细说正方体的截面图形
立体几何中的截面(解析版)
立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。
总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。
我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
圆柱体的基本截面也有其特殊性质。
我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。
此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。
建立函数模型也是求最值问题的一种方法。
在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。
其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。
水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。
因此，正确的命题序号为①③④。
一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。
若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。
进一步地，截面也不能为正五边形。
这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。
因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。
而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。
这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。
我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。
但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。
正方体截面的三视图
正方体截面的三视图1、打开一个“新绘图”，建立直角坐标系。
2、用[画圆]工具画单位圆。
作出单位圆与y轴正半轴的交点C、负半轴交点D。
3、[标记]向量AB，依向量AB平移点B到B’；[标记]向量AC，依向量AC平移点C到C’；[标记]向量AD，依向量AD平移点D到D’。
4、[标记]原点A为“旋转中心”，把点D绕A旋转-45度，得到D’,用[文本编辑]工具把D’的标签改为D”。
5、用[画点]工具在屏幕上任意画三点E、F、G，用[画线段]工具连结AE、AF、AG。
6、用[选择]工具先后选择点E、点A，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“慢速地”后产生“→移动E->A按钮”。
用[文本编辑]工具把“→移动E->A按钮”改为“主视”。
7、用[选择]工具先后选择点E、B’、F、A，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“慢速地”后产生“移动”。
用[文本编辑]工具把“移动”改为“左视”。
8、用[选择]工具先后选择点E、D’、G、A，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“慢速地”后产生“→移动”。
用[文本编辑]工具把“→移动”改为“俯视”。
9、用[选择]工具先后选择点E、D”、F、B、G、C，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“中速”后产生“→移动”。
用[文本编辑]工具把“→移动”改为“还原”。
10、用[画点]工具在平面上任画一点H。
11、依向量AE平移点H，得到H’，立即把H’的标签改为I；依向量AF两次平移点H，得到H”，立即把H”的标签改为J；依向量AG两次平移点H，得到H”，立即把H”的标签改为K.12、以HI、HJ、HK为从一点出发的三条棱，完成平行六面体。
用[文本编辑]工具改写一些点的标签。
13、用[画线段]工具连结IK、LJ’,作出它们的中点，用[文本编辑]工具把标签分别改为M、N。
14、用[选择]工具先后选择K、M、L、N，并选择[作图]菜单中的[多边形内部]，给多边形填充。
课题学习 正方体截面的形状
实例导入，知识预备
公理1
m
n
α
nα
m
推论
推论
A m
α
推论
公理2
公理3
Байду номын сангаас
面面平行性质定理
实例导入，知识预备
公理1:不共线的三点，确定一个__平__面___ 推论：两条_平__行___直线确定一个平面；两条_相__交___直线确定一个平面； 一条直线和__直__线__外__一___点___确定一个平面 公理2：若一条直线上的两点在一个平面内，则_这__条___直__线__在此平面内. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 __过__该__点___的公共直线。 面面平行性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么 它们的交线_平__行____.
总结反思，延伸拓展
1、在本节课题学习中，我们研究了哪些问题？ 2、你还想继续研究什么？ 3、经历了哪些研究过程？
提出问题
观察猜想
操作检验
应用拓展
得出结论
理性推证
总结反思，延伸拓展
继续研究没有研究的其他形状，以小组为单位完成课题报告。
课题名称 研究的简要过程和方法 有哪些研究结论 相关的可拓展的新问题 课题探究的自我评价 课题学习的反思和体会
交流分享，理性推证
问题1：能截出几类不同形状的三角形？如何截？
交流分享，理性推证
问题2：能截出几类不同形状的四边形？如何截？
观察猜想，分组探究
探究二：
问题3：能否截出直角三角形？钝角三角形？ 问题4：能否截出直角梯形？
交流分享，理性推证
探究三：
问题5：试证明：截出的三角形一定是锐角三角形。
正方体的截面形状与训练含详解
正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
正方体的截面
正方体的截面
作者：刘思武
来源：《初中生世界·七年级》2018年第12期
研究立体图形的时候，我们有时考虑截一个立体图形，研究截面的形状.本文通过研究正方体的截面来探究几何体截面的规律.
正方体的截面可以分为以下几种：
截面是三角形：如图1为锐角三角形，图2为等腰三角形，图3为等边三角形；
截面是四边形：如圖4为任意四边形，图5为等腰梯形，图6为长方形，图7为正方形；
截面是五边形：图8为任意五边形；
截面为六边形：图9为普通六边形，图10为正六边形.
（作者单位：南京外国语学校仙林分校燕子矶校区）。
五年级：正方体截面图形
关于正方体截面图形的研究报告问题背景：一天，妈妈在切胡萝卜做菜，突然问我：“成宇轩，这个胡萝卜块切成了什么形状，你知道吗？”我跑过去一看，笑着说“就是一个正方体”，妈妈说，“最近你的课外书上提到正方体截面的问题，你解决了吗？”我说，“还没有啊，我感觉答案有很多啊”，妈妈摇摇手中的胡萝卜说，“这个可以帮助你吗？”对啊，我一拍脑门，对了，可以动手实验一下。
研究目标：通过动手操作实践，研究将一个正方体切一刀，截面可能是几边形？研究过程：一、材料准备：用胡萝卜切成正方体形状二、实验步骤：1、胡萝卜切成小正方体。
2、将刀和正方体的三条边接触，使得截面成三角形。
还可以这样切，即切到三个对角时，截面是一个大的等边三角形。
3、将刀和正方体的四条边接触，使得截面成四边形，这两个四边形（如下图）。
这副图的截面是长方形：这副图的截面是正方形：4、还有截面是梯形的，这是将刀从上面两边切起到下面的两个顶点。
5、将刀和正方体的两条棱接触，即把正方体截成体积相等的两部分，使得截面成四边形。
6、将刀由上面的一条棱切起，并接触到下面的两条棱，使得截面成四边形。
7、将刀和正方体的五条棱接触，使得截面成五边形。
8、将刀和正方体的六条棱接触，使得截面成六边形，切的时候感觉为了容易一些，最好和每条棱的中点接触比较好。
三、实验结论：1、将正方体切一刀，可以得到三角形、长方形、正方形、梯形这样的四边形、五边形和六边形。
2、切的过程中，刀接触到几条边，截面就有几个角，形成的截面就是几条边，截面就是几边形。
3、特别发现两点：第一是若刚好切到三个对角时，截面是一个大的等边三角形。
六边形截面比较难切好，只要把刀接触到六条棱的中点，就很容易形成六边形截面。
实验感想：在妈妈的鼓励下，我通过自己动手实践解决了这个困扰我的问题，我感到很高兴。
通过这样的研究活动，我感到非常有收获，本来在我的头脑中很难想象出的五边形、六边形这样的图形，通过亲手切出来，我感觉现在我可以很轻松的想象出五边形和六边形截面图形。
正方体的基本截面图形
问题 2 长为 15 厘米的无刻度的尺子上 至少需要添加几个刻度,使之可以度量 1～15 之间任何整厘米长度的尺寸(度量方式同上, 下同)?
通过尝试,可得出添加 5 个刻度,如 5,11, 12,13,14 即可.但是,如何证明 5 个刻度是所需 的最少数量呢?只能采用枚举法,这无疑是一 个烦琐的推导过程,人工证明极其困难,而计 算机在枚举法上有着绝对的优势.我利用自 己掌握的 PASCAL 语言,编写程序通过回溯 算法解决了这个问题.并且在编写程序的过 程中,将问题 2 推广为更为一般性的问题 3,也 一并通过程序得到解决(见附件程序 A).
图1
采 用 刻 度 (0)2,4,7,12,(13) 的 具 体 测 量 方
法如下: 长度
测量区间
长度
测量区间
1
2
3
4
[12,13] [0,2] [4,7] [0,4]
56789
[2,7] [7,13] [0,7] [4,12] [4,13]
长度
10
11
12
13
测 量 区 间 [2,12] [2,13] [0,12] [0,13]
本题以正方体基本截面图形(图 8、图 14) 为“背景”创设新情境,考查了正方体线面垂 直关系的综合运用.
详细分析见文[1]. 例 3 (2004 年福建省质量检查理科 19 题) 如图,在四棱锥 P − ABCD 中, PD ⊥ 底面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形. PD = DC , E 、 F 分别是 AB 、 PB 的中点.(1) 求证: EF ⊥ CD ; (2)在 平面 PAD 内求一点 G ,使 GF ⊥ 平面 PCB ,证 明你的结论;(3)求 DB 与平面 DEF 所成角的 大小. 本题考查空间线面位置关系,考查空间 想象能力和逻辑推理能力.本题若将四棱锥 P − ABCD 补成正方体,思路较清晰. 如 图 , 设 四 棱 锥 P − ABCD 是 正 方 体 ABCD − QRSP 中的图形,则 F 为正方体的中
正方体的截面问题研究报告
正方体的截面问题研究报告研究报告：正方体的截面问题一、引言：正方体是一种具有六个面都是正方形的立体，它具有许多有趣的性质和特点。
其中一个问题是关于正方体的截面问题，即在不同位置和方式截取正方体，观察其截面形状和特征。
本研究报告将对正方体的截面问题进行研究和分析。
二、研究目的：1. 研究正方体的截面形状及特征。
2. 探索正方体的不同截面位置和方式对截面形状的影响。
3. 分析正方体的截面特性与其它几何形体的关系。
三、研究方法：通过数学分析与计算机模拟相结合的方式进行研究。
首先，研究者将正方体进行截面，观察并记录截面形状、面积和其他特征。
然后，通过数学模型和计算机模拟，研究者将确定各种截面形状的数学方程，并分析其特性和关系。
四、实验过程与结果：1. 实验过程：研究者首先在正方体的不同位置划定截面平面，包括水平截面、垂直截面和倾斜截面。
然后，使用切割工具在规定的截面平面上进行截取操作，获得正方体的截面。
最后，通过测量和计算，记录截面的形状、面积及其他特征。
2. 实验结果：不同位置和方式的截面形状各不相同。
水平截面和垂直截面一般为正方形，但大小和位置不同。
而倾斜截面则为一种四边形，具有奇特的形状。
截面的面积也因位置和方式的不同而有差异。
五、分析与讨论：1. 正方体的截面形状与其位置和方式密切相关。
对于水平和垂直截面，截面形状为正方形，且大小和位置相对稳定。
而倾斜截面则更具变化性，形状可能是一种特殊的四边形。
2. 正方体的截面特性与其他几何形体有一定的关系。
在特定的截面位置和方式下，正方体的截面形状可能与柱体、圆柱体等具有相似的形态。
3. 正方体的截面问题与数学几何有密切关系，通过研究正方体的截面形状和特性，可以深入理解几何形体的性质，丰富几何学科的研究。
六、结论：通过对正方体的截面问题进行研究和分析，我们发现正方体的截面形状与其位置和方式密切相关，同时也与其他几何形体具有一定的关系。
正方体的截面问题在数学几何研究中具有一定的重要性，对于深入理解几何形体的性质具有积极的作用。
论文4“平面截正方体所得截面是什么图形
平面截正方体所得截面是什么图形安徽省砀山县第二中学 朱奇勇(2013.6)1 2013年高考安徽省理科数学试题第15题:如图正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段CC 1上的动点.过A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为s,则下列命题正确的是___（写出所有正确命题的编号） ①当0<CQ<1/2时,s 为四边形； ②当CQ=1/2时,s 为等腰梯形；③当CQ=3/4时,s 与C 1D 1的交点R 满足C 1R=1/2； ④当3/4<CQ<1时,s 为六边形；⑤当CQ=1时,s 面积为26.这道题是平面截正方体所得截面问题，那么平面截正方体所得截面到底是哪些图形呢?2下面7个图形给出截面的四种形状图1 三角形（1）图2 三角形（2）图3 四边形（1）是梯形图4 四边形（2）是平行四边形或菱形或矩形或正方形图5四边形（梯形）图6 五边形（有两组对边分别平行）图7六边形（或正六边形）3 2013年高考安徽省理科数学试题第15题图示解析:4有关练习题(1)(2013合肥三模理数15) 15.如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分 别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个；②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形；③AC 1与平面PQR 所成的角为60°; ④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF + GH = 1，则三棱锥E - FGH 体积的最大值是121⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正 方体表面上运动，则ONOM .的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是145_____（写出所有真命题的序号）.(2)用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是( A.六边形 B.菱形 C.梯形 D.直角三角形 (3)用一个平面截正方体，所得截面是1个三角形，则剩余的那个大几何体一定有 （ ）个面 (4)如图，正方体的棱长为cm ，用经过A 、B 、C 三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是________ cm ．⑶由截面的形状想象几何体如下表，已知由平面截圆柱、正方体、球、三棱柱和长方体所得截面的形状，请你想象这些形状的截面可能是截哪个（哪些）几何体得到的，并填写下表：5结论：正方体的截面分类正方体有六个面,用一个平面去截正方体,至少要经过三个面,最多经过六个面。
正方体最大截面面积
正方体最大截面面积引言正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是相等的正方形。
对于正方体而言，最大截面面积是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
在本文中，我们将探讨正方体最大截面面积的问题，并介绍一种可以求解该问题的方法。
定义首先，让我们来回顾一下正方体的几何性质。
正方体有六个面，每个面都是一个正方形。
正方体的边长通常用字母s表示，因此，正方体的表面积可以表示为6s^2，其中s表示正方体的边长。
正方体的截面正方体有无限个截面，截面可以是平行于任意一个面的平面。
每个截面都是一个封闭的图形，其形状可以是矩形、正方形、三角形等。
对于每个截面来说，我们可以计算其面积。
寻找最大截面面积下面，我们将探讨如何寻找正方体的最大截面面积。
暴力搜索法最简单的方法是使用暴力搜索法，即计算所有可能的截面的面积，并找到最大的面积。
但这种方法效率低下，尤其是当正方体的边长很大时，很难计算所有截面的面积。
穷举法另一种方法是使用穷举法。
我们可以通过遍历所有可能的截面来找到最大面积。
然而，这种方法依然需要进行大量的计算，因此效率并不高。
切割法切割法是一种更高效的方法。
我们可以通过将正方体切割为若干个较小的立方体，然后计算每个立方体的截面面积，最后在所有截面中找到最大的面积。
这种方法的关键在于如何切割正方体。
平分切割法平分切割法是一种常用的切割方法。
我们将正方体的一个面分成若干个相等的小正方形区域，并将其沿着纵向或横向切割。
这样，我们可以得到多个立方体，然后计算每个立方体截面的面积，最终在所有截面中找到最大的面积。
斜切割法斜切割法是另一种切割方法。
我们将正方体切割为若干个更小的立方体，然后计算每个立方体的截面面积，最后找到最大的面积。
与平分切割法不同的是，斜切割法可以切割出更多形状各异的截面。
实例分析为了更好地理解如何寻找正方体的最大截面面积，我们将进行一个实例分析。
假设我们有一个边长为s的正方体。
我们将使用平分切割法将正方体的一个面平分为4个小正方形区域。
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细说正方体的截面图形
在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状，在中学数学中也学习了几何体的截面图形，截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形，。
截面图形更好的将平面几何与立体几何联系起来，探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体，发展正确的空间观念。
对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出现不同的情况。
现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。
一个平面截正方体与各面的交线都是线段，因此正方体的截面图形都是平面图形。
正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个面，所有出现的截面图形边数至少是三条而最多是六条，则只可能出现三角形、四边形、五边形、六边形。
一、截面图形是三角形
用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形
1.截面图形是锐角三角形
如下图，一个平面截正方体任意三个面得到截面△EFG ，BE=a,BF=b,BG=c.可得EF=22b a +,EG=22c a +,FG=22c b +.
（1）如图①，当a ≠b ≠c 时，则EG ≠FG ≠EF,即截面△EFG 是一般三角形。
（2）如图②，当a=b ≠c 时，则EG=FG ≠EF 即截面△EFG 是等腰三角形。
同理可得a=c ≠b 或b=c ≠a 时截面△EFG 是等腰三角形。
（3）如图③,当a=b=c 时EF=FG=EG 即截面△EFG 是等边三角形
2.截面图形不能是直角三角形
如图①，2EF =22b a +，2FG =22c b +,2EG =22c a +,
则222EG FG EF +<,222EG EF FG +<,222EG FG EF +<,所以截面三角形不可能是直角三角形。
3.截面图形不可能是钝角三角形
如图①，cos ∠FEG=EG EF FG EG EF ⋅-+2222=22222
222222c
a b a c b c a b a +⋅+--+++ =22222
c a b a a +⋅+>0,则0<∠FEG< 90.
同理可得0<∠EFG< 90.0<∠EGF< 90. 所有截面图形不可能是钝角三角形。
二、截面图形是四边形
用一平面去截正方体经过正方体四个面时得到的截面图形是四边形，因为正方体是由三组互相平行的对面围成，当截面是四边形时，经过的四个面中至少有两个面平行，根据面面平行的性质定理，这组互相平行的对面与截面的两条交线互相平行，所以得到的四边形也至少有一条对边平行。
1.截面图形为有两组对边分别平行的四边形
（1）平行四边形
如图④，当截面与正方体的两组对面产生交线时根据面面平行的性质定理可得到BF ∥E 1D 、BE ∥F 1D ，则得到的截面图形BE 1D F 是平行四边形。
（2）长方形
如图⑤，当截面与正方体的两组对面产生交线且某条交线平行于正方体的一条棱(图中HG ∥D 1D )，则可得到截面图形EFGH 就是长方形。
（3）如图⑥，当点E 、F 分别为1AA 和1CC 的中点时，根据勾股定理，易得到F B E B 11==DF=DE ，则四边形1B FDF 是棱形。
因此，当截面与正方体的两组对面产生交线且可求得相邻交线段的长度相等时可得到截面图形是菱形。
（4）如图⑦，当EF ∥AB 、FG ∥BC 时，易证四边形EFGH 是正方形。
因此，当截面与正方体的两组对面产生交线且截面与正方体的某个面平行，则得到截面图形就是正方形。
2.截面图形为只有一组对边平行的四边形
（1）如图⑧，当截面只与正方体的一组对面产生交线时，则得到的截面图形就是梯形。
（2）如图⑨，当截面只与正方体的一组对面产生交线且这两条交线都平行于同一条对角线时，则得到的截面图形是等腰梯形。
（3）截面图形不可能是直角梯形。
如图⑩，延长正方体使它变为长方体，正方体的截面梯形EFGH 也延长EH
和FG 两条边得到一个△EFI ，这个△EFI 不可能是直角三角形（证明过程类似于正方体截面图形不可能是直角三角形的证明过程），所有正方体的截面图形为梯形时，可证得这个梯形不可能存在直角。
因此，正方体的截面图形不可能是直角梯形。
三、截面图形是五边形
用一平面去截正方体经过正方体五个面时得到的截面图形是五边形。
如图 ，根据两平面平行的性质定理，可得HG ∥1B E,1B H ∥EF,又根据平行线性质定理可得到∠H 1B E+∠1B HG= 180,∠H 1B E+∠1B EF= 180,所以∠1B HG=∠1B EF 即截面图形是五边形时必有两组分别平行的边，有两组相邻的角具有互补关系，同时有两个角相等。
由于正五边形没有平行的边，所有截面图形是五边形时，它不可能是正五边形。
四、截面图形是六边形
用一平面去截正方体经过正方体六个面时得到的截面图形是六边形。
如图 ，根据面面平行的性质定理，截面六边形对边平行，根据一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同时这两个角相等和对顶角相等这两个性质，可得到截面六边形的对角都相等。
如图 ，设该正方体的棱长为a,当截面六边形EFGHPQ 的顶点都是正方体棱的中点时，
1B F=1B G=a 2
1,可得FG=a G B F B 222121=+. 同理可得,EF=FG=GH=HP=QP=EP=a 2
2. 因为1A E=a 2
1,可求得EG=a E A G B B A 262121211=++, 则cos ∠FEG= 2121223212122
2222
22-=⨯-+=⋅-+a a a a FG EF EG FG EF ， 所有∠FEG=1200，同理可证∠FEG=∠FEG=∠FEG=∠FEG=∠FEG=∠FEG=1200。
因此，六边形EFGHPQ 为正六边形。
即当截面六边形的六个顶点都是正方形棱的中点时，该截面六边形是正六边形。
经过以上探究发现，用一个平面去截正方体得到的截面图形形状可能是锐角三角形、等边三角形、等腰三角形，平行四边形、矩形、棱形、正方形、非等腰梯形、等腰梯形，五边形，六边形、正六边形，不可能出现钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形。
通过深入探究正方体的截面图形，不仅有助于培养空间想象能力，
而且锻炼了逻辑思维能力和提升了空间感
知能力，进而更加深入的认识平面几何与立体几何，从而发展正确的空间观念。