江苏省中考数学复习难题突破专题一：规律归纳探索问题
中考数学复习讲义课件 中考专题巧突破 专题3 规律探索问题
2．(2017·内江)观察下列等式：
第一个等式： a1＝1＋3×22＋2×22＝2＋1 1－22＋1 1；
第二个等式：
a2＝1＋3×22＋222×（22）2＝22＋1 1－23＋1 1；
第三个等式：
a3＝1＋3×23＋232×（23）2＝23＋1 1－24＋1 1；
第四个等式： a4＝1＋3×24＋242×（24）2＝24＋1 1－25＋1 1； …
∴B1的横坐标为1，纵坐标为2，则B1(1，2)． 同理可得：B2的横坐标为2，纵坐标为4，则B2(2，
∵A1B1∥A2B2，∴△A1B1P1∽△B2A2P1. 比∴∵∴同为SnAA理A＝112BB1∶2可B12n＝n＋122S得边24，12＝＝. 上1212×的4×13高，25，＝为∴45S∴，1＝S△312＝×A1212×B×1613P×＝13713与＝，97△，B…2A2P1对应高的
S2、S3、n2 …、Sn，则Sn为(n2 )
C.2n－1
D.2n＋1
[解析] 根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、 Bn、Bn＋1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与 性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．
∵A1、A2、A3、…、An、An＋1是x轴上的点，且 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn＋1＝1，分别过点A1、 A2、A3、…、An、An＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于 点B1、B2、B3、…、Bn、Bn＋1，
依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)； n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)； n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)； … 第n个图案中有2n(n＋1)根火柴棒． [点评] 本题是一道找规律的题目，这类题型在中 考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些 部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
2024年中考数学总复习第一部分题型突破专题5规律探索型问题
例 3.(2023·沈阳)在求 1＋2＋3＋…＋100 的值时，发现：1＋100 ＝101，2＋99＝101…，从而得到 1＋2＋3＋…＋100＝101×50 ＝5 050.按此方法可解决下面问题．图(1)有 1 个三角形，记作 a1＝1；分别连结这个三角形三边中点得到图(2)，有 5 个三角 形，记作 a2＝5；再分别连结图(2)中间的小三角形三边中点得 到图(3)，有 9 个三角形，记作 a3＝9；按此方法继续下去，则 a1＋a2＋a3＋…＋an＝__2_n_2－__n__．(结果用含 n 的代数式表示)
3．(2023·重庆)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图 案，其中第①个图案用了 9 根木棍，第②个图案用了 14 根木棍，第③个图案用了 19 根木棍，第④个图案用了 24 根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍 根数是( B )
A．39 B．44 C．49 D．54
4．(2023·武汉)用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案 由 4 个小等边三角形围成 1 个小菱形，第②个图案由 6 个 小等边三角形围成 2 个小菱形，…，若按此规律拼下去， 则第 n 个图案需要火柴棍的根数为_6_n__＋__6__．(用含 n 的 式子表示)
学 无 止 境
本课结束
T
n＝S
1＋S
2＋…＋S n
n
为
这列数的“亚运和”．现有 99 个数 a1，a2，…，a99，其“亚运
和”为 1 000，则 1，a1，a2，…，a99 这 100 个数的“亚运和”
2021年江苏中考数学(苏科版)总复习提分专项训练(01) 解决数式规律型问题的钥匙
提分专项训练(一)解决数式规律型问题的钥匙类型一数字规律1.[2020·玉林]观察下列按一定规律排列的n个数:2,4,6,8,10,12,…,若最后三个数之和是3000,则n等于()A.499B.500C.501D.10022.[2019·济宁]已知有理数a≠1,我们把11-a 称为a的差倒数,如:2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒数是11-(-1)=12.如果a1=-2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是() A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.53.[2020·昆明]观察下列一组数:-23,69,-1227,2081,-30243,…,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第n个数是.4.[2019·黄石]将被3整除余数为1的正整数,按照下列规律排成一个三角形数阵,则第20行第19个数是.图T1-1类型二图形规律5.[2019·大庆]归纳“T”字形,用棋子摆成的“T”字形如图T1-2所示,按照图①,图②,图③的规律摆下去,摆成第个“T”字形需要的棋子个数为.图T1-26.[2020·黔西南州]如图T1-3,图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,…,按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为.图T1-37.观察下列等式:第1层1+2=3第2层4+5+6=7+8第3层9+10+11+12=13+14+15第4层16+17+18+19+20=21+22+23+24…在上述数字“宝塔”中,从上往下数,2016在第层.类型三数式规律8.[2020·铜仁]观察下列等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;2+22+23+24+25=26-2;…已知按一定规律排列的一组数:220,221,222,223,224,…,238,239,240,若220=m,则220+221+222+223+224+…+238+239+240=(结果用含m的代数式表示).9.[2018·无锡惠山区一模]如图T1-4,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8,4),阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n的值为.(用含n的代数式表示,n为正整数)图T1-4【参考答案】 1.C [解析] 由题意得,第n 个数为2n ,那么2n+2(n -1)+2(n -2)=3000,解得n=501,故选C . 2.A [解析]∵a 1=-2,∴a 2=11-(-2)=13,a 3=11-13=32,a 4=11-32=-2,… ∴a 1,a 2,a 3,…,a n 以-2,13,32依次循环,且-2+13+32=-16,∵100÷3=33……1, ∴a 1+a 2+…+a 100=33×-16-2=-152=-7.5.故选A .3.(-1)n n (n+1)3n[解析] -23=-1×231,69=2×332, -1227=-3×433,2081=4×534,-30243=-5×635,…,那么这一组数的第n 个数是:(-1)nn (n+1)3n .4.625 [解析]由图可得,第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,则前20行的数有:1+2+3+…+19+20=210(个), ∴第20行第20个数是:1+3(210-1)=628,∴第20行第19个数是:628-3=625.故答案为625.5.3n+2 [解析]由图可得,图①中棋子的个数为:3+2=5,图②中棋子的个数为:5+3=8,图③中棋子的个数为:7+4=11,…则第个“T”字形需要的棋子个数为:(2n+1)+(n+1)=3n+2,故答案为:3n+2.6.57[解析] 第①个图形中一共有3个菱形,即2+1×1=3;第②个图形中一共有7个菱形,即3+2×2=7;第③个图形中一共有13个菱形,即4+3×3=13;…按此规律排列下去,第⑦个图形中菱形的个数为:8+7×7=57.故答案为57.7.44[解析]第1层:第一个数为12=1,最后一个数为22-1=3,第2层:第一个数为22=4,最后一个数为32-1=8,第3层:第一个数为32=9,最后一个数为42-1=15,第4层:第一个数为42=16,最后一个数为52-1=24,∵442=1936,452-1=2024,1936<2016<2024,∴在数字宝塔中,从上往下数,2016在第44层,故答案为44.8.m(2m-1)[解析] ∵220=m,∴220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221-2)=220(221-1)=m (2m -1).9.24n -5 [解析]∵函数y=x 的图象与x 轴的夹角为45°,∴直线y=x 与正方形的边围成的三角形都是等腰直角三角形, ∵A (8,4),∴第四个正方形的边长为8,第三个正方形的边长为4,第二个正方形的边长为2,第一个正方形的边长为1,…第n 个正方形的边长为2n -1,由图可知,S 1=12×1×1+12×(1+2)×2-12×(1+2)×2=12,S 2=12×4×4+12×(4+8)×8-12×(4+8)×8=8, …S n 为第2n 与第(2n -1)个正方形中的阴影部分的面积, 第2n 个正方形的边长为22n -1,第(2n -1)个正方形的边长为22n -2, ∴S n =12·22n -2·22n -2=24n -5.故答案为:24n -5.。
初中复习方略数学微专题一 规律探索问题
【变式】(2021·济宁中考)按规律排列的一组数据：12 ，35 ，□，177 ，296 ，3117 ，…，
其中□内应填的数是( D )
A．23
B．151
C．95
D．21
类型二：算式规律类
1．算式规律类试题一般有以下两种类型 (1)由给定的一些等式找出规律． (2)给出计算公式，通过具体的计算猜想规律． 2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目提供的算式，发现结果和式子序列号之间的关系． (2)将这个关系式表示出来，继而再运用其关系式解决问题．
微专题一 规律探索问题
类型一：数字规律类
1．数字规律类试题一般有以下四种类型 (1)“等差数列”类．即相邻数字的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一类 数．(2)“等比数列”类．即相邻数字的比值相等．(3)加、减、乘、除、平方规律 类．(4)个位数字规律类．
2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目给出的几个特殊情形．(2)分析、比较，寻找这些数字之间的内 在联系．(3)发现其内在规律并利用规律解决问题．
【变式】(2021·云南中考)按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，
第 ＋1
B．n2an－1
C．nnan＋1 D．(n＋1)2an
类型三：图形规律类
1．图形规律类试题一般有以下三种类型 (1)图形数量方面的规律． (2)图形形状方面的规律． (3)图形各组成部分的相对位置的规律．
2．解决此类题目的一般思路 (1)根据图形的变化规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的 坐标与序号之间的关系，归纳得出第n个点的坐标与变换次数之间的关系． (2)若坐标是循环变换，应先确定循环一周的变换次数，然后用总次数除以变换 次数来确定点的坐标．
初中数学 中考复习专题：规律探索课件(共19张ppt)
中考复习第一轮
专题：规律探索
专题解读
规律探索题是根据已知条件中呈现的一组变化的数、 式子、图形等特例，通过观察、类比、归纳，发现特例中蕴 含的数字或图形的规律与特征，并用数学的方法表示这一规 律或特征的一类试题．这类试题通常以填空题、选择题为主， 要求学生具有较强的数感、符号意识以及阅读、观察、分析、 猜想、验证、表达能力，以及“从特殊到一般”的思想．
A．(1010，0) C．(1009，0)
B．(1010，1) D．(1009，1)
3.小明用火柴棒按如图所示的规律摆放 下列图形,则摆放第n个图形共需要火柴是由边长相同的正 方形和等边三角形组成,其中正方形涂有阴影,依此规 律,第n个图案中有 2n+2 个涂有阴影的正方形(用 含有n的代数式表示).
按上述规律，回答以下问题：
(1)．第 4 个等式：
4×56×25＝4×124－5×1. 25
(2)．用含 n 的代数式表示第 n 个等式：
n（n＋n＋1）2 ·2n＋1＝n·12n－（n＋11）·2n＋1
．
(3)．式子 a1＋a2＋a3＋…＋a20＝
21×219－1 21×221
.
归纳总结
本题考查“等式”中的规律探索，可类比数列中规律探索的 思路，在分析等式的结构特征的基础上，分别分析等式中各个部 分数的规律，然后将发现的规律表示出来并按等式的结构组合， 从而得到关于等式的一般代数表达式，注意参考探究数列规律的 思维经验．
3．(2019·常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72
＝49，73＝343，74＝2401，75＝16 807，…，根据
其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72019的结果的个位
中考数学总复习专题一：探索规律问题含真题分类汇编解析
聚焦泰安类型一 数式规律(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝ ．1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，这列数中的第100个数是__________． 类型二 图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．(2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A ．64B ．77C ．80D ．85【分析】 观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株4．(2017·绵阳)如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19的值为( )A.2021B.6184C.589840D.431760 类型三 点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．(2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l 于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017的横坐标是．【分析】利用直线的表达式及等边三角形的性质计算出A1，A2，A3，A4的横坐标，得出规律，写出A2 017的横坐标即可．5．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 018的坐标是( )A．(22 017，22 017) B．(22 018，22 018)C．(22 017，22 018) D．(22 018，22 017)6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 的顶点B n 的横坐标为_________.参考答案【聚焦泰安】【例1】 ∵a 1＋a 2＝1＋3＝4＝22，a 2＋a 3＝3＋6＝9＝32，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42，…，∴a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2.∴a 399＋a 400＝4002＝160 000.故答案为160 000. 变式训练 1. 299201 2.nn ＋1【例2】 通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第①个图形：3＋12＝（1＋2）×22＋12＝4；第③个图形：10＋32＝（1＋4）×42＋32＝19；第④个图形：15＋42＝（1＋5）×52＋42＝31；…所以第n 个图形：（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2.当n ＝7时，图中小圆圈的个数为（7＋2）（7＋1）2＋72＝85.故选D .变式训练 3.B 4.C【例3】 由直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1，0)，D(0，－33)，∴OB 1＝1，∠OB 1D ＝30°.如图，过A 1作A 1A⊥OB 1于A ，则OA ＝12OB 1＝12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1D ＝30°， ∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝90°，∴A 1B 2＝2A 1B 1＝2. 过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，则A 1B ＝12A 1B 2＝1，即A 2的横坐标为12＋1＝32＝22－12.过A 3作A 3C⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2＝4，A 2C ＝12A 2B 3＝2，即A 3的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12.同理可得，A 4的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12，由此可得，A n 的横坐标为2n －12，∴点A 2 017的横坐标为22 017－12.故答案为22 017－12.变式训练 5.A 6.2n ＋1－2。
中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析
探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。
江苏中考专版-金老师教育备战中考数学热点考点专题冲刺11规律探究问题(解析版)
热点专题11 规律探究问题数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。
学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。
创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。
它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.【答案】0，2【解析】根据题目的规则，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每6个数是一个循环单位，∴前6个数的和是0，2019÷6=336…3，∴这2019个数的和=0+1+1=2.2.（黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043则第20行第19个数是_____________________． 【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）=628，∴第20行第19个数是：628﹣3=625．3. (武威）已知一列数a ，b ，a b +，2a b +，23a b +，35a b +，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9个数是 ． 【答案】1321a b +【解析】 由题意知第7个数是58a b +，第8个数是813a b +，第9个数是1321a b +，故答案为1321a b +． 4. (云南）按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是（ ） A.（－1）n －1x 2n －1 B.（－1）n x 2n －1 C.（－1）n －1x 2n ＋1 D.（－1）n x 2n ＋1【答案】C【解析】本题考查了通过探究规律性列代数式的能力，∵x 3=（﹣1）1﹣1x 2×1+1，﹣x 5=（﹣1）2﹣1x 2×2+1，x 7=（﹣1）3﹣1x 2×3+1，﹣x 9=（﹣1）4﹣1x 2×4+1，x 11=（﹣1）5﹣1x 2×5+1，…… 由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n+1，因此本题选C ．5. (聊城) 数轴上O ，A 两点的距离为4，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO 的中点A 1处，第2次从A 1点跳动到A 1O 的中点A2处，第3次从A 2点跳动到A 2O 的中点A 3处，按照这样的规律继续跳动到点A 4，A 5，A 6，…，A n (n≥3，n 是整数)处，那么线段A n A 的长度为________(n≥3，n 是整数).【答案】4－221-n【解析】∵AO=4，∴OA 1=2，OA 2=1，OA 3=12，OA 4=212，可推测OA n =221-n ，∴A n A=AO －OA n =4－221-n . 6．(安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n 2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6=2019，故答案为2019．7. (永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a ＋b)n 的展开式(按b 的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s ＋x)15的展开式按x 的升幂排列得：(s ＋x)15=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： (1)若s=1，则a 2= ．(2)若s=2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15= ．【答案】(1)105 (2)315【解析】(1)当s=1时， (1＋x)1=1＋x(1＋x)2=1＋2x ＋x 2 a 2=1(1＋x)3=1＋3x ＋3x 2＋x 3 a 2=3=1＋2 (1＋x)4=1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x4a 2=6=1＋2＋3(1＋x)5=1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5 a 2=10=1＋2＋3＋4(1＋x)6=1＋6x ＋15x 2＋20x 3＋15x 4＋6x 5＋x 6 a 2=15=1＋2＋3＋4＋5 当n=15时，a 2=1＋2＋3＋4＋ (14)21×(1＋14)×14=105．(2)若s=2，令x=1，则(2＋1)15= a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15=315． 考向2 几何图形类规律探究型问题1．(毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）A ．上方B ．右方C ．下方D ．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4=504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选C ．2.(天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇．【答案】6058【解析】 由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．3. (甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n =__________．【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2213⨯-=个．第3幅图中有2315⨯-=个．第4幅图中有2417⨯-=个．⋯．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个．当图中有2019个菱形时，212019n -=，1010n =，故答案为1010．4. (大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n 个"T"字形需要的棋子个数为______. 【答案】3n+2【解析】第1个图形有5个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有11个棋子，所以第n 个图形有(3n+2)个棋子5. (龙东地区）如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到△AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到△A 1A 2A 3，再以对角线OA 3为边作第三个正方形OA 3A 4B 4，连接A 2A 4，得到△A 2A 3A 4，…，记△AA 1A 2，△A 1A 2A 3，△A 2A 3A 4…的面积分别为S 1，S 2，S 3…，如此下去，则S 2019=________．【答案】22017.【解析】△AA 1A 2中，AA 1=1，AA 1边上的高是1，它的面积S 1=12×1×1； △A 1A 2A 3中，A 1A 2A 1A 2边上的高是S 2=12△A 2A 3A 4中，A 2A 3A 2A 3边上的高是S 3=12…如此下去，△A 2018A 2019A 2020中，A 2018A 2019=201822222⨯⨯⨯⨯个相乘…=2018，A 2018A 2019边上的高是2018，它的面积S 2019=12×2018×2018=22017. 6. （扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则A 4AA 11122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．【答案】40380【解析】11//D F AC ，11//D E AB ，∴111D F BF AC AB =，即1111D F AB DE AC AB-=， 5AB =，4BC =，11114520D E D F ∴+=，同理22224520D E D F +=，⋯，20192019201920194520D E D F +=，1122201920191122201920194()5()20201940380D E D E D E D F D F D F ∴++⋯++++⋯+=⨯=；故答案为40380．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）【答案】D【解题】延长DA 交x 轴于点M ∵A （-3，4），B （3，4），∴AB=6，AB ∥x 轴， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=6，∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°， 连结OD ，Rt △DMO 中，MO=3 DM=10 则D 点的坐标为（-3，10）将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每次顺时针旋转90° 当图形绕点O 顺时针第一次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3）， 当图形绕点O 顺时针第二次旋转90°后， D 点的坐标为（3，-10）， 当图形绕点O 顺时针第三次旋转90°后， D 点的坐标为（-10，-3），当图形绕点O 顺时针第四次旋转90°后， D 点的坐标为（-3，10）， 当图形绕点O 顺时针第五次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3）， ······每四次为一个循环，∵70÷4=17···2，∴旋转70次后，D 点的坐标为（3，-10）， 故选D.2.(菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）【答案】C【解析】A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），A 5（2，1），A 6（3，1），…， 2019÷4=504…3，所以A 2019的坐标为（504×2+1，0）， 则A 2019的坐标是（1009，0），故选C ．3. （广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使1260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．【答案】2017(2-，2．【解析】由题意得，1A 的坐标为(1,0)，2A 的坐标为，3A 的坐标为(2-，，4A 的坐标为(8,0)-，5A 的坐标为(8,--，6A 的坐标为(16,-，7A 的坐标为(64,0)，⋯由上可知，A 点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x 正半轴上，其横坐标为12n -，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n -，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n -， 与第四点方位相同的点在x 负半轴上，其横坐标为12n --，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n --与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n --201963363÷=⋯，∴点2019A 的方位与点23A 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2201722n --=-，纵坐标为2，故答案为：2017(2-，2．4. (东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .【答案】：-31009【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律： A 1（1，33），A 2（1，3-）， A 3（-3，3-），A 4（-3，33）， A 5（9，33），A 6（9，39-）， A 7（-27，39-），……A2n+1[(-3)n，3×(-3)n]（n为自然数），2019=1009×2+1，所以A2019的横坐标为：(-3)1009=-31009.5. (本溪）如图，点B1在直线l：12y x=上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点C n的横坐标为【答案】1 7322n-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.【解题过程】如图，过B1、C1点分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，∵点B1在直线l：12y x=上，且点B1的横坐标为2，∴B1（2，1），∴B1M=1，OM=2，∴A1M=12.∵四边形A1C1B2B1是正方形，∴△A1B1M≌△C1A1N，∴A1N=1，∴C1的横坐标为2+1+12=2+32，在Rt△A1MB1中A1B1=，∴OB2=2，∴B2的坐标为（3，32）同理可得C2的横坐标为3+32×32，B3（92，94），C3的横坐标为92+94×32，…B n（2×132n-⎛⎫⎪⎝⎭，132n-⎛⎫⎪⎝⎭），C n 的横坐标为2×132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭×32=17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故答案为17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.6. (齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．【答案】191663-n ）（ 【解析】由题意知OA=1，则OB 1=33，∴S 1=63； ∴A 2(33，34)，∴A 2B 1=34，B 1B 2=394，∴S 2=63916⨯； ∴A 3(937，916)，∴A 2B 1=916，B 1B 2=32716，∴S 2=632916）（⨯；...∴Sn=191663-n ）（。
2021学年中考数学重难题型突破规律探究含解析
中考数学重难题型突破：规律探究“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。
这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。
不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。
因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。
多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律探究题型开始增多。
3、规律探究类问题架构：题组一模块一一阶等差规律探究规律探究——第一次做差为常数一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。
主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。
这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。
2、一阶等差的实质：通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个在每一幅图形中，找出个数，把图形按规律表示如下：113+⨯ 123+⨯ 133+⨯ 13+⨯n由一阶等差的实质可得规律为：b dn a n +=。
d 为求出的不变差，b 的求解可带第一组值求解。
3、首差法通项公式（通法）(1)(2)(3)……（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子．【规范答题】法一：套通项公式。
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难题突破专题一 规律归纳探索问题 近年来有关规律探索性题目在浙江省初中数学考试题中频繁出现，这类题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程，通过观察、分析、推理，探究其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自 主探索、创新精神的培养．规律探究题一般分为数字规律题、数式规律题、图形规律题等． 类型1 数字规律 1 2019·淮安 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
图Z1－1 则2019在第________行． 例题分层分析 (1)观察发现，前5行中最大的数分别为________，________，________，________，________； (2)可知第n行中最大的数是_______，n＝44时，最大数为_______；n＝45时，_____．因此2019在第_______行 解题方法点析 解决数字规律问题的突破口在于寻找隐含在图形或式子中的规律，数的规律主要有倍数关系、等差关系、等比关系等． 类型2 数式规律 2 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图Z1－2，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应(a＋b)3展开式中的系数等． (1)根据上面的规律，写出(a＋b)5的展开式； (2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1.
图Z1－2 例题分层分析 (1)你能写出(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式吗？ (2)25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1和(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5中哪个的展开式比较类似？此时a等于什么？b等于什么？
解题方法点析 数式规律要关注中学阶段所学的一些重要公式，此类问题主要考查学生的观察、分析、逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是快速解题的关键． 类型3 图形规律 3 [2019·衢州] 如图Z1－3，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________，翻滚2019次后AB中点M经过的路径长为__________．
图Z1－3 例题分层分析 (1)首先求出B点坐标________， (2)根据图形变换规律，每三次翻滚一周，翻滚前后对应点横坐标加________，纵坐标________，故B点变换后对应点坐标为________； (3)追踪M点的变化在每个周期中，点M分别沿着三个圆心角为120°的扇形运动，如图Z1－4，三个扇形半径分别为3、1、1，又2019÷3＝672……1，故其运动路径长为________．
图Z1－4 4[ 2019·酒泉] 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为________，第2019个图形的周长为________． 图Z1－5 例题分层分析 (1)根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是________形；当图形的个数是偶数个时，正好构成____________； (2)第2个图形为平行四边形，它水平边长是________，斜边长是________，所以周长是8. (3)第2019个图形构成的图形是________，这个梯形的上底是________，下底是________，腰长是________，故周长是________．
专 题 训 练 1．[2019·自贡] 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( )
图Z1－6 A．180 B．182 C．184 D．186 2．[2019·重庆A] 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )
图Z1－7 A．73 B．81 C．91 D．109 3．[2019·温州] 我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列．为了进一步研究，依次以这列数为半径做90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图Z1－8)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上点P9的坐标为( ) 图Z1－8 A．(－6，24) B．(－6，25) C．(－5，24) D．(－5，25) 4．[2019·宁波] 用同样大小的黑色棋子按如图Z1－9所示的规律摆放：
图Z1－9 则第⑦个图案有________个黑色棋子． 5．[2019·郴州] 已知a1＝－32，a2＝55，a3＝－710，a4＝917，a5＝－1126，…，则a8＝________． 6．[2019·潍坊] 如图Z1－10，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；……按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．
图Z1－10 7．[2019·菏泽] 如图Z1－11，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的
对应点B1落在直线y＝－33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2
落在直线y＝－33x上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则O12的纵坐标为________．
图Z1－11 8．[2019·衡阳] 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2按如图Z1－12的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B2019的纵坐标是________． 图Z1－12 9．[2019·天门] 如图Z1－13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)．点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……则点P2019的坐标为________．
图Z1－13 10．[2019·内江] 观察下列等式： 第一个等式：a1＝21＋3×2＋2×22＝12＋1－122＋1； 第二个等式：a2＝221＋3×22＋2×（22）2＝122＋1－123＋1； 第三个等式：a3＝231＋3×23＋2×（23）2＝123＋1－124＋1； 第四个等式：a4＝241＋3×24＋2×（24）2＝124＋1－125＋1. 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：a6＝________＝________； (2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝________＝________； (3)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________(得出最简结果)； (4)计算：a1＋a2＋…＋an.
参考答案 类型1 数字规律
例1 【例题分层分析】 (1)1 4 9 16 25 (2)n2 1936 最大数为2025 45 [答案] 45 类型2 数式规律 例2 【例题分层分析】 (1)(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. (2)(a＋b)5，a＝2，b＝－1. 解：(1)(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. (2)原式＝25＋5×24×(－1)＋10×23×(－1)2＋10×22×(－1)3＋5×2×(－1)4＋(－1)5＝(2－1)5＝1. 类型3 图形规律 例3 【例题分层分析】
(1)(－1，3) (2)6 不变 (5，3) (3)(1346 33＋896)π [答案] (5，3) (1346 33＋896)π 例4 【例题分层分析】 梯 平行四边形 3 1 梯形 3025 3026 1 6053 [答案] 8 6053 专题训练 1．C [解析] 观察所给四个正方形可知，1＋14＝3×5，3＋32＝5×7，5＋58＝7×9，故11＋m＝(11＋2)×(11＋4)，解得m＝184. 2．C [解析] 整个图形可以看作是由两部分组成的，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现： 第①个 第②个 第③个 第④个 … 第个
上半部分 1＝12 4＝22 9＝32 16＝42 … n2 下半部分 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1 … n＋1 由此推断出这组图形中菱形个数的变化规律为：n2＋n＋1.当n＝9时，n2＋n＋1＝92＋9＋1＝91，∴第⑨个图形中菱形的个数为91. 3．B 4．19 [解析] 第①个图形中共有1个黑色棋子；第2个图形中共有(1＋3)个黑色棋子；第3个图形中共有(1＋2×3)个黑色棋子；第4个图形中共有(1＋3×3)个黑色棋子……按此规律可知，第n个图形共有[3(n－1)＋1]＝(3n－2)个黑色棋子，所以第⑦个图形中黑色棋子的个数为3×7－2＝19.故填19. 5.1765 6．9n＋3 [解析] 由图形及数字规律可知，第n个图中正方形的个数为5n＋1，等边三角形的个数为4n＋2，所以其和为5n＋1＋4n＋2＝9n＋3. 7．(－9 3－9，9＋3 3) [解析] 过点O2作O2C⊥x轴于点C，