第一章 第2课时 直角三角形全等的判定
3.5.2 直角三角形全等的判定
中考 试题
例2
如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x 可能是（ B ）. A.10° B.20° C.30° D.40° 分析 解
此题题目中除了直角并未给出任何其他角的具体度数，因此要求 出x值，只能大致估计其范围，再在选项中选择可能的取值.
因为6x > 90，所以 x >15. 又6x<180， 所以x<30. 故，应选择B.
图3-68
结论
直角三角形全等的判定定理：
斜边、直角边定理 有斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成 “斜边、直角边”或“HL”).
小提示
这个定理的条件，实际就是已知两边和其中 一边的对角对应相等，在前面P.75中“动脑筋” 已经探究过，具备这样条件的两个一般三角形并 不一定全等.
例3 如图3-69，在△ABC中，∠ABC的平分线BM和 ∠BCA的平分线CN相交于点P. 求证：（1）点P到三角形的三边的距离相等；
证明： 过点P作PD，PE，PF
分别垂直于AB，BC，AC， 垂足分别为D，E，F.
D
F
因为BM为∠ABC的平分线， E 图3-69 点P在BM上， 所以PD=PE (角平分线上的点到角B，BC，AC的距离相等.
说一说
从例3中，你还可以得出什么结论吗？
三角形三条内角平分 线相交于一点.
图3-69
练习
1.下面说法是否正确？为什么？ （1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； 答：不对. （2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 答：对， 可根据“SAS”证明这两个三角形全等.
2. 如图3-70，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则 AD平分BAC.请说明理由.
直角三角形全等的判定及角平分线的性质2
直角三角形全等的判定及角平分线的性质【知识要点】1、直角三角形全等的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL ．在应用中要结合具体图形，分辨出一只条件，对照判定方法，择简选用，有时对斜边、直角边的全等的方法忽略应用．2、角平分线的性质定理及其逆定理（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．【例题精讲】【例题1】如图所示，在ABC ∆中，是BC 的中点，AC DF AB DE ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ，BE=CF 。
B（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明。
【练习1—1】已知ABC ∆和'''C B A ∆，0'90=∠=∠C C ，AC=''C A ，要判定ABC ∆ ≌'''C B A ∆，必须添加条件为① 或② 或③ 或④ ．【练习1—2】如图所示，四边形ABCD 中，CB=CD ，035=∠BAC ，则BCD ∠的度数为 ．【例题2】已知在ABC ∆和DEF ∆中，090=∠=∠D A ，则下列条件中不能判定ABC ∆和DEF ∆全等的是（ ）A 、AB=DE ，AC=DFB 、AC=EF ，BC=DFC 、AB=DE ，BC=EFD 、EF BC F C =∠=∠，【练习2—1】如图所示，已知AB=CD ，BF DE AC BF AC DE =⊥⊥，，，则AB 与CD 平行吗？为什么？CA【例题3】如图所示，ABC ∆ ≌'''C B A ∆，AD ，''D A 是它们的高，则AD 与''D A 相等吗？请说明理由．D'C'B【练习3—1】如图所示，有一批边角余料，其中090=∠=∠C A ，AB=AD ．现在要把每块这样的材料都加工成正方形，并且希望材料利用率尽量高些，怎样做最好呢？B FE D【例题4】如图所示，ABC ∆是等腰直角三角形，090=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于点E ，若AB=10，求DEB ∆的周长．A B【练习4—1】如图所示，BD 是ABC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，BC DF ⊥于F ， cm BC cm AB cm S ABC 1218362===∆，，，求DE 的长．B【例题5】某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，弦准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．【练习5—1】如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）S【练习5—2】如图所示，在ABCME⊥，∆中，M是BC的中点，ABMD⊥，AC 垂足分别为点D，E，且BD=CE．求证：B（1）点M在BAC∠的平分线上；（2）AB=AC．。
直角三角形全等的判定(2)
备课时间
课题
1、2直角三角形全等的判定（2）
教学目标
1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；
2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；
3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。
教学重点
从简单的数学例子中体会反证法的含义
教学难点
逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力
教学过程
教学内容
教师活动
学生活动
一、情境创设：
证明：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到角的两边的距离相等”吗？
引导学生通过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，折叠得到的折痕（垂线段）重合来说明
二、探索活动
证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
证明：……
……
……
引导学生进一步认识图形的位置关系与数量关系之间的内在联系：
角平分线上的点到角的两边的距离都相等；
反过来，在一个角内，到角的两边的距离相等的点都在这个角的平分线上，为问题三的思考做铺垫
初步引ห้องสมุดไป่ตู้反证法的证明思路
1）先假设命题不成立
2）通过定理证明得出矛盾
3）有矛盾得结论成立
证明：……
……
（初步渗透反证法）
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．
（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
例3、如图，△ABC的角平分线AD、BE相交与点O。（1）点O到△ABC各边的距离相等吗？点O在∠C的平分线上吗？
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定教学课件新版湘教版
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图
中，你能说明BC与BD相等吗？ C
【解析】在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
D
B
F C
2. 如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一 端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离 相等吗？请说明你的理由.
【解析】BD=CD. ∵∠ADB=∠ADC=90°, AB=AC， AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴ BD=CD.
1.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过 点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三 角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
F C
E
D
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员 想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量.
A
C1
B1
C
B
A1
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐 角.(ASA)或(AAS)
∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
【跟踪训练】
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
B
A
E
F
C
D
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。
《直角三角形全等的判定》教案
全等 .
【课时安排】案
1．_____________的两个直角三角形全等 , 可以简写成 “斜边、直角边”或 “_______”.
2. 判断题
①一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等
.
（）
②两直角边对应相等的两个直角三角形全等 .
（）
③两边对应相等的两个直角三角形全等 .
（）
④两锐角对应相等的两个直角三角形全等 .
（）
3. 如图△ ABC中， AB=AC，AD是高，则△ ADB与△ ADC（全等吗？） ___________
4 ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全不全等 的角是直角时，这两个三角形全不全等呢？
? 当其中有一组相等的边所对
1
教案
11.2
三角形全等的判定
----
- 直角三角形全等的判定
【教学目标】
知识技能
1. 掌握已知斜边、直角边画直角三角形的方法
2. 能够运用 HL公理及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算
.
数学思考
1. 在探究 HL 公理的过程中发展几何直觉 .
2. 通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力
.
解决问题
了解 HL公理在生活、生产中的应用，进一步发展学生的推理证明意识和解决问题的能
力.
情感态度
结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，
培养学生的探索精神，树立学习的信心 .
【教学重难点】
重点：探究直角三角形全等的条件及应用
难点：灵活应用五种方法（ SAS、ASA、AAS、SSS、HL）来判定直角三角形、一般三角形
冀教版八年级数学 17.4 直角三角形全等的判定(学习、上课课件)
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 [母题 教材 P159 例 1 ]如图 17-4-3，已知线段 a，求 作直角三角形，使一直角边长为 a，斜边长为 3a.(不 写作法，保留作图痕迹)
感悟新知
解题秘方：紧扣尺规作直角三角形的基本步骤作 出直角三角形 .
解：如图 17-4-4， △ ABC 即为所求 .
知2－练
课堂小结
直角三角形全 等的判定
特殊 HL
直角三角形 全等的判定
一般
SAS ASA AAS SSS
感悟新知
证明：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在 Rt△ BDE 和 Rt△ CDF 中，DBDE＝＝DCDF，， ∴Rt△ BDE≌Rt△CDF(HL)．
知1－练
感悟新知
(2) AD ⊥ BC． 证明：∵Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC. ∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
第十七章 特殊三角形
17.4 直角三角形全等的判定
学习目标
1 课时讲解 直角三角形全等的判定
用尺规作直角三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 直角三角形全等的判定
知1－讲
1. 定理 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(可 以简写为“斜边、直角边”或“ HL”) . 几何语言 如图 17-4-1，
直角边长的线段(或以第二步中弧与直角边的交点为圆心，以
已知斜边长为半径画弧交另一条直角边于一点)；
第四步： 连接第二步、第三步中弧与直角边的交点 .
感悟新知
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定习题课件新版湘教版
【证明】连接BE，∵DE为BC的垂线，∴∠BDE=90°.
∴∠BDE=∠A.
在Rt△BDE和Rt△BAE中，
BE BE,
B
D
BA，
∴Rt△BDE≌Rt△BAE(HL)，∴AE=ED.
题组二:选定合适方法判定直角三角形全等
1.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,过点A
作FA⊥AE交CB的延长线于点F.若AB=4,则四
5.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC 上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. (2)若∠CAE=30°,∠BAC=45°,求∠ACF的度数.
【解析】(1)∵∠ABC=90°，
∴△ABE和△CBF均为直角三角形，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
谢谢观赏
You made my day!
对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,
则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.与△ABC全等的三角形为△ADC,△BAD,△DCB,
△DCE共4个.
4.如图,已知AB⊥BD,AB∥ED,AB=ED,要说明△ABC≌△EDC,若以
“SAS”为依据,还要添加的条件为
知识点 2 选定合适方法判定直角三角形全等 【例2】(2013·荆门中考)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的 中点,点E在AD上. (1)求证:BE=CE. (2)如图2,若BE 的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其 他条件不变. 求证:△AEF≌△BCF.
∴∠EAF+∠C=90°，
直角三角形全等的判定(2)
情感、态度与价值观
学习角平分线的性质定理与逆定理，从而锻炼学生的逆向思维能力，发展学生的演绎推理能力。
教学重点
角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点。
教学难点
在学习定理后，注意用定理解题，克服习惯于用三角形全等去证明的思维定势。
预习内容
预习活动
课堂补充
一、情境创设：
1、画一个角，再画出它的角平分线，在角平分线上任取一点，作出到角两边的垂线段，测量这两条垂线段的长度，你能得到什么结论？
三、典例分析：
例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC>AB，BD平分∠ABC，∠ADC=90°。
求证：AD=DC
例2、已知，如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB=OC。
求证:AO平分∠BAC。
拓展延伸：
“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？
2、你能用自己的话总结概括这样一个结论吗?
二、探索活动
1、证明上面得到的结论。
图形：
已知：
求证：
2、写出上面结论的逆命题：
。
你认为这个命题是真命题吗？如果正确，如何证明？
3、总结角平分线的性质定理与判定定理。
4、画出三角形的三条角平分线，你发现这三条角平分线有什么特征？请用一句话进行概括并证明你的结论。
课时编号
003
课题
1、2直角三角形全等的判定（2）
教学目标
知识与技能
1、能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点。
2、经历探索、猜想与证明的过程，感受合理推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。
北师版八下第1章三角形的证明【学案】直角三角形全等的判定
课前预习斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．如图：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF例题讲解例1.AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．【思路点拨】欲证BC=•AD，•首先应寻找和这两条线段有关的三角形，•这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC•具备全等的条件．证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt△ABC和Rt△BAD中，ABADEF,,AB BA AC BD =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）． ∴BC=AD ．例2.下列说法正确的是（ ） A.面积相等的两个直角三角形全等 B.周长相等的两个直角三角形全等 C.斜边相等的两个直角三角形全等D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 答案 D例 3.有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC•与右边滑梯水平方面的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？例4.AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E ，F 是垂足，且AE=DF ，AB=DC ，求证：∠ABC=∠DCB.例5. AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE=BF.求证：AB ∥CD ． 例6.在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足，求证：AD 平分∠BAC ．课后作业A. 基础题自测1、如图1，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ） A ．SSS B. ASA C. SASC（图1）2、如图2，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ， 且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）. A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL3、如图3，△ABC 中，∠C= 90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ， 那么M 到AB 的距离是 cm.B.中档题演练1、OC 是∠BOA 的平分线，PE ⊥OB ，PD ⊥OA ，若PE=5cm ，则PD=2.判断题：①判断直角三角形全等的方法只有“HL ”（ ）②有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等（ ） ③有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ） ④全等三角形对应边上的高相等（ ）3.（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个A①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．34．在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形5.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30° B．60° C．120° D．150°C.难题我破解1．已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.2．已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE3．已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
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九年级数学(上)第一章 图形与证明(二)
第2课时 直角三角形全等的判定
1．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，
则需添加条件___________或__________；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需添
加条件_____________或____________．
2．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分
∠BAC，那么图中全等的三角形共有________对．
3．在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，AC=DF B．AB=DE，BC=EF
C．AC=EF，BC=DF D．BC=EF，AC=DF
4．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论中错误的是 ( )
A．PC=PD B．OC=OD C．∠CPO=∠DPO D．OC=PC
5．已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为
B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE．
求证：(1)△ABC≌△DEF．
(2)GF=GC．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，
沿DE所在直线折叠△ABC，使点B恰好与点A重合，若CD=2，
则AB的值为_________．
7．△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点P，点P到边BC的距离为3 cm．若△ABC的
周长为12 cm，则这个三角形的面积为_________．
8．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成
的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得
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到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是________．
9．如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个加油站，要求到这三条公路
的距离相等，则可供选择的地址有 ( )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已
知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB
于点E，若△DEB的周长为10 cm，求AB的长．
12．如图，在△ABC中，已知D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
DE=DF．求证：AB=AC．
13，如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．
解：需添加的条件是_________________．
理由是：
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参考答案
1．∠CAB=∠DAB ∠CBA=∠DBA AC=AD BC=BD 2．5 3．C 4．D
5．(1)点拨：由已知易得BC=EF．又∵AB=DE，∠B=∠E=90°，∴△ABC≌△DEF．
(2)略
6．43 7．18 cm2 8．76 9．D 10．A 11．10 cm 12．略 13．略