几何概型 (2)

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几何概型
适用学科 数学 适用年级
高三

适用区域 通用 课时时长（分钟）
60

知识点
几何概型及其特点
长度问题
面积问题
体积问题
角度问题
教学目标
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义．
教学重点
几何概型概念的理解和公式的运用

教学难点
几何概型与线性规划、不等式的解集、方程的根所在的区间等结合．
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教学过程
一、课堂导入

问题：什么几何概型？几何概型的考点是什么？
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二、复习预习
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
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三、知识讲解
考点1 几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，
简称为几何概型．
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考点2 几何概型的概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

P(A
)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
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四、例题精析
考点一 与长度、角度有关的几何概型
例1 如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，
求BM<1的概率．
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【规范解答】因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝3，∠B＝60°，
所以BD＝ADtan 60°＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P(N)＝30°75°＝
2
5
.

【总结与反思】答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范
围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之
比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
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考点二 与面积、体积有关的几何概型
例2 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P
到点O的距离大于1的概率为________．
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【规范解答】先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×1
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×2＝2π，以O为球心，1为半径且

在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P到点O的距离
大于1的概率为1－13＝
2
3
.

【总结与反思】求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进
而利用概率公式求解．
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考点三 生活中的几何概型问题
例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停
泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
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【规范解答】解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待
码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2
h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．

A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝24－12×12＋24－22×12242＝506.5576＝
1 013
1 152
.

【总结与反思】 生活中的几何概型度量区域的构造方法：
(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息．
(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．
(3)解模：求解建立的数学模型．
(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．
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五、课堂运用
【基础】
1、“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一空竹，
则空竹与两端距离都大于0.2 m的概率为( )

A.12 B.35 C.25 D.23
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【规范解答】答案 B
解析 与两端都大于0.2 m即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m＝0.6 m，记“空竹与两端距离都大于0.2 m”为事件A，

则所求概率满足几何概型，即P(A)＝1－0.2－0.21＝
3
5
.
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2、在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm
2
的概率为 ( )

A.16 B.13 C.23 D.45
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【规范解答】答案 C
解析 根据题意求出矩形面积为20 cm2时的各边长，再求概率．
设AC＝x，则BC＝12－x，所以x(12－x)＝20，
解得x＝2或x＝10.

故P＝12－2－212＝
2
3
.
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【巩固】
1、已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( )

A.16 B.13 C.12 D.23
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【规范解答】答案 C
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝
4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概
率为1＋26＝
1
2
.
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2、在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
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【规范解答】答案
1
2

解析 ∵方程
x2m2＋y
2
n
2
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.

如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n
恰好将矩形平分，
∴所求的概率为P＝
1
2
.
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【拔高】
1、如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取
自阴影部分的概率是 ( )

A．1－2π B.12－1π C.2π D.1π
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【规范解答】答案 A
解析 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，
如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝π4＋
1
2
×1×1－π4－12×1×1＝1，

所以整体图形中空白部分面积S2＝2.
又因为S扇形OAB＝14×π×22＝π，
所以阴影部分面积为S3＝π－2.
所以P＝π－2π＝1－
2
π
.
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2、身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A、B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不
超过10分钟．当天A、B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他
因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．
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【规范解答】
解 设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当y≤x±16时，姐弟俩会面，又正方形

的面积为14，阴影部分的面积为536，所求概率P＝53614＝
5
9
.
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课程小结
1． 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．
2． 转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直
角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角
坐标系建立与体积有关的几何概型．