二次根式章末总结
第十六章二次根式知识点总结大全
【知识回顾】 :L 二次根式：式子巫（dMO ）叫做二次根式。
2•最简二次根式：必须同时满足下列条件:⑴被开方数中丕含开方开的恳曲因敷或因击⑵被开方数中丕含分母；⑶分母中丕含根式。
M 同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4•二次根式的性质:a («>0)(a VO)5•二次根式的运算:（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术 平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式, 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法.二次根式相乘（除）.将被开方数相乘（除〉,所得的积（商）仍 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.•Jah = \[a • ylb (a>0, b>0)；、匡(b>0, a>0).V« yfa贞曲内容（1）（奶）咗a （d 鼻0）；(2) = |t/| = 0 ( fl =0)；（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式 的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典«钩题】 例1.下列各式—,2)*7—5,3) — \/x~ + 2,4)\/4,5)^(——)^,6)^/1 — a ,7)J/ 1)-2。
+1例2、求下列二次根式中字母的取值范围⑴心右⑵7^最简二次根式是()A. 1) 2) B, 3) 4) C. 1) 3) D. 1) 4)尸匸衣+丽I+_L,求代数农k+2：+2 k+2L 测值。
例4、已知： 2 W X tv XA. a>b B, a<b C ・ a>b D ・ a<b其中是二次根式的是（填序号）■ 例3、在根式U JX+沪, xy;4dTlabc , 例5.已知数a, b ＞若=b-a,则（）2、二次根式的化简与计算例1.将Q JZI根号外的a移到根号内，得e )A・坨；B.-仁；C.-石；D.罷例2.把(a-b)、/一古化成最简二次根式- (3-72 - 273)(372 + 2历) 例3.计算：9 ■ 1例4、先化简，再求值:」一+ 丄 + —-—,其中a=G+l, b=^~' a + b b a(a + b) 2 2例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简:4.比较数值(1)>根式变形法当方>0时，①如果JiliJ^/rt >^/h ；②如果“<方，贝!1苗<亦。
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
2019-2020人教版八年级数学下册第十六章二次根式章末复习课件(共59张)
相关题 4 当 t 取何值时,
35t-3-5 的值最小？最小值是多少？
3
3
解：∵ 5t－3≥0，∴当5t－3＝0，即 t＝5 时，
最小值是－5.
3 5t－3－5 的值最小，
第十六章 二次根式
专题三 二次根式的混合运算
【要点指导】 进行二次根式的混合运算时, (1)先将二次根式进行适当的化简；(2)二次
第十六章 二次根式
专题五 二次根式的化简
【要点指导】
灵活应用二次根式的性质和公式：( a)2=a(a≥0), a2 =|a|, a·b =
a· b (a≥0, b≥0),
ab=
a b
(a≥0, b>0), 可以将复杂的二次根式进
行化简, 从而帮助我们解决问题.
第十六章 二次根式
例 7 实数 a, b 在数轴上对应点的位置如图 16-Z-1 所示, 则
第十六章 二次根式
(2)比较 5+ 13与 7+ 11的大小
分析 先求出两个式子的平方, 再比较这两个式子的平方的大小.
解：( 5+ 13)2=18+2 65, ( 7+ 11)2=18+2 77. ∵65<77,∴ 65< 77,∴18+2 65<18+2 77, 即( 5+ 13)2<( 7+ 11)2. 又∵ 5+ 13>0, 7+ 11>0, ∴ 5+ 13< 7+ 11.
a ≥0（ a≥0 ）
a =a（ a≥0 ）
a2
=|a|=
a(a≥0)， －a(a＜0)
当a≥0时，( a)2= a2
九年级数学二次根式复习总结知识点分析
二次根式复习总结★本章知识脉络★本章专题归纳专题一、有关二次根式的概念问题例1、ba,a b 应满足（ ） A 、0,0a b >> B 、,a b 同号 C 、0,0a b >≥ D 、0ba≥ 思维点击：b a 0ba≥，这里包含,a b 同号或0,0.a b ≠⎧⎨=⎩因A 、C 缺少,a b 同负的情况，所以是错误的，而在B 中缺分子0b =0有意义，也叫二次根式），所以也是错误的.答案：D.温馨提示：考虑问题要全面，不要漏解. 专题二、二次根式的性质的应用例2、若1a b -+()2008a b -=____________.思维点击：因为1a b -+即1a b -++0=，又1a b -+与都是非负数，所以由非负数性质可知10,240,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2, 1.a b =-=-故()()()()200820082008211 1.a b -=---=-=⎡⎤⎣⎦答案：1.解后反思：利用绝对值与二次根式的非负性确定,a b 的值是解题关键所在. 例3、化简4412322x x x -+--()得（ ）。
A. 2B. -+44xC. -2D. 44x -思维点击：因为230x -≥，x x x ≥-=-3223232,()， 所以21044121212x x x x x ->-+=-=-，|| 答案：A.温馨提示：本题主要应用二次根式的性质：（1）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()。
（2）()()a a a 20=≥。
正确应用二次根式的性质是解决本题的关键。
专题三、分母有理化例4、把下列各式化去分母中的根号 （1）32 （2）7324- （3）245思维点击：解决这类题有两种解题思路：一是利用二次根式的除法法则把厨房变为商的算术平方根的形式，而后利用分式的基本性质把分母变为能开得尽方的形式，然后化简；另一个考虑办法是直接利用分式的基本性质，把分子、分母都直接乘以一个适当的二次根式，使分母中的二次根式变为一个二次根式的平方的形式，利用2a =的性质将分母中的根号化去.下面我们利用第二种解题思路进行化简.解：（1）23233363=⨯⨯=（2）211447737247324-=⨯⨯-=- （3）123066265625245=⨯⨯== 温馨提示：这种把分母中根号化去的方法，叫做分母有理化，分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质()20a a =≥，一般地，))20,0.a b aba b b ==≥>要注意在进行分母有理化时，应先把分子、分母中的二次根式化简，把能开得尽方的因式（数）都移到根号外，若分子、分母有公因式，也可以先约分，再分母有理化.例5、化简：12233-+ =___________思维点击：，可分子、分母都乘以2=，2可以提到根号外面.231-=--33.=-+=- 答案：3-.规律总结：分母是形如可使分母不带根号；分母是形如n b 的式子，构成平方差公式，也可使分母不带根号.专题四、二次根式的大小比较例6、不求方根的值，比较下列各组数的大小：（1）（2）-和-思维点击：对于二次根式，有下面的结论：若0,0a b >>，则a b >时，>比较两个二次根式的大小时，常通过比较它们的被开方数的大小来判定.解：（1）==，.∵128>126，∴>（2）===∵294252>，∴>，∴->-例7、.思维点击：本题两数均为正数，我们可以比较它们的平方的大小.解：∵221313=+=+又∵1313+<+，∴22<.0>0>，<点评：平方法比较数的大小的依据是：若0,0a b >>，当22a b >时，a b >；当22a b =时，a b =；当22a b <时，a b <.专题五、二次根式的运算二次根式的混合运算是根据实数运算律，注意先算乘方，后算乘除，最后算加减；如果有扩好就先算括号里面的.例8、（2007某某）下列计算错误．．的是( )==． (D)3=．思维点击：本题考查二次根式的运算。
二次根式知识点总结大全
第二十一章二次根式【知识要点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-． 例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。
新人教版八年级下册数学期末知识点复习提纲
八年级数学下册知识点总结第十六章 二次根式1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。
2.二次根式有意义的条件: 大于或等于0。
3.二次根式的双重非负性:a :①0≥a ,②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ;②0≥a ；③02≥a４.最简二次根式：必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5.同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
６.二次根式的性质:（1）（a ）2=a (a ≥0); (２)==a a 2 7.二次根式的运算:(１）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除），将被开方数相乘（除）,所得的积(商）仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=·(ａ≥0，b ≥０);（b ≥0,ａ>0)． （3)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式１）， 其中是二次根式的是___＿___＿_(填序号)．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315； （２)22)-(xab a b b ba a=22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+（＞0）（＜0）0 （=0）；例3、 在根式１） ，最简二次根式是（ ) A.1） 2) B ．３) 4) C.1） 3) D.１） 4) 例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x xy y x x x y例5、 (20０9龙岩）已知数a ，b ，若＝b －a,则 ( )A. a ＞bB. a ＜bC. a≥bD. ａ≤b ２、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的ａ移到根号内，得 ( ) Ａ．； B. －; C ． －; D.例2. 把(ａ-b)错误!未定义书签。
专题1.1 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.1 二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1 二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y ≤0），和（a ＜0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4【考点2 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3【考点3 利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1B．C．﹣D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）【考点4 利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1））（）（02≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==）（）（）（00002a a a a a a a【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）A ．a ﹣b +3B ．a +b ﹣1C ．﹣a ﹣b +1D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2aB ．1﹣2aC ．2a ﹣1D ．2a ﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣的正确结果是（ ）A ．2b ﹣cB ．2b +cC ．2a +cD ．﹣2a ﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣等于（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2xD ．2x【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=⋅b a ab b a（2）），（00>≥=b a b aba 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a ＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7 二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8 二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9 分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10 二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数a n可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间a n﹣1，a n，a n+1存在以下关系：a n+1﹣a n＝a n﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．。
初二数学下册(人教版)第十六章二次根式16.2-16.3知识点总结含同步练习及答案
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③ 将原有无理数的分子化为有理数的过程，也就是将分子中的根号化去，叫做分子有理化．
1 ⋅ (√2 − √5 ) 1 1 ⋅ √3 1 √3 √5 − √2 = = , = = ; 3 √2 + √5 3 (√2 + √5 ) ⋅ (√2 − √5 ) √3 √3 ⋅ √3 (√2 − √3 )(√2 + √3 ) √2 − √3 = 1 ． √3 − √2
B．减号 C．乘号 D．除号
2. 在算式 (− A．加号
答案： D 解析：
)
当填入加号时，(− 当填入减号时，(−
2√3 √3 √3 ； ) + (− )=− 3 3 3 √3 √3 ) − (− ) = 0； 3 3 ) ( )
(
当填入乘号时，(− 当填入除号时，(−
(
1 √3 √3 ) × (− )= ； 3 3 3 √3 √3 ) ÷ (− ) = 1． 3 3
− − − ，则下列表示正确的是 ( 4. 设 √2 = a ， √3 = b ，用含 a ， b 的式子表示 √− 0.54
A．0.3ab
答案： A 解析：
B．3ab
C．0.1ab 2
D．0.1a2 b
− − − = √− − − − − − − − − − − − × √2 × √3 = 0.3 × √2 ×√3 = 0.3ab ．故选 A． √− 0.54 0.09 × 2− × 3 = √− 0.09
化简 √a3 （a > 0）． − − 解：√a3 = ∣a∣√a = a√a ． 化简 √(a − b)2 + a （a < b）．
− − −− − 3 1 − + √− −) + (√3 − √5 )；（4） ÷ √ ；（3） (√− 12 20 2 18
最新人教版八年级数学下册第16章知识点总结【全文】
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本单元的主要内容是人教版八年级数学下册第16章知识点，包括二次根式、二次根式的乘除、二次根式的加减三部分内容，希望对大家有帮助！
一、二次根式
I.二次根式的定义和概念
1、定义：一般地，形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。
当a>0时，√a表示a的算数平方根,√0=0
2、概念：式子√ā(a≥0)叫二次根式。
√ā(a≥0)是一个非负数。
II.二次根式√ā的简单性质和几何意义
1)a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]
2)(√ā)^2=a (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的间隔，即勾股定理推论。
二、二次根式的乘除
1.积的算数平方根的性质
列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)
2. 乘法法那么
列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)
二次根式的乘法运算法那么，用语言表达为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
三、二次根式的加减
知识点1：同类二次根式
(Ⅰ)几个二次根式化成最简二次根式以后，假设被开方数一样，这几个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。
(Ⅱ)判断同类二次根式的方法：
(1)首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否一样。
(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
人教版八年级数学下册第16章知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，获得优异的成绩。
人教版八年级二次根式知识点总结课件
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
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第十五章二次根式章末总结
【学习目标】
1、使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子。
2、熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算。
【重点难点】
重点：含二次根式的式子的混合运算。
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子。
【课标要求】
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
【使用说明】
1、通读教材，红笔勾画重点知识。
（可参读教辅材料）
2、认真完成导学案，找出自己的疑惑和需要讨论的问题。
3、完成时间35分钟。
Ⅰ.预习见疑
一、概念：
1、一般地，我们把形如_________的式子叫做二次根式。
2、一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫做最简二次根式。
（1）被开方数的因数是________，因式是________；
（2）被开方数中不含_________的因数或因式。
3、把分母中的二次根式化去，叫做_________。
二、性质：
1、二次根式的双重非负性，即当a____0时，a____0。
2、2 （a）。
a=_______
3、2
4、积的算术平方根等于积中各因式的________的积，即_________。
5、商的算术平方根等于被除数的_______与除数的_______的商，即_________。
三、法则：
1、二次根式相乘，把________相乘，根指数不变，即__________________。
2、二次根式相除，就是把________相除，根指数不变，即__________________。
3、二次根式的加减运算，其实就是将________的项进行合并，为此，首先应将每个二次根式化为________，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行_________。
4、二次根式的混合运算与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，也应先算_______，后算_______，有括号时，先算_______。
Ⅱ. 质询研讨
知识点一：基本概念
1、请你指出下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？说明理由。
（1）5- （2）12+x （3）9 （4）364
2、请你指出下列各式中，哪些是最简二次根式？说明理由。
（1）45 （2）x y （3）92+a （4）3
2x
3、把下列各式分母有理化
（1）33
（2）522
（3）351
-
规律总结：
知识点二：二次根式的性质
1、求下列二次根式中x 的取值范围？
（1）12-x （2）32+x （3）
5
2-x
2、若a a —=2，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）
A 原点左侧
B 原点右侧
C 原点或原点左侧
D 原点或原点右侧
3、已知011=+++-b a a ，则b a =___________
知识点三、运算
1、（1）6.34.0⨯
（2）32218—+
2、（1）()()32533253—+
（2）2411321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛—
Ⅲ. 巩固深化
1、化简
（1）48 （2）5.0 （3）
59
2、计算：
（1）30155⨯÷ （2）()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷+8123250—
3、()23π-=___________
4、当311-=x ，311+=y 时，求代数式
x y y x +的值。
拓展提升：小明的母亲要过生日了，为了表示对母亲的敬意，小明画了两张大小不同的正方形画送给母亲，其中一张面积为8002cm ，另一张面积为4502
cm ，他想如果再用彩带把画给镶上边会更漂亮，他现在有 1.2m 长的彩带，请你帮忙算一算，他的彩带够用吗？如果不够，还需买多长的彩带？（414.12≈，结果保留整数）。