第九章-立体视觉
高三数学教学案第九章立体几何
高三数学教学案第九章立体几何第七课时平面与平面垂直（一）把握两平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用上述定理进行论证和解决有关问题．2、两平面垂直的定义；3、两平面垂直的判定定理；“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”的相互转化．1、已知直线m、n，平面α、β，且m⊥α，nβ⊂，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；③若α⊥β，则m∥n；④若m∥n，则α⊥β．其中正确的命题是（）A．①④B．①③C．②③D．③④2、过平面α外两点且垂直平面α的平面（）A．有且只有一个B．有一个或两个C．有且仅有两个D．一个或许多个3、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连结PB、PC、PD、AC、BD，则互相垂直的平面有__________对．4、两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是__________________ ____．例1、在三棱锥A－BCD中，AB=3，AC=AD=2，且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，求证：平面BCD⊥平面ADC．例2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点.求证：平面AED⊥平面A1FD1．例3、已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E是点A在平面PBC内的射影，（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．AB DA BCDA1 B1C1D1EFABCEP班级_______学号__________姓名_________1、平面α⊥平面β，α∩β=l ，点P ∈α，点Q ∈l ，那么PQ ⊥l 是PQ ⊥β的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知平面PAB 、PBC 、PAC 两两互相垂直，点P 在面ABC 上的射影为O ，则O 是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心3、若l 、m 是互相不垂直的异面直线，平面α、β分别过l 、m ，则下列关系中不可能．．．成立的是（ ）A ．α∥βB ．l ∥β且m ∥αC ．α⊥βD ．l ⊥β且m ⊥α4、在直二面角α－l －β中，A ∈α，B ∈β，AB=2，AB 与α、β所成角分别为30°和45°，则点A 、B 在l 上的射影A ′，B ′间的距离是________ __．5、在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，沿BD 将该矩形折成直二面角，那么折后A 、C 两点间的距离为__________．6、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求证：平面BDE ⊥平面A 1BD ．7、如图S 为△ABC 所在平面外一点SA=SB=SC ，且∠ABC=90°， 求证：平面SAC ⊥平面ABC ．8、在三棱锥P －ABC 中，PB=PC ，AB=AC ，点D 为BC 中点，AH ⊥PD 于H 点，连BH ， 求证：平面ABH ⊥平面PBC ．A B C D A 1 B 1C 1D 1E BA C SD HBA C P高三数学教学案第九章 立体几何 第八课时平面与平面垂直（二）熟练把握面面垂直的有关知识，并能综合运用有关知识解决问题．1、关于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 （ ）A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB ．m ⊥n ，α∩β=m ，n α⊂C ．m ∥n ，n ⊥β，m α⊂D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β2、设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X// Y ”为真命题的是______ __． ①X 、Y 、Z 是直线； ②X 、Y 是直线，Z 是平面；③Z 是直线，X 、Y 是平面；④X 、Y 、Z 是平面.3、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， 底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满 足_______ __时，平面MBD ⊥平面PCD ． (只需写出一种情形)例1、如图，ABCD 是边长为a 的菱形，∠A=60°，PC ⊥平面ABCD ，PC=a ，E 是PA 的中点，（1）求证：平面BDE ⊥平面ABCD ；（2）求E 到平面PBC 的距离．例2、正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 22．若通过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面于DB 1. （1）试确定点D 的位置，并加以证明； （2）求证：平面AB 1D ⊥平面ACC 1A 1．例3、如图，ABCD 是正方形，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，EF ∥AB ，EF 交AC 于点O ，以EF 为棱把它折成直二面角A －EF －D 后，求证：不论EF 如何样移动，∠AOC 是定值．A BCDPMAB CA 1B 1C 1DABC D EFOA BC DE P班级_______学号__________姓名_________1、若直线l 、m 与平面α、β、γ满足：β∩γ=l ，l ∥α，m α⊂，m ⊥γ，则有（ ）A ．α⊥γ，l ⊥mB ．α⊥γ，m ∥βC ．m ∥β，l ⊥mD ．α∥β，α⊥γ 2、若平面α⊥平面β，直线n α⊂，直线m ⊂β，m ⊥n ，则 （ ）A ．n ⊥βB ．n ⊥β且m ⊥αC ．m ⊥αD ．n ⊥β与m ⊥α中至少有一个成立3、三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 点到三个平面的距离分别是3，4，5，则OP 的长为___________．4、若有平面α与β，α∩β=l ，α⊥β，P ∈α，P l ∉，则下列命题中，真命题有_______个．①过点P 且垂直于α的直线平行于β； ②过点P 且垂直于l 的平面垂直于β； ③过点P 且垂直于β的直线在α内；④过点P 且垂直于l 的直线在α内．5、矩形ABCD ，ABEF 所在平面互相垂直，且AB=4，AD=2，AF=3，∠AED=α，∠EDC=β，则βαcos :cos =__________6、若V 是△ABC 所在平面外一点，VB ⊥平面ABC ，平面V AB ⊥平面V AC ， 求证：△ABC 是直角三角形．7、ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，底面边长为a ，D 、E 分别是BB 1、CC 1上的点，BD=a 21，EC=a ．（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1；（2）求截面△ADE 的面积．8、如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，同时∠DAB=60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ． （1）求证：AD ⊥PB ；（2）设E 为BC 边的中点，F 为PC 中点，求证：平面DEF ⊥平面ABCD ．A B C D A 1B 1C 1 E PFE ABCD VABC高三数学教学案第九章 立体几何第九课时异面直线所成的角把握空间两条直线所成角的概念．2、求异面直线所成角的大小，一样方法是通过平移直线，把异面直线问题化为共面问如何平移，从而转化为相交直线所成角并能求出该角．1、已知异面直线a ，b 所成的角为60°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成角差不多上60°的直线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条2、棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）A ．23B ．1010C ．53D ．523、在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF=3，则AD ，BC 所成角为_________．4、已知a 、b 是两条异面直线，AB 是其公垂线，垂足分别是A 、B ，M ∈a ，N ∈b ，AB=4，AM=3，BN=2，MN=35，则a 与b 所成的角为_________．例1、如图，在三棱锥D －ABC 中，DA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，∠ABD=30°，AC=BC ，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．例2、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，对角线B 1C=10，D 为AC 中点， （1）求证：AB 1∥平面C 1BD ；（2）求异面直线AB 1与BC 1所成的角．例3、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2， （1）B 1D 1与A 1D 能否垂直？请证明你的判定． （2）当∠A 1B 1C 1在]2,3[ππ上变化时，求异面直线AC 1与A 1B 1所成角的取值范畴．DA BA 1B 1C 1 EABCDABCDA 1B 1C 1D 1班级_______学号__________姓名_________1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，表面的对角线中与AD 1成60°角的有_______条．2、已知空间四边形ABCD 中，AC 、BD 成60°角，且AC =4，BD =32，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．3、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知BB 1=BC=1，AB=5，则异面直线DB 1与BC 1所成角为___________．4、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别为棱AB 、CD 的中点，设EF 与AC 所成的角为α，EF 与BD 所成的角为β，则α+β等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点， 求：（1）异面直线EF 与AC 所成角的大小； （2）异面直线AF 与DE 所成角的大小．6、如图所示，空间四边形ABCD 中，两条对边AB=CD=3，E 、F 分别是另外两条对边AD 、BC 上的点，且AE ：ED = BF ：FC=1：2，EF=7，求AB 和CD 所成角的大小.7、如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，E 、H 分别是A 1B 1和BB 1的中点，求：（1）EH 与AD 1所成的角；（2）AC 1与B 1C 所成的角．8、如图，正方形ACC 1A 1与等腰直角△ACB 所在平面互相垂直，且AC=BC=2，E 、F 、G 分别是线段AB 、BC 、AA 1的中点．（1）判定直线C 1B 与平面EFG 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线AC 1与GF 所成角的大小．BACEFABCD EFB C A A 1 C 1 E FG E A A 1 D 1 C 1 B 1 C B DH高三数学教学案第九章 立体几何 第十课时直线与平面所成的角把握直线与平面所成角的概念．如何作垂直定射影，以而构成直角三角形，并能够求出角．1、两条直线a ，b 与平面α所成的角相等，则a ，b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均可能2、若线段AB 夹在两个互相垂直的平面α、β间，AB 与α成θ角，AB 与β成ϕ角，则θ+ϕ的值的范畴（ ） A ．0°＜θ+ϕ≤90° B ．0°＜θ+ϕ＜ 90°C ．90°≤θ+ϕ＜180°D ．以上都不对3、∠AOB 在平面α内，OC 是α的斜线，OB 为OC 在平面α内的射影，若∠COA=θ，∠COB=θ1，∠BOA=θ2，则21cos ,cos ,cos θθθ三者之间满足的关系式是___________．4、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 的中点，则ED 1与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值是_________．例1、如图，在正方体AC 1中，（1）求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角； （2）求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角．例2、已知二面角α－l －β为60°，l 上有两点A 、B ，线段AC ，BD 分别在面α、β内，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AB =4，AC =6，BD =8，（1）求CD 的长； （2）求异面直线CD 与AB 所成的角； （3）求CD 与平面α所成的角．例3、在四面体S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成角； （2）SC 与平面ABC 所成角．BA 1B 1C 1D 1AC D C AB DβαlASCBM班级_______学号__________姓名_________1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成角的大小是_________．2、有一个三角尺ABC ,∠A =30°,∠C =90°,BC 贴于桌面上，当三角尺与桌面成45°角时，AB 边与桌面所成角的正弦值是__________．3、已知一个平面与一个正方体的十二条棱所成的角均为α，则=αsin ___________．4、平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有只是斜足的直线所成角的最大值是（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．150°5、在正四面体ABCD 中，E 为棱AD 中点，则CE 与平面BCD 所成角的正弦值为__________．6、已知平面α与β所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角为30°，则如此的直线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7、已知∠BOC 在平面α内，OA 是α的斜线，若∠AOB=AOC=60°，OB=OC=a ，BC=a 2，求OA 和平面α所成的角．7、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形， C 1B 1⊥AB ．（1）求证：平面CA 1B ⊥A 1AB ；（2）若C 1B 1=3，AB=4，∠ABB 1=60°，求AC 1与平面BCC 1所成角的大小．8、如右图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB=BC=21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ， （1）求证：OD ∥平面PAB ； （2）求直线OD 与平面PBC 所成角的大小．BA 1B 1C 1ACAPCBOD高三数学教学案第九章 立体几何第十一课时 二面角（一）把握平面与平面所成角的概念，能正确画出两个平面位置关系的图形，并能运用二面 角及其平面角的概念进行运算和证明．2、二面角的平面角的三种作法；重点是在具体问题中如何作出平面角，并能求出该角，比较困难的是求没有给出的棱 动身引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角差不多上60°，则二面角B －PA －C 的余弦值是 （ ）A ．21 B ．31 C ．33 D ．23 2、已知二面角α－l －β为60°，若平面α内有一点A 到平面β的距离为3，那么A 在平面β上的射影A 1到平面α的距离为 （ ）A ．23 B ．1 C ．3 D ．23、锐二面角α－l －β中，AB α⊂，AB 与l 成45°角，与β成30°角，则二面角的大小为__________．4、若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积的比等于32，则那个三棱锥的侧面和底面所成的二面角的大小为_________． 例1、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，P ，Q ，R 分别为棱AA 1，AB ，BC 的中点， （1）求证：∠PQR 为钝角； （2）求二面角P －QR －A 的正弦值．例2、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三角形ABC 为等腰直角三角形且∠ABC=90°，E 为C 1C 的中点，F 在BB 1上，且BF =41BB 1，BB 1=BC ，求平面EFA 与面ABC 所成角的大小．例3、已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°，（1）求证：BC ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角B －AA 1－C 的大小．ABC DA 1B 1C 1D 1 P QRABCF A 1B 1C 1E CMABA 1B 1C 1班级_______学号__________姓名_________1、在正四棱锥中相邻两侧面所成的二面角一定是 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．均有可能2、在二面角α－a －β内，过a 作一个半平面r ， 使二面角 α－a － r 的大小为 45°，二面角r －a －β的大小为30°，则r 内任一点P 到平面α与平面β的距离之比为 （ ）A ．22B ．2C ．23D ．33、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角B 1－AA 1－C 1的大小为____________，二面角B －A 1C －A 的大小为________．4、已知直角△ABC 的斜边AB 在平面α内，AC 、BC 分别与α成30°、45°角，则α与△ABC 所在平面所成的二面角的度数为________．5、如图，过正方形ABCD 的顶点A 引PA ⊥平面ABCD ，若PA=AB ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小为__________．6、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC=21AB ，这时二面角B －AD －C 的大小为_________．7、在四面体ABCD 中，BD=a 2，其余各棱长均为a ，求二面角A －BD －C ， A －BC －D ，B －AC －D 的大小．8、如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB=BB 1，BB 1与底面成60°角，侧面A 1B ⊥底面ABC ，△ABC 是正三角形． （1）证明：AB ⊥B 1C ； （2）证明：B 1C ⊥平面ABC 1； （3）求二面角B 1－AC －B 的大小．CABA 1B 1C 1CABD。
中职化学第九章立体几何知识点
中职化学第九章立体几何知识点
本文档旨在总结中职化学第九章立体几何的重点知识，帮助学生更好地理解和掌握相关概念。
1. 空间坐标系：
- 空间坐标系是用来描述物体在空间中位置的系统。
- 坐标轴分为X轴、Y轴和Z轴，它们相互垂直。
2. 原子的立体构型：
- 电子云的分布对原子的形状和立体构型具有重要影响。
- 原子的构型包括线性构型、平面构型、三角锥构型、四面体构型等。
3. 键的构型和键角：
- 键的构型指的是化学键在空间中的排列方式。
- 键角是指连接两个原子的化学键的夹角。
4. 分子的空间构型：
- 分子的空间构型与分子中原子的排列方式有关。
- 分子的空间构型包括线性构型、平面构型、平面角构型、四面体构型等。
5. 共面性和非共面性：
- 当分子中的原子或化学键处于一个平面上时，称为共面性。
- 当分子中的原子或化学键不在同一个平面上时，称为非共面性。
以上是中职化学第九章立体几何的重点知识点，希望对学生们研究和理解化学立体几何有所帮助。
参考资料：。
第九章 立体几何总结
第九章 立体几何总结（ 啊克跟你们一起加油！！！弟妹们加油！！！）1、点与直线、平面的位置关系如下表： ））））公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.若A ∈a ,B ∈a ,且A ∈α,B ∈α,则a ⊂α.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. P∈α,且P ∈β⇒α∩β=l ,且P ∈l .公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.2、异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两直线互相垂直。
连结平面内一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异线。
3、怎么定义两条异面直线所成的角呢？异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4、直线与平面的位置关系①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.5、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.“线线平行，线面平行”符号语言为：.图形语言为：6、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.“线面平行，线线平行”这个定理用符号语言可表示为：7、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
8、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
“面面平行，线线平行”9、直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂P b a bl a l b a ααl ⊥α.10、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.语言符号：a ∥b ，a ⊥α.⇒b ⊥α.11、同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.12、垂直于同一个平面的两条直线平行。
第九章立体几何教案(15)
三垂线定理（1）教学目的：知识目标：三垂线定理及其逆定理的形成和论证．三垂线定理及其逆定理的简单应用． 能力目标：利用投影、运算机模拟运动，增强直观性，鼓励学生的学习动机，培育学生的空间想象能力和转化的数学思想方式。
德育目标：通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想． 教学重点：掌握三垂线定理及逆定理。
教学难点：两个定理的证明及应用． 教学疑点及解决方式（1）三垂线定理及其逆定理，揭露了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在熟悉和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，能够采用一些教具，或让学生预备三根竹签，依照教师的要求摆放．在学生感性熟悉的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．（3）三垂线定理是先有直线a 垂直于射影AO 的条件，然后取得a 垂直于斜线PO 的结论；而其逆定理则是已知直线a 垂直于斜线PO ，再推出a 垂直于射影AO ．在引历时容易引发混淆，解决的办法是，构造一个同时利用这两个定理的问题，引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探讨抽象、由简单到复杂的熟悉规律，启发学生反复试探，不断内化成为自己的认知结构． 讲课类型：新讲课教学模式：讲练结合 启发引导 自学指导 发觉教学法 偿试指导法 启发、诱导发觉教学.教 具：多媒体、实物投影仪 教学进程： 一、温习引入： （1） 温习旧知，揭露课题例1（引例）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ① 找平面AC 的斜线BD 1的射影 ② BD 1与AC 的位置关系如何？③ BD 1与AC 成多少度的角？通过回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系，揭露这节课所要学的内容与原来所学的知识之间的内在联系，也就是提示学生这节课的目的是利用所学过的数学知识去总结结论，发觉定理，从而为定理的证明打下了基础。
第九章立体几何教案(9)
平面与平面平行的判定（1）教学目的：知识目标：两个平面平行的概念．两个平面的位置关系及画法．两个平面平行的判定．能力目标：会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培育学生的空间想象能力．掌握两个平面的判定定理的证明，进一步培育学生周密的逻辑思维能力．德育目标：让学生熟悉研究两个平面的位置关系和掌握和应用两个平面平行的判定是实际生产的需要，表现了理论联系实践的原则，并更好地培育学生分析问题与解决问题的能力．教学重点：掌握两个平面的位置关系；掌握两个平面平行的判定．教学难点：掌握两个平面平行的判定定理的证明及其应用．讲课类型：新讲课教学模式：启发、诱导发觉教学.教具：多媒体、实物投影仪教学进程：一、温习引入：一、观察：教室的正面和背面、左面和右面的墙面有无公共点？教室的正面和侧面的墙面呢？试探问题：两个平面的位置关系可分为几种情形？二、什么是平行的平面？可否再举出一些两个平面平行和相交的实例？二、讲解新课：一、概念从上面的例子，咱们明白：两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可从有无公共点来区分．若两个平面有不共线的两个公共点，则由公理3可知这两个平面必然重合为一个平面；若两个平面有一个公共点，则由公理2可知这两个平面相交于过那个点的一条直线；若两个平面没有公共点，则这两个平面彼此平行．由此得出不重合的两个平面的位置关系：平行平面：若是两个平面没有公共点，那么这两个平面彼此平行．两个平面相交——有一条公共直线（至少有一个公共点）二、那么如何画出并表示两个平行平面和两个相交平面呢？①画两个平行平面的要点是：表示平面的平行四边形的对应边彼此平行．如图②画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段．成图时注意不相交的直线彼此平行且等长，不可见的部份画虚线或不画．如图1—103．③学生练习（P ．35中练习2）：画两个平行平面和别离在这两个平面内的两条平行直线，再画一个通过这两条平行直线的平面．如图1—104，α∥β，a ∥b ，a ＜α，b ＜β，a ＜γ，b ＜γ．3、两个平面平行的判定①按照前一末节平面平行的概念，咱们来判断两个互逆命题的正误，并说明理由．命题1．若是两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线必然都和另一个平面平行．命题2．若是一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行． 命题1是正确的．因为在这些直线中若是有一条和另一个平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点．那么这两个平面就不可能平行了．命题2也是正确的．因为若是这两个平面有公共点，那么在另一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．由此咱们明白：两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题．实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面．②两个平面平行的判定定理：若是一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P =，//a α，//b α//βα⇒．已知：在平面β内，有两条相交直线a 、b 和平面α平行．求证：β∥α．分析：要证明那个定理，先试探几个问题（提出问题并启发学生得出结论）（幻灯显示）．问题1：若是平面α与平面β不平行，那么它们的位置关系如何？（相交）．问题2：若平面α与平面β相交，那么交线与平行于平面α的直线a 和b 各有什么关系？（平行）．问题3：相交直线a 和b 都与交线平行合理吗？（不合理，与平行公理矛盾）．师：总结得出证明定理应该按照概念，利用反证法，让学生写出它的证明进程． 证明：假设α∩β＝c ． a ∥α，a ∩β， a ∥c ，同理b ∥c ．a ∥b ，这与题设a 与b 相交矛盾，∴α∥β．在实际生活中，也常常利用那个判定定理判断两个平面平行．如在判断一个平面是不是水平时，把水准器放在那个平面上交叉放两次，若是水准器的气泡都是居中的，就可以够判定那个平面和水平面平行．推论：若是一个平面内有两条相交直线别离平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面彼此平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒下面请同窗们完成例1和练习．4、例题讲解例1：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1；（2）若M 、N 、E 、F 别离是棱A 1B 1,A 1D 1,C 1D 1,B 1C 1的中点，求证：E 、F 、B 、D四点共面；（3）求证：平面AMN例2：已知b a ,是异面直线，αββα//,//,,b a b a ⊂⊂，求证：βα//.例3 垂直于同一直线的两个平面平行．已知：α⊥AA ＇，β⊥AA ＇，求证：α∥β．师提示：要证明两个平面平行，有两种方式：一是利用概念；二是利用判定定理，也是较常常利用的一种方式．因此利用判定定理证明例1的关键是：如何构造一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面？证明：设通过直线AA ＇的两个平面γ，δ别离与平面α、β交于直线a ，a ＇和b ，b ＇． ∵AA ＇⊥α，AA ＇⊥β，∴AA ⊥a ，AA ＇⊥a ＇，∴a ‖a ＇，则a ＇∥α．同理，b ＇∥α．又∵a ＇∩b ＇＝ A ＇，∴α∥β．那个例题的结论可与定理“垂直于同一平面的两条直线平行”联系起来记忆，也可作为判定两个平面平行的一种方式．三、巩固与练习一、练习：判断下列命题的正误（幻灯显示）．（1）．垂直于同一直线的两直线平行．（2）．别离在两个平行平面内的两条直线都平行．（3）．若是一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（4）．若是一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行四、小 结：本节课咱们学习了两个平面平行的概念；两个平面的位置关系：平行或相交；两个平面平行的判定．掌握两个平面平行的判定的研究能够转化为线线平行、线面平行的研究．五、课后作业：P ．38中习题五1、2、3．补充：1．a 、b 为异面直线，a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β．求证：α∥β．六、板书设计（略）七、课跋文：γb a βα。
第九章立体几何教案(11)
两个平面平行的判定和性质习题课（3）【教学内容】一、两个平面的位置关系二、两个平面平行的判定和性质【教学目标】分清两个平面的位置关系：能利用两个平面平行的判定定理和讲义中例1来判定两个平面平行；能按照两个平面平行的性质定理证明两条直线彼此平行；能利用讲义中例2证明直线和平面垂直；理解两个平行平面的距离这一概念，能求两平面间的距离。
【知识讲解】没有公共点——两平面平行一、两个平面的位置关系有两种：有一条公共直线——两平面相交画两个彼此平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
二、证明两平面平行的方式：（1）利用概念证明。
利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。
用符号表示是：a ∩b ，a α，b α，a ∥β，b ∥β，则α∥β．（3）垂直于同一直线的两个平面平行。
用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则a ∥β．3、两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，那个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。
用符号表示是：α∥β，a α，则a ∥β．（2）若是两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，那个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。
用符号表示是：α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b ．（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
那个定理可用于证线面垂直。
用符号表示是：α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（讲义P 38练习第3题）（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。
（讲义P 38习题五4）4、两平行平面间的距离是指它们的公垂线段的长度，即与两平面都垂直的直线夹在两平面之间的线段的长度。
“线线平行”、“线面平行”和 例1：正方体F 别离是AA 1，CC 1 分析：A 1BD ∥平面B 1D 1C 平行。
人教版中职数学教案第九章立体几何
[精品]人教版中职数学教案-第九章--立体几何[18份教案]9.1.1立体图形及其表示方法【教学目标】1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图．2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程．3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图．9.1.2 平面的基本性质【教学目标】1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】平面的三个基本性质．【教学难点】理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】9.2.1空间中的平行直线【教学目标】1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义．2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质．3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．【教学重点】平行线的基本性质．【教学难点】空间中图形平移的性质．【教学方法】这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．【教学过程】9.2.2 异面直线【教学目标】1. 理解异面直线的定义，会判定两条直线是否为异面直线，会求异面直线的夹角．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【教学重点】异面直线的判定．【教学难点】异面直线的夹角．【教学方法】这节课主要采用实物演示法和类比教学法．先通过大量实例给学生以直观感知，再由平面几何两直线的位置关系引出异面直线的概念，由平面内两直线的夹角引出异面直线的夹角，并通过题目加深对各概念的理解．9.2.3 直线与平面平行【教学目标】1. 掌握空间直线和平面的位置关系．2. 掌握直线和平面平行的判定定理，性质定理；并能利用定理进行简单的证明．3. 通过动手，培养学生勇于实践、合理推理的能力，并使学生树立将空间问题向平面问题转化的思想，体会数学来源于生活，并服务于生活．【教学重点】直线与平面平行的判定定理，性质定理．【教学难点】直线与平面平行的判定定理，性质定理的理解和应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出直线与平面的位置关系，判断定理和性质定理．利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．9.2.4 平面与平面的平行关系【教学目标】1．掌握平面与平面的位置关系的分类．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．通过直观演示，提高学生的空间想象能力．3．通过动手探究，体验数学学习的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识．【教学重点】平面与平面平行的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．A9.3.1 直线与平面垂直【教学目标】1. 了解空间直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2. 渗透由平面到空间的转换思想，培养学生学习的空间想象能力．【教学重点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．通过学生动手操作，由线段的一条垂直平分线在空间旋转成垂直平分面，在此基础上，定义直线与平面垂直．通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理与性质定理，然后在例题中体验定理在实际生活中的应用．9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】9.3.3 平面与平面所成的角【教学目标】1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想．【教学重点】二面角的定义．【教学难点】找出二面角的平面角．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用．【教学过程】9.3.4 平面与平面垂直【教学目标】1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．【教学重点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．【教学过程】(2) (1)9.4.1 棱柱【教学目标】1．理解并掌握棱柱的有关概念及性质，会计算长方体的对角线长度．2．通过大量的实物及模型，让学生认识空间几何体的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】棱柱的有关概念及性质，长方体对角线的计算公式．【教学难点】棱柱的分类与性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．纵观本节内容，由多面体到棱柱，然后到直棱柱、正棱柱，再到平行六面体和长方体，一直贯穿由一般到特殊的分类思想．教授时，教师结合学生身边的实际物体以及图片，让学生直观理解各个概念及其分类，并设计问题引导学生自己总结出它们的一般性质．最后学习重要的平行六面体和长方体时，推导出它们的两个定理．通过练习，让学生掌握这个重要定理．9.4.2 棱锥【教学目标】1．掌握棱锥的有关概念及性质，并能运用定理解决相应的问题．2．通过实物及模型，让学生认识棱锥的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】理解棱锥的概念及性质．【教学难点】理解棱锥的性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．教师结合学生身边的实物及图片，让学生直观理解棱锥的概念及其分类，总结出棱锥的一般性质．最后由一般到特殊，学习正棱锥的相关知识．【教学过程】9.4.3 直棱柱和正棱锥的侧面积【教学目标】1．理解并掌握直棱柱和正棱锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】用公式求直棱柱和正棱锥的侧面积．【教学难点】用直棱柱和正棱锥的侧面积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题解决的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．【教学过程】9.4.4圆柱、圆锥（二）【教学目标】1．掌握正等测画法，能够画出圆柱、圆锥的直观图．2．通过画直观图的过程，体会由具体到抽象、由立体到平面的转换过程，培养学生的空间想象能力．3．培养学生作图、识图和运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】正等测画法．【教学难点】理解正等测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系．从画水平放置的圆的直观图入手，总结出正等测画法的具体规则．类比棱柱、棱锥直观图的画法，掌握圆柱和圆锥的直观图画法．【教学过程】9.4.4 圆柱、圆锥（一）【教学目标】1．理解并掌握圆柱、圆锥的有关概念及性质，掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】圆柱、圆锥的定义以及性质，圆柱、圆锥的侧面积公式．【教学难点】圆柱、圆锥侧面积公式的运用．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，用旋转的观点定义圆柱、圆锥，在教师问题的引导下推导其性质．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．9.4.5 球【教学目标】1．理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质以及表面积公式．2．能够运用球的表面积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．【教学重点】球的定义、性质以及球的表面积公式．【教学难点】球面距离的理解．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，体会球体动态生成的过程．类比圆的知识，理解球的定义及其性质．然后结合地球仪上的经线和纬线，理解大圆与小圆的知识．识记球的表面积公式，并能应用公式解决相应的问题．【教学过程】9.4.6多面体与旋转体的体积(二)【教学目标】1．理解并掌握锥体的体积公式，掌握球的体积公式．2．会用体积公式解决相关问题，培养学生应用公式运算的能力．3．通过教学，培养学生的数学应用意识．【教学重点】掌握锥体的体积公式．【教学难点】运用锥体和球体的体积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用讲练结合法．教师引导学生探究三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系，得到椎体体积公式，教材直接给出球体的体积公式，讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．【教学过程】9.4.6 多面体与旋转体的体积(一)【教学目标】1．理解祖暅原理，掌握柱体的体积公式．2．会用柱体的体积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，培养学生的数学应用意识．【教学重点】柱体的体积公式．【教学难点】用柱体的体积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物操作，让学生理解祖暅原理，在此基础上由长方体的体积公式推导一般棱柱、圆柱的体积公式，然后讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．。
第九章立体几何教案(16)
三垂线定理（2）教学目的：知识目标：．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容； 能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用。
能力目标：1．初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律．2．擅长在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．3．进一步培育学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力．德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想． 教学重点：三垂线定理及其逆定理的应用规律．教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题和解决问题的能力的培育. 讲课类型：新讲课 教学模式：讲练结合教 具：多媒体、实物投影仪 教学进程： 一、温习引入：一、上节课咱们学习了三垂线定理及其逆定理，请一个同窗来叙述一下定理的内容．（学生回答时，教师画出图形，板书如下：） 并指出：a 必需在平面α内，但不必然通过点O ．师：从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线和直线垂直的重要命题，在论证直线和直线垂直的问题中，咱们常常常利用到它们．这节课，咱们就来学习它们的应用． 2．三垂线定理及其逆定理的内容； 3．练习：已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． 二、讲解新课：例1 Rt △ABC 在平面α内，∠C ＝90°，AC ＝16，P 为α外一点，PA ＝PB ＝PC ，若是P 到BC 的距离为17，求点P 到平面α的距离．分析：求点到平面的距离，点到直线的距离，需要先作出那个距离，然后在适当的三角形中解那个三角形，本题关键的问题是肯定点P 在平面a 内射影O 的具体位置和直角三角形的外心性质．解：作PO ⊥平面α，∵ PA ＝PB ＝PC ，∴ OA ＝OB ＝OC∴ O 为Rt △ABC 的外心．取BC 中点D ，连结PD 、OD ．则OD 是△ABC 中位线．由三垂线定理知PD ⊥BC ，即PD ＝17，在Rt △ABC 中，OP ＝ DCBAD 1C 1B 1A 1说明：那个例题通过三垂线定理证明直线与直线垂直，从而取得点到直线的距离，利用勾股定理解直角三角形是这种问题的常常利用方式．教师引导学生看书，并讲解讲义例题：（讲义例2）道旁有一条河，彼岸有电塔AB ，高15m ，只有测角器和皮尺作测量工具，可否求出电塔顶与道路的距离？例2 如图1-96，在正方体AC1中，求证：（1）AC1⊥A1D ．（2）AC1⊥平面A1BD ．分析：本例关键在于引导学生观察图形转变时，如何正确运用三垂线定理．事实上，要证明AC1⊥A1D ，知足的射影所在平面是竖直位置的平面DA1，垂线是C1D1，斜线是AC1，射影是AD1．应当克服思维定势给证题带来的消极影响．教学时，教师先写出第（1）小题的题目，让学生试探，并画出图形，写出证法要点，教师作个别指点．然后，让一个学生板演，教师讲评．接着教师再写出第（2）小题的题目，让全部同窗观察、试探．例3 点P 为平面ABC 外一点，PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，求证：PB ⊥AC ．例4 长方体ABCD-A1B1C1D1中，P 、O 、R 别离是AA1、BB1、BC 上的点，PQ ∥AB ，C1Q ⊥PR ．求证：D1Q ⊥QR ．分析：PQ ∥AB 提供的结论是PQ ⊥平面BB1C1C ，又因为C1Q ⊥PR ，在平面BB1C1C 上，利用三垂线逆定理，就可以够取得RQ ⊥QC1；又因为D1Q 在平面BB1C1C 上的射影是QC1，再在那个平面上利用三垂线定理，就可以够取得结论．证明：∵PQ ∥AB ，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，得PQ ⊥平面BB1C1C ，PR 是平面BB1C1C 的斜线，RQ 是斜线PR 在平面BB1C1C 上∴RQ ⊥QC1．又∵D1C1⊥平面BB1C1C ，D1Q 是平面BB1C1C 的斜线，QC1是∴D1Q ⊥QR ．说明：本题运用了三垂线定理及其逆定理，探讨了直线与直线垂直关系的转换，图形中直线位置关系较为复杂，而且射影面也超级规位置，学生可能无法轻易看出，教师应当适当引导．例5．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥， ∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影， ∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影 ∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心。
立体视觉与立体量测
像对立体观察的效果
正立体
• 指观察立体像对时形成的与实地景 物起伏（远近）相一致的立体感觉
像对立体观察的效果
反立体
• 指观察立体像对时形成的与实地景 物起伏（远近）相反的立体感觉
像对立体观察的效果
零立体
• 像对立体观察中形成的原景物起伏（远近）消失了 的一种效应
• 将立体像对的两张像片各旋转90度，使同名像点的 连线都相等，且原左右视差方向改变为与眼基线垂 直所得到的结果
• 这样就保证了左边相机拍摄的东西只能 进入左眼，右边相机拍摄到的东西只能 进入右眼
• 偏振光法可用于彩色影像的立体观察， 获得彩色的立体视模型
立体观察
4、光闸法
立体观察
5、液晶闪闭法
• 通过红外发生器和液晶眼镜来实现红外 发生器一端与显卡相连，图像显示软件 按一定频率交替显示左右影像，红外发 生器同步发射红外线，控制液晶眼镜的 左右镜片交替闪闭，达到分像的目的
• 这时所有同名像点的生理视差都为0，故消失了远 近的感觉
第三部分
像对的立体量测
像对的立体量测
摄影测量中
• 不仅需要用像对进行，建立立体模 型，还要对立体模型进行量测
摄影测量
• 采用像对的立体，观察方法，以浮 游测标切准视模型点作为量测手段
S1
S2
a1
T
T a2
A2 A1 A1
立体像对量测谢谢观看Fra bibliotek人眼的结构
立体视觉
1、双眼观察的天然立体视觉
• 用单眼观察景物时，使人感觉到的 仅是景物的中心构像，好像一张像 片一样，得不到景物的立体构像， 不能正确判断景物的远近
人眼的天然立体视觉
用双眼观察景物，才能判断景物 的远近，得到景物的立体效应
第9章 三维建模
9.2.3 视觉样式
视觉样式用于改变模型在视口中的显示外观，它是一组控制模型显示方 式的设置，这些设置包括面设置、环境设置及边设置等。面设置控制视口中 面的外观，环境设置控制阴影和背景，边设置控制如何显示边。当选中一种 视觉样式时，AutoCAD在视口中按样式规定的形式显示模型。
AutoCAD提供了以下5种默认视觉样式，可在【视图】面板的【视觉样 式】下拉列表中进行选择，如下图所示。
三、水平椭圆形光标 当把鼠标光标移动到左、右小圆的位置时，其形状就变为水平椭圆。单击 并拖动鼠标就使视图绕着一个铅垂轴线转动，此旋转轴线经过辅助圆心。
四、竖直椭圆形光标 将鼠标光标移动到上、下两个小圆的位置时，鼠标光标就变为该形状。单 击并拖动鼠标将使视图绕着一个水平轴线转动，此旋转轴线经过辅助圆心。
当用户想观察整个模型的部分对象时，应先选择这些对象，然后启动 3DFORBIT命令。此时，仅所选对象显示在屏幕上。若其没有处在动态观察 器的大圆内，就单击鼠标右键，选取【范围缩放】选项。
3DFORBIT命令启动后，AutoCAD窗口中就出现一个大圆和4个均布的小 圆，如下图所示。当鼠标光标移至圆的不同位置时，其形状将发生变化，不 同形状的鼠标光标表明了当前视图的旋转方向。
当3DFORBIT命令激活时，单击鼠标右键，弹出快捷菜单，如下图所示。
此菜单中常用选项的功能如下。 【其他导航模式】：对三维视图执行平移和缩放等操作。 【缩放窗口】：用矩形窗口选择要缩放的区域。 【范围缩放】：将所有3D对象构成的视图缩放到图形窗口的大小。 【缩放上一个】：动态旋转模型后再回到旋转前的状态。 【平行模式】：激活平行投影模式。 【透视模式】：激活透视投影模式，透视图与眼睛观察到的图像极为接近。 【重置视图】：将当前的视图恢复到激活3DORBIT命令时的视图。 【预设视图】：该选项提供了常用的标准视图，如前视图、左视图等。 【视觉样式】：提供了以下的模型显示方式。 【三维隐藏】：用三维线框表示模型并隐藏不可见线条。 【三维线框】：用直线和曲线表示模型。 【概念】：着色对象，效果缺乏真实感，但可以清晰地显示模型细节。 【真实】：对模型表面进行着色，显示已附着于对象的材质。
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场景点P在视图π中的投影点为像素点p，则在视图 π’ 中的投影点p’必定满足双目几何约束： ◦ 必定位于图像平面π’ 与OPO’平面的交线上。
极线极线约束：•对极应平点面 必定在极极线线上！
极点
基线
极点
像素点p和p’是场景点P在两视图上的投影。 像素点p和p’称为对应点或匹配点。
PPlr
R l Pl R r Pr
校正目标：T B,0,0
Pl Pr
Rl1Pl Rr1Pr
Pr Pl T
即： Rr1Pr R Rl1Pl T Pr RrRRl1P RrRT
可得
R
r
RR
1 l
I
Rr
RlR 1
由于R为正交矩阵，有 Rr RlR
Stereo pairs before rectification Stereo pairs after rectification
Unrectified Rectified
平行光轴的双目立体视觉
z B f
仅为特征搜索对应点，构建稀疏的视差图. 匹配基元为特征。
以基准图的待匹配点为中心创建一个窗口，以在对准图中 对应外极线上某一像素点为中心创建同样大小的滑动窗口 ，窗口内相邻像素的亮度值分布来表征中心像素。
比较对准图中每个滑动窗口内容与基准图参考窗口内容的
相似程度。
Search Range
◦ 变换后的对应极线处于同一 水平线（共线）。
校正的目的：
◦ 输入图像通过透视变换使得 外极线水平，且共线。
◦ 畸变校正，使得成像过程符
合小孔成像模型。
Yl pl Xl
Zl
Ol T
P
Pl
Pr
pr Yr Zr
Or Xr
校正步骤： ◦ 将左右图像平面都投影到平行于基线的公共平面。 ◦ 图像行像素重采样。 ◦ 最小化图像畸变。
平行光轴立体视觉系统 ◦ 短基线
较大的公共视野区域 深度误差（不确定区域）较大
平行光轴立体视觉系统 ◦ 短基线
较大的公共视野区域 深度误差（不确定区域）较大
◦ 长基线
公共视野区域较小 深度误差（不确定区域）较小
平行光轴立体视觉系统 ◦ 短基线
较大的公共视野区域
The Visual Cliff, by William Vandivert, 1960
阴影 纹理 遮挡
From The Art of Photography, Canon
阴影 纹理 遮挡 运动
阴影 纹理 遮挡 运动 模糊
阴影 纹理 遮挡 运动 模糊
Brain
Left 2D Image
Right 2D Image
3D View
/user/jimg/stereo/stereo_list.html
左、右图像提供了怎样的深度线索？
Brain
采用一对像机代替人眼
Left 2D Image
Right 2D Image
统计匹配窗口内像素亮度值小于中 心像素的个数。
Census：
CCensus
HAMMING
I
l
u,
v
,
I
R
u
d
,
v
u ,v Wp
I
k
u问,v题 B：ITSRTARINNKG和m,nCWpenIksum,sn区 别Ik ？u,v
是将匹配窗口内像素按一定顺序映射为二进制位串，如 像素亮度值大于中心像素则映射为1，反之为0。然后比 较左、右匹配窗口二进制位串的汉明距离。
X
d
问题：如何确定d 对x应 x像 素点？
z
x
x’
f
f
C
B
C’
还有问题吗？பைடு நூலகம்
立体匹配的过程：为左图像的每个像素点(xl, yl)， 在右图像中搜索对应点。
LEFT IMAGE
(xl, yl)
问题：在右图像中如何搜索？
极线约束的意义： ◦ 将对应点搜索由原来的二维平面上搜索变为在极 线上的一维搜索。
Il (u, v) Ir (u d, v)2
u ,v Wp
Left scanline
Right
SSD
归一化互相关(Normalized Cross-Correlation, NCC)
Il (u, v) Ir (u d, v)
CNCC
u ,v Wp
Il2 (u, v)
P
P
Left epipolar line
Right epipolar line
对于已校正的双目立体图像对，则在扫描线上搜索。
问题：Left采用哪种相似性测Rig度ht ？
scanline
Matching cost
disparity
常用的相似性测度包括： ◦ 距离测度：L1距离、L2距离、... ◦ 相关系数：NCC、ZNCC ◦ 非参数化测度：RANK、Census
常用的匹配基元： ◦ 像素
单个像素存在相似性歧义 需结合一行或整幅图像的所有像素同时完成匹配
◦ 局部窗口区域
具有较好的局部独特性 隐含假定：窗口内所有像素应能表征中心像素
◦ 特征
具有较好的独特性 稀疏且不均匀分布
根据立体匹配过程中涉及的像素范围，可分为： ◦ 局部立体匹配
◦ 长 12深基、 、度线基基误差线线（或或可不聚聚确以定散 散得区度 度到域增 影的）加 响较结大导 三论致 维是视 重？野 建范的围精减度少
公共视野区域较小 深度误差（不确定区域）较小
会聚光轴立体视觉系统
◦ 会聚角度为θ ◦ 公共视野区域大
会聚立体视觉系统能否利 用之前的推导结果？
pr Yr
Zr fr Or
Xr
场景点P在左右图像平面上投 影pl=(xl , yl , zl), pr=(xr , yr , xr)。
◦ 对于所有的像素点有 zl = fl ; zr= fr
pl pr
fl Zl fr Zr
Pl Pr
同时旋转左右像机使得它们 具有相同的X轴。
u ,v Wp
u ,v Wp
Left scanline
Right
NCC
RANK：
CRank
Il
u,
v
I
r
(u
d
,
v)
u ,v W p
Ik u, v Ik m, n Ik u, v m , n W p
Ik u,v
R, T
Xr
pr Yr
fr Or
P
符号定义：
Pl
Pr
场景点P在左右像机坐标系下
的坐标为 Pl = (Xl , Yl , Zl), Pr =
(Xr , Yr , Zr)。
外部参数
pl
Yl
◦ 平移矢量 T=(Or - Ol) ◦ 旋转矩阵 R
Xl
fl
Ol
Zl
Pr = R(Pl - T)
R, T
定义左像机的旋转矩阵为
Rrect。 右像机旋转矩阵为 RRrreecctRtR'' ？
立体图像校正后
T B,0,0
Pr Pl T
Yl pl Xl
Zl
Ol T
P
Pl
Pr
pr Yr Zr
Or Xr
由立体图像标定有， Pr R Pl T
立体图像校正后，有
[Zhang and Loop, MSR-TR-99-21]
立体视觉系统的参数 （由双目像机标定获得）
◦ 内部参数
P
对于每个像机，其图像
坐标系与像机坐标系间 的关系。
Pl
Pr
焦距、光心、畸变系数
◦ 外部参数
pl
Y
l
两像机间的相对位置和 Xl
Zl fl
Zr
方向。
Ol
旋转矩阵R和平移矢量T
x 思考z ：该x’视差公式隐含了什么d 条 x件 ？x
f
f
C
B
C’
z B f d
d = x - x' 称为视差
通常的立体视觉系统（包括人类视觉系统）都是采 用会聚方式。
uncertainty of scenepoint
field of view of stereo
one pixel Optical axes of the two cameras need not be parallel
其他线索 高光 轮廓 对焦 ...
Shape From X X = 阴影、纹理、遮挡、运动、 ...
Two is better than one ?
红蓝眼镜 偏振光眼镜
快门眼镜
LG Optimus 3D
Human-Eye Separation(~6.5cm)
通常以基于局部窗口的立体匹配方法为主。 匹配基元：局部窗口
◦ 全局立体匹配
匹配过程中，求解一行或整幅图像中所有像素的相 似测度和最大/最小。
匹配基元：像素
根据立体匹配过程中采用的匹配基元，可分为： ◦ 致密匹配
搜索每个像素的对应点，构建致密视差图 匹配基元为像素
◦ 稀疏匹配
问题：视差图灰度级代表的含义？
基线（Baseline）： 连接像机中心的直线 极点（ Epipole ）：基线与图像平面的交点 极平面（Epipolar plane）：基线和场景点组成的平面 极线（Epipolar line）：极平面与图像平面的交线