正方体截面的直观
正方体的平面切割和截面特征
正方体的平面切割和截面特征正方体是一种六个面都相等且每个面都是直角四边形的立体图形。
平面切割是指将正方体沿着平面进行切割，从而得到不同的截面。
每个截面都有其特征和属性。
本文将探讨正方体平面切割和截面的特征。
首先，我们来了解一下正方体的基本属性。
正方体的六个面都是正方形，相邻面之间的边长相等。
通常，我们用字母a来表示正方体的边长。
此外，正方体的体积可以通过边长的三次方来计算，即V = a³；表面积可以通过边长的平方乘以六来计算，即S = 6a²。
接下来，我们讨论正方体的平面切割。
平面切割正方体时，切割面可以与正方体的面平行，也可以与正方体的面垂直。
对于平行切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形。
这些平行四边形的边长和对应边的长度比例与正方体底面相同。
当切割面与正方体的面垂直时，我们将得到线段、正方形、三角形或其他多边形的截面形状。
在平行切割的情况下，截面的特征与正方体的底面相似。
例如，如果我们将正方体平行地切割成一系列平行四边形，这些四边形的形状和相似性将与底面相同。
然而，它们的大小可能会有所不同，但比例关系将保持不变。
当切割面与正方体的面垂直时，截面的形状将根据切割的位置和角度而有所不同。
根据切割的位置，截面可以是线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形。
在这些截面中，正方形和长方形出现的频率最高，因为它们是与正方体面相关联的形状。
此外，截面的边长可能与正方体的边长有关，但不一定相等。
当切割面与正方体的对角线平行时，我们将得到等腰直角三角形的截面。
这是因为对角线与正方体的边相切，并且正方体的边是直角的。
所以，切割面与对角线所包围出的截面将是等腰直角三角形。
在切割正方体时，我们还可以观察到一些有趣的截面特征。
例如，当切割面与相对的两条棱平行时，我们将得到矩形形状的截面。
这是因为切割面与这两条棱所包围出的空间将是一个矩形。
总结一下，正方体的平面切割和截面特征是多样化的。
通过平行或垂直切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形，以及线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形的截面形状。
平面截正方体典例解析
正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。
但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。
正方体截面的三视图
正方体截面的三视图1、打开一个“新绘图”，建立直角坐标系。
2、用[画圆]工具画单位圆。
作出单位圆与y轴正半轴的交点C、负半轴交点D。
3、[标记]向量AB，依向量AB平移点B到B’；[标记]向量AC，依向量AC平移点C到C’；[标记]向量AD，依向量AD平移点D到D’。
4、[标记]原点A为“旋转中心”，把点D绕A旋转-45度，得到D’,用[文本编辑]工具把D’的标签改为D”。
5、用[画点]工具在屏幕上任意画三点E、F、G，用[画线段]工具连结AE、AF、AG。
6、用[选择]工具先后选择点E、点A，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“慢速地”后产生“→移动E->A按钮”。
用[文本编辑]工具把“→移动E->A按钮”改为“主视”。
7、用[选择]工具先后选择点E、B’、F、A，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“慢速地”后产生“移动”。
用[文本编辑]工具把“移动”改为“左视”。
8、用[选择]工具先后选择点E、D’、G、A，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“慢速地”后产生“→移动”。
用[文本编辑]工具把“→移动”改为“俯视”。
9、用[选择]工具先后选择点E、D”、F、B、G、C，并选择[编辑]菜单中的[操作类按钮]、[移动]，选择“中速”后产生“→移动”。
用[文本编辑]工具把“→移动”改为“还原”。
10、用[画点]工具在平面上任画一点H。
11、依向量AE平移点H，得到H’，立即把H’的标签改为I；依向量AF两次平移点H，得到H”，立即把H”的标签改为J；依向量AG两次平移点H，得到H”，立即把H”的标签改为K.12、以HI、HJ、HK为从一点出发的三条棱，完成平行六面体。
用[文本编辑]工具改写一些点的标签。
13、用[画线段]工具连结IK、LJ’,作出它们的中点，用[文本编辑]工具把标签分别改为M、N。
14、用[选择]工具先后选择K、M、L、N，并选择[作图]菜单中的[多边形内部]，给多边形填充。
正方体的截面形状与训练含详解
正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
细说正方体的截面图形
细说正方体的截面图形在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状，在中学数学中也学习了几何体的截面图形，截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形，。
截面图形更好的将平面几何与立体几何联系起来，探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体，发展正确的空间观念。
对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出现不同的情况。
现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。
一个平面截正方体与各面的交线都是线段，因此正方体的截面图形都是平面图形。
正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个面，所有出现的截面图形边数至少是三条而最多是六条，则只可能出现三角形、四边形、五边形、六边形。
一、截面图形是三角形用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形1.截面图形是锐角三角形如下图，一个平面截正方体任意三个面得到截面△EFG ，BE=a,BF=b,BG=c.可得EF=22b a +,EG=22c a +,FG=22c b +.（1）如图①，当a ≠b ≠c 时，则EG ≠FG ≠EF,即截面△EFG 是一般三角形。
（2）如图②，当a=b ≠c 时，则EG=FG ≠EF 即截面△EFG 是等腰三角形。
同理可得a=c ≠b 或b=c ≠a 时截面△EFG 是等腰三角形。
（3）如图③,当a=b=c 时EF=FG=EG 即截面△EFG 是等边三角形2.截面图形不能是直角三角形如图①，2EF =22b a +，2FG =22c b +,2EG =22c a +,则222EG FG EF +<,222EG EF FG +<,222EG FG EF +<,所以截面三角形不可能是直角三角形。
3.截面图形不可能是钝角三角形如图①，cos ∠FEG=EG EF FG EG EF ⋅-+2222=22222222222ca b a c b c a b a +⋅+--+++ =22222c a b a a +⋅+>0,则0<∠FEG< 90.同理可得0<∠EFG< 90.0<∠EGF< 90. 所有截面图形不可能是钝角三角形。
正方体过体对角线的截面形状
正方体过体对角线的截面形状正方体，这个几何界的明星，真是让人又爱又恨。
它的每个面都那么平坦，给人一种稳稳的感觉。
可是，今天咱们不聊它的规整，而是聊聊一个有趣的话题：正方体通过体对角线的截面形状。
你有没有想过，正方体在被切割的时候，会露出什么样的“真面目”？哎呀，这可真是个有趣的事情。
想象一下，一个正方体，像个大方块，坐在那里，完全不动。
我们拿起一把刀，划过它的体对角线。
什么是体对角线呢？简单来说，就是从一个顶点到对面顶点的那条线。
它就像一条隐秘的通道，穿过正方体的心脏。
哇，想象一下这条线在里面游走的样子，简直酷毙了！当你切下去时，正方体会崩溃成两个部分。
可不要小看这两个部分，它们将会以截面形状展现出一种优雅的美感。
当刀锋划过正方体时，首先映入眼帘的是一个菱形。
没错，就是那个看起来像个“风筝”的形状。
它四条边都相等，角度恰到好处，给人一种对称的美感。
这个菱形在切割时闪闪发光，仿佛在对你说：“嘿，看看我！我可是正方体里的隐形艺术家！”这种感觉真是妙不可言，就像发现了新大陆一样，让人惊喜。
你可能会想，这个菱形有什么了不起的。
别急，咱们继续往下聊。
这个菱形的每一条边、每一个角，都隐藏着几何的秘密。
它不仅是平面的图形，更是三维空间的投影。
正方体的体积、边长，都会在这个菱形上留下痕迹。
想想看，正方体就像个老绅士，而这个菱形就是他的名片，简直太有意思了。
切割过程中，菱形的形状又随着刀刃的移动而改变。
它的对角线拉长，缩短，似乎在和我们进行一场无声的舞蹈。
咦，你有没有发现，正方体的体对角线其实把整个切割过程变成了一场表演？这不仅仅是简单的数学，更是一种艺术。
每当我们在纸上画出这个菱形，脑海中就浮现出那一刀切下去的瞬间，真是让人兴奋不已。
说到这里，咱们不得不提正方体的“脾气”。
它可不是随随便便就会被切割的，必须要找准位置，才能让刀锋顺利通过。
就像是生活中的很多事情，有时我们需要一点勇气，才能突破那些看似坚硬的外壳。
正方体的截面问题研究报告
正方体的截面问题研究报告研究报告：正方体的截面问题一、引言：正方体是一种具有六个面都是正方形的立体，它具有许多有趣的性质和特点。
其中一个问题是关于正方体的截面问题，即在不同位置和方式截取正方体，观察其截面形状和特征。
本研究报告将对正方体的截面问题进行研究和分析。
二、研究目的：1. 研究正方体的截面形状及特征。
2. 探索正方体的不同截面位置和方式对截面形状的影响。
3. 分析正方体的截面特性与其它几何形体的关系。
三、研究方法：通过数学分析与计算机模拟相结合的方式进行研究。
首先，研究者将正方体进行截面，观察并记录截面形状、面积和其他特征。
然后，通过数学模型和计算机模拟，研究者将确定各种截面形状的数学方程，并分析其特性和关系。
四、实验过程与结果：1. 实验过程：研究者首先在正方体的不同位置划定截面平面，包括水平截面、垂直截面和倾斜截面。
然后，使用切割工具在规定的截面平面上进行截取操作，获得正方体的截面。
最后，通过测量和计算，记录截面的形状、面积及其他特征。
2. 实验结果：不同位置和方式的截面形状各不相同。
水平截面和垂直截面一般为正方形，但大小和位置不同。
而倾斜截面则为一种四边形，具有奇特的形状。
截面的面积也因位置和方式的不同而有差异。
五、分析与讨论：1. 正方体的截面形状与其位置和方式密切相关。
对于水平和垂直截面，截面形状为正方形，且大小和位置相对稳定。
而倾斜截面则更具变化性，形状可能是一种特殊的四边形。
2. 正方体的截面特性与其他几何形体有一定的关系。
在特定的截面位置和方式下，正方体的截面形状可能与柱体、圆柱体等具有相似的形态。
3. 正方体的截面问题与数学几何有密切关系，通过研究正方体的截面形状和特性，可以深入理解几何形体的性质，丰富几何学科的研究。
六、结论：通过对正方体的截面问题进行研究和分析，我们发现正方体的截面形状与其位置和方式密切相关，同时也与其他几何形体具有一定的关系。
正方体的截面问题在数学几何研究中具有一定的重要性，对于深入理解几何形体的性质具有积极的作用。
正方体的截面图(共27张PPT)
以截面最多只能有六条边。
最大面积的截面：
有两个图形〔长方形跟正六边形〕比较可能， 來比较看看吧。
可是用看的实在看不出哪个大
那就用来算算吧！
先算长方形面积
长方形比较好算，只要长乘以高
宽就是正方体边长n了 那长就依照华氏定理 两股为n，斜边长即对角线长
n2n2 2n2 2n
而这三边比就是直角三角形30度.60度.90度 只要把它当成一长方体对角线
直角三角形、等腰三角形、钝角三角形…
面积就是的底乘以组高除以合二 ，所以角Ｂ的一半为60度。
所以角Ｂ就是120度啦！
因此这六边形是正六边形 。
大于四边之其它形状截面：
六边形以上的多边形无法切出來， 为什么？
因为正方体每个面只能有一个图 形的边，才是一个直的截面，才 能切成一直线，每个面只能有一
算就好了〔见右图〕
依长方体对角线公式：
X Y Z 2
2
2〔ＸＹＺ各代表长方体的长、宽、高。〕
所以：
BC ( 1 n ) 2 ( 1 n ) 2 n 2
2
2
3 n2 2
2
三角形就完成边长了（右上图）
算ＡＣ到Ｂ之高
( 2 n)2 ( 6 n)2
2
4
但有人想如果我这样切〔下面二图〕
不就可切出直角跟钝角吗 ？
Ｏ Ｏ
答案是：沒有这种切法。
因为你看看，此两图虽然两条边都在正方体
之一面上，但是有一条边是存在于正方体內 ，而这样就不是截面了。所以这是不可能出
現直角或钝角三角形。
面积最大的三角形截面：
四边形截面：
正方形：
长方形：
四边形截面：
梯形：
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*分析: *探求平面与平面的交线 关键在于找到两个平面的 A 两个公共点.
D
C
B
**由公理1:这两个公共点可确定出两个平面的交线.
新课讲解 (2)平面截多面体的截面--- 当一个平面截多面体时, 多面体的表面与平面的交线所围成的平面图形就叫 做平面截多面体的截面. (3)利用复制正方体与截面的直观图.采用擦除截面一 侧图形的方法就可得到由截面将正方体分割而成的两 个多面体.
四、截面是六边形
形状
特殊情形
三角形
等 腰 三 角 形 四 边 形 长 方 形
等 边 三 角 形 正 方 形 梯 形
四边形
五边形
六边形
(二期课改)
复习引入
一.回顾并简述空间几何的公理体系的具体内容:
**公理 1:
**公理 3:
**公理 2:
**公理 4:
新课讲解 一.已知平面截长方体所得的截面的具体作法: 例题5 如图所示,已知正方体 ABCD ABC D. D (1)作出由点 A, C , D 所确定的 平面α与正方体表面的交线; (2)试说明平面α将正方体分割 为怎样的两个多面体.
(二期课改)
一、截面是三角形
一、截面是三角形
常见的截图为三角形的图形
演 示
二、截面是四边形
二、截面是四边形
二、截面是四边形
常见的截图为四边形的图形
二、截面是四边形
演 示
三、截面是五边形
三、截面是五边形
四、截面是六边形
特 别 注 意
当平面与正方体 各棱的交点为中 点时，截面为正 六边形
H
A
R
D
Q F
C
A
B
G D G B
C
E P
C
E P
R
B
A
R
Q D A R Q F F G E P
D
Q
F
C
A
B
** 结合所作直观图总结: 作由截面将正方体分割而 成的两个多面体的直观图 的具体方法.
D
C
A
B
例7：正方体中,试画出过其中三条棱的中点 P,Q,R的平面截得正方体的截面形状．
A
D B
C
D
C
B
A
n个平面最多可将空间 n3 5n 6 分成 个部分 6
如图, 在正方体中, 画出经过C , D ', E三点的截面.
如图, 在正方体中, 画出经过P , M , N 三点的截面.
D A B F C
D
GM H C
A
E
B
*(2)画出如下图所示的多面体中过三点M,N,P的截面α.
D A M B N C A B M
C
D
A
P
C
O
A
P
N
C
B
N
B
M
A B
C
P
*(3)如图所示,在正方体 ABCD ABC D 中,根据给 出的条件,分别画出有关的图形.
(1)过三点 B, A, C 的截面. (2)过三点 B, A, C 的截面. (3)上述两个截面的交线.
D1
C1
A1
B1
D1
F
C
D1C 2a ME
M
2 a 2
A
E
B
5 a 过M 作MF DC D1M 1 于F C 2 2 3 2 D1F a MF a 4 4 9 S截面 a 2 8
*3(1)如图所示,已知正方体ABCD ABC D 中,画出 E，F，G所确定的平面
归纳总结 ①作平面与正方体的截面的关键是:作出平面与平面
的交线,而作平面与平面的交线的关键是找到两个平
面的两个公共点. ②注意结合例题举例说明:只有共面的直线才有交点, 异面直线是没有交点的,具体在作图时要有空间的方 位感.
课堂练习 ** 课本(P30) 练习15.2(3): 1 , 2 .
课堂小结 请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会 .
** 两个面的公共点 ** ** 两个面的交线 **
** 截面的多边形 **
1、画出如下图所示的几何体中过三点M、N、P的截面.
M
M
N
P N
P
M
P N
A
A
M
N
P
B
2、正方体ABCD A1B1C1D1的边长为a，M 是AA1的中点，请作出过C, D1 , M 三点的截面,且计算它的面积.
M E
(4)结合所作图形说明两个多面体的各个面的多边形的 特征.
D D A B C
D D
C
C
C
B
A
A
D
A
B
(4多边形的特征.
C
B
A
例题讲解
例题6 如图所示,已知正方体 ABCD ABC D. 点P和点Q位于平面 BBC C 上,(PQ与BC不平行), D 点R位于棱AB上. C
(1)作出由点P,Q,R所确定的 A 平面β截正方体所得的截面.
R
B
P
(2)平面β将正方体分割成 Q C 两个多面体,作出这两个多 D 面体的直观图. A B 分析 作平面与正方体的截面的关键是:作出平面与 平面的交线;而作平面与平面的交线的关键是:找到 两个平面的两个公共点.
D
G B
C E P