匀盈余额达到最大值（盈余额等于收入减去成本），则等于（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】剖析：依据题意成立等差数列模型，利用等差数列的性质以及乞降公式即可获得结论.详解：设该设施第n 年的运营费为万元，则数列是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，则，则该设施使用n 年的运营花费总和为，设第 n 年的盈余总数为，则，年均匀盈余额，当时，年均匀盈余额获得最大值 4.应选： D.二、填空题（本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分．）11.数列的前项和为，若，则__________ ．【答案】【分析】试题剖析：，所以．考点：数列乞降．12.已知中，，，，则等于__________．【答案】【分析】剖析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离借口 .详解：由题意，，，可知，三角形 ABC是直角三角形，.故答案为： 2.点睛：此题考察三角形形状的判断，勾股定理的应用，考察计算能力，属于基础题.13.若，则的最小值是__________．【答案】【分析】试题剖析：因为，所以，，当且仅当时取等号，故答案为．考点：基本不等式．14.等比数列的各项均为正数，且，则__________．【答案】【分析】剖析：利用等比中项，对数性质可知，从而计算可得答案 .详解：为等比数列，又.，.故答案为： 10.点睛：此题考察等比数列的等比中项及对数的运算法例，注意解题方法的累积，属于中档题.15.在中，若，则的形状为___________．【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】剖析：左侧利用正弦定理，右侧切变弦，对原式进行化简整理从而可得 A 和 B的关系，从而获得答案 .详解：原式可化为，或解得或.故的形状为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.点睛： (1) 三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应环绕三角形的边角关系进行思虑，主要看其能否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的差别．(2) 边角转变的工具主假如正弦定理和余弦定理．16.已知数列的前项的和为，，，知足，则__________ ．【答案】【分析】剖析：由，得，即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，而后利用累加法求出的通项公式得答案.详解：由，得，即，则，数列是以为首项，以 2 为公差的等差数列，则，；；；，累加得：，则，.故答案为：.点睛：此题考察数列递推式，考察等差关系确实定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是重点，是中档题.三、解答题：本大题共 3 小题，共36 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解对于的不等式．【答案】当时，为或；当时，为或．【分析】剖析：对 a 分类议论，利用一元二次不等式的解法即可得出.详解：不等式对应方程的实数根为和；①当，即时，不等式化为，∴，∴不等式的解集为；②当，即时，解得或，∴不等式的解集为或；③当，即时，解得或，∴不等式的解集为或．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或．点睛：含有参数的不等式的求解，常常需要对参数进行分类议论．(1)若二次项系数为常数，第一确立二次项系数能否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类议论，若不易分解因式，则可依照鉴别式符号进行分类议论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数能否为零，确立不等式能否是二次不等式，而后再议论二次项系数不为零的情况，以便确立解集的形式；(3)对方程的根进行议论，比较大小，以便写出解集．18.在中，，，点在上，且，．（I）求；（Ⅱ）求，的长．【答案】（ I ）；（Ⅱ），.【分析】剖析：（ 1）由和引诱公式求出，由平方关系求出，由内角和定理、两角和的正弦公式求出；（2）在中由正弦定理求出BD、 AD，在中由余弦定理求出AC的值 .详解：（ I ）∵，且，∴，∴，由得，；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，∴，由正弦定理得，∴，在中，由余弦定理得，∴．点睛：应娴熟掌握和运用内角和定理：，中互补和互余的状况，联合引诱公式能够减少角的种数．19.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（I）求与；（II）设数列知足，求的前项和．【答案】（ I ），；（Ⅱ）.【分析】剖析：（ 1）依据，列方程组计算和，从而得出的公差，从而得出，的通项公式；（2）使用错位相减法求出.详解：（ I ）∵为等比数列，公比为，，∴，∴，解得，．∵，∴．∴的公差为．∴，．（II）．∴，①∴，②①②得：．∴．点睛： (1)错位相减法是求解由等差数列{ b n} 和等比数列{ c n} 对应项之积构成的数列{ a n} ，即a n＝b n×c n的前 n 项和的方法．这类方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列乞降公式的应用范围．四、填空题（本大题共 5 个小题，每题 4 分，共 20 分．）20.已知数列知足，且，则__________．【答案】【分析】剖析：由已知条件得，从而获得是首项为2，公比为 2 的等比数列，由此能求出.详解：数列知足，且，，，又，是首项为2，公比为 2 的等比数列，，，故答案为：.点睛：此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意结构法的合理运用.21.在中，，，，则的面积等于__________．【答案】或【分析】剖析：利用余弦定理列出关系式，将，与的值代入求出 b 的值，再因为b， c 及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积 .详解：在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：或，则或.故答案为：或.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式 S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积相关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转变．22.甲船在岛的正南处，，甲船以每小时的速度速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距近来时，它们所航行的时间是__________ 小时．【答案】【分析】剖析：设经过 x 小时距离最小，而后分别表示出甲乙距离 B 岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后依据二次函数求最值的方法可获得答案.详解：假定经过x 小时两船相距近来，甲乙分别行至C、 D，如下图，可知，，当小不时甲乙两船相距近来.故答案为：.点睛：求距离问题的注意事项(1)第一选用适合基线，画出表示图，将实质问题转变成三角形问题． (2) 明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素． (3) 确立使用正弦定理或余弦定理解三角形．23.正数，知足，则的最小值为__________．【答案】【分析】试题剖析：，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其知足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边一定为定值）、“等”（等号获得的条件）的条件才能应用，不然会出现错误．24.已知数列知足，给出以下命题：①当时，数列为递减数列；②当时，数列不必定有最大项；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项 .请写出正确的命题的序号__________ ．【答案】③④【分析】剖析：因为，再依据k 的条件议论即可得出.详解：①当时，，，当时，，所以数列不是递减数列，故①不正确；②当时，，因为所以数列必定有最大项，故②不正确；③当时，，，所以数列为递减数列，正确；④当为正整数时，，所以数列必有两项相等的最大项，故正确 .综上可知：只有③④正确.故答案为：③④.属于点睛：此题考察了数列的单一性，分类议论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，难题 .五、解答题：本大题共 3 小题，共30 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.已知函数．（I ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若对随意，恒成立，务实数的取值范围．【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【分析】剖析：（ 1）依据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，经过议论 a 的范围，求出函数的单一区间，获得函数的最小值，解对于 a 的不等式即可 .详解：（I ），，∵，，∴，当且仅当时“”成立，（Ⅱ），，，时，，在递加，∴，解得：，时，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在递加，∴成立，综上．点睛：此题考察了函数的单一性、最值问题，考察导数的应用以及分类议论思想，是一道中档题 .26.在中，、、分别为内角、、的对边，且知足．（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求．【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【分析】剖析：（ 1）由条件可得，再由正弦定理得，由余弦定理求得，从而求得角的大小；（2）由，求得，再由正弦定理即可求得答案 .详解：（ I ）∵，∴，由正弦定理得，由余弦定理得，∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，由正弦定理，求得，解得．点睛：此题主要考察正弦定理和余弦定理、引诱公式的应用，依据三角函数的值求角，属于中档题 .27.已知函数，此中，.（I）求的分析式；（Ⅱ）若数列知足，，．求证：.【答案】（ I ）；（Ⅱ）证明看法析 .【分析】剖析：（ 1）由求得、、的值，代入原函数可得函数分析式；（2）由求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，联合已知放缩得答案 .详解：（ I ）∵，，∴，由，解得．∴，∴；（Ⅱ）证明：由，得，∴，则，∵，则，∴．又∵，∴．∴．侧重考察数列不等式的证明，把已知递推式灵点睛：此题考察三角函数中的恒等变换应用，活变形是重点，是中档题.。
北京市首都师范大学附属中学2020年高一年级第二学期期中考试数学试卷(PDF版无答案)
D．本市明天肯定下雨
内
3．在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a 2 ，b 3 ，cos C 1 ， 4
请 则 c 等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
勿 4．若复数 z =i(4+3i)，（i 是虚数单位）则 z ＝（ ）.
A． 13
答
B．5
C．7
D．25
5．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A : B : C 1: 2 : 3 ，则 a : b : c
26．（本小题 12 分）实数 m 取何值时,复数 z m(m 1) (m2 2m 3)i（i 是虚数单位）．
(1)为实数； (2)与复数 6－3i 相等
27．（本小题 12 分）甲、乙两人各掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 A： 甲得到的点数为 2，B：乙得到的点数为奇数.
（1）求 P( A) ， P(B) ， P( AB) ，判断事件 A 与 B 是否相互独立； （2）求 P(AB) .
项中，只有一项是最符合题目要求的）
密
1．若|
a
|=|
b
|，那么要使
a
=
b
，两向量还需要具备
(
)
A．方向相反 封
C．共线
B．方向相同 D．方向任意
2．气象台预报“本市明天降雨概率是 70%”，下列说法正确的是（
）
线
A．本市明天将有 70%的地区降雨
B．本市明天将有 70%的时间降雨
C．本市明天下雨的可能性很大
题 等于（ ）
A．1: 3 : 2
B．1: 2 : 3
C． 2 : 3 :1
北京市师大附中2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
北京师大附中2020- 2020 学年下学期高中一年级期中考试数学试卷本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分．一、本大题共10小题，共40分．1.若△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若a =2,b=3,c=4,则cosC=( ) A. 14-B.14C. 23-D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理得到角的余弦值即可.【详解】2,3,4a b c ===，根据余弦定理得到22294161cos .2124b ac C ab +-+-===-故答案为：A.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.2.若△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若a 2+b 2-c 2=a b,则C=( ) A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理得到角C 的余弦值，进而得到角C.【详解】2221cos .222b ac ab C ab ab +-===故角.3C π=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，属于基础题.3.ABC △中，60B =︒，2b ac =，则ABC △一定 （ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理得到a c =，进而得到三个角相等，是等边三角形. 【详解】ABC △中，60B =︒，2b ac =,()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-= 故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形等边三角形.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题.4.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ,则a 的取值范围是( )A.B. (3,5)C.)D.)【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角形的条件得到2222140214040a a a a a ⎧+->⎪⎪⎪+->⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎩【详解】锐角三角形的三边长分别为1, 2, a 则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a a a a ⎧+->⎪⎪⎪+->⇒<⎨⎪>⎪⎪⎩故答案为：A.【点睛】本题考查了锐角三角形的概念以及余弦定理的应用，属于基础题.5. 将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为 A. 26, 16, 8, B. 25，17，8 C. 25，16，9 D. 24，17，9【答案】B 【解析】 由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．6. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ） A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7C. 8,15,12,5D.8,16,10,6 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得抽样比为40180020=，所以高级职称抽取的人数为1160820⨯=，中级职称抽取的人数为13201620⨯=，初级职称抽取的人数为12001020⨯=，其余人员抽取的人数为1120620⨯=，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D ．考点：分层抽样．【方法点睛】分层抽样满足“每层中抽取的个体数量样本容量＝本层的总个体数量总体数量”，即“1212n n nN N N===L 或1212::::::n n n N N N =L L ”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个． 【此处有视频，请去附件查看】7.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是( ) A. 4S B. 4πS C. πS D. 2πS【答案】C 【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ，则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 故选C8. .投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A512B 12C 712D 34【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，事件A 与事件B 是相互独立的，而事件A 、B 中至少有一件发生的事件包含AB 、AB 、AB ，又()12P A =，()16P B =，所以所事件的概率为()()()()11711112612P P AB P AB P AB P AB ⎛⎫⎛⎫=++=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．考点：相互独立事件概率的计算．【此处有视频，请去附件查看】9.下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. 25B.710C.45D.910【答案】C【解析】试题分析：由茎叶图中的数据得，甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩．甲=15（88+89+90+91+92）=90；设污损数字为x，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x，则乙的平均成绩．乙=15[83+83+87+99+（90+x）]=88．4+5x，当x=8或9时，．甲≤．乙，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为21 105=；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率14155P=-=．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率10.现有A1，A2，．．．．A5,这5个球队进行单循环比赛(全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场)．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为: A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】 【分析】根据题意，分析可得A 1队必须和A 2，A 3，A 4，A 5这四个球队各赛一场，进而可得A 2队只能和A 3，A 4，A 5中的两个队比赛，又由A 4队只赛过一场，分析可得A 2队必须和A 3、A 5各赛1场，据此分析可得答案．【详解】根据题意，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5五支球队进行单循环比赛，已知A 1队赛过4场，所以A 1队必须和A 2，A 3，A 4，A 5这四个球队各赛一场，已知A 2队赛过3场，A 2队已和A 1队赛过1场，那么A 2队只能和A 3，A 4，A 5中的两个队比赛，又知A 4队只赛过一场（也就是和A 1队赛过的一场），所以A 2队必须和A 3、A 5各赛1场，这样满足A 3队赛过2场，从而推断A 5队赛过2场． 故选：B ．【点睛】此题主要考合情推理的应用，利用A 1队比赛场数得出A 2队、A 4队比赛过的对应球队是解题关键．二、填空题:共6小题，每小题5分，共30分．11.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c ．若b=2，2,=36A B ππ=，则a =_______．【答案】【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】根据正弦定理得到sin sin a ba A B=⇒=故答案为：【点睛】这给题目考查了正弦定理的应用属于基础题.12.某样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______． 【答案】2 【解析】先由数据的平均数公式求得a ，再根据方差的公式计算． 【详解】解：Q 由题可知样本的平均值为1，∴1(0123)15a ++++=，解得1a =-，∴样本的方差为222221[(11)(01)(11)(21)(31)]25--+-+-+-+-=．故答案为：2.【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．13.如图,△A'O'B'为水平放置的△AOB 斜二测画法的直观图，且O'A'=2, O'B' =3,则△AOB 的周长为________．【答案】12 【解析】 【分析】先将直观图还原，再计算周长即可.【详解】根据课本知识刻画出直观图的原图为：其中OA=4，OB=3，根据勾股定理得到5,AB =周长为：12. 故答案为：12.【点睛】这个题目考查了直观图和原图之间的转化，原图转化为直观图满足横不变，纵减半的原则，即和x 轴平行或者重合的线长度不变，和纵轴平行或重合的直线变为原来的一半。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
北京市人大附中2019-2020 学年度第一学期高一年级阶段性练习数学(PDF版,无答案)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一下学期期中考试数学(A)试题解析
2绝密★启用前2019-2020 学年北京市首都师范大学附属中学高一下学期期中考试数学（ A ）试题两角差的正切公式求解．点评： 解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到 考查变换能力和运算能力，属于基础题．2．已知 x 0,y 0,2x y 2, 则 xy 的最大值为（）答案： A条件中的式子两边平方，得224sin 4sin cos cos 即 3sin 24sin cos32，所以 3sin 24sin cos3 2 2sin cos2，即 3tan 28tan 3 0，解得 tan3 或 tan1，32tan3，所以tan221 tan 24tan21故 tan 27．4 1 tan2解：5 2故选 B ． 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2 、请将答案正确填写在1．已知R, 2sincos 10 ，则 tan(224 43A ．B ． 7C ．34答案： B1D ．723tan 28tan3 0 ，解得 tan 后再根据tan 后再根据公式求解，A ．B ．1C ．D ．14注意事项： 答题卡上 、单选将条件中所给的式子的两边平方后化简1 0B．4化简 xy = （ 2x ?y ），再利用基本不等式求最大值得解2解：解：∵ x>0， y>0，且 2x +y =2， 1 2x y 1 112（ 2x2 y）2=21，当且仅当 x =12，y =1 时取等号，故选： A 点评：本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平A 2,5 ，B 2,3,4 ，则 A e U B (答案： C故选 C ． 点评：本题考查补集与并集的混合运算， 求解时根据集合运算的定义进行求解即可， 属于基础题． 4． 已知函数f (x)log 2 x,x 3x,x，则 f[ f的值是（ ）A ．C ．．3∴ xy = 1( 2x ?y)≤2故则 xy 的最大值为1，23．设 U 1,2,3,4,5 ， A ． 5B ．1,2,3,4,5 C ． 1,2,5D ．先求出 e U B ，再求出 A e U B 即可．解： ∵U 1,2,3,4,5 ,B 2,3,4 ，∴ e U B 1,5 ，∴Ae U B1,2,5 ．答案： C1 12 1 试题分析：根据分段函数解析式可知 f( ) log 22， f 2 3 2 ，所以f[ f(14)] 19，故选 C.【考点】分段函数 .5．已知 a 、b 为实数，则 2a2b 是 log 2 a log 2 b 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案： B分别解出 2a 2b， log 2 a log 2 b 中a ， b 的关系，然后根据 a ，b 的范围，确定充 分条件，还是必要条件． 解： 解：Q2a 2b， ab当 a 0或 b 0时，不能得到 log 2a log 2 b ， 反之由 log 2a log 2 b 即： a b 0可得 2a2b成立． 故 2a2b是log 2a log 2 b 的必要不充分条件 故选： B ． 点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础 题．答案： D解：6．已知集合 x|x 2x 12 0 ,N x| 4 x 5 ，则 M I N ( )A ． RB ． 3,4)C ． (4,5)D ．4, 3) (4,5)解一元二次不等式求得集合，由此求得2由 x 2x 12 x 4 x 30，解得 x 3或 x 4，即M所以M N ( 4, 3) (4,5) .故选：D.点评：本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明” ，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/ 天) 分别为x1，x2 ，⋯，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A．x1，x2 ，⋯，x n的标准差B．x1，x2，⋯，x n的平均数C．x1，x2 ，⋯，x n的最大值D．x1，x2，⋯，x n的中位数答案：A 利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 解：表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定故选：A点评：本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.8．集合 A={ x| x2 2x 3 0}，B={ x| x2 4 0}，则AI (e R B) = ( )A．[-2,-1] B．[-1,2 ) C．[-1,1] D．[1,2 )答案：AA {x|x 1或x 3}，B {x|x 2或x 2}，e R B {x| 2 x 2},∴ A e R B =[-2,-1].9．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60o，小高层底部的俯角为45o，那么这栋小高层的高度为( )C．10 2 6 mA．20 B．20 1 3 mD．20 2 6 m答案：B3根据题意作出简图，根据已知条件和三角形的边角关系解三角形解：依题意作图所示：AB 20m，仰角DAE 60o，俯角EAC 45o，在等腰直角VACE 中，AE EC 20m ，在直角VDAE 中，DAE 60o，DE AEtan60 o 20 3m，小高层的高度为CD 20 20 3 20 1 3 m ．故选B．点评：解决解三角形实际应用问题注意事项：1.首先明确方向角或方位角的含义；2.分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图；3.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题10．关于函数f x x sin x ，下列说法错误的是（）C．f x 有零点D．f x 在0, 上单调递增2答案：B根据奇偶性定义可判断选项A正确；依据周期性定义，选项B错误；f 0 0，选项C 正确；求f x ，判断选项D 正确.解：x sinx f x则f x 为奇函数，故A正确；根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，故B 错误；A．f x 是奇函数B．f x 是周期函数因为f 0 0 sin0 0 ，f x 在,22上有零点，故C正确；由于f ' x 1 cosx 0 ，故f x 在, 上单调递增，故D正确.故选B.点评：本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题.二、填空题11．设函数f ( x)是定义在R上的偶函数，记g(x) f (x) x2，且函数g x 在区间2[0, )上是增函数，则不等式f (x 2) f (2) x2 4 x的解集为 _____________________答案：, 4 U 0,根据题意，分析可得g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为g x 2 g 2 ，结合函数的奇偶性与单调性分析可得x 2 2，解可得x 的取值范围．解：2根据题意g x f x x2，且f (x)是定义在R上的偶函数，则g x f x x f x x2 g x ，则函数g x 为偶函数，22f x 2 f 2 x2 4x f x 2 x 2 f 2 4g x 2 g 2 ，又由g x 为增函数且在区间[0, ) 上是增函数，则x 2 2，解可得：x 4或x 0，即x 的取值范围为, 4 U 0, ，故答案为, 4 U 0, ；点评：55中档题．则实数 m 的最小值为4 答案： 43解：故答案为： 点评： 本题主要考查二次函数的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于中档题13．在平面直角坐标系 xOy 中，a 在x 轴、y 轴正方向上的投影分别是– 3、4，则与 a 平行的单位向量是34 答案：±3，4本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g x 的奇偶性与单调性，属于12 ．设 sinsin1，不等式 sin cos 230 对满足条件的恒成立，将不等式sin 2cos m 0 对满足条件的恒成立，利用 sinsin1，3转化为不等式sin2cos 2m 0 对满足条件的恒成立，即不等式sin2sin2m 对满足条件的 恒成立，然后用二次函数的性质求 3f( ) sin 2sin2的最大值即可。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
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（2）通过频率分布直方图估计该校全体男生身高的中位数；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生
的平均身高．
18. 本题（15 分） 已知函数
．
（1）求函数 （2）求函数
的单调减区间； 的对称中心坐标．
19. 本题（15 分） 函数 象如图所示．
的部分图
（1）求 （2）设
的边长为 ，点 是
边上的动点， A
D
则
的值为
A. 0 C. 1
E
B. -1
B
C
D. 答案不确定
9. 若
，
是两个非零的平面向量，则“
|” 是
“
”的
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知平面向量
的夹角为
，且
，则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题 5 分共 30 分）
取学生
A. 人， 人， 人
B. 人， 人， 人
C. 人， 人， 人
D. 人， 人， 人
3. 已知平面向量
，
，若 与 共线，则
A. 4. 若
B. ，则
A.
B.
5. 已知平面向量 ， 满足：
C.
C. ，
D.
D. ，则
与 的夹角为
A.
B.
C.
D.
6. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
，则角 有两个解；
，则 ，
的值 ，下
②若
，则
边上的高为
；
③
不可能是 ．
其中判断正确的序号是
．
三、解答题（共 70 分）
17.本题（10 分） 某中学随机选取了 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得
到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．
（1）求 的值及样本中男生身高在
（单位： ）的人数；
11. 若复数
为纯虚数，则实数
．
12. 已知平面向量
，
．
13. 在
中，若
，
，
，若
与 垂直，则实数
，则
的大小为
．
14. 在平面直角坐标系
中，角 与角 均以
为始边，它们的终边关于 轴
对称，若
，则
．
15. 若 平 面 向 量，，且源自是 16. 在 列判断： ①若
． 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
7. 要 得到 函 数
的图象，只需将函数
的图象
A. 向左平移 个单位
B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位
D. 向右平移 个单位
8.如图，已知正方形
对外经贸大学附属中学高一年级下数学期中试卷 2020.5
（考试时间 120 分钟，满分 150 分） 一、选择题（每小题 5 分共 50 分）
1. 复数1 2i 的共轭复数为
A. 1 2i
B. 1+2i
C.（1， 2）
D. 5
2. 甲校有
名学生，乙校有
名学生，丙校有
名学生，为统计三校学生
某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为 人的样本，应在这三校分别抽
的最小正周期及解析式； ，求函数
在区间
上的最小值．
20. 本题（15 分）在
中，角 ， ， 的对边分别是 ，，，已知
，
， （1）求 的值； （2）若角 为锐角，求
的值及
的面积．
21. 本题（15 分）如图，在
在线段
上，且
中， ．
，
，
，点
（1）求 （2）求
的长； 的值．