罗尔定理在函数零点问题中的应用(可编辑)
罗尔中值定理的代数意义在解题中的应用
罗尔中值定理的代数意义在解题中的应用
正罗尔中值定理是数学中一个重要的定理，它对寻找函数的最大和最小值非常重要。
它声称，如果一条弧线函数上存在三个点，那么这三个点处曲线的切线和x轴之间的夹角中，两个夹角之和等于180度。
此外，它还指出如果一个函数在某个点取最大值或最小值，那么在这个点处曲线斜率等于零。
在解题中，正罗尔中值定理可以用来有效地找出函数的极大值或极小值。
假设给定一个给定的函数，如果我们想要找出在该函数上的最大值和最小值，那么我们可以构造一个含有三个参数的解析方程，求出三个参数的值，使得曲线在这三个点处的斜率等于零，这样的话，就可以得出曲线的极大值或极小值。
正罗尔中值定理在解题中有着极为重要的作用，它可以让我们有效地找出函数上极大值或极小值所在，这有助于我们解决定积分、最优化和其他函数极值问题。
所以，正罗尔中值定理在解题中扮演着非常重要的作用。
零点定理,积分中值定理,罗尔定理,拉格朗日,介值定理
零点定理,积分中值定理,罗尔定理,拉格朗日,介值定理在数学中，有几个重要的定理可以帮助我们更深入地理解函数和曲线的性质。
这些定理包括零点定理、积分中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理和介值定理。
首先，让我们来看看零点定理。
它告诉我们，如果一个函数在某个区间内连续，并且在这个区间的两个端点的函数值符号不同，那么在这个区间内，这个函数至少有一个零点。
这个定理对于解决一些数学问题非常有用，比如寻找一个函数的根或计算函数的拐点。
接下来，我们来看看积分中值定理。
它告诉我们，如果一个函数在某个区间内连续，那么在这个区间内，这个函数的积分一定等于该函数在该区间内某点的函数值与积分区间两端点的函数值之差的乘积。
这个定理在计算定积分的时候非常有用。
接着，我们来看看罗尔定理。
这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内连续，并且在这个区间的两个端点的函数值相等，那么在这个区间内，这个函数至少有一个极值点。
这个定理在求解一些函数的导数和极值点时非常有用。
再来，我们来看看拉格朗日定理。
这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内连续并且可导，那么在这个区间内，这个函数在两个不同的点之间至少有一个点，其导数等于该函数在两个端点的函数值之差与两个点之差的商。
这个定理在求解一些函数的导数和曲线斜率时非常有用。
最后，我们来看看介值定理。
这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内连续，并且在该区间两个端点的函数值不同，那么在这个区间内，这个函数取到从该区间的最小函数值到最大函数值之间的任何值。
这个定理在求解一些函数的最大值和最小值时非常有用。
总的来说，这些数学定理都可以用来帮助我们更好地理解函数、曲线和导数的性质。
通过学习这些定理，我们可以更深入地了解数学的本质，而这些定理也可以帮助我们在数学问题中找到解决方案。
01第一讲 罗尔定理
所以 p′( x0 ) = 0, 矛盾.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
(ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f (a) = f (b).
那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点ξ, 使 f ′(ξ ) = 0.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
罗罗尔尔定定理理与与拉拉格格朗朗日日定定理理
函数单调性的判别
得到 f 在该区间上的
整体性质.
一、罗尔定理与拉格朗 日定理
二、函数单调性的判别
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
罗尔定理
罗罗尔尔定定理理与与拉拉格格朗朗日日定定理理
函数单调性的判别
定理6.1（罗尔中值定理）
设函数 f ( x)在区间[a,b]上满足：
(i) 在闭区间 [a, b] 上连续;
设函数 f ( x)在区间[a,b]上满足： (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f (a) = f (b).
则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ, 使 f ′(ξ ) = 0.
证 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续, 所以由连续函数的最大、 最小值定理, f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最 小值 m .下面分两种情形加以讨论.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
罗尔定理,拉格朗日定理
罗尔(Rolle)定理设函数在闭区间上连续，在开区间上可导,且，则在内至少存在一点，使得。
由于在闭区间上连续,则,存在.若,则,内任意一点都可作为.若,则由知与中至少有一个(不妨设为)在区间内某点取到, 即,下面证明.因为在处可导,所以极限存在,因而左、右极限都存在且相等，即，由于是在上的最大值，所以不论或，都有，当时，，因而，当时，，因而，所以，。
拉格朗日定理罗尔定理：拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2).比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。
我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:1.首先分析要证明的等式：我们令 (1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。
由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2)分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。
从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。
该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。
根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。
(∈)=O。
也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论2.考虑函数我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0.作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且 f F 。
根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’从而有结论成立.。
那么1.g在 [a,b] 上连续，2.g在 (a,b) 上可微，3.g(a) = g(b) = 0。
由罗尔定理，存在一点，使得g'(ξ) = 0。
即。
第三章 微分中值定理及其应用
第三章 微分中值定理及其应用3.1 中值定理 3.1.1 费马引理设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。
备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。
3.1.2 罗尔定理设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。
（1）罗尔定理的三个条件缺一不可。
（2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。
（3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。
例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。
证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。
例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()('' b f a f 。
证明：（1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf（2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。
例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i nn ,2,1,,012)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2,0(π内至少有一个实根。
例5：设函数)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又)()(),()(b g b f a g a f ==。
罗尔定理应用技巧
第23卷第5期2020年9月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol23,No.5Sep.,2020doi：10.3969/j.issn.1008-1399.2020.05.009罗尔定理应用技巧吴瑞华，吕川，吕炜(中国石油大学(华东)理学院，山东青岛266555)摘要结合实例给出了在利用罗尔定理时辅助函数的几种构造方法.关键词罗尔定理；辅助函数；导数；积分中图分类号O13文献标识码A文章编号1008-1399(2020)05-0020-02On Skills of Using Rolle9s TheoremWU Ruihua,LV Chuan,and LV Wei(College of Science,China University of Petroleum(East China),Qingdao266555,China)Abstract Inthispaper constructionsofauxiliaryfunctionsforusing Ro l e theorem are presented with examples7Keywords Rolled theorem,auxiliary function,derivative,integral1引言中值定理是高等数学微积分中一个重要的内容,它是连通了函数与其导数之间的桥梁.以中值定理为工具,可以利用导数来研究函数的性态.罗尔定理是最基本的一个中值定理,它是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的特殊情形,利用它可以证明方程根的存在性.学者在这方面已有一些研究,如作者和其合作者在文献［1］中讨论了借助于积分函数来构造辅助函数的方法•文献［2］中给出了关收稿日期：2020-03-01修改日期2020-07-01基金项目：山东省本科高校教学改革面上项目(M2018B367),中国石油大学教改项目(KC—202059,JY—A201803,JY—B201854).作者简介：吴瑞华(1981—),女,山东临沂人,博士,副教授,主要从事微分方程的研究,Email：wu_ruihua@.吕川(1980—)四川蓬安人,博士,讲师，主要从事密码学的研究，Email:lvchuan501@.吕炜(1969—),山东青岛人,副教授,主要从事高校基础数学教学研究Email：lvwei@.于罗尔定理的几点注记,主要强调了应用罗尔中值定理的条件•应用罗尔定理时,最关键的问题是如何构造辅助函数，同时也是一个重点问题.本文分情形归纳几种辅助函数的构造方法•2主要结论情形一直接构造法,也可称为逆推法•根据要证明的结论,观察表达式对应某函数的导数,直接得到辅助函数•下面举例说明•例1设f(")在)冷］上连续,在(0,$)内可导,证明：在(0,手)内至少存在一点$使f'($)sin2$+2f($)cos2$=0.证明要证］f'(")sin2"+2f(")cos2"］工―$=0,即证(f(")sin2")‘"—$=0.故令<(")=f(")sin2",则<(")在［0,手］上连续,在(0,号)内可导，且<(0)=<(2),由罗尔中值定第23卷第5期吴瑞华，吕川，吕炜：罗尔定理应用技巧21理知，至少存在一点$$(0,2)使F($)=0,即f($)sin2$+2f($)cos2$=0.情形二借助于积分上限函数构造辅助函数.由微积分第一基本定理知，连续函数的积分上限函数就是该函数的一个原函数，因此通过取表达式中对应函数的积分上限函数，可以构造辅助函数.例2设f(")在［0,1］上连续，且「f(")d：r@"f(")d"证明：7$$(0,1)使f f(")dz@0.00=0,即证"=$证明要证(<f()dt)f C_u)du)dt］f(u)d u)di,则F(")在［0,1］上0.连续，在(0,)内可导，由分部积分法得F(")=t f(u)d uf()di 0"f(u)d u—tf()dt,00F1)=1$")d"—1"$")d"=0.此00F(0)=F(1)=0.由罗尔中值定理知，至少存在一点$$(0,1)使F'($)=0,即:：f(")dx=0.情形三借助于特殊函数构造辅助函数.当表达式中函数的原函数无法直接求得时，通常需要借函数造函数,明.例3设f(")在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0,为任意常数.证明7$$(a,b)使)f($)+f'($)=0.通过分析发现，表达式)f(")+f(")不能看作某函数的导数，其原函数不能显式地表出.但是注意到函数e"f(")的导函数里面含有f(")+f("),所以借助于乘以指数函数e",可以得到所需的辅助函数.证明要证(f(")+f("))"=$=0,即证明e"(f(")+f("))"=$=0,即证f(")f"=$=0.故令F(")=e"f(")，则F(")在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔中值定理知，至少存在一点$$(a,b)使F'($)=0,即e$［)f($)+f'($)］=0.因尹"0,从而有f($)+ ff$)=0.情形四为满足罗尔中值定理的条件，通过构造所需的两点处的函数值相等来得到辅助函数，下明.例4设f(")在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1)=k<"e1-"f(")d"k〉1),证明至少存在一点$$(0,1),使得f'($)=(1—$t)f($).通过分析发现，函数f(")—(1—"—1)f")的原函数无法直接得到，即无法直接构造辅助函数.而由条件可得f(1)=%e1—%f(%),将等式右端看作是要构造的辅助函数在％点的值，即：F(%)=%e1-%f%)从到函数.证明令F(")="e1—"f("),则F(")在［0,1］连,在$,1)可导,积分中值理f(1)=k|"e1—"f(")dz=k•%e1—%f(%)•k =%e1—%$%),即F(1)=F(%),由罗尔中值定理知，至少存在一点$$(0,1)使F'($)=0,即e1—f($)—$f$+ ff'($)］=0.化简得f($)=(1—$T)f($).3总结本文通过具体的实例，总结了利用罗尔中值定理证明方程根的存在性时，辅助函数的构造方法.借助于例子，浅显易懂，而且还解决了关键问题，相信对教学工作者和学习者都会有很大的帮助.参考文献)］亓健，昊瑞华.罗尔定理应用中的辅助函数构造法［J］.高等数学研究,2011,14(6)：15-16.)］康晓蓉.关于罗尔定理的几点注记［J］.高等数学研究，2015,18(5)：55-56.)］华东师范大学数学系.数学分析：上册［M］.2版.北京：高等教育出版社.)］张天德，蒋晓芸.吉米多维奇高等数学习题精选精解［M］.2版.济南：山东科学技术出版社.。
罗尔定理
x
f sin f cos 0 .
相关例题3
题： 设函数 f x , g x 在 a, b 上连续， 在 a, b 内
可导，且 f a f b 0 ，证明在 a, b 内存在一
点 ，使 f f g 0 ．
在 0, 内可导，且 F 0 F 0 ，故由罗尔
相关例题4
知对任何数 在 0, 0,1 内至少存在一点
点 ，使 F 0 ，即
e
x
f x x
x
e f 1 f 0 ，
1 且 f 0 f 1 0 ， f 1 ，证明：对任何数 2
在 0,1 内至少存在一点 ，使
f f 1 ．
1 解：记 g x f x x ， g x 在 ,1 连续，且 2
x
0，
解题步骤2
亦即
a ． b
常见错误
不会建立恰当的辅助函数，这只有通过较多 的练习后才能逐步掌握．
方法总结
相关例题1
题：设函数 f x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，
且 f 1 0 ，证明在 0,1 内存在一点 ，使
解：取 F x f xe g x ，F x 在 a, b 上连续，在
a, b 内可导，且 F a F b 0 ，由罗尔定理
知在 a, b 内至少存在一点 ，使 F 0 ，即
相关例题3
f xe
g x
x
解：取 F x f x sin x ， F x 在 0, 上连续，
罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用
中值 内可导 定理
f / (ξ ) f (b) f (a) ba
柯西 f (x) 、g(x) ：（1）在[a,b] 上连续，在 (a,b) 至 少 存 在 一 点 ξ (a,b) 使 得
中值
定理 内可导；（2）在 (a,b) 内每点处 g / (x) 0
f / (ξ ) f (b) f (a)
知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程
f (ξ ) g(ξ )
f (b) f (a) g(b) g(a)
，得到的根 ξ 便为所求。
解：∵ f (x) x3 及 g(x) x2 1 在 [1,2] 上连续，在 (1,2) 内可导，且在 (1,2) 内的每一点处有
g(x) 2x 0 ，所以满足柯西中值定理的条件。要使
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：从 f / (ξ ) f (ξ ) 结论出发，变形为 f / (ξ )ξ f (ξ ) 0 ，构造辅助函数使其导函数为 ξ
f / (x)x f (x) ， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
证明：构造辅助函数 F (x) xf (x) ， F (x) f (x) xf (x)
∵ f (x) 在[x1,x2 ] 、[x2 ,x3 ] 、[x3,x4 ] 上连续，在 (x1,x2 ) 、 (x2 ,x3 ) 、 (x3,x4 ) 上可导， 又 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) f (x4 ) 0 ， ∴由罗尔中值定理，至少有一点 ξ1 (x1,x2 ) 、 ξ 2 (x2 ,x3 ) 、 ξ3 (x3,x4 ) 使得 f (ξ1) f (ξ2 ) f (ξ3 ) 0 ，即方程 4a0 x3 3a1x 2 2a2 x a3 0 至少有 3 个实根，又
罗尔定理
由罗尔定理知：（1）可导函数在取得极值点处导数等于零；（2）方程：()0'=的一个根；f xf x=的两根之间至少有方程：()0（3）唯一性证明。
反证法：假设谬论，运用罗尔定理推出矛盾；（4）结论可能需多次运用罗尔定理。
①③⑤⑦⑧⑨⑾⒀⒂ 证明：（1）方程33x x C -+（这里C 为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程n x px q ++（其中n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多 有两个实根，当n 为奇数时至多有三个实根．证明：（1）反证法。
设()f x 有两个不同的实根 1212,[0,1],x x x x ∈<，而()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内 可导，12()()f x f x =，则存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使：'()0f ξ=。
由于2'()33'()01f x x f x x =-⇒=⇒=±， 而1x =±都不在(0,1)内，即不可能存在12(,)[0,1]x x ξ∈⊂，使'()0f ξ=，矛盾。
（2）3n ≤结论成立，用反证法证明4n ≥情形。
2n k =：设方程有三个实根 123123,,,()x x x x x x <<，函数()f x 在12[,]x x 与23[,]x x 上分别满足罗尔定理。
故存在112223(,),(,)x x x x ξξ∈∈使12'()'()0f f ξξ==212'()2,'()0k f x kx p f x x -=+=⇒=12'()'()0f f ξξ==矛盾。
21n k =+：设方程有四个实根 12341234,,,,()x x x x x x x x <<<，函数()f x 在12[,]x x ，23[,]x x ，34[,]x x 上分别满足罗尔定理。
任意区间上连续函数的罗尔定理
任意区间上连续函数的罗尔定理Rolle定理（Rolle's Theorem）是泰勒二阶展开的重要单元，也是中学微积分里极值问题的典型例子。
它由法国数学家特里斯瓦・罗尔（特里斯朗·罗尔，特里斯朗·罗爾）开始提出，并由拉格朗日从另一个角度定义。
该定理被定义为任意区间上连续函数，如果在该区间上满足某种条件，则定理可以成立。
其中，著名的Rolle定理表明：如果一个连续函数在区间[a, b]上满足f（a）=f（b），且该函数在该区间上是可导的，则该函数在区间[a,b]上存在某一个点c，使f'（c）=0。
Rolle定理可以通俗的理解为：在满足特定条件的连续函数中，在起始点和终止点处具有相同值，则函数中必定存在恒等式零点，使其导数为零。
罗尔定理在高等数学中具有极其重要的意义，它是函数最值问题的基本解决思路，例如它可以用来解决解析函数的单调性和极值问题，也具有重要的实际应用意义。
目前网上很多数学解释都从物理和几何的角度进行说明，但实际上Rolle定理最直观的解释是通过推导无穷小推导出来的，并通过求导计算找出最值的极限值。
Rolle定理涉及的重要概念——无穷小内容中，又分为紧确无穷小、运算无穷小、外延原理（连续函数、可分函数、函数不变性）以及函数增减根据；因此，Rolle定理对于学习深入理解函数微分和极值问题有很强的理论指导意义。
如今，互联网上提供的教育服务也以Rolle定理为核心，采用精心设计的在线教育课程，不仅能够有效的培训出精英人才，还能够让更多的学子接触更多的学科，从而挖掘学生的潜力，培养学生运用Rolle定理的能力，利用有效的教学方法，更加全面的把握科学知识，为学生们学习Rolle定理等深入学习和实际应用奠定了基础。
总而言之，虽然科学日新月异，但Rolle定理作为一种独特的数学理论，却在科学发展史上有着不可磨灭的。
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罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用本科毕业论文题目罗尔定理在函数零点问题中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级级2班姓名学号年 5 月 10 日目录摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………?引言……………………………………………………………………………………… (1)1概念及定理 (1)2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3)2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用 (4)2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用 (5)2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5)2.4.2 Hermite多项式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8)2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用 (9)结束语……………………………………………………………………………………… (10)参考文献……………………………………………………………………………………… (11)致谢……………………………………………………………………………………… (12)摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定理的结论成立,同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立.将罗尔定理在复变函数(解析函数)中进行了推广,得到了向量值函数中的一个重要结论.结合典型例题,分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题中的实际应用,同时证明了在几何学上的具体应用,用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式,说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义,而且还有很好的应用价值.关键词:函数;函数零点;罗尔定理;应用Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy,combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Thentheconclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At thesame time,on the condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive or negative derivative of the infinite,the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function analytic functions.Vector-valued functions has been an important conclusion. Combined witha typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theoremand the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry isproved. Using the generalized Rolle theorem prove three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value Key words: function; function against; rolle theorem; application引言对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题,解决这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等,对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优缺点.罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一个著名定理,因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活跃的方向.根据罗尔定理,若函数在闭区间上连续、开区间内可导,则在端点和的取值就决定了内某点的微分性质,尽管的取值一般情况下不易求出,但它并不影响罗尔定理的应用.由于它的这个优越性质,将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性.因此,长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件,以便将它用于更加广泛的领域.至今,人们在文献[1]-[5]中将其在一元实函数中进行了推广,将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上,并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,均有有限导数”,削弱了严格的限制,同时讨论了一些函数的零点问题.在罗尔定理的应用中,构造辅助函数十分重要.2003年,文献[6]利用找原函数的思想,通过不定积分的过程来寻求辅助函数,得到了应用罗尔定理构造辅助函数的一种方法.但罗尔定理只能用于一元实函数,能否将它推广到多元函数中呢?1995年Furi与Martelli经过研究将其推广到了向量值函数中,并将其应用到了几何学上.这样罗尔定理不仅可以用于实函数,也可以用于复变函数的零点问题中.本文根据大量的文献整理与综合,首先给出了罗尔定理及其推广形式,进而应用这些结论分析讨论了其在实函数和复变函数零点问题中的具体应用.1 概念及定理1.1 函数零点的定义如果存在实数,使得,则称为函数的零点. 函数的零点又称为方程的实根.讨论函数零点的存在性,确定函数零点的个数,证明函数零点的唯一性的问题,统称为函数的零点问题.1.2 罗尔定理[7]若函数满足如下条件:1 在闭区间上连续;2在开区间内可导;3,则在内至少存在一点,使得.罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.1.3 推广的罗尔定理推广1:若函数在有限区间或无限区间内满足:1可导;2 .则在内至少存在一点,使得.推广2:若函数满足:1在上连续;2在内除有限个点处存在正无穷或负无穷的导数外,均有有限导数;3.则在中至少存在一点,使得.推广3(广义罗尔定理):设函数在有限或无穷的区间中的任意一点处有有限的导数,且,则在中至少存在一点,使得.推广4向量值函数中的推广:设, (1)上连续; (2)内可微; (3)存在非零向量,使得对任意的成立; (4)存在非零向量,使得对任意的,恒为常数; (5)存在非零向量,使得对任意的,不变号.若除满足(1)(2)两个条件外,还满足(3)(4)(5)中的任意一个,则至少存在一点,使得(注意到为矩阵),即与向量组正交.罗尔定理仅仅适用于连续的一元实函数,推广1、2和3是对它在实函数中的进一步推广,这样可以让罗尔定理摆脱太严格的限制,同时推广的罗尔定理就可以在任意区间、任意端值上使用了,从而使其在实函数中的应用更加广阔.但是罗尔定理的最大缺陷就是只能用于一元连续实函数,因此推广4将其从本质上推广到了向量值函数中,从而能将罗尔定理从代数学中推广到几何学中,与日常的生产生活联系更加紧密.2 罗尔定理在函数零点问题中的应用零点问题就是指零点的存在性、唯一性以及个数的问题,这一问题的解决可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理等微积分方法,不同的方法在不同的环境中有各自的优越性.罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛,无论是零点的存在性、唯一性还是个数问题,应用罗尔定理都能得到很好的解决.2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用在数学学科中,函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点课题.虽然这一问题的解决可以用零点定理,但在难以认定正负值点的时候,就需要换一种方法,其中罗尔定理就是一种很好的方法.用罗尔定理讨论函数零点问题时可以采用以下方法.对函数的原函数使用罗尔定理:若在闭区间上,并且,则在上至少存在一点,使得. 例1 设函数是定义在闭区间上的连续函数,且,证明存在,使得. 分析:如果用零点定理,则令,但的值是正还是负,难以确定,因此考虑改用罗尔定理.证明:令,则.那么 (因为),所以.又因为,所以由罗尔定理可知,存在,使得. 针对难以确定正负值点的函数零点存在性问题,采用罗尔定理能方便而又快速的给我们提供解决方法,因为它并不要求求出区间内的端点值或者说判断端点值的正负,而只需要知道它是否连续、可微就可以了.针对这一类问题,通常采用的方法就是对函数的原函数使用罗尔定理.但由于罗尔定理的限制太严格了,它要求三个限制条件必须同时满足,只要有一个条件不满足,罗尔定理就不一定成立,这就大大的限制了罗尔定理的使用范围,因此在难以确定函数是否连续、可微时直接使用罗尔定理反而会增加解题的难度,加大计算量.2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用在数学学习和生产生活中,零点的个数问题始终是一个重要的问题.讨论一个函数到底有几个零点,通常可以采用先确定至多有几个零点,再确定至少有几个零点,从而得出零点的个数,在这过程中罗尔定理就显示出了它的优越性.例2 讨论方程的零点个数. 解:设函数,显然在定义域内是连续函数.分别令得所以在区间各至少有一个零点,即方程至少有三个实根.令,这个函数在区间上连续且单调递增,,所以在有唯一的零点,所以由罗尔定理可知在至多有两个零点.同理可知在至多有三个零点.综上所述,方程在恰好有三个零点.将方程转化为函数,再利用微积分的方法解决问题,这是一种重要的思想,即化归的思想,是一种常用的解题策略.2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用在函数零点问题中,讨论某个函数的零点是否唯一,是一种常见的题型,并且在实际生活中也具有重要的意义.罗尔定理为这类题型提供了一个有力的工具.例3 已知在上二阶可微,,,,则在内只有一个实根.证明:首先证明存在性.过定点做曲线的切线:,则切线与轴的交点,由(向上凸的),显然有.下面采用反证法证明唯一性.若存在使得,则由罗尔定理可知,存在使得.这与是矛盾的.所以只有一点,使得.唯一性的证明通常都比较困难,一般从正面入手很难解决问题,然而从反面思考,往往有“柳暗花明又一村”的感觉.在零点唯一性的证明中,罗尔定理能较好地发挥它独特的性质.2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题在研究有关多项式的问题时,多项式的零点分布是经常遇到并且非常重要的问题之一.在解决的方法中,罗尔定理是一个很好的工具,但是罗尔定理的要求非常严格,三个条件必须同时满足,定理才成立.因此我们利用推广的罗尔定理解决这个问题.以下就是用罗尔定理解决三种特殊多项式的例子.2.4.1 Laguerre多项式在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Laguerre多项式,其表达式为.例4 证明多项式所有的根都是正根. 证明:因为, ,依此类推可知是次多项式.可见,至多只有个实根.设函数,则.由广义罗尔定理知,存在,使得.现设至少有个零点,且.分析的结构易知,是一个与一个次多项式的乘积,即 ,其中是一个多项式.则,由广义罗尔定理知,存在,使得.根据数学归纳法,至少有个正根.又由于恒不为零,所以至少有个正根.由前面可知最多只能有个实根,所以只有个实根,且都是正实根.2.4.2 Hermite多项式在实际生活中,函数在某区间上存在,但函数往往很复杂,甚至没有明显的解析表达式,因此常用插值法去构造一个既能反映函数特征又便于计算的较为简单的函数以替代函数.不同的实际问题,选用的插值函数也会不同.Hermite多项式就经常被选为插值函数.在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Hermite多项式,其表达式为.例5 证明多项式所有的根都是实数. 证明:显然是一个次多项式. 设函数,则, ,可见有一个实数根,有两个相异的实数根. 现假设有个相异的实根,并记作.分析的结构可知.因为有个相异的实根,因此可令,即,其中为一个非零常数.又由于,根据罗尔定理得,存在使得,即在之间至少存在个相异实根.又由于,根据广义罗尔定理可知,必存在,使得.同理,,由广义罗尔定理知必存在,使得.综上所述,至少有个实根.所以由数学归纳法知至少有个相异的实根.从而至少有个相异的实根.但是是的一个次多项式,故恰有个根(实根或复根),即的所有根都是实根.2.4.3 勒让德多项式伴随勒让德多项式(Associated Legendre polynomials)有时被简称为勒让德多项式.数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:为求解方便一般也写成如下斯图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form): 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里?勒让德而得名.勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程.当试图在球坐标系中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解. 例6 证明勒让德多项式的一切零点都是实数且含于区间中.证明:设,因为是次多项式,且恒不为0,所以是次多项式,由代数定理可知它至多只有个实零点.由于,由广义罗尔定理知,至少存在一点,使得.假设至少有个实零点.分析的结构可将写为以下结构 ,其中为次多项式. 因为,由罗尔定理可知存在,使得,即至少有个零点,并且全部在区间之间. 由数学归纳法可知至少有个实零点,且全部介于区间之间.由于恒不为0,所以至少有个实零点.而由前面知道是次多项式,它至多有个实零点.所以恰有个实零点,且全部介于区间之间.勒让德多项式的应用十分广泛,但如何证明它的零点是一个难点,以上例子就提供了一种很好的方法.2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用在微积分学中,关于多变元映像(从多元函数到向量值函数)的极限(包括连续性)、微分、积分及其性质,一般都是考虑一元函数的性质能否平移或推广过来.但罗尔定理的不足之处就是对向量值函数不成立,因此1995年Marden[8],1992年Evard 与Jafari[9]在复变(解析函数)情形下揭示了罗尔定理的本质,1995年Furi 与Martelli[10]对向量值函数进行了推广:在闭域上连续,开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质.这样该结果就可以应用于几何学.例7 设定义为,并满足下列条件:在上连续;在内可微;存在中的平面,对任意的..则存在.使得在曲面上处的切平面平行于平面.这里表示的值域,或者表示的曲面.证明:设,则表示平面的法向量.由条件3)可知,对任意的,都有与正交.由罗尔定理的推广4知,存在,使得与向量组正交.又因为,在上处的切平面向量式参数方程为.这里,为参数.所以,切平面的法线与平行,从而切平面平行于平面. 罗尔定理仅仅适用于一元函数,这样就在很大程度上限制了罗尔定理的应用范围.但它的良好本质却能启发我们将其推广到向量值函数中,从而就能解决一类几何问题,为数学问题的解决提供了更多的工具.结束语利用罗尔定理的理论和方法,可以较细致的研究函数零点问题.根据罗尔定理的意义,可以将其从限制条件上和本质上进行多方位的推广,从而扩大应用领域. 通过对罗尔定理的简单分析探究,掌握了该定理的结构形式,学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程,分析讨论了罗尔定理的实际应用.首先将罗尔定理在一元函数中进行推广,削弱了罗尔定理的限制条件.紧接着利用罗尔定理的实质将其在向量值函数中进行了推广,得到“在闭域上连续、开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质”,从而将结果应用于几何学.最后,应用罗尔定理及其推广形式举例说明了它们在证明函数零点存在性、函数零点个数、函数零点唯一性、三类特殊多项式函数的零点分布问题,并举例说明了多变元情形下的罗尔定理在几何学上的应用.至于如何应用罗尔定理构造辅助函数,以及解决函数零点问题的各种微积分方法(如费马定理、拉格中值定理等)的优缺点比较这两个问题未做讨论.参考文献[1] 孙兰敏.洛尔定理的2个推广形式[J].衡水学院学报,2005,71:1-2.[2] 汪军.广义罗尔定理及其应用实例[J].辽宁工程技术大学学报,2000,191:93.[3] 张志军.多变元情形下的洛尔定理及其应用[J].西北师范大学学报,1998,34(1):84?87.[4] 潘黎霞.对广义罗尔定理证明并在求函数的零点上的应用[J].甘肃科技,2005,217:115-116.[5] 周敦.微分中值定理的推广及其应用[J].钦州师专钦州教院学报.1994,81:54-56.[6] 王艳萍,余学军.应用罗尔定理时一种辅助函数构造法[J].南阳师范学院,2003,29:18-21.[7] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版,2005.[8] Marden M.The search for a Rolle's theorem in the complexdomains[J].Amer,Math.Monthly,1985,92:643-650.[9] Evard J C,Jafari F.A complex Rolle'stheorem[J].Amer,Math.Monthly,1992,99:856-861.[10] Furi M,Martelli M.A multidimensional version of Rolle'stheorem[J].Amer.Math.Monthly,1995,102:243-249.致谢时光荏苒,岁月如梭,转眼毕业将至.值此论文完成之际,我谨向所有关心、爱护、帮助过我的人表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿. 通过毕业论文的写作,我真正体会到了科学的严谨性.任何一门科学,我们都必须以认真严谨的态度去对待它,不能以自己的主观臆断去评判真理,而应以真理去认识客观世界.在论文写作过程中,我熟悉了电脑的一些基本操作,学会了论文的排版格式.经过一、二、三稿的整理和修改,我明白了一个道理??踏踏实实做人,明明白白做事.在这四年里,无论成功还是失败,许多长辈和朋友都给了我一如既往的支持与鼓励.在这里我要首先感谢我的父母、我的亲人朋友们,他们给了我无微不至的关怀,陪我一起度过二十多年的酸甜苦辣,对他们的感激之情,不知该如何表达,千言万语,只能化成实际行动,让我用一生报答他们!其次我要感谢内江师范学院可敬的老师们,尤其是我的导师――吕晓亚,她用为人师表的高尚品格和渊博深厚的学术造诣,为我们树立了的崇高的榜样,开启了人类智慧的大门.最后,衷心感谢程冲、邓平等寝室朋友们在学习时给予我的关心和帮助!。