苏州新区二中必修四第二章《平面向量》测试(含答案解析)

一、选择题1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A 1B ．1C ．1D 12．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)3．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52 C ．3 D ．72 4．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +5．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-6．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-7．已知向量12AB ⎛⎫= ⎝⎭，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ）A ．3B ．C ．4D ．8．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( )A ．B ．12-C ．12D 9．直线0ax by c 与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ）A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-10．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A ．332B ．37C ．39D ．4111．已知2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=，若2d c -=，则d 最大值为（ ） A ．22B ．122+C ．222+D ．4212．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56π B ．23π C ．3πD ．6π 二、填空题13．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.14．在ABC 中，AB AC =，E ，F 是边BC 的三等分点，若3AB AC AB AC +=-，则cos EAF ∠=_______________15．在ABC 中，90,6C CA CB ∠=︒==，P 为ABC 所在平面内一动点，则()CP AP BP ⋅+的最小值为________．16．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．在AOB 中，已知1OA =，3OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________.20．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.三、解答题21．三角形ABC 中，D 为BC 上一点，2BD DC =，设AD a =，AC b =，可以用a ，b 来表示出AD ，方法如下：方法一：23AD AB A D BC B B ==++，∵BC AC AB =-，∴21212()33333AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+. 方法二：13AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，∴11212()33333AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+. 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且2BD DC =，∴13FD CD AB CB ==，13FD AE AB ==.∵//ED AC ，2BD DC =.∴23ED BD AC BC ==，得23ED AF AC ==.∴12123333AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+. 请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题：（1）三角形ABC 中，D 为BC 的中点，设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示出AD ；（2）设D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =.点A 为直线BC 外任意一点，AB a =，AC b =，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值. 23．解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y- 2=0,且与它的距离是1的直线方程； （2）求垂直于直线x+3y -5=0且与点P( -1,0)的距离是3105的直线方程.24．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.25．已知()()cos ,sin ,2sin ,2cos OP OQ θθθθ==+-，其中[)0,2θ∈π，求PQ 的最大值，并指出PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角的大小． 26．已知a =（1，2）b =（-3，2），当k 为何值时． （1）ka b +与3a b -垂直； （2）ka b +与3a b -平行．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC +=， 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=-.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立. 因此，AP 的最小值为231-. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 2．C解析：C 【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C-，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=， 可得2cos303=，2sin301，所以()3,1B -- ，)3,1C-,设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y -<<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅-=--，当3x =-1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯---=， 当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-， 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值. 3．B解析：B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4．D解析：D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.5．B解析：B 【分析】求出2a b -)=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 6．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．7．B解析：B 【分析】首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .【详解】 设(0,0)A ,(),C x yBC AC AB =-()13,,2x y ⎛⎫⎝- =⎪⎪⎭13,2x y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭= 3AB BC ⋅=1313,,322x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即38x y += （1）5AC =又2225x y ∴+= （2） 2213()22C x y B ⎛⎫-+- ⎪ ⎝=⎪⎭ 22(3)1x y x y =+-++将（1）（2）代入上式解得：258132BC =-+=故选B 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.8．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.9．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-， ()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.10．B解析：B 【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y ，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3)y x ∴-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大，||AP ∴=故选：B ．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题． 11．C解析：C【分析】不妨设(2,0),(0,2)a b ==，设(,),(,)c m n d x y ==，则由()()0c a c b -⋅-=求出点(,)a b 满足的关系（点(,)C a b 在一个圆上），而2d c -=表示点(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆上，d 表示该圆上的点到原点的距离，由几何意义可得解． 【详解】 ∵2a b ==，0a b ⋅=，∴不妨设(2,0),(0,2)a OA b OB ====，如图，设(,)c OC m n ==，(,)d OD x y ==，则()()(2,)(,2)(2)(2)0c a c b m n m n m m n n -⋅-=-⋅-=-+-=，即22(1)(1)2m n -+-=，∴点(,)C m n 在以(1,1)M 2M 上， 又2d c -=，∴(,)D x y 在以(,)C a b 为圆心，2为半径的圆C 上， 则2d OC ≤+，当且仅当D 在OC 延长线上时等号成立，又OC 的最大值是圆M 的直径22∴d 最大值为222．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，解题关键是引入坐标表示向量，用几何意义表示向量，求解结论．12．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果.【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ，所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅ 2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-， 故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【分析】以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 根据得到再根据得到平行四边形ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以ABAC 为邻边作平行四边形ABCD 则因为所 解析：1314【分析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，根据3AB AC AB AC +=-，得到3AD CB =， 再根据AB AC =，得到平行四边形ABCD 是菱形，则CB AD ⊥，设3CB =EF ，,AE AF 的长度，在AEF 中利用余弦定理求解.【详解】如图所示：以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则,AB AC AD AB AC CB +=-=， 因为3AB AC AB AC +=-， 所以3AD CB =，设3CB =3AD =，因为AB AC =，所以平行四边形ABCD 是菱形，所以CB AD ⊥，所以223333,223AB AC EF ⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22332126AE AF ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以2222121113993cos 21421212AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅⋅. 故答案为：1314【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算公式将用的坐标表示利用配方法求得最小值【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系易知设则故当且仅当时取得等号∴所求最小值为故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的坐 解析：9-【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算公式将()CP AP BP ⋅+用(),P x y 的坐标表示，利用配方法求得最小值.【详解】由题意可建立如图所示的直角坐标系，易知()()()6,0,0,6,0,0A B C ，设(),P x y ，则(,),(6,),(,6)CP x y AP x y BP x y ==-=-， 故2233()(26)(26)229922CP AP BP x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=-+-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当且仅当32x y ==时取得等号， ∴所求最小值为9-，故答案为：9-.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算和配方法求最值，关键在于建立坐标系，用(),P x y 的坐标表达所求的向量的数量积，属中档题.16．【分析】由已知得再两边平方求得代入可求得答案【详解】因为所以又因为所以即又所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算向量的数量积以及向量的模的计算属于中档题解析：25-【分析】 由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案.【详解】 因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =，所以()225a b +=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =， 所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-，故答案为：25-.【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311 【解析】 由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN=AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB n AC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题 解析：9【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案.【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ，∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈， ∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 .【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题. 19．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量 解析：1564【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可．【详解】 ∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =， ∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+ ∵1OA =，OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅= ∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564． 【点睛】 本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.20．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin 22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值.【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=， 所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=， 所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cossin 22θθ+， 故答案为：cossin 22θθ+. 【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题. 三、解答题21．（1）1122AD a b =+；（2）证明过程见详解. 【分析】（1）根据题干中所给的方法，结合向量的线性运算，可分别求解；（2）根据题干中所给的方法，由向量的线性运算，用a ，b 表示出AD ，即可得出结论成立.【详解】（1）因为D 为BC 的中点，方法一： 12AD AB BD AB BC =+=+，∵BC AC AB =-， ∴11221)22(221AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+； 方法二： 21AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-， ∴111221)2(221AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+； 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且BD DC =，∴21FD CD AB CB ==，21FD AE AB ==. ∵//ED AC ，BD DC =.∴12ED BD AC BC ==，得12ED AF AC ==. ∴11212212AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+； （2）因为D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =，显然1k ≠-； 所以1k BD BC k =+，11CB k CD =+， 方法一： 1AD AB BD AB BC k k =+++=，∵BC AC AB =-， ∴1111111()k k k AD AB AC AB AB AC a b k k k k k +++++=+-=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法二：11A AC CD AC CB D k =++=+，∵CB AB AC =-， ∴11111111()k k k k AD AC AB AC A k k B AC a b k ++=+-=+++=++； 即存在唯一实数对11k λ=+，1k k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法三：若点D 位于点B 左侧，如图，过点D 作//DM AB ，过点A 作//AM BC ，交DM 于点M ，则AMDB 为平行四边形，1k AM BD BC k ==+，所以11()AD AB AM AB BC AB k k k k AC AB =++=-+++=111111k k AB AC a b k k k k ++++=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于点C 右侧，如图，过点D 作//DN AC ，过点A 作//AN BC ，交DN 于点N ，则ANDC 为平行四边形， 11AN CD BC k ==+，因此11A AC AN AC CB D k =++=+111111(1)k k k AB AC AB AB AC a b k k k k k +++=+++-+=+=， 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于BC 之间，则0k >；如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点Q ，则四边形APDQ 为平行四边形.∵//DQ AB 且BD DC =，∴11QD CD AB C k B =+=，11Q k D AP AB =+=， ∵//PD AC ，BD DC =.∴1PD BD AC BC k k =+=，得1k k PD AQ AC =+=. ∴111111AD AP AQ AB AC k k a b k k k k =+=++=++++； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 综上，存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=. 【点睛】思路点睛：利用平面向量的一组基底表示向量时，只需根据向量的线性运算法则，结合平面向量基本定理，逐步求解即可.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒，在POB 中，由余弦定理，得 222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=- ∴84362PB =-=，又222PA OA ==∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 23sin 4sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）3x+4y+3=0或3x+4y-7=0 (2) 3x-y+9=0或3x-y-3=0【详解】试题分析：（1）将平行线的距离转化为点到线的距离，用点到直线的距离公式求解；（2）由相互垂直设出所求直线方程，然后由点到直线的距离求解.试题解：（1）设所求直线上任意一点P （x ，y ），由题意可得点P 到直线的距离等于1，即34215x y d +-==，∴3x+4y-2=±5，即3x+4y+3=0或3x+4y-7=0．（2）所求直线方程为30x y c -+=，由题意可得点P 到直线的距离等于3105，即331010cd -+==∴9c =或3c =-，即3x-y+9=0或3x-y-3=0． 考点：1.两条平行直线间的距离公式；2.两直线的平行与垂直关系 24．（1）232）6π.【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ 【详解】解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ 则2()3cos ||||42383a ab aa ab θ+====+⨯0θπ ∴6πθ=.【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 25．π-【分析】利用向量模的坐标表示求出2PQ ，由余弦函数的单调性知当θπ=时2PQ 取最大值18即PQ 取最大值OP 、OQ 的坐标，由cos ,OP OQ OP OQ OP OQ⋅<>=⋅即可求得两向量的夹角.【详解】222(2sin cos )(2cos sin )PQ θθθθ=+-+--22228sin cos 4sin 4cos 2sin cos sin cos 4cos 4sin 2sin cos θθθθθθθθθθθθ=+++--++--+108cos θ=- 又[)0,2θπ∈，所以当θπ=时，cos θ取得最小值1-，2PQ 取最大值18，即当θπ=时，PQ 取最大值此时(1,0)OP =-，(23)OQ =，，cos ,1OP OQOP OQ OP OQ ⋅<>===⨯⋅，所以PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角为π- 【点睛】 本题考查向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的计算，属于中档题. 26．（1）19； （2）13-. 【分析】（1）由题意，求得(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，根据因为ka b +与3a b -垂直，列出方程，即可求解；（2）根据ka b +与3a b -平行，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量(1,2),(3,2)a b ==-，则(3,22),3(10,4)ka b k k a b +=-+-=-，因为ka b +与3a b -垂直，所以()(3)10(3)4(22)0ka b a b k k +⋅-=--+=，即2380k -=，解得19k =.（2）若ka b +与3a b -平行，则满足4(3)10(22)0k k ---+=，即2480k -+=，解得13k =-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算公式，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。