直角三角形全等的判定(HL)
直角三角形全等的判定(HL)课件2021-2022学年北师大版八年级数学下册
双基巩固
练习2：如图，点B、E、C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
A
D
B
CE
F
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上， AC⊥BF，DF⊥AF，AB=DE，BE=CF . 求证：（1）AC=DF，（2）AB∥DE.
分析：要证AB∥DE，需证∠ABC=∠DEF，
只要证△ABC≌△DEF， 由AC⊥BF，DF⊥AF， BE=CF ， B E 可得∠ACB=∠DFE=90°BC=EF ， 又AB=DE，根据“HL”可证ABC≌△DEF. 请你将证明过程规范化写出来。
AD CF
练习2：如图，点B、E、 C、F在同一直线上，
求证：AC=DC。
E
证明：∵△BCE为等腰直角三角形，
A
∴∠BCA=∠ECD=90°，BC=EC，
∵在Rt△BCA与Rt△ECD中
BA ED
BC EC
∴Rt△BCA≌Rt△ECD
(HL)．B
C
D
∴AC=CD.
问1：△ACD是什么特殊三角形？ △ACD是等腰直角三角形.
问2：若将“BA=ED”与“AC=DC”互换，结论成立吗？
SSS
B. AB=DE， AC=DF，∠A=∠D SAS
C. AB=DE， AC=DF，∠B=∠E SSA D. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E ASA
A
D(D)
E
F
B
C
(E)
探究新知
当AC、DF分别变为与BC、EF分别垂直（即两边 分别相等及其中一组等边所对的角为直角时）
A
D
B
CCE
直角三角形的全等判定方法hl
直角三角形的全等判定方法hl
具体来说，假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC =
∠EDF = 90°。
如果这两个三角形满足以下条件：
1. 三角形ABC和DEF的斜边AB和DE相等，即AB = DE；
2. 三角形ABC和DEF的高BC和EF相等，即BC = EF。
那么根据直角三角形的全等判定方法hl，可以得出三角形ABC
和DEF是全等的。
这种全等判定方法hl的原理是基于直角三角形的性质和全等三
角形的定义。
直角三角形的斜边和高可以唯一确定一个直角三角形，因此当两个直角三角形的斜边和高分别相等时，这两个三角形就是
全等的。
需要注意的是，这种判定方法只适用于直角三角形，对于一般
的三角形，需要使用其他的全等判定方法，如SSS、SAS、ASA等。
综上所述，直角三角形的全等判定方法hl是利用斜边和高来判
定两个直角三角形是否全等，通过对斜边和高的相等性进行比较来判断三角形的全等关系。
12.2 直角三角形全等的判定(HL)
12.2 直角三角形全等的判定（HL）一、内容和内容解析（一）内容直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”．（二）内容解析本课是在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．基于以上分析，本节课的重点是：“斜边、直角边”判定方法的运用．二、目标及目标解析（一）目标1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．（二）目标解析1．学生经历探索两个直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．学生能从具体的问题中找出符合“斜边、直角边”条件的两个直角三角形，并能证明这两个直角三角形全等．三、教学问题诊断分析由于直角三角形是特殊的三角形，它具备一般三角形所没有的特殊性质．例如，对一般三角形来说，已知两边和其中一边的对角分别相等，不能判定两个三角形全等，而对于直角三角形来说，已知斜边和一直角边分别相等，能够得到两个直角三角形全等．直角三角形的斜边和一直角边确定了，根据勾股定理，得到第三边也是确定的，从而可以利用“边边边”或“边角边”证明满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．但是勾股定理是后面学习的内容，在这里不能运用勾股定理来证明这个结论，只能通过实验操作、观察得出定理．基于以上分析本节课的难点是：“斜边、直角边”判定方法的理解．四、教学过程设计引言前面我们学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”），本节课我们继续研究两个直角三角形全等的判定方法．问题1：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足哪几个条件，这两个直角三角形就全等了？两个直角三角形满足的条件：两条直角边分别相等(SAS）；一个锐角和一条直角边分别相等“ASA”或（AAS）；一个锐角和斜边分别相等（AAS）追问：如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？师生活动：师生共同得出上面的三个判定方法，学生思考猜想：满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等．设计意图：直接进入本节课学习的内容，培养学生分类讨论的思想．让学生大胆提出猜想．1.探索新知问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？问题2 画一个与已知直角三角形纸板全等的Rt △ABC ，有∠C =90°，再画一个Rt △DEF ，使∠F=90°，EF=BC ，DE=AB ，然后把已知直角三角形纸板放在画好的Rt △DEF 上，你发现了什么？2.归纳概括“HL ”判定方法和 分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL ”）．注意：前提条件是 。
12.2第4课时直角三角形全等的判定(HL)
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
2．如图 12－2－45 所示，P 是∠BAC 内一点，且点 P 到 AB，AC 的距离 PE，PF 相等，则直接得到 Rt△PEA≌Rt△PFA 的依据是( C )
A．AAS C．HL
B．ASA D．SSS
图 12－2－45
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF 的度数．
图 12－2－56
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，AAEB＝ ＝CCFB， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． (2)∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠BAC＝45° ∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝45°－30°＝15°. 由(1)知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
14．如图 12－2－57，已知 AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
图 12－2－57
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
证明：∵AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高， ∴∠ADC＝∠AFE＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，AACD＝ ＝AAEF， ， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，AABD＝ ＝AABF， ，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)， ∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF， 即 BC＝BE.
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教案
举例：在教学过程中，教师应重点讲解HL判定法的原理和运用步骤，通过示例演示和练习题，让学生熟练掌握这一判定方法。同时，强调直角三角形全等在解决几何问题中的重要性，如计算边长、角度等。
2.教学难点
-理解HL判定法背后的逻辑关系，尤其是斜边和直角边对应关系；
-在复杂图形中识别并运用HL判定法；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形全等判定HL的基本概念。HL是指当两个直角三角形的斜边和直角边分别相等时，这两个三角形全等。这一判定方法是解决几何问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例中直角三角形全等的判定过程，了解HL在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-解决与直角三角形全等相关的综合问题。
举例：
a)难点突破：教师应详细解释HL判定法中斜边和直角边对应关系，通过直观图示和实际操作，让学生理解全等的条件。例如，可以设计对比实验，让学生比较全等和不全等的直角三角形，从中感悟到对应边的重要性。
b)识别运用：针对复杂图形，教师应引导学生如何从众多信息中提取关键直角三角形的边角关系，并应用HL判定法。例如，可以给出一些包含多个直角三角形的图形，让学生识别哪些部分可以用HL判定法证明全等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调斜边和直角边相等这一判定条件和其在解决问题中的应用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形全等相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用模型或教具演示HL判定法的基本原理。
三角形全等的判定HL
B
“HL”判定方法的运用
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． AD = BC （ 1） （ HL）； （ 2） AC = BD （ HL）； D C
（3） ∠DAB = ∠CBA （AAS ）； （4） ∠DBA = ∠CAB （AAS ）． A
B
课堂练习
练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时 出发，以相同的速度两地．DA⊥AB，EB⊥ A AB． D，E 与路段AB的距离 相等吗？为什么？ C
E B
课堂练习
练习2 如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂 足分别为E ，F，CE =BF．求证：AE =DF．
C
D
F
E
A
B
课堂小结
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学 的四种判定方法有什么不同？ （2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？
12.2 三角形全等的判定 （第4课时）-HL
A
Rt△ABC，∠C =90°, Rt△A＇B＇C＇，∠C＇=90°
C
A＇
B
C＇
B＇
归纳概括“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）． A
几何语言： ∵ 在Rt△ABC 和 Rt△A＇B＇C＇中， C AB =A＇B＇， A＇ BC =B＇C＇， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A＇B＇C＇（HL） ． C＇
B
B＇
“HL”判定方法的运用
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证： BC =AD．
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， D ∴ ∠C =∠D =90° 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB =BA， A AC =BD， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）． ∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）． C
直角三角形全等的判定(HL)(分层作业)(解析版)docx
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)夯实基础篇一、单选题：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A．AC=A′C′，∠B=∠B′B．∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，AC=A′C′D．AB=A′B′，∠A=∠A′【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本选项不符合题意；B、根据AAA不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项符合题意；C、根据全等三角形的判定定理可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；D、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；故选B．【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．2．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．故答案为：C【分析】直角三角形中已经有一个直角对应相等，需要它们全等的话，只需要再有一个角和一组边对应相等，利用AAS或者ASA判断出它们全等；或者只需要两组边对应相等，利用HL或者SAS就可判定出它们全等；根据判定方法即可一一判断出答案。
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件(共23张PPT)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
随堂练习
1.如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证：(1) AE = DF. 分析： CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE
Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL )
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
课堂小结
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等( “斜边、直角边”或“HL”).
用“HL”判定 直角三角形全等
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等）
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别 沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 与 路段 AB 的距离相等吗？为什么？
分析： CA = CB， CD = CE， ∠A =∠B = 90°.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ， AC＝PA， ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP＝AC＝10 cm. 综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
用符号语言表达： 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°
AB = A'B' ∵
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S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.S.S.
直角三角 形全等的 S.A.S. 判定
A.S.A.
A.A.S.
H.L.
思考
1. 任意两直角边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 2. 任意两对应边相等的两个直角三角形全等吗？ 全等. SAS 或 HL 3.任意两边相等的两个直角三角形全等吗？ 不一定全等
B B`
A
C
A`
C`
动动手 画一画
画一个Rt△ABC, 使∠C=90°, 一直角边
CA=4cm, 斜边AB=5cm.
1:画线段CA=4cm; 2:画∠ACN=90°;
把你画的三角形与 邻座同学对照一下 你有什么发现？
N B B
3:以A为圆心，5cm为半径画弧， 交射线CN于B;
4:连结AB;
AA
4cm 4cm
任意两个三角形取3组对应的元素，如果有 边角边 或 角边角 或 角角边 或 边边边 分 别对应相等，那么这两个三角形一定全等。
Ａ Ａ'
Ｂ
Ｃ
Ｂ'
Ｃ'
如果是 角角角 或 边边角 也对应相等，但不能
判断这两个三角形全等。
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角 边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等 的条件，此时这两个直角三角形能否全等？
课本练习
1. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC, 点E、F为垂足， DE=DF, A 求证：△BED≌△CFD.
E F D
B
C
课本练习
2. 如图，AC=AD，∠C=∠D＝90º ，
求证：BC=BD.
A
C
D
B
思考
一般三角形全等的判定方法都适用于直角三角形吗？
一般三角 形全等的 判定
C C
Hale Waihona Puke △ABC即为所要画的三角形
斜边、直角边定理 你发现了什么？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等. 简写为 H.L.或（斜边直角边）
B
5cm 5cm
B`
A
4cm
C
A`
4cm
C`
Rt△ABC ≌ Rt△A`B`C`
斜边、直角边定理 (H.L.)推理格式
B B′
A
C
A′
C′
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中 AB=A′B′ BC=B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
请说出判定直角三角形全等的方法：
SAS，ASA，AAS，HL.
课外 作业
P76
习题13.2 第6题
例7 如图，已知: AC=BD，∠C=∠D=90°,
求证： Rt△ABC≌Rt△BAD. 证明： ∵∠C=∠D=90°（已知） ∴ △ABC与△BAD都是直角三角形
在Rt△ABC与Rt△BAD中. ∵ AC=BD （已知） AB=BA （公共边）
A B D C
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD ( H.L. )